24txtI:GIAMBATTISTA 14-12-2007 12:06 Pagina 943 Capitolo 24 La fisica nucleare Forze fondamentali (Paragrafo 2.9) Funzioni esponenziali (Appendice A.3, Paragrafo 17.10) Concetti da rivedere 24.1 LA STRUTTURA NUCLEARE Nell atomo gli elettroni sono legati elettricamente a un nucleo carico positivamente. Il nucleo ha una massa alcune migliaia di volte maggiore di quella degli elettroni e occupa solo una piccola frazione del volume dell atomo (circa 1 parte su 10 12 o meno). La massa e il volume del nucleo producono degli effetti trascurabili sulla configurazione elettronica e dunque sulle proprietà chimiche degli atomi. Tuttavia, il nucleo ha una struttura complessa che si manifesta nel decadimento radioattivo e nelle reazioni nucleari. Il nucleo è un insieme di protoni e neutroni, chiamati anche nucleoni (particelle che si trovano nel nucleo) legati tra di loro. Il numero atomico Z è il numero di protoni presenti nel nucleo e ciascun protone ha una carica +e mentre il neutrone non possiede carica. Dunque la carica del nucleo è +Ze. Il numero di elettroni in un atomo neutro è uguale al numero di protoni, cioè al numero atomico Z che determina anche l elemento o specie chimica. Una volta si credeva che tutti gli atomi di un dato elemento fossero uguali; tuttavia ora sappiamo che di uno stesso elemento esistono differenti isotopi. Gli isotopi di un elemento hanno nel nucleo lo stesso numero di protoni ma hanno masse differenti poiché il numero di neutroni (N) è diverso e, dunque, il numero totale di nucleoni differisce da un isotopo all altro. Il numero di nucleoni A è il numero totale di protoni e neutroni: A = Z + N (24-1) Il nucleo di un determinato elemento è spesso chiamato nuclide ed è caratterizzato dall avere dei ben precisi valori di A e Z. Il numero di nucleoni A è anche chiamato il numero di massa in quanto quasi tutta la massa di un atomo si trova nel nucleo. Dato che la massa del protone è quasi uguale alla massa del neutrone possiamo affermare che la massa atomica è all incirca proporzionale al numero di nucleoni. Poiché le masse degli isotopi di un elemento sono diverse, gli isotopi possono esseri separati usando uno spettrometro di massa (Paragrafo 18.3). La differenza di massa degli isotopi non ha generalmente effetto sulle proprietà chimiche dei diversi elementi ma attribuisce spesso proprietà nucleari molto diverse. Il numero di neutroni presenti influisce su quanto saldamente i nucleoni sono legati cosicché alcuni atomi sono stabili mentre altri sono instabili (radioattivi). I livelli energetici nucleari, le vite medie e il decadimento radioattivo caratterizzano ogni particolare nu-
24txtI:GIAMBATTISTA 14-12-2007 12:06 Pagina 944 944 Capitolo 24 La fisica nucleare clide; le proprietà appena elencate sono molto diverse anche per gli isotopi dello stesso elemento. Per distinguere i vari nuclidi vengono usate specifiche notazioni. Per esempio, il simbolo chimico O sta per l elemento ossigeno che ha il nucleo formato da 8 protoni e 8 neutroni. Per indicare un particolare isotopo dell ossigeno bisogna specificare anche il numero di massa; per esempio per l isotopo dell ossigeno con A = 18 possiamo trovare la seguente notazione: Ossigeno-18, O-18, O 18 e 18 O. Qualche volta è utile includere anche il numero atomico anche se può essere ridondante in quanto, come abbiamo appena visto, l ossigeno per definizione ha 8 protoni. La notazione in questo caso diventa: 18 8O; oppure troviamo in qualche testo più vecchio 8 O 18. Esempio 24.1 Trovare il numero di neutroni Quanti neutroni sono presenti nel nucleo di 18 O? Impostazione L apice fornisce il numero di nucleoni (A) mentre consultando una tavola periodica possiamo trovare il numero atomico (Z) per l ossigeno. Il numero di neutroni è N = A Z. Soluzione Un nucleo di 18 O ha 18 nucleoni. L ossigeno ha numero atomico pari a 8, e quindi ci sono 8 protoni nel nucleo. Dunque otteniamo 18 8 = 10 neutroni. Discussione Differenti isotopi dell ossigeno hanno un diverso numero di neutroni ma sempre lo stesso numero di protoni. Problema di verifica 24.1 l elemento Identificare Scrivi il simbolo (nella forma A ZX) per il nuclide con 44 protoni e 60 neutroni e identifica l elemento. Tabella 24.1 Masse e cariche del protone, neutrone ed elettrone Particella Massa (u) Carica Protone 1.007 276 5 +e Neutrone 1.008 664 9 0 Elettrone 0.000 548 6 e Di solito è più conveniente scrivere la massa di un nucleo, invece che in kg, in unità di massa atomica. Il simbolo moderno per l unità di massa atomica è u mentre nella letteratura meno recente spesso si trova amu. L unità di massa atomica è definita esattamente come 1 12 della massa dell atomo neutro di 12 C. Il fattore di conversione tra u e kg è 1 u = 1.660 539 10 27 kg (24-2) I nucleoni hanno massa approssimativamente pari a una unità di massa atomica (1 u) mentre l elettrone ha una massa molto inferiore (Tab. 24.1). Dunque la massa del nucleo equivale all incirca a quella dell intero atomo ed è approssimativamente A unità di massa atomiche questo giustifica il fatto che A venga chiamato numero di massa atomica. Esempio 24.2 Calcolare la massa Calcola la massa in kg di una mole di 14 C. Impostazione Possiamo stimare 1 u di massa per ciascun nucleone e ignorare la massa, relativamente piccola, degli elettroni. Una mole contiene un numero di atomi pari al numero di Avogadro. Poi convertiamo gli u in kg. Soluzione Un nucleo di 14 C ha 14 nucleoni e quindi la massa dell atomo di 14 C è all incirca di 14 u. Una mole contiene un numero di atomi pari al numero di Avogadro e dunque la massa di una mole è all incirca M = N A m = 6.02 10 23 14 u = 8.4 10 24 u Ora, convertiamo in kg: 8.4 10 24 u 1.66 10 27 kg/u = 0.014 kg Discussione Nota che la massa di una mole di un isotopo con numero di massa 14 è all incirca 14 g. L unità di massa atomica è definita in modo tale che
24txtI:GIAMBATTISTA 14-12-2007 12:06 Pagina 945 24.1 La struttura nucleare 945 Esempio 24.2 Continua la massa di un atomo espressa in u sia numericamente uguale alla massa di una mole di atomi espressa in grammi. La massa di un nucleo non è esattamente uguale ad A unità di massa atomiche per due ragioni. Le masse del protone e del neutrone non sono esattamente uguali a 1 u. Ma anche se lo fossero, come vedremo nel Paragrafo 24.2, la massa del nucleo è minore della somma delle masse dei protoni e neutroni che lo costituiscono. Problema di verifica 24.2 massa di un nucleo in u Stimare la Approssimativamente qual è la massa in u di un nucleo di ossigeno che ha nove neutroni? La massa atomica di un dato elemento della tavola periodica è una media delle masse di tutti gli isotopi di quell elemento pesata sulle relative abbondanze percentuali presenti in natura. In fisica nucleare dobbiamo consultare una tavola dei nuclidi (Appendice B) per conoscere le masse di uno specifico nuclide. Le dimensioni dei nuclei Come facciamo a conoscere le dimensioni dei nuclei? La prima evidenza sperimentale della presenza dei nuclei atomici è dovuta all esperimento di Rutherford, nel quale un fascio di particelle alfa entrano in collisione con i nuclei contenuti in una sottile lamina d oro. Analizzando il numero di particelle alfa deviate ai diversi angoli è possibile stimare le dimensioni del nucleo dell oro. Recentemente, utilizzando elettroni molto energetici (ovvero con una lunghezza d onda associata molto corta), è possibile determinare non solo la dimensione del nucleo ma anche estrarre informazioni sulla sua struttura interna. Questi e altri esperimenti mostrano che la densità di massa di tutti i nuclei è approssimativamente la stessa e quindi il volume di un nucleo è proporzionale alla sua massa. Immagina che un nucleo sia come un contenitore sferico pieno di palline rigide (Fig. 24.1); ciascuna pallina rappresenta un nucleone. I nucleoni sono strettamente impacchettati assieme quasi a toccarsi uno con l altro. Sia la massa sia il volume del nucleo sono proporzionali al numero di nucleoni e quindi la massa per unità di volume (la densità ρ) è all incirca indipendente dal numero di nucleoni. Se m è la massa di un nucleone, V il suo volume e A il suo numero di massa allora m A e V A Protone 1 H 1 4 He 2 Neutrone 8 3 4 6 Kr Figura 24.1 Modello semplificato di un nucleo visto come una serie di sfere rigide (rappresentanti i nucleoni) impacchettate tra loro in una sfera. r = m è indipendetnte da A V La maggior parte dei nuclei hanno una forma all incirca sferica e quindi V = 4 3 pr3 A r 3 A o r A 1/3 (24-3) Il raggio di un nucleo è proporzionale alla radice cubica del suo numero di massa. Sperimentalmente si vede che questo è una costante che vale approssimativamente 1.2 10 15 m: Raggio di un nucleo: r = r 0 A 1/3 (24-4) r 0 = 1.2 10 15 m = 1.2 fm (24-5) Nel SI il prefisso f- sta per femto chiamato anche fermi in onore al fisico italiano Enrico Fermi (1901-1954): per esempio fm sta per 1 10 15 m. Il raggio nucleare varia da 1.2 fm (per A = 1) a 7.7 fm (per A 260).
24txtI:GIAMBATTISTA 14-12-2007 12:06 Pagina 946 946 Capitolo 24 La fisica nucleare Anche se la densità dei vari nuclei è all incirca la stessa, quella dei loro atomi è diversa. Gli atomi più pesanti sono generalmente più densi rispetto agli atomi più leggeri. L andamento con cui aumenta il volume di un atomo è diverso da quello con cui aumenta la massa. Gli atomi più grandi (e più pesanti) hanno più elettroni ma questi elettroni sono in media più strettamente legati a causa della maggiore carica del nucleo. Esempio 24.3 Raggio e volume di un nucleo di bario Qual è il raggio e quale il volume di un nucleo di bario-138? Impostazione Per trovare il raggio di un nucleo, tutto quello che dobbiamo conoscere è il numero di massa A che in questo caso è 138. Per trovare il volume approssimiamo il nucleo a una sfera. Soluzione Per trovare il raggio applichiamo l Equazione (24-4) sostituendo A = 138: r = r 0 A 1/3 r = 1.2 fm 138 1/3 = 6.2 fm Il volume approssimato del nucleo è V = 4 3 pr 3 Elevando al cubo l Equazione (24-4) r 3 = r 3 0 A Dunque, il volume di un nucleo è all incirca V = 4 3 pr 3 0 A Ora, sostituendo i valori numerici: V = 4 3 p (1.2 10 15 m) 3 138 = 1.0 10 42 m 3 Discussione Il raggio (6.2 fm) sta all interno dell intervallo 1.2 fm-7.7 fm. L equazione V = 4 3 pr 3 0 A dice che il volume di un nucleo è proporzionale al numero di nucleoni (A) come previsto; ciascun nucleone occupa un volume di 4 3 pr 3 0. Problema di verifica 24.3 nucleo di radio Volume di un Qual è il volume di un nucleo di radio-226? 24.2 L ENERGIA DI LEGAME Che cosa tiene legati tra loro i nucleoni all interno del nucleo? La forza gravitazionale è troppo debole mentre la forza elettrica che s instaura tra i protoni è di tipo repulsivo e tenderebbe a sfaldare il nucleo. I nucleoni sono tenuti assieme dalla forza nucleare forte, una delle quattro forze fondamentali descritte nel Paragrafo 2.9. La forza forte non fa molta distinzione tra protoni e neutroni e diversamente dalla forza di gravità e da quella elettromagnetica, la forza nucleare forte ha un raggio d azione estremamente corto. La forza gravitazionale così come quella elettromagnetica hanno raggi d azione infiniti poiché l intensità della forza tra due oggetti puntiformi decresce con la distanza con l andamento di 1/r 2 e si annulla per distanze r infinite. Al contrario, la forza nucleare forte tra due nucleoni è presente solo per distanze minori di 3.0 fm. Dato che la forza nucleare forte ha un raggio d azione corto, un nucleone risente solamente della forza esercitata dai nucleoni più vicini, mentre ogni protone nel nucleo respinge tutti gli altri protoni poiché la repulsione elettrica non ha un raggio limitato. Queste due forze in competizione (forza nucleare forte e forza di repulsione elettrica) determinano la stabilità dei nuclei. Il concetto di energia di legame permette d interpretare la coesione nucleare in termini d energia piuttosto che di forze attrattive. L energia di legame e il difetto di massa L energia di legame E B di un nucleo è l energia che dev essere fornita per separare un nucleo nei suoi singoli componenti: protoni e neutroni. Poiché il nucleo è un sistema di nucleoni legati, la sua energia totale è minore dell energia posseduta dai singoli Z protoni e N neutroni isolati e a riposo.
24txtI:GIAMBATTISTA 14-12-2007 12:06 Pagina 947 24.2 L energia di legame 947 Energia di legame: E B = (energia totale dei Z protoni e N neutroni) (energia totale del nucleo) (24-6) Il concetto di energia di legame si applica in generale ai sistemi legati e quindi anche ai nuclei. L energia totale di un protone e di un elettrone isolati è di 13.6 ev maggiore dell energia delle due paticelle legate assieme a formare l atomo d idrogeno (nel suo stato base non eccitato). Questo sta a indicare che l energia di legame di un atomo d idrogeno è di 13.6 ev. Per la determinazione dell energia di legame dei nuclei è necessario introdurre il concetto di equivalenza tra massa ed energia. Ovvero che la massa di una particella è una misura della sua energia a riposo energia totale di una particella in un sistema di riferimento in cui la sua velocità è nulla: E 0 = mc 2. La massa del nucleo è minore della somma delle masse dei protoni e neutroni che lo costituiscono, la differenza è chiamata difetto di massa m. Anche l energia a riposo di un nucleo; è minore dell energia a riposo dei protoni e dei neutroni in esso contenuti. La differenza di energia è l energia di legame del nucleo: infatti è l energia necessaria per frantumare un nucleo in particelle elementari ovvero in Z protoni e N neutroni tra loro isolati. Il difetto di massa è legato all energia di legame attraverso l equazione E 0 = mc 2. Difetto di massa ed energia di legame: m = (massa dei Z protoni e degli N neutroni) (massa del nucleo) (24-7) E B = ( m)c 2 (24-8) L unità di misura dell energia comunemente utilizzata in fisica nucleare è il MeV. Quando nell Equazione (24-8) si usa il MeV per l energia e l unità di massa atomica per la massa è conveniente conoscere il valore di c 2 espresso come MeV/u. Si può vedere (Problema 10) che c 2 = 931.494 MeV/u (24-9) Le tabelle riportate nell Appendice B forniscono le masse degli atomi neutri (elettroni e nucleo). Per trovare la massa del solo nucleo è necessario sottrarre la massa di Z elettroni. L energia di legame degli elettroni è molto più piccola e può essere trascurata. Esempio 24.4 Energia di legame di un nucleo di azoto-14 Trova l energia di legame del nucleo di 14 N. Impostazione Dall Appendice B, la massa di un atomo di 14 N è 14.003 074 0 u. La massa dell atomo di N include la massa di sette elettroni. Sottraendo 7 m e dalla massa dell atomo otteniamo la massa del nucleo. Dopodiché possiamo trovare il difetto di massa e l energia di legame. Soluzione La massa di 14 N = 14.003 074 0 u 7m e = 14.003 074 0 u 7 0.000 548 6 u = 13.999 233 8 u Il nucleo di 14 N ha sette protoni e sette neutroni. Il difetto di massa è m = (massa dei 7 protoni e dei 7 neutroni) (massa del nucleo) =7 1.007 2765u+7 1.0086649u 13.9992338u = 0.112 356 0 u
24txtI:GIAMBATTISTA 14-12-2007 12:06 Pagina 948 948 Capitolo 24 La fisica nucleare Esempio 24.4 Continua L energia di legame è dunque, E B = ( m)c 2 = 0.112 356 0 u 931.494 MeV/u = 104.659 MeV Discussione L energia della massa a riposo degli elettroni è così piccola che può essere trascurata e quindi possiamo assumere che la massa del nucleo sia uguale alla massa dell intero atomo. Possiamo così calcolare il difetto di massa usando la massa dell atomo d azoto invece del solo nucleo d azoto e la massa dell atomo d idrogeno al posto della massa del protone. Visto che i protoni sono 7, le masse dei 7 elettroni si sottraggono: m = (massa dei 7 atomi di 1 H e dei 7 neutroni) (massa dell atomo di 14 N) =7 1.0078250u+7 1.0086649u 14.0030740u = 0.112 355 3 u Problema di verifica 24.4 di legame dell azoto-15 Energia Calcola l energia di legame del nucleo di 15 N. La massa del nucleo di 15 N è 14.996 269 u. [Suggerimento: Questa volta ti è stata fornita la massa del nucleo, non la massa dell atomo.] Figura 24.2 Andamento dell energia di legame per nucleone (E B /A) per i nuclidi più stabili in funzione del numero A di nucleoni. I diversi punti rappresentano l energia per nucleone di elementi con A < 100, una curva continua rossa esprime il suo andamento complessivo. (Gli elementi con A > 100 sono omessi poiché differiscono poco dai valori dati dalla curva rossa). 28Ni 62 ha l energia di legame per nucleone maggiore (8.795 MeV), seguito da 26Fe 58 e da 26Fe 56 (rispettivamente 8.792 MeV e 8.790 MeV). Gli elementi 4 2He, 12 6C e 16 8O stanno significativamente sopra alla curva rossa questi nuclidi sono particolarmente stabili confrontati con i nuclidi che hanno valori di massa atomica A simile. La curva dell energia di legame La Figura 24.2 mostra un grafico dell energia di legame per nucleone in funzione del numero di massa. Ricorda che la forza nucleare forte lega solamente i nucleoni più vicini. Poiché nei nuclidi più leggeri il numero medio di nucleoni vicini è piccolo, l energia di legame è bassa. Con l aumentare del numero di nucleoni la curva cresce fino a circa 8.8 MeV; l energia di legame per nucleone aumenta in quanto il numero medio dei nucleoni vicini è grande. Questo fatto causa un rapido aumento dell energia di legame per nucleone all aumentare di A. Una volta che i nuclei hanno raggiunto una certa dimensione (all incirca le dimensioni del nucleo di Ni o di Fe), tutti i nucleoni hanno lo stesso numero medio di vicini a eccezione di quelli che si trovano nella corteccia esterna del nucleo. Aumentando ulteriormente il numero di nucleoni l energia di legame media per nucleone non cresce più in quanto i nucleoni risentono all incirca della stessa forza nucleare (hanno lo stesso numero di nucleoni vicini). Aggiungere nucleoni ai nuclei con A 60 provoca una lieve decrescita dell energia media per Energia di legame per nucleone (MeV) 16 O 12 C 8 4 He 7 6 5 4 3 2 1 3 He 2 H 7 Li 6 Li 0 0 50 100 150 Numero di nucleoni (A) 200
24txtI:GIAMBATTISTA 14-12-2007 12:06 Pagina 949 24.3 Radioattività 949 120 110 100 Z (numero di protoni) 90 80 70 60 50 40 30 20 10 N = Z Stabile Decadimento principale: a b Cattura elettronica (o b + ) Fissione spontanea 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 N (Numero di neutroni) Figura 24.3 Carta dei nuclidi più comuni. I nuclidi stabili sono rappresentati in colore verde. Nota la tendenza ad aumentare il rapporto N/Z per i nuclidi stabili. nucleone. L energia di legame per nucleone assume valori compresi tra 7-9 MeV a eccezione dei nuclei più leggeri. Nell Esempio 24.4 abbiamo trovato che l energia di legame di 14 N è 104.659 MeV. L energia di legame per nucleone di 14 N è 1 04. 659 MeV = 7.475 64 MeV/nucleone 14 nucleoni I nuclidi che hanno A 60 sono quelli maggiormente legati con un energia di legame di circa 8.8 MeV/nucleone. Per i nuclidi più pesanti la repulsione coulombiana tra i protoni diventa molto grande e per dare stabilità ai nuclei serve un numero di neutroni maggiore del numero di protoni (N > Z). La forza nucleare forte vince la repulsione coulombiana dei protoni e dà stabilità al nucleo. D altra parte c è un limite all eccesso di neutroni: i neutroni hanno una massa leggermente maggiore di quella dei protoni e dunque se c è un forte eccesso di neutroni la massa (e quindi l energia) del nucleo è più alta di quella che avrebbe se uno o più neutroni fossero protoni. La Figura 24.3 mostra il grafico del numero di protoni (Z) in funzione del numero di neutroni (N) per i nuclidi presenti in natura; quelli stabili sono rappresentati in verde. Per i nuclidi più leggeri si ha N Z ma quando il numero dei nucleoni (A = Z + N) aumenta la curva di stabilità si abbassa e il numero di neutroni aumenta più velocemente del numero di protoni. I nuclidi stabili più pesanti hanno un numero di neutroni che è circa 1.5 volte quello dei protoni. 24.3 RADIOATTIVITÀ Henri Becquerel (1852-1908) scoprì la radioattività nel 1896 quando, quasi per caso, trovò che un sale di uranio emetteva spontaneamente radiazioni in grado d impressionare una lastra fotografica avvolta in un foglio opaco. I nuclidi possono essere divisi in due grandi categorie: nuclidi stabili o nuclidi instabili altrimenti detti radioattivi. Un nuclide instabile decade avviene una reazione nucleare spontanea con emissione di radiazioni. (La radiazione emessa può essere elettromagnetica o corpuscolare). A seconda del decadimento il nuclide padre si può trasformare in un nuclide differente per esempio con una diversa carica o con un diverso numero di nucleoni. Studiando la radioattività si sono identificati tre diversi tipi di radiazione emessa dai nuclei radioattivi: la radiazione alfa, la radiazione beta e la radiazione gamma (dalle prime tre lettere dell alfabeto greco). Questa distinzione si basa sulle di-
24txtI:GIAMBATTISTA 14-12-2007 12:06 Pagina 950 950 Capitolo 24 La fisica nucleare Alfa Beta Gamma Mano Figura 24.4 Le radiazioni alfa, beta e gamma differiscono (a) sia per le diverse capacità di penetrare la materia sia per (b) la loro diversa carica elettrica. Blocco di cemento 1 m (a) Sorgente radioattiva Piombo schermante Linee di campo magnetico (b) verse capacità di penetrare nella materia (Fig. 24.4). La radiazione alfa è quella meno penetrante; essa riesce a percorrere pochi centimetri d aria e viene completamente bloccata dalla superficie della nostra pelle o da un sottile foglio di carta. La radiazione beta può fare un percorso maggiore in aria (circa un metro) e può attraversare anche la nostra mano o un sottile foglio di metallo. La radiazione gamma è decisamente più penetrante sia di quella alfa che di quella beta. Dei 1500 nuclidi conosciuti solo il 20% è stabile. Tutti i nuclidi più pesanti (quelli con Z > 83) sono radioattivi. I nuclei stabili rimangono tali per sempre senza subire decadimenti spontanei, invece i nuclidi radioattivi decadono e hanno una vita media che li caratterizza. Le vite medie possono essere molto diverse e variano in un intervallo molto grande che va da circa 10 22 s (all incirca il tempo che impiega la luce a percorrere una distanza uguale al diametro di un nucleo) a 10 28 s (10 10 volte l età dell universo). a g b Le leggi di conservazione nel decadimento radioattivo Nelle reazioni nucleari, la carica elettrica totale si conserva così come si conserva il numero totale di nucleoni. Una reazione nucleare si bilancia applicando queste due leggi di conservazione. Per bilanciare una reazione nucleare è utile scrivere i simboli di tutte le particelle coinvolte (elettroni, positroni e neutroni) come se fossero dei nuclei, ossia con l apice per il numero di nucleoni e il pedice per la carica elettrica in unità di e (vedi Tab. 24.2). Allora la reazione è bilanciata rispetto al numero di nucleoni se la somma degli apici è la stessa in entrambi i lati, mentre è bilanciata rispetto alla carica se la somma dei pedici è la stessa in entrambi i lati. Un altra legge di conservazione molto importante nel decadimento radioattivo è quella dell energia ovvero: l energia di tutte le reazioni nucleari si conserva. Come può un nucleo, senza energia cinetica, decadere lasciando i prodotti della rea- Tabella 24.2 Particelle generalmente coinvolte nel decadimento radioattivo e altre reazioni nucleari Nome particella Simboli Carica (in unità di e) Numero di nucleoni Elettrone e, β, 0 1 e 1 0 Positrone e +, β +, 0 +1 e +1 0 Protone p, 1 1 p, 1 1 H +1 1 Neutrone n, 1 0 n, 0 1 Particella alfa α, 2 4 α, 4 2 He +2 4 Fotone γ, 0 0 γ 0 0 Neutrino ν, 0 0 ν 0 0 Antineutrino ν, 0 0 ν 0 0
24txtI:GIAMBATTISTA 14-12-2007 12:06 Pagina 951 24.3 Radioattività 951 zione con energie cinetiche non trascurabili? Da dove proviene questa energia? In una reazione nucleare spontanea, parte dell energia a riposo del nucleo radioattivo viene convertita in energia cinetica delle particelle o dei nuclidi prodotti. La quantità di energia a riposo può essere convertita anche in energia di disintegrazione. Per aumentare l energia cinetica del sistema dev esserci una corrispondente diminuzione dell energia a riposo. La massa totale dei prodotti dev essere minore della massa del nucleo radioattivo originario affinché questo nucleo decada spontaneamente. In altre parole, i prodotti della reazione devono essere più fortemente legati del nucleo originario. L energia di disintegrazione è la differenza tra l energia di legame del nucleo radioattivo e l energia di legame totale dei prodotti della reazione. Energia di disintegrazione = energia di legame del nucleo radioattivo energia di legame totale dei prodotti del decadimento. Il decadimento alfa La radiazione alfa è costituita da nuclei di 4 He. Il nucleo di elio è formato da due protoni e due neutroni fortemente legati. La massa di una particella alfa è 4.001 506 u mentre la sua carica è pari a +2e. Nel decadimento alfa il nuclide originario (padre) si trasforma in un altro nuclide, chiamato figlio, con l emissione di una particella alfa. Bilanciando la reazione si vede che il nuclide figlio ha un numero di nucleoni ridotto di quattro e il numero di carica ridotto di due. Chiamando P il nuclide padre e D il nuclide figlio la reazione spontanea nella quale viene emessa una particella alfa è: Decadimento alfa: A ZP A Z 2D 4 + 4 2a (24-10) Esempio 24.5 Un decadimento alfa Il polonio-210 decade attraverso un decadimento alfa. Identifica il nuclide figlio. Impostazione Per prima cosa guarda il numero atomico del polonio nella tavola periodica. Poi scrivi la reazione nucleare con un nuclide ignoto e la particella alfa tra i prodotti. Bilanciando la reazione ottieni il valore di Z e A per il nucleo figlio. Soluzione reazione è Il polonio ha numero atomico 84. La 210 84Po A Z(?) + 4 2a dove A e Z sono il numero di nucleoni e il numero atomico del nucleo figlio. Per conservazione della carica 84 = Z + 2 E dunque Z = 82. Per conservazione del numero di nucleoni, 210 = A + 4 E quindi A = 206. Controllando nella tavola periodica l elemento con numero atomico 82 è il piombo. Dunque, il nucleo figlio è il piombo-206 ( 206 82Pb). Discussione Scrivendo per esteso l intera reazione è più facile controllare se si conservano il numero di nucleoni e la carica elettrica totale: 210 84Po 206 82Pb + 4 2a Problema di verifica 24.5 Trovare il nuclide padre conoscendo il figlio Il radon-222, un gas radioattivo che in alcune aree comporta rischi per la salute, è a sua volta prodotto dal decadimento alfa di un altro nuclide. Identifica il nuclide padre. Nel decadimento alfa l energia di disintegrazione è distribuita tra il nucleo figlio e la particella alfa. La conservazione del momento determina esattamente come l energia viene distribuita. Dunque, le particelle alfa rilasciate nel particolare decadimento radioattivo hanno un energia caratteristica (assumendo che l energia cinetica iniziale del nuclide padre sia trascurabile e possa essere considerata nulla).
24txtI:GIAMBATTISTA 14-12-2007 12:06 Pagina 952 952 Capitolo 24 La fisica nucleare L emissione alfa è il decadimento radioattivo più comune per i nuclidi con Z > 83. Poiché nessun nuclide con Z > 83 è stabile, il decadimento alfa porta velocemente il nuclide verso regioni di stabilità, infatti fa aumentare il rapporto neutroni/protoni del nuclide figlio. Per esempio 238 92U ha un rapporto neutroni su protoni di (238-92)/92 = 1.587. Emettendo una particella alfa 238 92U diventa 234 90Th con un rapporto neutroni su protoni più alto: 1.6. Esempio 24.6 Decadimento alfa dell uranio-238 Il nuclide 238 U può decadere emettendo una particella alfa: 238 U 234 Th + a Le masse atomiche di 238 U, di 234 Th e di 4 2He sono rispettivamente 238.050 782 6 u, 234.043 595 5 u e 4.002 603 2 u. (a) Trova l energia di disintegrazione. (b) Trova l energia cinetica della particella alfa assumendo che il nucleo padre 238 U sia inizialmente fermo. Impostazione I calcoli possono essere eseguiti usando le masse atomiche. La massa di 238 92U include 92 elettroni; la somma delle masse degli atomi 234 90Th e 2He 4 includono 90 + 2 = 92 elettroni. Ci aspettiamo che la maggior parte dell energia cinetica vada alla particella alfa poiché la sua massa è molto più piccola di quella del nucleo di torio. La conservazione del momento determina esattamente come l energia si divide tra le due particelle. Soluzione (a) La massa totale del prodotto è 234.043 595 5 u + 4.002 603 2 u = 238.046 198 7 u che è minore della massa del nucleo padre. La differenza di massa è m = 238.046 198 7 u 238.050 782 6 u = 0.004 583 9 u dove m sta per la differenza in massa: massa finale meno massa iniziale. (Quando scriviamo il difetto di massa di un nucleo come m immaginiamo una reazione che separa il nucleo nei suoi costituenti, protoni e neutroni). La diminuzione di massa significa che l energia a riposo diminuisce. Secondo la relazione massa-energia di Einstein la differenza nell energia a riposo è E = ( m)c 2 = 0.004 583 9 u 931.494 MeV/u = 4.2699 MeV Dalla conservazione dell energia, l energia cinetica del prodotto è 4.2699 MeV più dell energia del nuclide padre. L energia di disintegrazione è 4.2699MeV. (b) Assumendo per il momento che il nucleo figlio e la particella alfa possono essere trattati in maniera non relativistica, le loro energie cinetiche sono legate ai loro momenti dalla relazione 2 p K = 2 m La conservazione del momento afferma che i loro momenti devono essere uguali in intensità ma opposti come verso. Dunque, il rapporto delle energie cinetiche è 2 Ka p /( 2ma) = K Th p 2 = m /( 2mTh) m T h = 23 4.043 595 5 = 58.4728 a 4.002 603 2 Le due energie cinetiche sommate danno 4.2699 MeV. K a + K Th = 4.2699 MeV Sostituendo per K Th dal rapporto dell energia cinetica K a + = 4.2699 MeV 58Ḳ 4728 e risolvendo otteniamo K α = 4.1981 MeV. a Discussione La differenza di massa è negativa: la massa totale dopo il decadimento è minore della massa prima del decadimento. Una parte della massa (o meglio, dell energia a riposo) del nucleo di U è convertita in energia cinetica dei prodotti. L energia di disintegrazione è positiva perché è una quantità di energia rilasciata. Poiché l energia cinetica della particella alfa è molto più piccola dell energia a riposo (circa 4 u 931.494 MeV/u 3700 MeV), l espressione non relativistica per l energia cinetica era appropriata. Un calcolo relativistico mostra che la nostra risposta è corretta fino a tre cifre significative. Problema di verifica 24.6 Energia della particella alfa nel decadimento del polonio-210 Trova l energia cinetica della particella alfa emessa dal decadimento del 210 Po: 210 84Po 206 82Pb + a
24txtI:GIAMBATTISTA 14-12-2007 12:06 Pagina 953 24.3 Radioattività 953 Il decadimento beta Le particelle beta sono elettroni o positroni (spesso chiamate particelle beta-meno e beta-più). Nel decadimento beta-meno un elettrone viene emesso e un neutrone del nucleo si trasforma in un protone. Dunque, il numero di massa non cambia e la carica del nucleo aumenta di una unità: Decadimento beta-meno: A ZP Z A +1D + 1e 0 + 0 0n (24-11) Il simbolo ν rappresenta un antineutrino, una particella neutra con massa trascurabile. Nel decadimento beta-più un positrone viene emesso e un protone del nucleo si trasforma in un neutrone. Questa volta la carica del nucleo decresce di uno: Il positrone è l antiparticella dell elettrone; ha la stessa massa dell elettrone ma carica di segno opposto (positiva) +e. Decadimento beta-più: A ZP Z A 1D + +1e 0 + 0n 0 (24-12) Il simbolo +1 0 e rappresenta un positrone emesso mentre il simbolo ν rappresenta un neutrino senza carica e con una massa trascurabile. Il positrone è una particella molto reattiva e, dopo aver perso la sua energia cinetica in molti urti, si fermerà vicino a un elettrone e la coppia (elettrone-positrone) si annichila per produrre una coppia di fotoni. Diversamente dal decadimento alfa, nel decadimento beta il radionuclide non cambia il numero dei nucleoni. Nel decadimento beta un neutrone si trasforma in un protone o viceversa. Poiché la massa del neutrone è leggermente maggiore della somma delle masse del protone e dell elettrone, i neutroni liberi decadono spontaneamente emettendo beta-meno con una vita media di 10.2 min. Un protone libero non può decadere spontaneamente in un neutrone più un positrone perché violerebbe la conservazione dell energia. Ma all interno del nucleo un protone può convertirsi in un neutrone emettendo un positrone; l energia necessaria a questo processo deriva dalla differenza nell energia di legame del nucleo. Dunque, le reazioni base del decadimento beta sono b : b + : 1 0 n 1 1p + 1e 0 + 0 0 n 1 1 p 1 0n + +1e 0 + 0n 0 Il decadimento beta non cambia il numero di massa ma cambia il rapporto neutroni/protoni. Un nuclide che ha un eccesso di neutroni ha una grande probabilità di subire un decadimento β per diventare stabile. Un nuclide che ha un difetto di neutroni ha una grande probabilità di subire un decadimento β +. Quando è stato scoperto il decadimento beta non si riusciva a giustificare il fatto che l elettrone (o il positrone) emesso avesse uno spettro continuo di energia. Nel decadimento alfa l energia cinetica delle particelle alfa emesse era ben definita e calcolabile dalla legge di conservazione dell energia e del momento. Quindi anche le particelle beta avrebbero dovuto avere uno spettro monoenergetico. Tuttavia le misure sperimentali mostravano che le particelle beta venivano emesse in un ampio intervallo di energia: da zero fino a un valore massimo (Fig. 24.5). L energia cinetica massima era coincidente con il valore che la particella beta avrebbe dovuto avere. Perché molte delle particelle beta hanno energie inferiori a quelle previste? Ci si trovava in presenza di un eccezione a una delle leggi fondamentali di conservazione (energia o momento)? Qualche rispettabile scienziato incluso Niels Bohr iniziò a pensare che la conservazione dell energia era stata violata, ma poi Wolfgang Pauli suggerì una pos-
24txtI:GIAMBATTISTA 14-12-2007 12:06 Pagina 954 954 Capitolo 24 La fisica nucleare Figura 24.5 Tipico spettro continuo di energia degli elettroni emessi nel decadimento beta da un particolare nuclide. Numero di particelle beta emesse K max Energia cinetica delle particelle beta sibile spiegazione che si dimostrò essere corretta. Pauli pensò che non una ma bensì due particelle fossero emesse nel decadimento beta: l elettrone (particella beta) e un altra particella da identificare. Se un nucleo emette due particelle allora si può conservare sia l energia che il momento e l energia cinetica si può distribuire in tutti i modi possibili tra le due particelle. Enrico Fermi chiamò questa ipotetica particella neutrino. Il simbolo per il neutrino è la lettera greca nu (ν). Un antineutrino è scritto con una barra sopra (ν). I neutrini sono molto difficili da rilevare perché non interagiscono né tramite interazione elettromagnetica né tramite forza nucleare forte. Dovettero passare 25 anni prima che la previsione di Pauli sull esistenza del neutrino potesse essere confermata. Un neutrino può attraversare facilmente il nostro pianeta avendo una sola probabilità su 10 12 di interagire. Un numero enorme di neutrini provenienti dal sole attraversano ogni secondo il nostro corpo ma non producono alcun effetto. Esempio 24.7 Decadimento beta dell azoto-13 L isotopo di azoto con numero di massa 13 ( 13 N) è instabile e decade beta. (a) 14 N e 15 N sono isotopi stabili dell azoto. Ti aspetti che 13 N decada tramite β o β +? Spiega. (b) Scrivi la reazione di decadimento. (c) Calcola l energia cinetica massima della particella beta emessa. Impostazione Per capire se il nucleo decade β o β + bisogna verificare se ha un eccesso o un difetto di neutroni. Soluzione (a) Gli isotopi stabili dell azoto hanno più neutroni di 13 N e dunque 13 N ha pochi neutroni per essere stabile. Il decadimento beta dovrebbe convertire un protone in un neutrone per aumentare il rapporto neutroni su protoni. Questo significa che la carica del nucleo decresce di e e dunque per conservare la carica un positrone (carica +e) deve essere prodotto. Ci aspettiamo che l isotopo 13 N subisca decadimento β +. (b) Poiché viene emesso un positrone, esso dev essere accompagnato da un neutrino (non un antineutrino). Z decresce di 1, da 7 (azoto) a 6 (che è il carbonio). A non cambia. La reazione è 13 7 N 13 6C + 0 +1e + 0 0n Sia la carica che il numero di nucleoni si conservano: 13 = 13 + 0 e 7 = 6 + 1. (c) Dall Appendice B, le masse atomiche di 13 7N e 13 6 C sono 13.005 738 6 u e 13.003 354 8 u. Per ottenere le masse dei nuclei, sottraiamo Zm e da entrambi. La massa del positrone è la stessa di quella dell elettrone: m e = 0.000 548 6 u. Il neutrino ha una massa trascurabile (praticamente può essere considerata zero). Se M N e M C rappresentano le masse atomiche allora m = [(M C 6m e ) + m e ] (M N 7m e ) = M C M N + 2m e =13.003 3548u 13.005 7386u+2 0.000 5486u = 0.001 286 6 u La massa decresce come accade in un decadimento spontaneo. L energia di disintegrazione è
24txtI:GIAMBATTISTA 14-12-2007 12:06 Pagina 955 24.3 Radioattività 955 Esempio 24.7 Continua E = m c 2 = 0.001 286 6 u 931.494 MeV/u = 1.1985 MeV Questa è l energia cinetica massima che potrà avere il positrone. Discussione Generalmente è possibile determinare se un nuclide radioattivo decade β o β +, ma ci sono delle eccezioni. Per esempio 19K 40 può decadere sia β che β +. Il solo modo per essere sicuri è quello di confrontare le masse dei prodotti con la massa del radionuclide per vedere se il decadimento spontaneo è energeticamente possibile. Nota che nel decadimento β + le masse degli elettroni (che sono inclusi nelle masse atomiche) non si compensano automaticamente come accade per il decadimento alfa. Problema di verifica 24.7 del potassio-40 Decadimento Trova l energia massima dell elettrone emesso nel decadimento β di 40 19K. La cattura elettronica Ciascun nuclide che decade β + può anche decadere per cattura elettronica. Entrambi i processi convertono un protone in un neutrone. Nella cattura elettronica, invece di emettere un positrone, il nucleo cattura uno degli elettroni orbitali dell atomo. La reazione base è 0 1e + 1 1p 1 0n + 0 0n (24-13) Quando un nucleo cattura un elettrone i prodotti della reazione sono il nucleo figlio e il neutrino. Con solo due particelle, la conservazione del momento e dell energia determina quale frazione dell energia rilasciata viene distribuita a ciascuna particella. Il neutrino, con la sua piccolissima massa, prende quasi tutta l energia cinetica lasciando al nuclide figlio solo pochi ev di energia cinetica di rinculo. Il decadimento gamma La radiazione gamma è composta da fotoni di alta energia. L emissione di raggi gamma non converte il nucleo in un nuclide differente poiché non cambia né la carica né il numero di nucleoni. Quando un nucleo si trova in uno stato eccitato emette un fotone e fa una transizione a uno stato di energia inferiore. Il meccanismo è simile a quello subito dagli atomi quando vengono emessi fotoni durante la transizione degli elettroni tra i vari livelli energetici dell atomo. La Figura 24.6 mostra alcuni dei livelli di energia del nucleo di tallio-208 ( 208 81Tl). Quando un nucleo si trova in uno stato eccitato può irradiare un fotone e passare a uno stato di più bassa energia. Per esempio, la terza freccia da destra, mostra una transizione che porta il nucleo dallo stato eccitato di 492 kev allo stato eccitato di 40 kev con l emissione di un fotone gamma da 452 kev. Per enfatizzare il fatto che un nucleo si trova in uno stato eccitato si può inserie un asterisco come apice destro nel simbolo del nuclide: 208 81Tl *. Il decadimento gamma di un nucleo eccitato di Tl-208 con l emissione di un fotone gamma può essere scritto come 208 81Tl * 208 81Tl + g I decadimenti alfa e beta non sempre portano il nucleo figlio nello stato stabile. Spesso il nucleo figlio si trova in uno stato eccitato e a sua volta emette uno o più fotoni gamma fino a raggiungere il livello energetico stabile. 492 kev 472 kev 327 kev 40 kev 0 Figura 24.6 Un diagramma dei livelli energetici della sorgente gamma emittente 208 81Tl. Le frecce rivolte verso il basso mostrano le transizioni permesse al decadimento gamma.
24txtI:GIAMBATTISTA 14-12-2007 12:06 Pagina 956 956 Capitolo 24 La fisica nucleare 24.4 CINETICA DEL DECADIMENTO RADIOATTIVO E VITA MEDIA DI UNA SORGENTE Il fenomeno del decadimento radioattivo viene descritto con successo dalla meccanica quantistica che è in grado di fornire la probabilità con cui un dato processo può avvenire. Se prendiamo un certo numero di nuclidi di un determinato radioisotopo, essi non decadranno tutti nello stesso momento; poiché non c è in alcun modo la possibilità di sapere quando un determinato nuclide decide di decadere, possiamo descrivere il processo di decadimento solamente in termini probabilistici. La probabilità di decadere di un nucleo è indipendente sia dalla sua storia (cioè da quello che gli è capitato precedentemente) sia dal comportamento degli altri nuclidi vicini. Ciascun nuclide radioattivo ha una certa probabilità di decadere che dipende da quanto è lungo il tempo d osservazione. La probabilità di decadimento nell unità di tempo prende il nome di costante di decadimento e viene indicata con la lettera greca λ (che non ha niente a che vedere con la lunghezza d onda). Poiché la probabilità è un numero puro la costante di decadimento ha come unità di misura s 1 (probabilità al secondo). probabilità di decadimento costante di decadimento l = (24-14) unità di tempo La probabilità che un nucleo decada in un piccolo intervallo di tempo t è λ t. Se ora abbiamo un numero N molto grande di nuclidi radioattivi tutti identici ovviamente tutti hanno la stessa probabilità di decadere, per cui il numero medio di nuclidi che decade in un breve intervallo di tempo t è N volte la probabilità di un singolo decadimento: N = Nl t (24-15) Il segno meno è necessario perché quando il nucleo decade il numero di nuclei rimanenti decresce e quindi la variazione di N è negativa. L Equazione (24-15) fornisce il numero medio di decadimenti nell intervallo di tempo t. Poiché il decadimento radioattivo è un processo statistico non è detto che in quell intervallo di tempo si misurino esattamente N decadimenti; ma se N è sufficientemente grande allora si può ritenere che l Equazione (24-15) sia molto vicina al valore vero. Per piccoli valori di N la differenza tra il valore misurato e quello fornito dall equazione può essere significativa. Le fluttuazioni statistiche nel numero di decadimenti effettivamente misurate, N, sono dell ordine della N ; ossia se il numero medio atteso di decadimenti è 10 4, il numero effettivo di decadimenti misurati può variare di circa 10 000 = 100 sopra o sotto il numero medio quindi: 10 4 ± 100. L Equazione (24-15) è valida solamente per un intervallo di tempo molto piccolo t << 1/λ perché suppone che il numero di nuclei sia una costante N. Se l intervallo di tempo è grande, N subisce grandi variazioni per cui per descrivere la cinetica del decadimento radioattivo è necessaria una nuova formula che non introduciamo in questo testo. Il numero di decadimenti che avvengono nell unità di tempo di un campione prende il nome di attività (R). L unità di misura dell attività è il becquerel (Bq) che corrisponde a un decadimento al secondo. I seguenti tre modi di scrivere l unità di misura dell attività sono equivalenti decadimento 1 Bq = 1 s = 1 s 1 (24-16) Un altra unità di misura dell attività comunemente utilizzata è il curie (Ci): 1 Ci = 3.7 10 10 Bq (24-17) Se in un breve intervallo di tempo t il numero di decadimenti è N, allora l attività è:
24txtI:GIAMBATTISTA 14-12-2007 12:06 Pagina 957 24.4 Cinetica del decadimento radioattivo e vita media di una sorgente 957 R = numero di decadimenti unità di tempo = N = ln (24-18) t Nell Equazione (24-18) la variazione di N ( N/ t) è una costante negativa ( λ) moltiplicata per N. Ogniqualvolta la variazione di una certa quantità è una costante negativa moltiplicata per la quantità stessa, allora la quantità iniziale cala con un andamento esponenziale a mano a mano che passa il tempo. Il numero di nuclei rimanenti N nel decadimento radioattivo (il numero che non è ancora decaduto) è: N(t) = N 0 e t/t (24-19) La Figura 24.7 mostra un grafico di N in funzione di t. Per il decadimento radioattivo la costante di tempo è: t = l 1 (24-20) e N 0 è il numero di nuclei all istante t = 0. La costante di tempo τ è anche chiamata vita media poiché è il tempo medio che passa prima che un nucleo decada. Tuttavia, sarebbe errato pensare che un nucleo invecchi oppure che la costante di decadimento dipenda dall età del nucleo stesso. Un nucleo di uranio-238 che si trova da milioni di anni nelle rocce ha la stessa probabilità di decadere di un atomo che si è appena formato da una qualche reazione nucleare. Infatti la probabilità di decadimento è indipendente dalla storia del nuclide. Le Equazioni (24-18) e (24-19) ci dicono quanti nuclei decadono ma non ci dice quali. Poiché il ritmo di decadimento è proporzionale al numero di nuclei instabili presenti anche l attività decade esponenzialmente: R(t) = R 0 e t/t (24-21) Come in qualsiasi processo esponenziale, la costante di tempoτ è il tempo necessario in cui la quantità decresca di un fattore 1/e 36.8% del suo valore iniziale. In questo intervallo di tempo, il 63.2% dei nuclei decade lasciandone il 36.8%. Dopo un intervallo di tempo doppio, 2τ, abbiamo che il numero di nuclei che deve ancora decadere è 1/e 2 13.5%, mentre 1 1/e 2 86.5% è decaduto. La cinetica del decadimento radioattivo può essere quantificata anche in termini di tempo di dimezzamento T 1/2. Il tempo di dimezzamento è il tempo necessario affinché decada la metà dei nuclei iniziali. Se trascorrono due tempi di dimezzamento i nuclei che rimangono sono pari a 1 4 dei nuclei inizialmente presenti; in generale dopo m tempi di dimezzamento rimangono 1 2 m nuclei non decaduti. Si può vedere (Problema 39) che T 1/2 = t ln 2 0.693t (24-22) dove ln 2 è il logaritmo (in base e) di 2. Allora N(t) = N 0 (2 t/t 1/2 ) = N 0 1 2 t/t 1/2 (24-23) N N 0 1 0.5 0.25 0.125 0 0 0.5t 1.0t 1.5t 2.0t 2.5t t T 1/2 2T 1/2 3T 1/2 Figura 24.7 Andamento della funzione esponenziale decrescente che esprime la frazione dei nuclei radioattivi rimanenti (N/N 0 ) in funzione del tempo.
24txtI:GIAMBATTISTA 14-12-2007 12:06 Pagina 958 958 Capitolo 24 La fisica nucleare Esempio 24.8 Decadimento radioattivo dell azoto-13 Il tempo di dimezzamento di 13 N è 9.965 minuti. (a) Se un campione contiene 3.2 10 12 atomi di 13 N al tempo t = 0, quanti nuclei di 13 N saranno presenti dopo 40 minuti? (b) Qual è l attività (R) al tempo t =0 e al tempo t = 40 minuti? Esprimi le attività in Bq. (c) Qual è la probabilità che ciascun nucleo di 13 N decada nell intervallo di tempo di un secondo? Impostazione (a, b) Il numero di nuclei all istante t = 0 è N 0 = 3.2 10 12 e il tempo di dimezzamento è T 1/2 = 9.965 minuti. Il problema chiede di trovare N a t = 40 minuti e l attività R sia al tempo t = 0 sia a t = 40 minuti. Poiché l intervallo di tempo è approssimativamente 4 volte la vita media possiamo stimare la soluzione: sia N che R vengono moltiplicati per un fattore 1 2 per il numero di tempi di dimezzamento intercorsi. (c) λ è la probabilità di decadimento in 1 secondo solo se 1 secondo può essere considerato un breve intervallo di tempo. Poiché il tempo di dimezzamento è 9.965 minuti = 597.9 s, 1 s è una piccola frazione del tempo di dimezzamento e dunque può essere considerato un breve intervallo di tempo. Soluzione (a) Dopo un tempo pari a un tempo di dimezzamento rimangono metà nuclei, dopo due T 1/2, 1 2 1 2 = 1 2 m, dopo 4 T 1/2, 1 2 4. Dunque, il numero di nuclei rimanenti dopo 4 T 1/2 è N = 1 2 4 3.20 10 12 = 2.00 10 11 Usando l Equazione (24-23) otteniamo il risultato: N(t) = N 0 1 2 t/t 1/2 = N 0 1 2 40.0/9.965 = 1.98 10 11 (b) L attività e il numero di nuclei sono legati dall Equazione (24-18): R = ln = t N La costante di tempo τ è legata al tempo di dimezzamento dall Equazione (24-22): T1/ 2 9.965 min 60 s/min t = = = 862.6 s l n 2 0.693 15 Sostituiamo il numero di nuclei N a t = 0 e a t = 40.0 minuti per determinare il ritmo di decadimento in quei due istanti. La costante di tempo non cambia. A t = 0, R 0 = N t 0 = 3.2 12 0 10 = 3.71 10 9 Bq 862.6 s A t = 40 minuti, R = t N 11 = 1.9 8 10 = 2.30 10 8 Bq 862.6 s (c) La probabilità per secondo è l = 1 t = 1.1593 10 3 s 1 Un nucleo ha una probabilità di 1.1593 10 3 di decadere nell intervallo di un secondo. Discussione Come controllo, R dopo quattro vite medie dovrebbe essere 1 16 di R 0 : 1 1 6 3.71 10 9 Bq = 2.32 10 8 Bq Poiché 40.0 minuti è leggermente di più di quattro tempi di dimezzamento, l attività a t = 40 minuti è leggermente minore di 2.32 10 8 Bq. Problema di verifica 24.8 Numero di nuclei rimanenti dopo la metà di un tempo di dimezzamento Quanti atomi di 13 N ci sono a t = 5 minuti? Datazione con il carbonio-14 Datazione con il carbonio radioattivo 14 C La grande utilità della tecnica di datazione con carbonio radioattivo è basata sul decadimento di un isotopo raro del carbonio. Quasi tutto il carbonio naturale presente sulla terra è costituito dai suoi due isotopi stabili 98.9% di 12 C e 1.1% di 13 C. Tuttavia, ci sono tracce di 14 C la cui abbondanza relativa è di circa 1 atomo ogni 10 12 atomi di carbonio. 14 C ha un tempo di dimezzamento relativamente breve, 5730 anni. Poiché la terra ha all incirca 4.5 10 9 anni non dovremmo trovare più carbonio-14 a meno che esso non continui a formarsi in qualche modo. La produzione di carbonio-14 avviene nell atmosfera terrestre in quanto viene colpita dai raggi cosmici. I raggi cosmici sono particelle cariche che provengono dallo spazio con energie (velocità) estremamente elevate la maggior parte sono protoni. Quando una di queste particelle colpisce un atomo nell alta atmosfera, si crea uno sciame di particelle secondarie tra cui un gran numero di neutroni. Tipica-