s t t[s] s t t[s] Progetto LES SCENEGGIATURA Moto rettilineo uniforme e sua rappresentazione. La velocità in funzione del tempo Si incomincia analizzando e commentando le schede compilate nell attività precedente ed eventuali compiti assegnati a casa.. La legge oraria s(t) di un moto uniforme è una retta. Quindi per i moti rettilinei uniformi sia la traiettoria che la legge oraria sono rette. c) Position (m) Traiettoria Legge oraria s(t) Si riprendono gli esperimenti dell attività precedente per associare la pendenza della retta alla velocità. VELOCITÀ, SUO CALCOLO E SIGNIFICATO DEL SEGNO. INTERCETTA. Oltre alla posizione nei vari istanti di tempo si può ricavare anche una informazione sulla velocità. Come si calcola la velocità a partire dal grafico? - si fissano due punti ( e ) sulla linea che rappresenta la legge oraria e se ne determinano le coordinate (t, s) - si calcola la differenza tra le ascisse (intervallo di tempo t=t -t ) - si calcola la differenza tra le ordinate (spazio percorso s=s(t )-s(t ) nell'intervallo di tempo t considerato) - si calcola il rapporto tra la differenza delle ordinate s e la differenza tra le ascisse t. Il rapporto s/ t (che rappresenta la pendenza della retta s(t) nel caso di moto a velocità costante) si chiama velocità media e coincide con la velocità istantanea (che è costante) nel moto uniforme. Si fa vedere come nel caso di una retta (moto uniforme) il rapporto incrementale appena definito è indipendente dalla scelta dell intervallo. s [m] s [m] 5 5 5 6 7 5 6 7 s t = s( t ) s( t t t ) = m s = m/s s t = s( t ) s( t t t ) = m s = m/s
Si fissa sullo schermo un moto uniforme, relativo per esempio ad un allontanamento dal sonar, e si chiede di realizzare un moto con la stessa velocità (in modulo) ma avvicinandosi al sonar. Come si differenziano le velocità nei due casi? Se si calcolano i valori della velocità con il metodo precedente si trova che nel secondo caso si ottiene un valore negativo. Pertanto si può concludere che il valore numerico della velocità dice quanto rapidamente ci si muove, mentre il segno della velocità dice se ci si allontana o ci si avvicina al sonar (fissato come origine del sistema di riferimento). Quindi se la retta che rappresenta la legge oraria è inclinata verso l'alto la velocità è positiva e ciò corrisponde a un moto di allontanamento dal sonar. c) Position (m) Allontanandosi dal sonar la distanza dal sonar aumenta nel tempo. Inclinazione verso l alto, velocità positiva. Se la retta che rappresenta la legge oraria è inclinata verso il basso la velocità è negativa e ciò corrisponde a un moto di avvicinamento al sonar. Avvicinandosi al sonar la distanza dal sonar diminuisce nel tempo. Inclinazione verso il basso, velocità negativa. Sempre mantenendo sullo schermo il moto uniforme di allontanamento si chiede di realizzare un moto uniforme con la stessa velocità ma partendo da una posizione iniziale diversa. La posizione iniziale, cioè quella assunta dal camminatore all'istante t = 0, è rappresentata sul grafico s(t) dal valore numerico dato dall'intersezione tra la legge oraria con l'asse delle ordinate. Muovendosi sempre con la stessa velocità costante si possono realizzare moti rettilinei uniformi con leggi orarie le cui rappresentazioni grafiche sono quasi rette parallele che si differenziano per un diverso valore dell'intercetta.
Ne risulta quindi una discussione sul significato dell'intercetta per moti uniformi come elemento discriminante tra due moti caratterizzati da una stessa velocità e da posizioni iniziali diverse. Position (m) 0 0 5 6 Due allontanamenti dal sonar con velocità (quasi uguali) e posizioni iniziali diverse Le due quasi rette sono registrate in due diversi moti. Uno studente ha realizzato una retta un altro studente (o lo stesso studente) deve poi muoversi in modo da realizzare la retta parallela alla prima. Questi compiti sperimentali coinvolgono l intera classe e permettono di dare significato alle condizioni iniziali s(0), v(0) spesso oggetto di fraintendimenti. Si pensi al caso del lancio di un oggetto e alle difficoltà nel distinguere tra la fase di spinta (con la presenza di forze impulsive) e la fase di studio da t=0 con s(0) e v(0) determinate nella fase precedente. COSTRUZIONE DEL MODELLO LINEARE Un moto uniforme può essere quindi descritto con una tabella oraria, un grafico e la funzione s(t) che si riferiscono ad un modello lineare e quindi all equazione di una retta Nella nostra esperienza si vede che i ragazzi anche quando conoscono l equazione della retta nella forma y=mx+n, hanno poi difficoltà a dare significato alle variabili e ai coefficienti per il modello matematico del moto uniforme. Insomma le associazioni y->s; x->t; m->v(0); n->s(0) non sono in generale familiari. Per arrivare a determinare (costruire) collettivamente il modello per la relazione posizione tempo per il moto uniforme si può partire da un grafico di una camminata in tempo reale in cui la velocità è approssimativamente costante e procedere come segue: -si realizza un moto a velocità quasi costante registrando ad esempio i dati nell intervallo (0;8s) -si leggono sul grafico, con il cursore, ad intervalli regolari di tempo, coppie posizione- tempo, -si costruisce una tabella parziale alla lavagna, come in figura (prime due colonne); tempo(s) posizione(m) 0 0,987,70,95, 5,6 8 posizione al mezzo metro,0,5,5,0,5
-si chiede ai ragazzi: come facciamo a sapere dai dati la posizione a secondi? a 6 secondi? a 8 secondi? Avendo registrato il grafico potremo poi mettere alla prova le vostre previsioni! -si lascia che i ragazzi abbiano il tempo per fare calcoli e ragionamenti in piccolo gruppo, coinvolgendo tutti; -l insegnante può orientare ad esempio facendo arrotondare i dati della posizione al mezzo metro...per ottenere la colonna a destra. -dopo vari tentativi e discussioni che devono coinvolgere l intera classe si arriva alla regola per il particolare moto realizzato nell esempio s(t) =(m) + 0,5(m/s) * t (s) -e al modello (caso più generale) s(t) = s(0) + v(0) * t; con l equazione che va letta correttamente sia dal punto di vista dimensionale che delle unità di misura. -poi si passa alla rappresentazione nel piano cartesiano posizione tempo delle coppie dei punti in tabella (i punti possono essere rappresentati con crocette/barre di errore) e si lavora perché si arrivi a determinare con interpolazione ad occhio la retta che meglio rappresenta i dati sperimentali.si discute sulla determinazione dell equazione della retta e si analizza il risultato che si ottiene che deve essere coerente con la determinazione precedente. Particolare rilievo va dato in questo caso alla costruzione del modello matematico, al significato delle approssimazioni fatte, ai limiti del modello, all interpolazione e all estrapolazione. Per sottolineare la differenza tra proporzionalità diretta e relazione lineare si mostrano tabelle dati e si richiamano modelli noti. Si presentano due tabelle in cui vi siano due grandezze legate nella prima da una relazione di proporzionalità diretta, nella seconda da una relazione lineare. TABELLA Grandezza Grandezza 0 0 6 8 5 0 6 G = G TABELLA Grandezza Grandezza 0 5 7 9 5 6 5 G = G + Si imposta una discussione.si citano alcuni esempi di proporzionalità diretta: massa-volume (M=ρV), resistenza elettrica- lunghezza di un conduttore ( R=ρ (l/s)); ecc. Si discutono esempi sul legame tra le
due relazioni nello stesso fenomeno. Per una molla elastica la lunghezza dipende linearmente dal carico, mentre l allungamento è direttamente proporzionale al carico. Analogamente per il moto uniforme la posizione s(t) è linearmente dipendente dal tempo mentre lo spazio percorso ( il cammino) è direttamente proporzionale al tempo. L importanza del modello lineare dovuta al fatto che: -il modello lineare permette di semplificare notevolmente i calcoli per l interpolazione e l estrapolazione; -i punti sperimentali possono essere interpolati con una retta (retta dei minimi quadrati) e la linearità può essere stimata analizzando i dati sperimentali; -qualunque funzione è associata ad uno sviluppo in serie che può essere troncato al termine lineare con un errore che può essere valutato; può essere discussa presentando grafici di moti con andamenti non lineari mostrando come si interpola graficamente e giocando con variazioni di scala nella presentazione grafica. La discussione può riguardare anche la ingannevole apparente linearità dovuta alle dimensioni della finestra grafica sullo schermo. CORRELAZIONE TRA GRAFICI s(t) E v(t). s(t) con inclinazione verso l'alto v(t) positiva Position (m) Velocity (m/s) Si realizzano alcuni moti davanti al sonar e si presentano i grafici di s(t) e v(t) insieme. Si può procedere con gradualità: -si realizza un moto di allontanamento e si presentano i due grafici; -si chiede di indagare sulle oscillazioni nel grafico della velocità. I ragazzi scoprono subito che il sistema vede i passi. Si studia la struttura dei passi proponendo di camminare con passi lunghi, passi corti, strisciando i piedi, saltando. In generale i passi sono ben visibili e si presentano con una struttura regolare nel grafico della velocità se la camminata è regolare e se l eco è prodotto dalla pancia (come di solito avviene). Nella figura in alto, in ogni passo, dall inizio al centro la velocità è crescente, 5
dal centro alla fine la velocità è decrescente. Quindi la velocità ha valore minimo quando si cambia piede di appoggio, ha valore massimo a metà. Quando si cambia piede la velocità può essere anche nulla (ci si ferma) e ciò può essere studiato anche nel dettaglio. -si realizza un moto di avvicinamento visualizzando il grafico della posizione e si chiede di prevedere quello della velocità che viene presentato dopo una breve discussione -si realizzano moti di avvicinamento-allontanamento, allontanamento-sosta-avvicinamento, -ecc. A seconda della pendenza di s(t) la velocità è positiva o negativa e di conseguenza v(t) sarà al di sopra o al di sotto dell'asse dei tempi. s(t) con inclinazione verso il basso v(t) negativa position (m) velocity (m/s) L analisi dei grafici tende a mettere in evidenza che esiste un moto ideale uniforme, un modello, che è associato al moto reale. Quali vantaggi nello schematizzare il moto come uniforme? Quali informazioni perdiamo? Nel caso ideale ad una retta obliqua per la posizione corrisponde una retta orizzontale (parallela a t=0) per la velocità, se la posizione è una retta inclinata verso l alto la retta orizzontale della velocità è al di sopra dell asse dei tempi, se la posizione è inclinata verso il basso la retta orizzontale della velocità è al di sotto dell asse dei tempi. Occorre far notare che l'informazione sul valore della velocità è presente in entrambi i grafici anche se in maniera diversa (pendenza in s(t), un valore medio costante in v(t)) così come l'informazione sul segno; l'informazione relativa alla posizione di partenza, invece, non si può ricavare dal grafico di v(t). In altre parole se si conosce il grafico di v(t) non è possibile risalire al corrispondente grafico s(t) poiché non si hanno informazioni sufficienti: infatti per disegnare s(t) è necessario conoscere il valore della velocità e il valore dell'intercetta (posizione iniziale) o di un altro punto, mentre dal grafico di v(t) si ha solo il valore della velocità. Pertanto non conoscendo l'intercetta non si può disegnare s(t) a meno 6
di non assegnare un valore ad arbitrio per l'intercetta stessa; in tal modo si avrà il grafico di una delle infinite s(t) (ognuna con una intercetta diversa) corrispondenti alla v(t) nota. Quale è il significato di una eventuale intercetta nel grafico v(t)? Concludere che, per avere un'intercetta diversa da zero nel grafico v(t), bisogna far partire il sonar quando la persona si sta già muovendo in modo da avere un valore iniziale della velocità diverso da zero. Quali informazioni mancano? Arrivare alla conclusione che per un solo grafico v(t) esistono più (infiniti) grafici s(t) ognuno con un valore diverso per l'intercetta; se si vuole un grafico s(t) a partire da un grafico v(t) bisogna scegliere ad arbitrio un valore per l'intercetta. Si può presentare una s(t) di un moto uniforme con previsione sull'andamento del grafico v(t) e realizzare a partire da tale grafico moti con velocità più grandi e più piccole controllando i grafici di v(t) ottenuti. MOTI UNIFORMI A TRATTI. VELOCITA MEDIA E VELOCITA ISTANTANEA Moti che, pur non essendo uniformi sull'intero intervallo di tempo in cui si svolgono, lo sono però su intervalli di tempo più piccoli possono essere chiamati uniformi a tratti. Il grafico (ideale associato) di v(t) che si ottiene non sarà una retta orizzontale in tutto l'intervallo di tempo ma lo sarà nei diversi intervalli in cui lo dividiamo. Distance (m) 0 0 6 8 0 6 8 0 Integral.500 = Velocity (m/s) 0 - - 0 6 8 0 6 8 0 Grafici distanza-tempo e velocità-tempo su cui sovrapporre grafici on-line. 7
Il grafico distanza tempo è stato già utilizzato nella prima attività per la riproduzione di grafici on-line. Una funzione del software permette di calcolare l area sottesa dalla curva velocità-tempo nell intervallo (6;8)s. L area è pari a,5m e coincide con la differenza tra le distanze agli estremi dell intervallo (m- 0,5m=,5m). Nel calcolo abbiamo operato con delle approssimazioni facendo riferimento al rettangolo di base s equivalente al trapezio in figura. Sulla corrispondenza puntuale (istante per istante) tra grafici di posizione e di velocità (e di accelerazione) occorre prestare particolare attenzione: a)le scale adoperate possono non mettere bene in evidenza aspetti del moto. Ad esempio nel grafico distanza-tempo in figura, nell intervallo evidenziato non risulta evidente che la velocità non passa istantaneamente da 0 a 0,75 m/s (e poi da 0,75 m/s a 0), b)la registrazione è discreta (ad esempio con 0 valori di posizione al secondo) e la velocità deve essere calcolata dal sistema con rapporti incrementali. A causa degli errori (numerici e di rumore del sistema di acquisizione) che renderebbero di difficile interpretazione il moto, la velocità (e l accelerazione) sono calcolati in ciascun t con la media di diversi valori (da a 5). Con la media i picchi dei grafici (errori) sono localmente smussati ma si perde la corrispondenza puntuale tra le diverse grandezze. E ciò è tanto più vero quanto maggiore è il numero di punti su cui avviene la media. Tangent = 0.99 Distance (m) 0 0 6 8 0 6 8 0 Tangent = -0.8 Velocity (m/s) 0 - - 0 6 8 0 6 8 0 8
Moti per la riproduzione di grafici assegnati La prima e la seconda figura sono associate allo stesso moto. I grafici con tratto sottile sono quelli ideali. Quelli a tratto doppio sono stati realizzati in esperimenti con studenti. Il terzo grafico è il grafico di velocità che si è ottenuto dopo alcuni tentativi di migliorare la riproduzione. L esperimento- gioco può essere proposto con diverse varianti: a)lavorando con il grafico della distanza per poi visualizzare anche quelli della velocità; b)lavorando solo con il grafico della velocità; c)lavorando visualizzando entrambi i grafici. E interessante far notare che la riproduzione del grafico della velocità (da solo): a) può risultare il più impegnativo tra gli esercizi proposti e richiede una diversa sensibilità percettivo-motoria; b) non richiede vincoli sulla distanza iniziale (se non quelli imposti dall intervallo di funzionamento del sonar). L analisi dei grafici iniziali e di quelli che si ottengono negli esercizi di riproduzione può essere l occasione per introdurre o rinforzare alcuni concetti chiave che riguardano la velocità, il modo di calcolarla e di rappresentarla, la distinzione tra velocità media e istantanea. Grafico ideale velocità-tempo, approssimando i trapezi con rettangoli equivalenti, l intervallo 0-0s può essere scomposto in cinque intervalli consecutivi: (0;6) s sosta v=0; (6;8)s allontanamento con v=0,75 m/s; (8,)s sosta con v=0; (;6)s allontanamento v=0,5s; (6;0)s sosta v=0. In ciascuno degli intervalli la velocità istantanea coincide con la velocità media. Può essere interessante far notare che la velocità media sull intero intervallo pari a,50m/0,0s=0,5m/s non coincide con la media delle velocità ma con la media pesata: v media (0,0s) =( (0 x 6s) + (0,75m/s x s) + (0 x s)+ (0,5m/s x s) + (0 x s) ) / 0s Grafico reale velocità- tempo, la velocità varia in tutto l intervallo anche se nelle soste è più facile ottenere una velocità costante nulla. Con una scansione del grafico con il cursore grafico si ottengono in corrispondenza di ciascun valore di t i corrispondenti valori della posizione e della velocità. Il numero finito di punti rivelati in ciascun intervallo è determinato dalla modalità di funzionamento del sistema. Con un campionamento (sampling) di 0 punti al secondo il più piccolo intervallo di tempo è pari a 0,05s, quindi il cursore grafico permetterà di leggere valori di posizione e di velocità a distanza temporale fissa di 0,05s. La velocità istantanea letta con il cursore è in realtà una velocità media calcolata in un intervallo di 0,05s. (sulle modalità di calcolo delle grandezze derivate si leggano le note tecniche del sistema utilizzato). Volendo si può far vedere che la velocità istantanea ad un istante t coincide con la pendenza della retta tangente al grafico della posizione (e lo stesso si può fare per l accelerazione con il grafico della velocità). In figura i segmenti sono tangenti alle curve di distanzatempo e velocità- tempo in t=8,s. Le pendenze delle rette tangenti sono rispettivamente 0,m/s (velocità) e 0,8m/s (accelerazione) 9
Position (m) Velocity (m/s) Posizione e velocità di un allontanamento-avvicinamento Questo esperimento può essere realizzato con diverse varianti: -lavorando sulla simmetria dei grafici; -cercando di avere lo stesso modulo della velocità in allontanmento e in avvicinamento; -invertendo le due fasi; -riducendo il tempo di inversione (inversione istantanea). Far notare che dovrà esserci sempre un istante (o un intervallo) in cui v=0 e l impossibilità di avere velocità con inclinazioni a 90 ( difficoltà nell avere alte pendenze in v(t)). La velocità media sull intero intervallo è quasi nulla (esattamente nulla se si ritorna alla stessa distanza dal sonar) Position (m) Oscillazioni di una persona L esperimento può essere realizzato dondolandosi con regolarità davanti al sonar. Il gioco può essere ripetuto con diverse variazioni della: - forma d onda (rettangolare, triangolare, a dente di sega); -ampiezza di oscillazione;- frequenza. E interessante far notare che è più facile riprodurre moti quasi armonici (con andamento sinusoidale) che non le altre forme indicate che richiedono brusche (e impossibili) variazioni di velocità. 0
Position (m) Moto con velocità decrescente Il grafico spazio tempo in figura rappresenta un moto con velocità non costante. In particolare la velocità iniziale risulta minore di quella finale come si può evincere dalla pendenza della retta tangente. Gli studenti sono invitati a calcolare la velocità media nei 6 intervalli di s, disegnando sul grafico le rette secanti passanti per gli estremi per calcolarne le pendenze. I risultati della velocità così ottenuti in ciascun intervallo possono poi essere confrontati con quelli che si ottengono leggendo i dati con il cursore grafico del sistema. MOTO DI CARRELLI E GRAFICO DELL ACCELERAZIONE Distance (m).0.8.6...0 0.8 0. 0.9..5.8...7.0 0.5 Velocity (m/s) 0. 0. 0. Acceleration (m/s/s) 0. 0.9..5.8...7.0.0 0.8 0. -0. - - -0.8 -.0 0.9..5.8...7.0 Posizione, velocità e accelerazione di un carrello su una guida orizzontale
Un carrello viene lanciato in allontanamento dal sonar. Il grafico della velocità è rettilineo, questo grafico può essere mostrato quando si decide di introdurre i grafici della velocità. L assenza di ondulazioni rende convincente il fatto che nei moti di persone sono i passi a produrre le tipiche oscillazioni nel grafico della velocità. L esperimento mette bene in evidenza il fatto che c è una forza di attrito che è costante (la velocità decresce linearmente nel tempo) e l accelerazione è negativa e, nei limiti degli errori, costante. L accelerazione media può essere introdotta con una serie di esperimenti in analogia con quanto è stato fatto per la velocità. La correlazione tra grafici permette di introdurre l accelerazione come velocità della velocità con esercizi ed esperimenti basati sull uso corretto del segno dei rapporti incrementali. Nell analizzare l esperimento proposto occorre far riflettere sul valore numerico dell accelerazione (relativamente basso) e sulla possibilità di modellizzare il moto come moto a velocità costante o come moto ad accelerazione costante. Questo atteggiamento critico può aiutare a cogliere il significato della modellizzazione. Distance (m) Velocity (m/s).0.7...8.5. 0.9 0..0 0.8 0. -0. - - -0.8 -.0 0 5 6 7 8 9 0 0 5 6 7 8 9 0 Acceleration (m/s/s) 0 - - - - 0 5 6 7 8 9 0 Grafici distanza-tempo, velocità-tempo e accelerazione-tempo. Studio dei passi Il moto è di allontanamento e di avvicinamento. I dati della velocità e dell accelerazione sono calcolati a partire dai dati primari della distanza. Per ridurre il peso degli errori numerici i dati della velocità e dell accelerazione sono calcolati mediando su molti (5) dati rivelati. Con questa modalità di elaborazione il grafico dell accelerazione si correla bene con quello della velocità e si riesce bene a descrivere la dinamica dei passi:
-la velocità oscilla intorno a un valore positivo quasi costante in allontanamento e intorno a un valore quasi costante negativo in avvicinamento; -l accelerazione oscilla intorno allo zero sia in allontanamento che in avvicinamento; -nell inversione la velocità decresce quasi linearmente (anche se si evidenziano i passi come oscillazioni intorno ad una retta che passa per lo 0) e l accelerazione è quasi costante e negativa; -all inizio di ciascun passo l accelerazione è massima (positiva) e la velocità è minima, al centro del passo l accelerazione è nulla e la velocità è massima, alla fine l accelerazione è minima (negativa) e la velocità ritorna quasi al valore iniziale. LA CURVA VELOCITA -DISTANZA Distance (m) Velocity (m/s).0.8.6...0 0.8 0. 0.5.8..6 5.0 6. 7.8 8. 9.06 0.0 0.8 0. -0. - - -0.8 -.0 0 5 6 7 8 9 0 Velocity (m/s).0 0.8 0. -0. - - -0.8 -.0 0. 0.8.0...6.8.0 Distance (m) Distanza-tempo, velocità-tempo, velocità-distanza del moto di un ragazzo. Il moto è schematicamente descritto nelle fasi: allontanamento, avvicinamento, allontanamento, avvicinamento, sosta. La corrispondenza velocità-distanza non è una funzione (allo stesso valore della distanza possono corrispondere più valori della velocità). La curva velocità-distanza è descritta in senso orario. Lo studio del moto con i grafici on-line di velocità-distanza oltre a risultare un utile esercizio per cogliere le regole di costruzione di grafici correlati possono aiutare ad impadronirsi di strumenti che risulteranno poi utili nella descrizione di diversi fenomeni scientifici. SITI CONSIGLIATI http://www.glenbrook.k.il.us/gbssci/phys/class/dkin/dkintoc.html