Analisi matematica II
Claudio Canuto, Anita Tabacco Analisi matematica II Teoria ed esercizi con complementi in rete
CLAUDIO CANUTO Dipartimento di Matematica Politecnico di Torino ANITA TABACCO Dipartimento di Matematica Politecnico di Torino ISBN 978-88-470-0873-1 ISBN 978-88-470-0874-8 (ebook) Springer Milan Berlin Heidelberg New York Springer Milan Berlin Heidelberg New York Springer-Verlag fa parte di Springer Science+Business Media springer.com Springer-Verlag Italia, Milano 2008 Quest opera è protetta dalla legge sul diritto d autore e la sua riproduzione è ammessa solo ed esclusivamente nei limiti stabiliti dalla stessa. Le fotocopie per uso personale possono essere effettuate nei limiti del 15% di ciascun volume dietro pagamento alla SIAE del compenso previsto. Le riproduzioni per uso non personale e/o oltre il limite del 15% potranno avvenire solo a seguito di specifica autorizzazione rilasciata da AIDRO, Via Corso di Porta Romana n. 108, Milano 20122, e-mail segreteria@aidro.org e sito web www.aidro.org. Tutti i diritti, in particolare quelli relativi alla traduzione, alla ristampa, all utilizzo di illustrazioni e tabelle, alla citazione orale, alla trasmissione radiofonica o televisiva, alla registrazione su microfilm o in database, o alla riproduzione in qualsiasi altra forma (stampata o elettronica) rimangono riservati anche nel caso di utilizzo parziale. La violazione delle norme comporta le sanzioni previste dalla legge. 9 7 8 6 5 4 3 2 1 Riprodotto da copia camera-ready fornita dagli Autori Progetto grafico della copertina: Simona Colombo, Milano Stampato in Italia: grafic he porpora, Segrate, Milano Springer-Verlag Italia Srl, Via Decembrio 28, 20137 Milano
Prefazione Questo volume costituisce il proseguimento della presentazione dei principali strumenti di base dell Analisi Matematica iniziata nel nostro libro Analisi Matematica I - anch esso pubblicato da Springer - a cui faremo riferimento nel testo come Vol. I. Gli argomenti qui trattati vengono tradizionalmente demandati, nella maggior parte delle sedi universitarie italiane, ad un secondo corso di Analisi Matematica. La scelta dei contenuti e delle modalità di presentazione per un tale insegnamento è assai più variegata e flessibile rispetto a quella per un corso di Analisi Matematica I, usualmente dedicato in massima parte alle funzioni reali di una variabile reale. Per questo motivo, abbiamo cercato di coprire un ventaglio sufficientemente ampio di argomenti, ben sapendo che il numero di crediti assegnati dai nuovi ordinamenti didattici a un secondo corso di Analisi Matematica può non essere sufficiente a coprirli tutti. Al fine di facilitare un uso flessibile del testo abbiamo cercato, ove possibile, di rendere non troppo rigida la concatenazione degli argomenti, anche a costo di qualche ripetizione. L ordine di presentazione è quello che ci è sembrato il più naturale. Nei primi tre capitoli si completa lo studio delle funzioni di una variabile con le successioni e serie di funzioni, tra le quali le serie di potenze e di Fourier. Successivamente si passa ad esaminare le funzioni di più variabili ed a valori vettoriali, studiandone le proprietà di continuità e sviluppandone il calcolo differenziale ed integrale (dapprima sugli aperti misurabili di R n e quindi sulle curve e superfici). Infine alcuni dei concetti visti trovano applicazione nello studio dei sistemi di equazioni differenziali ordinarie. Come per il primo volume, ci siamo posti l obiettivo di raggiungere la massima chiarezza espositiva nella nostra presentazione. Ogni pagina del testo contiene di norma uno, o al più pochi, concetti essenziali, evitando una eccessiva ricchezza di messaggi che potrebbe distrarre lo studente. Abbiamo scelto di presentare i teoremi sotto ipotesi sufficientemente generali ma di immediata leggibilità. Alcuni passaggi, necessari da un punto di vista della completezza ma più delicati dal punto di vista teorico, sono stati evidenziati e possono essere omessi in una lettura essenziale. Gli enunciati sono in genere immediatamente seguiti da numerosi esempi e, ove possibile, da una loro illustrazione grafica; lo stesso vale anche per la descrizione
VI Prefazione dei procedimenti di calcolo. Nel testo sono usate le seguenti convenzioni grafiche: le definizioni appaiono su sfondo grigio, mentre gli enunciati su sfondo ciano; gli esempi sono segnalati da una barra verticale in colore; gli esercizi di cui si fornisce la soluzione sono indicati con un riquadro nel testo (ad esempio 12. ). Ogni capitolo ha una controparte sul sito web, dove lo studente più motivato e interessato può trovare la giustificazione di vari risultati solo enunciati nel testo, insieme a utili complementi. Abbiamo invece completamente omesso quelle dimostrazioni in cui, a nostro avviso, gli aspetti tecnici sono prevalenti rispetto a quelli concettuali. Esse possono essere reperite sui testi specialistici della materia. Un significativo numero di esercizi viene fornito al termine di ogni capitolo, permettendo all allievo di valutare immediatamente lo stato delle conoscenze acquisite; essi sono raccolti in gruppi che riprendono i principali argomenti. Di tutti gli esercizi viene fornita la soluzione; per la maggior parte di essi, si delinea il procedimento risolutivo. La preparazione del materiale raccolto ha tratto beneficio dall esperienza maturata nell insegnamento degli argomenti qui trattati presso il Politecnico di Torino. È stata inoltre di grande aiuto la consultazione di testi relativi agli stessi temi, quali quelli di A. Bacciotti e F. Ricci, di C. Pagani e S. Salsa, e di G. Gilardi, oltreché di opere di impostazione anglosassone quali quelle di T. Apostol e di J. Stewart. Tutte le figure sono state realizzate mediante il programma MATLAB TM erielaborate attraverso le macroistruzioni contenute nel pacchetto psfrag reperibile negli archivi internazionali; siamo riconoscenti a Giuseppe Ghibò per l assistenza tecnica che ci ha fornito a tale riguardo. Desideriamo inoltre esprimere la nostra più viva gratitudine nei confronti di Francesco Longo che ha prodotto con maestria buona parte delle figure contenute nel volume, oltre a leggere e contribuire a migliorare una versione preliminare del testo. Siamo infine riconoscenti a Francesca Bonadei, responsabile per la Matematica della Springer-Verlag Italia, per il costante incoraggiamento e la pazienza dimostrataci. Ringraziamo fin da ora i colleghi e gli studenti che vorranno segnalarci gli inevitabili errori rimasti e suggerirci possibili miglioramenti nella qualità dell esposizione. Torino, luglio 2008 Claudio Canuto, Anita Tabacco
Indice 1 Serie numeriche... 1 1.1 Richiamisullesuccessioni... 1 1.2 Serienumeriche... 4 1.3 Serieaterminipositivi... 9 1.4 Serieaterminidisegnoalterno... 16 1.5 Operazionialgebrichesulleserie... 20 1.6 Esercizi... 22 1.6.1 Soluzioni... 25 2 Serie di funzioni e di potenze... 35 2.1 Successioni di funzioni... 36 2.2 Proprietàdellesuccessioniuniformementeconvergenti... 39 2.2.1 Passaggio al limite sotto segno di integrale....... 40 2.2.2 Passaggio al limite sotto segno di derivata... 40 2.3 Seriedifunzioni... 42 2.4 Seriedipotenze... 46 2.4.1 Operazionialgebrichesulleseriedipotenze... 53 2.4.2 Derivazioneeintegrazionediseriedipotenze... 54 2.5 Funzionianalitiche... 57 2.6 Serie di potenze in C... 61 2.7 Esercizi... 62 2.7.1 Soluzioni... 66 3 Serie di Fourier... 77 3.1 Polinomitrigonometrici... 78 3.2 CoefficientieseriediFourier... 81 3.3 FormaesponenzialedellaseriediFourier... 90 3.4 SeriediFourierederivazione... 91 3.5 ConvergenzadelleseriediFourier... 93 3.5.1 Convergenzaquadratica... 93
VIII Indice 3.5.2 Convergenzapuntuale... 96 3.5.3 Convergenzauniforme... 98 3.5.4 DecadimentodeicoefficientidiFourier... 98 3.6 Funzioni periodiche di periodo T>0... 99 3.7 Esercizi...101 3.7.1 Soluzioni...103 4 Funzioni tra spazi euclidei...113 4.1 Vettori in R n...113 4.2 Matrici...116 4.3 Insiemi in R n eloroproprietà...122 4.4 Funzioni:definizionieprimiesempi...129 4.5 Continuitàelimiti...133 4.5.1 Proprietà dei limiti e della continuità...140 4.6 Curve in R m...141 4.7 Superfici in R 3...146 4.8 Esercizi...149 4.8.1 Soluzioni...151 5 Calcolo differenziale per funzioni scalari...159 5.1 Derivateparzialiprimeegradiente...159 5.2 Differenziabilitàedifferenziale...163 5.2.1 Teorema di Lagrange e funzioni lipschitziane...169 5.3 Derivateparzialisecondeematricehessiana...172 5.4 Derivateparzialidiordinesuperiore...175 5.5 Sviluppi di Taylor; convessità... 176 5.5.1 Convessità...178 5.6 Estremidiunafunzione;puntistazionari...178 5.6.1 Puntidisella...184 5.7 Esercizi...188 5.7.1 Soluzioni...192 6 Calcolo differenziale per funzioni vettoriali...207 6.1 Derivateparzialiematricejacobiana...207 6.2 Differenziabilità e lipschitzianità...208 6.3 Operatoridifferenzialinotevoli...210 6.3.1 Operatoridelprimoordine...211 6.3.2 Operatoridelsecondoordine...218 6.4 Derivazionedifunzionicomposte...219 6.4.1 Un applicazione: le funzioni definite mediante integrali... 221 6.5 Curveregolari...223 6.5.1 Congruenzatracurve;orientazione...226 6.5.2 Lunghezza di un arco e ascissa curvilinea...229 6.5.3 Elementidigeometriadifferenzialediunacurva...232 6.6 Cambiamentidivariabile...235
Indice IX 6.6.1 Cambiamentidivariabilenotevoli...238 6.7 Superficiregolari...245 6.7.1 Cambiamentidiparametrizzazione...248 6.7.2 Superficiorientabili...250 6.7.3 Bordodiunasuperficie;superficichiuse...251 6.7.4 Superfici regolari a pezzi...256 6.8 Esercizi...257 6.8.1 Soluzioni...260 7 Applicazioni del calcolo differenziale...269 7.1 Teoremadellafunzioneimplicita...269 7.1.1 Invertibilità locale di una funzione...275 7.2 Curveesuperficidilivello...277 7.2.1 Curvedilivello...277 7.2.2 Superficidilivello...281 7.3 Estremivincolati...283 7.3.1 Metodoparametrico...286 7.3.2 MetododeimoltiplicatoridiLagrange...287 7.4 Esercizi...295 7.4.1 Soluzioni...298 8 Calcolo integrale per funzioni in più variabili...307 8.1 Integraledoppiosurettangoli...308 8.2 Integraledoppiosuinsiemimisurabili...314 8.2.1 Proprietà dell integrale doppio...323 8.3 Cambiamentodivariabilinegliintegralidoppi...327 8.4 Integralimultipli...331 8.4.1 Cambiamentidivariabilinegliintegralitripli...338 8.5 Applicazioniedestensioni...340 8.5.1 Massa,baricentroemomentidiinerzia...341 8.5.2 Volumedeisolididirotazione...342 8.5.3 Integralidifunzionivettoriali...345 8.5.4 Integralimultipliimpropri...345 8.6 Esercizi...347 8.6.1 Soluzioni...354 9 Calcolo integrale su curve e superfici...377 9.1 Integrali curvilinei...378 9.1.1 Baricentroemomentidiinerziadiunacurva...384 9.2 Integralidilinea...385 9.3 Integralisuperficiali...388 9.3.1 Areadiunacalotta...392 9.3.2 Baricentroemomentidiinerziadiunasuperficie...394 9.4 Integralidiflusso...394 9.5 ITeoremidiGauss,GreeneStokes...396
X Indice 9.5.1 Apertiesuperficiammissibilielorobordo...397 9.5.2 IlTeoremadelladivergenzaodiGauss...402 9.5.3 IlTeoremadelrotore;TeoremadiGreen...405 9.5.4 IlTeoremadiStokes...407 9.6 Campiconservativiepotenziale...409 9.6.1 Calcoloesplicitodelpotenziale...416 9.7 Esercizi...419 9.7.1 Soluzioni...423 10 Equazioni differenziali ordinarie...435 10.1 Esempiintroduttivi...435 10.2 Definizionigenerali...438 10.3 Equazioniscalaridelprimoordine...444 10.3.1 Equazioniavariabiliseparabili...445 10.3.2 Equazioniomogenee...447 10.3.3 Equazionilineari...448 10.3.4 EquazionidiBernoulli...452 10.3.5 EquazionidiRiccati...452 10.3.6 Equazioni del secondo ordine riconducibili al primo...453 10.4 Esistenza e unicità del problema di Cauchy...455 10.4.1 Esistenza e unicità locale...455 10.4.2 Soluzionemassimale...459 10.4.3 Esistenzaglobale...462 10.4.4 Esistenzaglobaleunilaterale...464 10.4.5 Integraliprimi...467 10.5 Sistemidiequazionilinearidelprimoordine...470 10.5.1 Sistemaomogeneo...472 10.5.2 Sistemanonomogeneo...475 10.6 Sistemi lineari con matrice A costante...478 10.6.1 Sistema omogeneo con A diagonalizzabile...479 10.6.2 Sistema omogeneo con A non diagonalizzabile...483 10.6.3 Sistemanonomogeneo...487 10.7 Equazioni lineari scalari di ordine n...490 10.8 Stabilità...496 10.8.1 Sistemilineariautonomi...498 10.8.2 Sistemipiani...499 10.8.3 Cenno alla stabilità non lineare...506 10.9 Esercizi...508 10.9.1 Soluzioni...513 Definizioni e formule notevoli...527 Indice analitico...539