EVOLUZIONE DEL DEBITO

AMMORTAMENTO DI PRESTITI A RATE NON COSTANTI PROF. ROSARIO OLIVIERO

Indice 1 RENDITA POSTICIPATA --------------------------------------------------------------------------------------------------- 3 2 EVOLUZIONE DEL DEBITO ---------------------------------------------------------------------------------------------- 4 3 AMMORTAMENTO A QUOTE CAPITALI COSTANTI ------------------------------------------------------------ 5 4 PREAMMORTAMENTO ---------------------------------------------------------------------------------------------------- 8 4.1. AMMORTAMENTO TEDESCO ------------------------------------------------------------------------------------------------- 8 5 PROBLEMI INVERSI ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 10 6 PRESTITI A RIMBORSO UNICO ---------------------------------------------------------------------------------------- 13 7 LEASING ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 14 8 PRESTITI REVOLVING---------------------------------------------------------------------------------------------------- 15 2 di 16

1 Rendita posticipata Consideriamo un capitale S prestato in un istante t 0 = 0 ad un soggetto. Anche in questa lezione, si conviene che il prestito possa essere rimborsato mediante la sottoscrizione di una rendita a favore del creditore; supporremo che la rendita sia posticipata e che le rate non siano costanti; dunque, il creditore beneficerà di un flusso di capitali del tipo: x = (R(1), R(2),, R(n)), t = (t 1, t 2,, t n ) in cui tutti gli importi (rate) sono positivi. Come al solito, si pone il problema di calcolare, la rata R(k) il debito residuo D(k), la quota interessi I(k) e la quota capitale C(k) al k-esimo anno (k = 0, 1, 2,..., n). Le condizioni da imporre sono le seguenti: D(0) = S D(n) = 0 La prima ci dice che il debito all inizio coincide con la somma prestata; la seconda ci dice che per la data di estinzione del prestito il debito sarà nullo. 3 di 16

2 Evoluzione del debito Supponendo che l'estinzione di un debito debba avvenire mediante una rendita al tasso annuo i, ricordiamo preliminarmente che l'evoluzione del debito è descritto dalle seguenti relazioni. D(1) = (1+i)D(0) R(1) D(2) = (1+i)D(1) R(2) D(k ) = (1+i)D(k 1) R(k). In pratica, il debito al k- esimo istante è pari alla differenza tra debito nell'istante precedente e la rata pagata in k, moltiplicata per il fattore montante. Si noti che vale la seguente relazione: R(k) = D(k 1) D(k) + id(k 1) e quindi la quota capitale deve essere C(k) = D(k 1) D(k). 4 di 16

3 Ammortamento a quote capitali costanti Supponendo che la quota capitale debba essere costante, deve essere necessariamente: C = D(0)/n inoltre D(k)=(1+i)D(k 1) C id(k 1)=D(k 1) C I(k)=iD(k 1)=i(S (k 1)C) R(k)=C+iD(k 1) oppure D(k) = S kc R(k)=C+i(S (k 1)C) Ad esempio, supponiamo di voler ammortizzare un prestito di 1000 euro al tasso annuo del 5% in 7 anni con un piano a quote capitali costanti. Il piano di ammortamento è il seguente: tasso di interesse 0,0500 capitale 1000,0000 durata 7,0000 AMM. POSTICIPATO quota capitale 142,8571 rata debito interesse data 0,0000 1000,0000 0,0000 0 192,8571 857,1429 50,0000 1 185,7143 714,2857 42,8571 2 178,5714 571,4286 35,7143 3 171,4286 428,5714 28,5714 4 164,2857 285,7143 21,4286 5 157,1429 142,8571 14,2857 6 150,0000 0,0000 7,1429 7 Adesso supponiamo di voler ammortizzare un prestito con n rate costanti anticipate ad un determinato tasso annuo, ma frazionate in k rate all'anno. In tal caso basta individuare il tasso periodale (relativo ad 1/k-esimo di anno) i 1/k ; esso è tale che 5 di 16

i 1/k =(1 + i) 1/k 1. Successivamente si procede come se l'ammortamento avesse nk scadenze. Ad esempio, supponiamo di voler ammortizzare un prestito di 10000 euro in tre anni (n = 3) con un piano a quote capitali costanti semestrali (k = 2) al tasso annuo del 5%. Si ha: i 1/2 =(1 +0.05) 1/2 1 = 0.0247. Il piano è il seguente tasso di interesse 0,0247 capitale 10000,0000 durata 6,0000 AMM. POSTICIPATO quota capitale 1666,6667 rata debito interesse semestre 0,0000 10000,0000 0,0000 0 1913,6667 8333,3333 247,0000 1 1872,5000 6666,6667 205,8333 2 1831,3333 5000,0000 164,6667 3 1790,1667 3333,3333 123,5000 4 1749,0000 1666,6667 82,3333 5 1707,8333 0,0000 41,1667 6 ESEMPIO 1 Un prestito è ammortizzato in 10 anni mediante un piano di ammortamento con quote capitali costanti posticipate al tasso annuo del 3%. Dopo 5 anni il debito è pari a 500 euro. Calcolare la rata, il debito iniziale e redigere il relativo piano di ammortamento. Si ha ma quindi e D(5) = S 5C = 500 S =10C, 5 C = 500 6 di 16

seguente: C = 100 Quindi il capitale prestato ammonta a 1000 euro. Il piano di ammortamento è, quindi, il tasso di interesse 0,0300 capitale 1000,0000 durata 10,0000 AMM. POSTICIPATO quota capitale 100,0000 rata debito interesse data 0,0000 1000,0000 0,0000 0 130,0000 900,0000 30,0000 1 127,0000 800,0000 27,0000 2 124,0000 700,0000 24,0000 3 121,0000 600,0000 21,0000 4 118,0000 500,0000 18,0000 5 115,0000 400,0000 15,0000 6 112,0000 300,0000 12,0000 7 109,0000 200,0000 9,0000 8 106,0000 100,0000 6,0000 9 103,0000 0,0000 3,0000 10 7 di 16

4 Preammortamento Un piano di rimborso (posticipato) prevede un preammortamento (di k anni) se la quota interessi viene pagata a partire dall'istante k = 1 e la quota capitale viene pagata a partire dal k +1- esimo istante (1<k<n). In particolare, fino al k-esimo anno viene pagata solo la quantità is a titolo di interesse e il debito non diminuisce. A partire dall'istante k + 1 fino alla scadenza si effettuerà l'ammortamento del capitale S pagando anche le quote capitali, secondo le varie modalità. Quindi, nel piano di ammortamento, le prime k quote capitali sono nulle e i primi k debiti residui sono pari al capitale iniziale. In pratica il piano può essere steso come se fosse senza preammortamento (dall'istante k + 1 ad n) e poi aggiungendoci le righe iniziali relative ai periodi da 0 a k. Ad esempio, considerando un ammortamento di un debito con quote capitali (costanti) pagate posticipatamente in 5 anni con un preammortamento di 3 anni. Se S = 5000 euro, i = 12% (annuo), il relativo piano di ammortamento è il seguente: tasso di interesse 0,12 capitale 5000 durata dell'ammortamento 5 3 rata quota capitale interesse debito 0 0 0 5000 600 0 600 5000 600 0 600 5000 600 0 600 5000 1600 1000 600 4000 1480 1000 480 3000 1360 1000 360 2000 1240 1000 240 1000 1120 1000 120 0 4.1. Ammortamento tedesco Nell'ammortamento tedesco gli interessi sono versati anticipatamente e le quote capitali sono posticipate. In particolare al tempo 0 la rata è costituita dalla sola quota interessi, mentre le restanti 8 di 16

rate sono costanti e calcolate in base alla formule degli ammortamenti anticipati a rata costante. Quindi il piano di ammortamento tedesco avrà la stessa forma di un piano a rate anticipate costanti: l'unica differenza è che le quote capitali sono sfasate di un anno. Ad esempio, consideriamo un prestito pari a 1000 euro da ammortizzare con un piano alla tedesca al tasso annuo del 5% in 7 anni. Il piano di ammortamento è il seguente: Si noti che, a partire dal primo anno, la somma della quota interesse e della quota capitale è sempre costante ed è pari proprio alla rata (164.5903). 9 di 16

5 Problemi inversi Supponiamo di voler rimborsare una somma S con un piano a quote capitali costanti posticipate al tasso annuo i. Ci proponiamo di capire quale sia il numero minimo di annualità in maniera che, però, la rata non superi una certa cifra R*. La rata maggiore è la prima. Quindi bisogna imporre che si abbia: da ciò deriva che: R(1) < R*; R* > S/n+iS nr* > S+inS n > S/(R* is) Ad esempio se i = 6%, S = 10000 euro e R* = 2000 euro, si ha: S/(R* is) = 7.1429. Se n = 7 il piano di ammortamento è il seguente: tasso di interesse 0,0600 capitale 10000,0000 durata 7,0000 AMM. POSTICIPATO quota capitale 1428,5714 rata debito interesse semestre 0,0000 10000,0000 0,0000 0 2028,5714 8571,4286 600,0000 1 1942,8571 7142,8571 514,2857 2 1857,1429 5714,2857 428,5714 3 1771,4286 4285,7143 342,8571 4 1685,7143 2857,1429 257,1429 5 1600,0000 1428,5714 171,4286 6 1514,2857 0,0000 85,7143 7 Si noti che la prima rata, pari a 2028.5714 euro, che è anche la maggiore, supera di un po' i 10 di 16

2000 euro. Invece, se n =8, il piano di ammortamento è il seguente: tasso di interesse 0,0600 capitale 10000,0000 durata 8,0000 AMM. POSTICIPATO quota capitale 1250,0000 rata debito interesse semestre 0,0000 10000,0000 0,0000 0 1850,0000 8750,0000 600,0000 1 1775,0000 7500,0000 525,0000 2 1700,0000 6250,0000 450,0000 3 1625,0000 5000,0000 375,0000 4 1550,0000 3750,0000 300,0000 5 1475,0000 2500,0000 225,0000 6 1400,0000 1250,0000 150,0000 7 1325,0000 0,0000 75,0000 8 e inoltre tutte le rate posticipate non superano i 2000 euro. Supponiamo di voler rimborsare una somma S con un piano a quote capitali costanti posticipate per un certo numero di annualità n. Ci poniamo di capire quale sia il tasso annuo di interesse massimo in maniera che, però, la rata non superi una certa cifra R*. La rata maggiore è la prima. Quindi deve essere: R(1) < R* R* > S/n+iS isn < R*n S i < (R*n S)/Sn i < (R* S/n)/S Ad esempio se n = 7, S = 10000 euro e R* = 2000 euro, si ha: (R* S/n)/S =0.0571= 5.71% Se i = 5.7%, il piano di ammortamento è: 11 di 16

tasso di interesse 0,0570 capitale 10000,0000 durata 7,0000 AMM. POSTICIPATO quota capitale 1428,5714 rata debito interesse semestre 0,0000 10000,0000 0,0000 0 1998,5714 8571,4286 570,0000 1 1917,1429 7142,8571 488,5714 2 1835,7143 5714,2857 407,1429 3 1754,2857 4285,7143 325,7143 4 1672,8571 2857,1429 244,2857 5 1591,4286 1428,5714 162,8571 6 1510,0000 0,0000 81,4286 7 Si noti che tutte le rate sono inferiori a 2000 euro. Se invece è i = 5.72%, il relativo piano di ammortamento è: tasso di interesse 0,0572 capitale 10000,0000 durata 7,0000 AMM. POSTICIPATO quota capitale 1428,5714 rata debito interesse semestre 0,0000 10000,0000 0,0000 0 2000,5714 8571,4286 572,0000 1 1918,8571 7142,8571 490,2857 2 1837,1429 5714,2857 408,5714 3 1755,4286 4285,7143 326,8571 4 1673,7143 2857,1429 245,1429 5 1592,0000 1428,5714 163,4286 6 1510,2857 0,0000 81,7143 7 Si noti che la prima rata (che è anche la maggiore) è superiore a 2000 euro. 12 di 16

6 Prestiti a rimborso unico Il capitale viene restituito alla scadenza S e le rate vengono corrisposte solo a titolo di interesse (es. prestiti obbligazionari). ESEMPIO S = 100, i = 0.1, n = 4 Data Rata Quota capit. Interesse Debito 0 0 0 0 100 1 10 0 10 100 2 10 0 10 100 3 10 0 10 100 4 110 100 10 0 13 di 16

7 Leasing Il leasing è un contratto di finanziamento che consente, in cambio del pagamento di un canone periodico, di avere la disponibilità di un bene strumentale e di esercitare, al termine del contratto, un'opzione di riscatto (di acquisto) del bene stesso per una cifra pattuita, inferiore al valore di mercato del bene. Sia V 0 il valore del bene (all'istante 0), A la quota d'anticipo sul valore del bene, E n il valore di riscatto. Le rate del leasing soddisfano l'uguaglianza V 0 A= R(1)v+ R(2)v 2 + + R(n)v n + E n v n 14 di 16

8 Prestiti revolving Sono prestiti che prevedono la messa a disposizione di una certa somma (su una carta di credito) che può essere prelevata (intera o in parte) a discrezione del debitore: è possibile prelevare anche più quote in istanti differenti. Il rimborso prevede una rata minima di solito uguale almeno alla quota interessi. Gli interessi si pagano solo sul capitale effettivamente prelevato e non su quello a disposizione. Il piano di ammortamento di un prestito revolving contiene anche eventuali prelievi fatti durante il periodo di ammortamento che, ovviamente, fanno aumentare il debito complessivo. In questo schema supponiamo che le quote capitali sono costanti e che i prelievi possono essere fatti solo nelle scadenze (0, 2,, n). Si ha: C = (P(0) + P(1) + P(2)+...+P(n))/n D(0) = P(0) D(k)=(1+i)D(k 1) +P(k) C id(k 1)=D(k 1)+P(k) C I(k)=iD(k 1) R(k)=C+iD(k 1) Ad esempio, se i = 10%, P(0) =4000 euro, P(3) =5000 euro, P(4) =1000 euro ed n =8, si ha: tasso di interesse 0,1000 somma dei prelievi 10000,0000 durata dell'ammortamento 8,0000 quota capitale 1250,0000 rata debito interesse prelievi data 4000,0000 0,0000 4000,0000 0,0000 1650,0000 2750,0000 400,0000 0,0000 1,0000 1525,0000 1500,0000 275,0000 0,0000 2,0000 1400,0000 5250,0000 150,0000 5000,0000 3,0000 1775,0000 5000,0000 525,0000 1000,0000 4,0000 1750,0000 3750,0000 500,0000 0,0000 5,0000 1625,0000 2500,0000 375,0000 0,0000 6,0000 1500,0000 1250,0000 250,0000 0,0000 7,0000 1375,0000 0,0000 125,0000 0,0000 8,0000 15 di 16

In queste lezioni abbiamo genericamente parlato di tasso (annuo) di interesse, ma nella pratica finanziaria ci sono vari tipi di tassi di interesse. Un esempio è il TAN (Tasso Annuo Nominale): è il rapporto percentuale, calcolato su base annua, tra l interesse e il capitale prestato. D'altra parte, nel valutare la convenienza di un prestito, va considerato il TAEG (Tasso Annuo Effettivo Globale): è una misura, espressa in termini percentuali, con due cifre decimali e su base annua, del costo complessivo del finanziamento. Diversamente dal TAN, il TAEG è comprensivo di eventuali oneri accessori, quali spese di istruttoria, e spese assicurative, che sono a carico del cliente. 16 di 16