Seminario didattico Ingegneria Elettronica Lezione 5: Dinamica del punto materiale Energia 1
Esercizio n 1 Un blocco di massa m = 2 kg e dimensioni trascurabili, cade da un altezza h = 0.4 m rispetto all estremo libero di una molla di costante elastica K = 1960 N/m disposta verticalmente. Calcolare la massima compressione della molla. z DATI: m = 2 kg h = 0.4 m K = 1960 N/m a)? x max l 0 2
Svolgimento esercizio 1 (1) a) Il problema si risolve energeticamente: z Calcoliamo l energia meccanica totale nella situazione iniziale e finale: E iniz = E pgrav m =mg h l 0 E fin =E pgrav m E pel =mg l 0 Δx 1 2 K Δx 2 l 0 t iniz x Si ottiene l equazione di secondo grado: t fin Δx= mg K ± mg K Applichiamo la conservazione dell energia meccanica: E E fin iniz mgh mg l 0 =mg l 0 mg Δx 1 2 K Δx 2 Δx 2 2mg K 2 2mgh K = { 0. 1 0.08 2 mgh Δx K =0 Questa è la soluzione corretta 3
Svolgimento esercizio 1 (alternativo) 0 z a) Alternativamente possiamo risolvere il problema fissando il livello 0 in corrispondenza dell estremo libero della molla a riposo: l 0 t iniz x t fin Calcoliamo l energia meccanica totale nella situazione iniziale e finale: E iniz = E pgrav m =mgh E fin =E pgrav m E pel = mg Δx 1 2 K Δx 2 Applichiamo la conservazione dell energia meccanica: E fin E iniz Δx= mg K ± mg 2 2mgh K K = { 0. 1 0.08 mgh= mg Δx 1 2 K Δx 2 Si ottiene l equazione di secondo grado: Δx 2 2 mg K 2 mgh Δx K =0 Questa è la soluzione corretta 4
Esercizio n 2 Una molla ideale può essere compressa di 1 m da una forza di 100 N. Tale molla è posta alla fine di un piano inclinato liscio che forma un angolo di 30 con l orizzontale. Una massa M = 10 kg è lasciata cadere da ferma dal vertice del piano inclinato e si ferma momentaneamente dopo aver compresso la molla di 2 m. a. Quanto vale il tratto percorso da M prima di fermarsi? b. Qual è la velocità di M un istante prima di toccare la molla? M DATI: x = 1 m per F = 100 N = 30 M = 10 kg x 0 = 2 m (a)? distanza percorsa prima di fermarsi (d) (b)? velocità di M prima di toccare la molla 5
Svolgimento esercizio 2 (1) (a) Calcoliamo la costante elastica della molla: K= F Δx =100 N m Per risolvere energeticamente il problema, dobbiamo fissare il livello 0 rispetto al quale misurare l altezza di M. Poniamo come livello 0 quello corrispondente alla posizione di massima compressione della molla. Chiamando d la distanza percorsa da M per comprimere la molla di x 0, otteniamo: O θ d A h E A =Mgh=Mgdsen θ E O = 1 2 K Δx 0 2 Imponiamo la conservazione dell energia meccanica: E O =E A Mgdsenθ= 1 2 K Δx 0 2 Quindi: d= K Δx 2 0 =4. 08 m 2 Mgsen θ h=dsenθ=2. 04 m 6
Svolgimento esercizio 2 (2) (b) Consideriamo l istante immediatamente precedente a quello di contatto con la molla; in tale situazione la molla è a riposo: 0 x 0 B h A h L altezza di M rispetto al livello 0 in questo caso è: E A =Mgh=Mgdsen θ h'=δx 0 sen θ=1m Calcoliamo l energia meccanica totale di M nei punti A e B: θ E B = 1 2 Mv 2 B Mgh'= 1 2 Mv 2 B Mg Δx 0 senθ Imponiamo la conservazione dell energia: Quindi: = 1 2 Mv 2 B Mgh'=Mgh v B E B E A 2 Mg h h' M =4.5 m s 7
Esercizio n 3 Un corpo puntiforme di massa m = 100 g è appoggiato ad una molla di costante elastica K = 100 N/m, compressa rispetto alla sua lunghezza a riposo, e tenuto fermo. Corpo e molla sono posti su un piano orizzontale liscio Raccordato nel punto A con una guida circolare verticale di raggio r = 80 cm, come in figura, a cui il corpo è vincolato (non può cadere). Ad un certo istante si lascia libero il corpo. Calcolare: a) la compressione della molla tale che il corpo possa raggiungere B; b) la velocità del corpo in A; c) l espressione dell accelerazione del corpo in un generico punto della guida circolare; d) la reazione vincolare nel punto A e nel punto B. P DATI: m = 100 g K = 100 N/m r = 80 cm V 0 = 0 m/s a)? x molla tale che m arrivi in B b)? v A c)? espressione a(p) d)? N A, N B 8
z Svolgimento esercizio 3 (1) a) Il problema va risolto energeticamente: B x r O A Calcoliamo l energia meccanica totale del punto materiale di massa m nei punti 0, A e B: E O =E pel. = 1 2 K Δx 2 E A =E k = 1 2 mv 2 A E B =E pgrav =mg 2r. L energia meccanica totale si deve conservare, dato che non ci sono in gioco forze non conservative: E 0 E A E B Per calcolare x basta prendere l uguaglianza: 1 2 K Δx 2 =2 mgr E 0 E B Δx= 4 mgr K =0. 18 m 9
Svolgimento esercizio 3 (2) b) Per risolvere il secondo punto sfruttiamo sempre la conservazione dell energia meccanica ed utilizziamo la seguente uguaglianza: E A E B 1 2 mv 2 A=2 mgr v A = 4 gr=5.6 m s c) Consideriamo un generico punto P della guida circolare, la cui posizione è individuata dall angolo θ: a N a t N P L equazione dinamica di m in P è: P N=m a che in componenti diventa: P { u r N mg cosθ=ma N u t mgsenθ=ma t Facilmente si ricava: { a N= N mgcosθ m a t = gsenθ Poiché il moto è su una circonferenza di raggio r: { a v 2 N= r a t = gsenθ 10
Svolgimento esercizio 3 (3) Quindi: a θ = a 2 N a 2 t = N mgcos θ m 2 gsenθ 2 = v2 r 2 gsenθ 2 d) Per calcolare il valore delle reazioni vincolari nei punti A e B, valutiamo l'espressione della reazione vincolare in un punto qualunque della guida. Dalla conservazione dell'energia otteniamo: E tot =E B 1 2 mv2 mgr 1 cos =mg 2r m v2 r La componente radiale della risultante delle forze agenti è pari alla forza centrifuga: Da cui si ottiene: N =mg cos mv2 r =2mg 1 cos N P N =N mg cos = mv2 r =mg 2 3 cos =0 N A =5m g=4.9 N = N B = m g= 0.98 N 11
Svolgimento esercizio 3 (4) Data la formula precedente della reazione vincolare si ha che essa si annulla in: 0 N 0 =0 cos 0 = 2 3 0=131.8 Per angoli inferiori a 0 si ha che la reazione vincolare è verso l'interno della circonferenza, per angoli superiori a 0 si ha che la reazione vincolare è verso l'esterno. Ciò avviene perchè il corpo è vincolato alla guida. Se non fosse vincolato il corpo si staccherebbe dalla guida in 0 e procederebbe con una traiettoria parabolica.
Esercizio n 4 Su un piano orizzontale privo di attrito è inizialmente fermo un cuneo di massa M = 2 kg, la cui sezione è costituita da due segmenti di lunghezza l = 60 cm e da un arco di cerchio di raggio R. Un corpo di massa m = 0.5 kg viene lanciato contro il cuneo lungo il piano orizzontale. Determinare: a) la minima velocità che deve avere il corpo m per arrivare nel punto P ad un altezza l/2 rispetto al piano; b) la velocità del cuneo nel momento in cui m raggiunge P. M m DATI: M = 2 kg (cuneo) m = 0.5 kg (corpo) l = 60 cm (a)? V min tale che m arrivi in P ad altezza l/2 (b)? Velocità di M 13
Svolgimento esercizio 4 (1) (a) Abbiamo un sistema a due corpi. Si devono conservare sia la quantità di moto che l energia totale del sistema: Situazione iniziale: p i = p m p M = p m =m v m p m =mv m E i =E k E k =E k = 1 m M m 2 mv 2 m Situazione finale: il sistema cuneo + corpo si muove con velocità : p f = m M v f E f =E k sistema E pot m = 1 2 m M v f 2 mg l 2 Quindi, conservando la quantità di moto e l energia totale del sistema, otteniamo: v f { mv m= m M v f 1 2 mv 2 m= 1 2 m M v 2 f mg l 2 (1) (2) 14
Svolgimento esercizio 4 (2) Dalle equazioni (1) e (2) possiamo ricavare sia la velocità v m che v f v f = mv m m M 2 1 2 mv 2 m= 1 2 m M m 2 2 v m m M mg l 2 2 Dalla (1) ricaviamo: Di conseguenza si ricava: v m = gl m M M =2.7 m s v f = m m M v m =0. 54 m s 15
Esercizio n 5 Tarzan, che pesa 688 N, salta da una roccia appeso a una provvidenziale liana lunga 18m. Dall alto della roccia al punto più basso della sua oscillazione cala di 3,2 m. La liana è soggetta a rompersi se la tensione su di essa supera 950 N. Arriverà a rompersi? Se sì, indicare a quale angolo rispetto alla verticale si rompe. Se no, calcolare la massima tensione che deve sopportare. DATI: P = 688 N l = 18 m h= 3.2 m Se T> T 0 la liana si spezza T 0 = 950 N a) La liana si spezza Si a quale angolo No T max 16
Svolgimento esercizio 5 (1) (a) Lo schema dell esercizio è il seguente, avendo fissato come livello 0 per l energia potenziale il livello più basso dell oscillazione di Tarzan: O E i =E pgrav = Mg Δh E P = E pgrav E cin. =Mgh P 1. 2 Mv 2 p h A P h P B l dove: h P =l l cosθ=l 1 cos θ Quindi conservando l energia totale del sistema, otteniamo: E iniz =E P Mg Δh=Mgh P 1 2 Mv 2 p v p 2 =2g [ Δh l 1 cosθ ] 17
Svolgimento esercizio 5 (2) A questo punto calcoliamo la tensione della liana. Possiamo eguagliare la componente radiale della risultante delle forze agenti su M alla forza centripeta: T P P Quindi: P θ O B l T P Mgcos θ=f centr =M v 2 P l e sostituendo l espressione trovata di v P otteniamo: T P = 2 Mg l Il valore massimo della tensione si ottiene quando: dt dθ 2Δh T max =T θ=0 =Mg 1 l [ Δh l cosθ 1 ] Mg cosθ =0 3 Mgsen θ=0 θ=0 =P 2Δh 1 l Posizione verticale =932, 6N La liana non si spezza poiché T max < T 0 18
Esercizio n 6 Un corpo inizialmente in quiete, viene lasciato scivolare senza attrito lungo una guida circolare di raggio R che termina con un tratto rettilineo lungo il quale il corpo procede con un attrito dinamico d per un tratto D = 10 m, al termine del quale si trova una nuova guida circolare di raggio r=r -1 m lungo la quale il corpo procede senza attrito, Sapendo che il corpo imbocca il tratto orizzontale dopo aver percorso la prima guida circolare per un quarto di cerchio e che ha velocità nulla nel momento in cui ha percorso la seconda guida per un quarto di cerchio, calcolare il coeficente di attrito dinamico d. R r DATI: R r = R -1 D = 10 m? d D
Svolgimento esercizio 6 (1) A R D r B Definiamo il punto A come il punto in cui inizia la guida orizzontale ed il punto B dove essa termina. Per la conservazione dell'energia meccanica, sulle guide circolari lisce si ha: E ka =mgr= 1 2 mv 2 A E kb =mgr= 1 2 mv 2 B Lungo il tratto rettilineo le forze agenti sono: P N F ad =m a { F x = F a = d N= m a F y =N P=0 N=P=mg
Svolgimento esercizio 6 (2) W AB = A B F ad ds= 0 D ad N dx= ad m g D Poiche il lavoro della forza di attrito è pari alla variazione di energia cinertica, risulta allora: W AB = ad m g D=E kb E ka = 1 2 m v 2 B v 2 A =mg r R ad = R r D =0.1
Esercizio n 7 Un blocco di massa m = 0.3 kg si sulla sommità di una guida circolare di raggio R = 2.2 m. Nell istante t = 0 il blocco ha la velocità v 0 = 5.8 m/s e comincia a scendere lungo la guida, cui è vincolato. Nella prima metà la guida oppone al moto una forza tangenziale di attrito con modulo costante F = 3.1 N, nella seconda metà la guida è liscia. Calcolare la reazione della guida nell istante in cui il blocco passa nella posizione individuata dall angolo = 30 DATI: m = 0,3 kg (corpo) R = 2,2 m t=0 V 0 = 5,8 m/s F tang. attrito: F=3,1N =30? Reazione vincolare in P 22
Svolgimento esercizio 7 (1) (a) Lo schema dell esercizio è il seguente, avendo fissato come livello 0 per l energia potenziale quello in figura: A E iniz = E pgrav E cin =mg 2R 1 2 mv 2 0 B P W = AP A B F attr ds= A E P = E pgrav E cin. =mgh P 1. 2 mv 2 p dove: h P =R R cos θ=r 1 cosθ L energia non si conserva dato che tra A e B interviene una forza tangenziale di attrito non conservativa. La variazione di energia tra O e P è uguale al lavoro della forza di attrito nello stesso tratto. E P E iniz =W AP F attr ds= F 1 4 2πR = 1 2 π RF poiché la forza di attrito interviene solo nel tratto A-B 23
Svolgimento esercizio 7 (2) Quindi: E P E iniz =W AP mgr 1 cosθ 1 2 mv 2 P 2 mgr 1 2 mv 2 0= 1 2 π RF Calcoliamo la reazione normale della guida nel punto P. Possiamo eguagliare la componente radiale della risultante delle forze alla forza centripeta: P P v P 2 =v 0 2 2 gr 1 cos θ π RF m θ N P O N = mv 2 0 P R v P=6.54m/ s N P mg cosθ=f centr =m v 2 P R E sostituendo l espressione di v P otteniamo: mg 2 3 cosθ πf=8,37 N La reazione vincolare è verso l'alto, poiché il corpo è vincolato alla guida 24