Laboratorio 5-6 Metodi di Bisezione, Newton e Punto Fisso 2009 - Questo testo (compresi i quesiti ed il loro svolgimento) è coperto da diritto d autore. Non può essere sfruttato a fini commerciali o di pubblicazione editoriale. Non possono essere ricavati lavori derivati. Ogni abuso sarà punito a termine di legge dal titolare del diritto. This text is licensed to the public under the Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs2.5 License (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.5/) Algoritmo di Bisezione Sia data una funzione f continua, con una radice nel punto x = α all interno dell intervallo I = (a, b), dove a e b sono tali che f(a) f(b) < 0. Il metodo di bisezione calcola un approssimazione x dello zero α tramite il seguente algoritmo: posto a (0) = a e b (0) = b, per k = 0,..., n max x (k) = (a (k) + b (k) )/2 if (f(x (k) ) == 0) x = x (k) return elseif (f(a (k) )f(x (k) ) < 0) a (k+1) = a (k) b (k+1) = x (k) else end a (k+1) = x (k) b (k+1) = b (k) Il criterio d arresto si basa sulla semiampiezza dell intervallo: fissata una tolleranza ε 1, il metodo si arresta quando 1 2 (bk a k ) < ε 1. (1) Di conseguenza il numero massimo di iterazioni che vengono eseguite è n max = log 2 ( b a ε 1 ) 1, (2) dove m indica il più piccolo numero intero maggiore di m (arrotondamento per eccesso). Per rendere più efficiente lo schema si controlla anche il residuo, cioè si arresta il metodo non appena f(x k ) < ε 2 (nella pratica spesso si considera un solo valore di tolleranza, ε 2 = ε 1 ). Esercizio 1 Vogliamo risolvere il problema della ricerca degli zeri dell equazione non lineare f(x) = 0, dove f è definita da: f(x) = x 3 (2 + e)x 2 + (2e + 1)x + (1 e) cosh(x 1), x [0.5, 6.5] (3) 1
1. Disegnare il grafico della funzione f nell intervallo [0.5, 6.5] ed evidenziare le radici dell equazione. (Suggerimento: utilizzare il comando grid on). 2. Si dica per quali radici il metodo di bisezione è applicabile a partire dal grafico della funzione. 3. Scrivere una function Matlab R (Octave ) bisez.m che implementi il metodo di bisezione. Tale funzione ˆ riceve in input gli estremi a e b dell intervallo di ricerca, la tolleranza toll richiesta sul residuo e la funzione fun. ˆ restituisce in output il vettore xvect delle iterate e il numero it delle iterazioni effettivamente eseguite. ˆ si utilizzi un criterio d arresto basato sul residuo, accoppiato ad un controllo sul massimo numero di iterate, determinato come in (2), assumendo ε 1 = ε 2 = toll. L intestazione della funzione sarà ad esempio: [xvect,it] = bisez(a,b,toll,fun) ( Suggerimento: definire la funzione fun da passare alla funzione bisez.m tramite i comandi inline o @). 4. Calcolare le radici di f per le quali il metodo di bisezione risulta applicabile, utilizzando la funzione bisez.m con una tolleranza di 10 12. Metodo di Newton Il metodo di Newton per la ricerca dello zero α di un equazione non lineare f(x) = 0 è un metodo iterativo che necessita della conoscenza della derivata prima f (x) della funzione f(x). Dato x (0), la formula della generica iterazione k del metodo di Newton si esprime come: x (k+1) = x (k) f(x(k) ) f (x (k) ) se f (x (k) ) 0, k 0. (4) Nel caso in cui α sia uno zero semplice di f (f (α) 0) il metodo di Newton converge quadraticamente. Se invece la molteplicità è maggiore di uno, il metodo di Newton converge linearmente. Detta m la molteplicità dello zero α, la convergenza quadratica può essere recuperata modificando la formula generale del metodo di Newton nel modo seguente: x (k+1) = x (k) m f(x(k) ) f (x (k) ) se f (x (k) ) 0, k 0. (5) Il metodo (5) si chiama Newton modificato. Per arrestare il metodo di Newton si utilizza generalmente il criterio seguente: ad ogni iterazione k si valuta se la differenza tra due iterate successive è inferiore ad una certa soglia ε: x (k) x (k 1) < ε (6) 2
Esercizio 2 Si consideri l equazione non lineare f(x) = 0 dell Esercizio 1. Sappiamo che essa ammette tre zeri nell intervallo indicato. 1. Dal grafico di f e di f discutere le proprietà di convergenza del metodo di Newton per tutti gli zeri, valutando l opportunità di applicare il metodo di Newton modificato. Noto il valore esatto della radice α 1 = 1 si valuti la molteplicità della radice. 2. Scrivere una funzione Matlab R (Octave ) newton.m che implementi il metodo di Newton; la funzione ˆ riceve in input la guess iniziale x0, la tolleranza toll, il numero massimo di iterazioni nmax, la funzione fun, la sua derivata dfun e la molteplicità della radice mol. ˆ restituisce in output il vettore xvect delle iterate e il numero it di iterazioni effettivamente eseguite. Si utilizzi un criterio d arresto basato sul modulo della differenza tra due iterate successive. La function newton.m deve comportarsi come il metodo di Newton classico nel caso in cui non venga specificata la molteplicità della radice e come il metodo di Newton modificato se viene espressamente passata in ingresso la variabile mol (utilizzare a tal proposito la function nargin). L intestazione della funzione sarà ad esempio la seguente: [xvect,it]=newton(x0,nmax,toll,fun,dfun,mol) 3. Risolvere il problema della ricerca degli zeri di f tramite il metodo di Newton, utilizzando la funzione newton.m con tolleranza 10 6. Si utilizzi per il calcolo di ogni radice un opportuno valore x0. Nel caso della radice α 1 = 1 si riporti su un grafico in scala semilogaritmica l andamento degli errori in funzione del numero di iterazioni per il metodo di Newton standard e per quello modificato. Esercizio 3 Si consideri l equazione non lineare f(x) = 0, in cui f è definita come: ( ( f(x) = arctan 7 x π )) ( ( + sin x π ) ) 3, x [ 1, 6]. (7) 2 2 1. Si disegni il grafico della funzione f nell intervallo [ 1, 6]. 2. Si verifichi che l unico zero α della funzione f è semplice e si utilizzi la funzione newton.m per calcolarlo. Si assuma una tolleranza pari a 10 10 e guess iniziale x0 = 1.5. Successivamente si ripeta tale calcolo partendo da x0 = 4. Sapendo che α = π/2, si calcolino gli errori assoluti nei due casi e si motivino i risultati ottenuti. 3. Verificate la possibilità di utilizzare il metodo di bisezione; si utilizzi la funzione bisez.m sull intervallo [a, b] = [ 1, 6] con tolleranza toll = (b a)/2 31. Si riporti l errore ottenuto. 3
4. Si implementi una function biseznewton.m che combini il metodo di bisezione e di Newton. In particolare si adotti il metodo di bisezione per l avvicinamento allo zero e successivamente il metodo di Newton per calcolare α. La funzione richiesta ˆ riceve in input gli estremi dell intervallo di ricerca a e b, la tolleranza richiesta toll, il numero massimo di iterazioni nmax b per le iterazioni con il metodo di bisezione, il numero massimo di iterazioni nmax n per le iterazioni con il metodo di Newton, la funzione fun e la sua derivata dfun. ˆ restituisce in output il vettore delle iterate xvect e il numero it di iterazioni effettivamente eseguite. L intestazione della funzione sarà, ad esempio, la seguente: [xvect,it]=biseznewton(a,b,nmax b,nmax n,toll,fun,dfun) 5. Si calcoli utilizzando la funzione biseznewton lo zero α di f, impiegando 5 iterazioni del metodo di bisezione. Si mantengano i valori precedentemente utilizzati per tutti gli altri parametri di input. Metodo delle iterazioni di punto fisso Consideriamo il problema: data una funzione φ : [a, b] R, trovare α [a, b] tale che: α = φ(α). Se un tale α esiste, viene detto punto fisso di φ. Se la funzione di iterazione è sufficientemente regolare e φ (α) < 1 la successione definita da x (k+1) = φ(x (k) ), k 0 (8) converge ad α per ogni scelta del dato iniziale x (0) in un intorno opportuno di α. successione soddisfa la condizione di convergenza Tale x (k+1) α lim k x (k) α = φ (α), (9) ovvero (per k grande) l errore al passo (k + 1) è uguale all errore al passo k moltiplicato per una costante φ (α) il cui valore assoluto è minore di 1 (ordine di convergenza uguale almeno ad 1, o convergenza almeno lineare). In maniera del tutto generale si può dimostrare che se le derivate i-esime della funzione φ valutate in α si annullano per i = 1,, p con p 1 e φ (p+1) (α) 0, allora il metodo di punto fisso ha ordine (p + 1) e vale: lim k x (k+1) α (x (k) α) p+1 = φ(p+1) (α) (p + 1)!. (10) Ad esempio, se φ (α) = 0, (ma φ (α) 0) il metodo di punto fisso è convergente di ordine 2. 4
Le iterazioni di punto fisso possono servire anche per il calcolo degli zeri di una funzione f(x). In generale, la funzione di iterazione φ deve essere scelta in modo tale che φ(α) = α ogni volta che f(α) = 0. La scelta di φ ovviamente non è unica. Si può ricorrere infatti a manipolazioni algebriche differenti di f per ottenere delle possibili funzioni di iterazione φ. Ad esempio, ogni funzione della forma φ(x) = x + F (f(x)) è una funzione di iterazione ammissibile, purchè F sia una funzione continua tale che F (0) = 0. Una semplice implementazione dell algoritmo di punto fisso è la seguente: function [succ, it] = ptofis(x0, phi, nmax, toll) % % [succ, it] = ptofis(x0, phi, nmax, toll) % Metodo di punto fisso x = phi(x) % % Parametri di ingresso: % x0 Punto di partenza % phi Funzione di punto fisso (definita inline o anonimous) % nmax Numero massimo di iterazioni % toll Tolleranza sul test d'arresto % % Parametri di uscita: % succ Vett. contenente tutte le iterate calcolate % (l'ultima componente e' la soluzione) % it Iterazioni effettuate err = 1 + toll; it = 0; succ = x0; xv = x0; while (it < nmax && err > toll) xn = phi(xv); err = abs(xn xv); succ = [succ; xn]; it = it + 1; xv = xn; end fprintf(' \n Numero di Iterazioni : %d \n',it); fprintf(' Punto fisso calcolato : %12.13f \n',succ(end)); Spesso può essere interessante visualizzare le iterate successive dell algoritmo di punto fisso; anzichè visualizzare i valori generati x (k) al variare dell indice k, si preferisce costruire un grafico formato da una linea spezzata che congiunge i punti di coordinate: ( ) x (k), φ(x (k) ) ( x (k+1), x (k+1)) ( x (k+1), φ(x (k+1) ) ), k 0. Il grafico così ottenuto consente di distinguere immediatamente ipunti fissi attrattori dai punti fissi repulsori. 5
Esercizio 4 Si consideri la funzione f(x) = cos 2 (2x) x 2. 1. Si disegni la funzione e si individuino graficamente i punti in cui f(x) = 0. 2. Si verifichi teoricamente per quale intervallo di valori della costante A il metodo di punto fisso per la ricerca degli zeri di f(x) con funzione di iterazione: φ(x) = x + Af(x) può convergere alla radice α > 0 per una scelta opportuna del dato iniziale. 3. Si utilizzi la function ptofis.m con A = 0.1 e x (0) = 0.1 per ottenere un valore della radice α, scegliendo come tolleranza 10 10. Si usi il valore della radice ottenuta per verificare numericamente il range di valori ammissibili per A ottenuto teoricamente al punto precedente. Si studi la sensibilità della convergenza del metodo al variare di A e x (0). 4. Stimare l ordine di convergenza e il fattore di convergenza del metodo di punto fisso al variare di A utilizzando la funzione stimap.m, verificando l affidabilità delle stime teoriche. 5. Fornire un valore di A tale da ottenere un metodo del secondo ordine. 6. Ricordando che il metodo di Newton può essere riletto come metodo di punto fisso, implementarlo utilizzando la function ptofis.m. Determinare sperimentalmente gli intervalli in cui scegliere il dato iniziale in modo che il metodo converga alla radice α positiva. 6