Appunti di Algebra Superiore

Prof.ssa Carla Fiori Appunti di Algebra Superiore Laurea Magistrale in Matematica Univertisà di Modena e Reggio Emilia Dipartimento di Matematica Pura e Applicata

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Prefazione Questi appunti raccolgono le lezioni del corso di Algebra Superiore tenute dalla Professoressa Carla Fiori presso l Università di Modena e Reggio Emilia. L algebra non é che la geometria scritta; la geometria non é che l algebra figurata. Sophie Germain i

Prefazione Indice Capitolo 1. Strutture di incidenza e insiemi di permutazioni 1 1. Definizioni ed Esempi 1 2. Insiemi di permutazioni e strutture di incidenza 4 Capitolo 2. Gruppi e insiemi di permutazioni k-transitivi 7 1. Definizioni e teoremi 7 2. Considerazioni finali e problemi aperti 16 Capitolo 3. Gruppi e insiemi di permutazioni 2-transitivi 17 1. Definizioni e teoremi 17 2. Esempi di Quasicorpi associativi non planari 25 Capitolo 4. Gruppi e insiemi di permutazioni 3-transitivi 28 1. Introduzione 28 2. Il gruppo proiettivo lineare P GL(2, K) 29 3. Il gruppo proiettivo semilineare P ΓL(2, K) 30 4. Il gruppo proiettivo lineare speciale P SL(2, K) 32 5. Esempi di insiemi (non gruppi) strettamente 3-transitivi 33 6. Problemi aperti 34 Capitolo 5. Insiemi e gruppi k-transitivi, k 4. 35 Capitolo 6. Estensione di gruppi e insiemi di permutazioni k-transitivi 36 1. Definizioni e Teorema di Witt 36 2. Estensione di insiemi di permutazioni k-transitivi 38 3. Estensione di gruppi di permutazioni k-transitivi 41 Capitolo 7. Applicazione dei teoremi di estensione di gruppi e insiemi di permutazioni k-transitivi 46 1. Esempi di estensioni di gruppi k-transitivi 46 2. Esempi di estensioni di insiemi k-transitivi 51 Capitolo 8. Gruppi e Insiemi k-omogenei. 54 Capitolo 9. Trasformazione di (k,n)-strutture 55 1. Definizioni e prime proprietà 55 ii i

INDICE iii 2. Piani di Moulton 59 3. Trasformazione di Insiemi di Permutazioni 60 4. Trasformazione di gruppi di permutazioni strettamente 3-transitivi su insiemi finiti 63

CAPITOLO 1 Strutture di incidenza e insiemi di permutazioni 1. Definizioni ed Esempi Definizione 1.1.1. Siano P e B due insiemi non vuoti tali che P B =. Sia I P B. La terna (P, B, I) prende il nome di struttura di incidenza. Gli elementi di P sono detti punti, gli elementi di B sono detti blocchi, I è detta relazione di incidenza o semplicemente incidenza. Un punto p P è incidente ad un blocco B B se (p, B) I. Definizione 1.1.2. Due strutture di incidenza (P, B, I) e ( P, B, I ) si dicono isomorfe se esiste una applicazione ϕ tale che: (1) ϕ(p) = P, ϕ(b) = B ; (2) ϕ è biunivoca; (3) pib se e solo se ϕ(p ) I ϕ(b) per ogni p P e B B. Considerata una struttura di incidenza (P, B, I), essa é sempre isomorfa ad una struttura in cui la relazione di incidenza é l appartenenza. Infatti per ogni B B sia B = {p P pib} e sia B = {B B B}; la struttura (P, B, ) é banalmente isomorfa alla struttura (P, B, I) nell isomorfismo ϕ definito da ϕ (p) = p per ogni p P e ϕ(b) = B per ogni B B. Di norma una struttura di incidenza è indicata con la coppia (P, B) sottointendendo che la relazione di incidenza è l appartenenza. Una struttura di incidenza si dice finita se tali sono P e B. Ad ogni struttura di incidenza finita resta associata una matrice detta matrice di incidenza nel seguente modo. In P e in B si fissi un ordinamento; sia P = {p 1,..., p m } e B = {B 1,..., B n }, ciò è sempre possibile perchè P e B sono insiemi finiti. La matrice è così definita: (1) = [I h,k ], I h,k = { 1 ph I B k 0 p h I B k con 1 h = 1,..., m k = 1,..., n.

CAPITOLO 1 - Strutture di incidenza e insiemi di permutazioni 2 Viceversa se si fissano due insiemi P e B rispettivamente di m ed n oggetti ed un ordinamento in ciascuno di essi, data comunque una matrice ad m righe ed n colonne ad elmenti 0 e 1, per (1) rimane definita una incidenza I P B e quindi una struttura di incidenza (P, B, I). Lo studio delle strutture di incidenza finite equivale a quello delle matrici m n con elementi 0 e 1. Esempio 1.1.3. P = {x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 }, B = {y 1, y 2, y 3 } I = {(x 1, y 2 ), (x 1, y 3 ), (x 2, y 3 ), (x 4, y 2 ), (x 4, y 3 ), (x 6, y 1 ), (x 6, y 2 ), (x 6, y 3 )} y 1 y 2 y 3 x 1 0 1 1 x 2 0 0 1 x 3 0 0 0 x 4 0 1 1 x 5 0 0 0 x 6 1 1 1 Esempio 1.1.4. P, B, I = P B. Nel caso P e B siano finiti, fissati in essi un ordinamento, la matrice di incidenza è costituita tutta da elementi 1. Esempio 1.1.5. P, B, I =. Nel caso P e B siano finiti, fissato in essi un ordinamento, la matrice di incidenza associata è costituita tutta da elementi 0. Esempio 1.1.6. Sia Q un quadrato del piano euclideo, P l insieme dei vertici del quadrato e B l insieme dei lati e delle diagonali di Q. Diremo che un punto x P è incidente a un blocco y B, se il punto x appartiene alla retta y. (P, B, I) è una struttura di incidenza. E immediato verificare che in tale struttura ogni punto è incidente a tre blocchi distinti, fissato comunque un blocco esistono esattamente due punti incidenti ad esso.

CAPITOLO 1 - Strutture di incidenza e insiemi di permutazioni 3 x 1 x4 x 2 x3 (P, B, I) è un esempio di struttura di piano affine finito. Ci possiamo proporre di costruire la matrice di incidenza di questa struttura. Ordinati i punti e i blocchi in modo che x 1, x 2, x 3, x 4 siano i vertici consecutivi di Q, y i sia il lato di Q di vertici x i, x i+1 (i = 1, 2, 3), y 4 quello di vertici x 4, x 1 ed inoltre y 5 e y 6 le diagonali di vertici rispettivamente x 1, x 3 e x 2, x 4, la matrice di incidenza risulta essere la seguente: y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 y 6 x 1 1 0 0 1 1 0 x 2 1 1 0 0 0 1 x 3 0 1 1 0 1 0 x 4 0 0 1 1 0 1 Osserviamo che in tale matrice ogni riga possiede esattamente tre elementi uguali ad 1, il che equivale a dire che ogni punto è incidente esattamente a tre rette. Inoltre ogni colonna ha esattamente due elementi 1, il che equivale a dire che ogni retta è incidente a due punti. Ancora, fissate comunque due righe distinte, esiste una sola colonna che le interseca ambedue nell elemento 1 e ciò equivale a dire che due punti sono incidenti a una sola retta. Esempio 1.1.7. Sia K un campo qualsiasi. Sia P = K 2, B = {r r : ax + by + c = 0, a, b, c K ; a, b non entrambi nulli} l insieme delle equazioni di 1 grado a due incognite a coefficienti in K. Definiamo I P B: (x, y) K 2 è incidente ad un blocco r B se la coppia (x, y) soddisfa l equazione espressa da r. (P, B, I) è una struttura di incidenza. Questa è una struttura di piano affine. Se K è il campo delle classi resto modulo 2, si ottiene l esempio 1.1.6.

CAPITOLO 1 - Strutture di incidenza e insiemi di permutazioni 4 2. Insiemi di permutazioni e strutture di incidenza Definizione 1.2.1. Sia G un insieme di permutazioni su un insieme E. La coppia (E, G) individua una struttura di incidenza. Definiamo punti gli elementi dell insieme P = E E. Per ogni α G definiamo blocco l insieme B α = {(x, α(x)) x E} e definiamo blocchi della struttura l insieme B = {B α α G}. La struttura (P, B) così determinata è detta struttura di incidenza associata all insieme di permutazioni G, essa viene solitamente indicata con (E 2, G). Oltre ai blocchi, nella struttura (E 2, G) rimangono determinati particolari insiemi di punti fra cui i seguenti. Per ogni a E siano [a] 1 = {(a, y) y E}, [a] 2 = {(x, a) x E}, G 1 = {[a] 1 a E}, G 2 = {[a] 2 a E}. Gli elementi di G = G 1 G 2 sono detti generatori. Definizione 1.2.2. Sia G un insieme di permutazioni su un insieme E. Nella struttura di incidenza (E 2, G) due punti p, q E 2 si dicono dipendenti se appartengono allo stesso generatore, in caso contrario si dicono indipendenti. Più punti p 1, p 2..., p h E 2 si dicono indipendenti se sono a due a due indipendenti. La struttura (E 2, G) e le famiglie G 1 e G 2 di generatori, godono di alcune proprietà di immediata verifica: (1) Due elementi distinti di G 1 (rispettivamente G 2 ) sono disgiunti ed hanno la stessa cardinalità, che è la cardianlità di E. (2) Gli elementi di G 1 (rispettivamente G 2 ) formano una partizione di P, le cui classi sono i generatori di G 1 (rispettivamente G 2 ). Per la proprietà (1) le classi della partizione hanno la stessa cardinalità, che è la cardinalità di E. (3) Ogni punto appartiene esattamente ad un generatore di G 1 ed ad un generatore di G 2. (4) Ogni blocco ha la stessa cardinalità di ogni generatore, che è la cardinalità di E. (5) Ogni blocco ha in comune con ogni generatore esattamente un punto. Queste sono proprietà che caratterizzano l insieme G, ossia se valgono queste proprietà allora rimane determinato un insieme G di permutazioni. Infatti vale il seguente teorema.

CAPITOLO 1 - Strutture di incidenza e insiemi di permutazioni 5 Teorema 1.2.3. Sia (P, B) una struttura di incidenza tale che esistono due partizioni G 1 e G 2 dei punti e si abbia: (1) g = h per ogni g, h G 1 G 2 ; (2) g h = 1 per ogni g G 1, per ogni h G 2 ; (3) B g = 1 per ogni B B, per ogni g G 1 G 2. Allora esistono un insieme E e un insieme G di permutazioni su E tali che (P, B) è la struttura (E 2, G) associata a G. Dimostrazione. Per la (2) ogni elemento di G 1 interseca un elemento di G 2 in esattamente un punto e pertanto per ogni g G 1 si ha g = G 2. Analogamente per ogni h G 2 si ha h = G 1. Per la (1) segue pertanto G 1 = g = h = G 2. Sia E un insieme di indici tale che E = G 1 ; indichiamo gli elementi di G 1 con A 1, A 2,..., A i,... con i E e indichiamo con B 1, B 2,..., B j,... con j E gli elementi di G 2. Gli elementi di P risultano in corrispondenza biunivoca con gli elementi di E E, infatti per ogni p P basta porre p = (i, j) se p A i B j. A partire da ogni blocco B B definiamo l applicazione α B : E E, α B (x) = y se (x, y) B. Per come definita, α B è una applicazione biunivoca (permutazione) di E in sè. Sia G = {α B B B} ; la struttura (P, B) è isomorfa alla struttura (E 2, G). Esempio 1.2.4. Sia E = {1, 2, 3}. Consideriamo G = {α = id., β = (123), γ = (12), δ = (13)}. Definiamo P = E E insieme dei punti. Inoltre a partire dalle permutazioni che sono elementi di G definiamo: B α = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}, B β = {(1, 2), (2, 3), (3, 1)}, B γ = {(1, 2), (2, 1), (3, 3)}, B δ = {(1, 3), (3, 1), (2, 2)}. Definiamo B = {B α, B β, B γ, B δ } insieme dei blocchi. (P, B) è la struttura di incidenza associata all insieme di permutazioni G. Solitamente è indicata con (E 2, G). Generatori: 1 E [1] 1 = {(1, y) y E} = {(1, 1), (1, 2), (1, 3)} 2 E [2] 1 = {(2, y) y E} = {(2, 1), (2, 2), (2, 3)} 3 E [3] 1 = {(3, y) y E} = {(3, 1), (3, 2), (3, 3)}. G 1 = {[1] 1, [2] 1, [3] 1 }, è un insieme di generatori che è una partizione di P ossia due generatori distinti di G 1 sono disgiunti e inoltre l unione dei generatori di G 1 ricopre l insieme P. Analogamente si definisce l insieme di generatori G 2 = {[1] 2, [2] 2, [3] 2 }, dove

CAPITOLO 1 - Strutture di incidenza e insiemi di permutazioni 6 [1] 2 = {(x, 1) x E} = {(1, 1), (2, 1), (3, 1)} [2] 2 = {(x, 2) x E} = {(1, 2), (2, 2), (3, 2)} [3] 2 = {(x, 3) x E} = {(1, 3), (2, 3), (3, 3)}. Preso un blocco e un generatore, qual è la loro intersezione? Esempio: B γ [1] 2 = {(2, 1)}. Più in generale possiamo scrivere B ϕ [a] 1 = {(a, ϕ(a))} B ϕ [b] 2 = { (ϕ 1 (b), b) }. A partire da un qualunque blocco della struttura (E 2, B) si costruisce una permutazione. Esempio: consideriamo il blocco B δ = {(1, 3), (3, 1), (2, 2)}, definiamo φ Bδ : E E 1 3 2 2 3 1 φ Bδ risulta un applicazione biettiva perchè per ogni x E esiste ed è unico l elemento di B δ appartenente a [x] 1 (e pertanto φ Bδ è applicazione); inoltre per ogni (x, y) B δ esiste ed è unico [y] 2 con B δ [y] 2 = {(x, y)} (e pertanto φ Bδ suriettiva, anzi φ Bδ biettiva). Esempio 1.2.5. Siano P = R R, B = {r r : y = mx + n, m R, n R}. A partire dal blocco y = mx + n rimane definita la permutazione α : R R, α(x) = mx + n. (P, B) è una struttura di incidenza. Quali sono i generatori? [a] 1 = {(a, y) y R} [b] 2 = {(x, b) x R}.

CAPITOLO 2 Gruppi e insiemi di permutazioni k-transitivi 1. Definizioni e teoremi Definizione 2.1.1. Sia G un insieme di permutazioni su un insieme E e sia k N. G si dice k-transitivo su E se per ogni (x 1,..., x k ), (y 1,..., y k ) con x i, y i E tali che x i x j, y i y j se i j esiste α G tale che α(x i ) = y i con i = 1,..., k. Se α è unica, G si dice strettamente k-transitivo. Gli insiemi strettamente 1-transitivi sono anche detti regolari. L insieme G si dice transitivo su E se è almeno 1-transitivo su E. Esempio 2.1.2. Sia R il campo dei numeri reali, per ogni a R sia α a : R R, α a (x) = 2x + a e sia G = {α a R}. G é un insieme strettamente 1-transitivo su R. Infatti comunque presi r, s R esiste (ed é unica) la permutazione α s 2r G tale che α s 2r (r) = s. Gli insiemi di permutazioni strettamente k-transitivi su un insieme E, finito o no, hanno una particolare importanza perchè rappresentano strutture geometriche fondamentali. Nota 2.1.3. Sia G un insieme di permutazioni strettamente k-transitivo su un insieme E finito, E = n. Si possono contare gli elementi di G, infatti fissata una k-upla (a 1, a 2,..a k ) di elementi distinti di E, per la stretta k-transitività, gli elementi di G sono tanti quante sono le possibili immagini di (a 1, a 2,..a k ), basta quindi contare le k-uple di elementi distinti di E. Risulta pertanto In particolare se G è regolare su E si ha G = D n,k = n(n 1)... (n k + 1). G = E = n. 7

CAPITOLO 2 - Gruppi e insiemi di permutazioni k-transitivi 8 Teorema 2.1.4. Sia G un insieme di permutazioni su un insieme E. Fissata α G, l insieme α 1 G è ancora un insieme di permutazioni su E e pertanto rimangono determinate le strutture (E 2, G) e (E 2, α 1 G). Si ha che (E 2, G) è isomorfo a (E 2, α 1 G) ed inoltre id G oppure id α 1 G. Dimostrazione. Sia ϕ : (E 2, G) (E 2, α 1 G) così definita: { ϕ(x, y) = (x, α 1 (y)) per ogni (x, y) E 2 ϕ(β) = α 1 β per ogni β G. E di immediata verifica che ϕ è un isomorfismo di (E 2, G) in (E 2, α 1 G) perché ϕ é una applicazione biettiva, inoltre se G non contiene l identità si ha che α 1 α α 1 G e pertanto l identità appartiene ad α 1 G. Il teorema 2.1.4 assicura che, senza ledere in generalità, nello studio di una struttura di incidenza (E 2, G) si può sempre supporre id G. si dicono dipendenti se appartengono allo stesso generatore, in caso contrario si dicono indipendenti. Più punti p 1, p 2..., p h E 2 si dicono indipendenti se sono a due a due indipendenti. Teorema 2.1.5. Sia G un insieme di permutazioni strettamente k-transitvo su un insieme E e sia (E 2, G) la struttura ad esso associata. Se p 1, p 2,..., p k E 2 sono punti indipendenti allora esiste ed è unico il blocco che li contiene. Dimostrazione. Siano p i = (x i, y i ), i = 1,..., k, punti indipendenti di E 2. Siccome i punti sono indipendenti, per i j risulta x i x j, y i y j. Per la stretta k-transitività di G esiste ed è unica la permutazione α G tale che α(x i ) = y i, i = 1,..., k, e pertanto in (E 2, G) α é il blocco cercato. Nota 2.1.6. La relazione fra gli insiemi di permutazioni strettamente k-transitivi e le strutture di incidenza associate è un legame fra l algebra e la geometria che permette di affrontare lo studio di strutture geometriche con l algebra e viceversa permette di dare una lettura geometrica di problemi algebrici. Un notevole esempio è la relazione tra insiemi di permutazioni e piani affini. Richiamiamo la definizione di piano affine. Definizione 2.1.7. La struttura di incidenza (P, R) è detta piano affine se: (1) comunque presi p, q P, p q, esiste ed è unico R R tale che p, q R; (2) per ogni p P, per ogni R R con p / R, esiste ed è unico S R tale che p S e S R = ; (3) esistono almeno 3 punti non appartenenti ad uno stesso elemento di R. Un piano affine con un numero finito di punti é detto di ordine n se R = n per ogni R R.

CAPITOLO 2 - Gruppi e insiemi di permutazioni k-transitivi 9 Teorema 2.1.8. Sia G un insieme di permutazioni strettamente 2-transitivo su un insieme E finito con E = n, n 2. La struttura (E 2, G) associata a G determina un piano affine di ordine n. Dimostrazione. Si definiscono punti gli elementi dell insieme P = E 2, rette gli elementi dell insieme R dati dai blocchi e dai generatori di (E 2, G). (1) Siano (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ) P. Se x 1 = x 2 l unica retta che li contiene è il generatore [x 1 ] 1. Se y 1 = y 2 l unica retta che li contiene è il generatore [y 1 ] 2. Se x 1 x 2, y 1 y 2 allora per la stretta 2-transitività c è un unico blocco (non generatore) che li contiene. (2) Per le proprietà delle strutture di incidenza associate agli insiemi di permutazioni, per il teorema 1.2.3 ed essendo G strettamente 2-transitivo, si ha che: se p = ( x, ȳ) P, [a] 1 R, a x, allora l unica retta di R passante per p e disgiunta da [a] 1 è la retta [ x] 1 ; se p = ( x, ȳ) P, [b] 2 R, ȳ b, allora l unica retta di R passante per p e disgiunta da [b] 2 è la retta [ȳ] 2 ; se p = ( x, ȳ) P, B α R, α( x) ȳ, allora esiste ed è unico B γ R tale che ȳ = γ( x) (ossia p B γ ) e B α B γ =. Per dimostrare questo iniziamo con il contare le rette passanti per p. Considerato [z] 1 con z x, su [z] 1 ci sono esattamente n 1 punti indipendenti da p che individuano altrettante rette per p ( l unico punto di [z] 1 dipendente da p è (z, ȳ)); oltre a queste rette ci sono esattamente altre due rette per p, sono le rette-generatori [ x] 1 e [ȳ] 2 che sono sicuramente diverse dalle precedenti n 1 perchè [ x] 1 [z] 1. Si conclude che per p passano esattamente (n 1) + 2 = n + 1 rette. Contiamo ora le rette per p intersecanti B α : sono esattamente n 2 perchè i punti di B α indipendenti da p sono esattamente n 2 ( devo escludere ( x, α( x)) e (α 1 (ȳ), ȳ)). Si conclude pertanto che le rette per p non aventi punti in comune con B α sono (n 1) (n 2) = 1 ossia esiste ed è unica la retta passante per p non avente punti in comune con B α. (3) Poiché E 2 esistono almeno 3 punti non appartenenti ad una stessa retta. Del teorema ora dimostrato vale anche il viceversa. Teorema 2.1.9. Sia π un piano affine di ordine n. Esso individua un insieme di permutazioni strettamente 2-transitivo su n elementi.

CAPITOLO 2 - Gruppi e insiemi di permutazioni k-transitivi 10 Dimostrazione. Posto E = {1,..., n} fissiamo due fasci distinti di rette parallele G 1, G 2. Ciascuno di essi contiene n rette, sia G 1 = {A 1,..., A n } e G 2 = {B 1,...B n }. Per ogni p π esistono e sono unici A i, B j, tali che A i B j = {p} ; poniamo allora p = (i, j). Fissata una retta R con R / G 1 e R / G 2 definiamo α R : E E, α R (x) = y se (x, y) R. Le applicazioni α R sono applicazioni biunivoche di E in sè, sono dunque permutazioni su E, perciò G = {α R R π} è un insieme di permutazioni sull insieme E. G è strettamente 2-transitivo su E: infatti siano (x 1, x 2 ) e (y 1, y 2 ) due coppie di elementi di E con x 1 y 1 e x 2 y 2. Le coppie (x 1, x 2 ), (y 1, y 2 ) individuano due punti distinti del piano π e pertanto esiste ed è unica la retta R π tale che (x 1, x 2 ) R e (y 1, y 2 ) R con R G 1 G 2 e quindi esiste ed è unica α R G tale che α R (x i ) = y i con i = 1, 2. Nota 2.1.10. I teoremi 2.1.8 e 2.1.9 valgono per E insieme finito. Se E non è finito la stretta 2-transitività non basta più per ottenere un piano affine. Questo sarà approfondito nel capitolo 3. Nota 2.1.11. Nel piano affine π di ordine n individuato da un insieme G strettamente 2-transitvo sull insieme E, E = n, ogni fascio di rette parallele distinto dai fasci dei generatori è un insieme strettamente 1-transitivo su E. Di tali fasci ne esistono esattamente n 1 e pertanto esistono n 1 insiemi di permutazioni regolari e distinti che agiscono su n elementi. Approfondiamo lo studio dei gruppi e degli insiemi di permutazioni k-transitivi. Teorema 2.1.12. Sia G un gruppo di permutazioni su un insieme E. G è strettamente k-transitivo su E se e solo se G è k-transitivo su E e solo l identità fissa k elementi comunque scelti in E. Dimostrazione. Sia G strettamente k-transitivo su E. E ovvio che G è k-transitivo su E; inoltre l identità appartiene a G essendo questo un gruppo e l identità fissa sempre k elementi comunque scelti in E. Infine l identità è l unico elemento di G che fissa k elementi di E perchè per ipotesi G è strettamente k- transitivo. Viceversa sia G k-transitivo su E e tale che solo l identità fissa k elementi comunque scelti in E. Consideriamo due k-uple di elementi distinti di E, siano

CAPITOLO 2 - Gruppi e insiemi di permutazioni k-transitivi 11 (x 1,..., x k ) e (y 1,..., y k ) con x i x j, y i y j per i j. Poichè G è k-transitivo esiste α G tale che α(x i ) = y i, i = 1,..., k. Se esistesse anche β G tale che β(x i ) = y i, i = 1,..., k, allora risulterebbe β 1 α G con β 1 α(x i ) = x i, i = 1,..., k e pertanto dall ipotesi seguirebbe β 1 α = identità da cui α = β. Nota 2.1.13. Il teorema 2.1.12 non vale se G non é un gruppo. Definizione 2.1.14. Sia G un insieme di permutazioni su un insieme E e sia a E. Si chiama stabilizzatore di a l insieme G a = {α G α(a) = a}. Se a 1, a 2,..., a h E si chiama stabilizzatore di a 1, a 2,..., a h l insieme G a1,...,a h = {α G α(a i ) = a i con i = 1,..., h}. Nota 2.1.15. Lo stabilizzatore di un elemento dipende dall insieme di permutazioni G fissato ed ha un ruolo importante nello studio di G. Nota 2.1.16. Se G è un gruppo lo stabilizzatore di un elemento è un sottogruppo di G e quindi di Sym E. Teorema 2.1.17. Sia G un insieme di permutazioni k-transitivo su un insieme E e sia a E. Lo stabilizzatore G a è un insieme (k-1)-transitivo su E {a}. Dimostrazione. Fissiamo due (k-1)-uple in E {a}, (x 1, x 2,..., x k 1 ), (y 1,..., y k 1 ) con x i x j e y i y j se i j. Poichè G è k-transitivo su E esiste α G tale che ( ) a x1 x α : 2... x k 1 a y 1 y 2... y k 1 e siccome α(a) = a si ha α G a e pertanto G a è (k-1)-transitivo su E {a}. Nota 2.1.18. Se G è un gruppo k-transitivo su E e a E allora G a è un gruppo (k-1)-transitivo su E {a}.

CAPITOLO 2 - Gruppi e insiemi di permutazioni k-transitivi 12 Teorema 2.1.19. Sia G un gruppo di permutazioni su un insieme E, G transitivo su E e sia a E. Se G a è (k-1)-transitivo su E {a} (risp. strettamente (k-1)-transitivo su E {a}), allora G è un gruppo di permutazioni k-transitivo su E (risp. strettamente k-transitivo su E). Dimostrazione. Siano (x 1,..., x k ) e (y 1,..., y k ) due k-uple di elementi di E con x i x j, y i y j se i j. Poichè G è transitivo su E, esiste α G tale che α(x 1 ) = a ed esiste β G tale che β(y 1 ) = a. Sia γ G a tale che γ(α(x i )) = β(y i ) con i = 2,.., k. La permutazione γ esiste certamente in G a perchè G a è (k-1)- transitivo su E {a} ed è α(x i ) a e β(y i ) a per ogni i = 2,..., k. Essendo G un gruppo si ha β 1 γα G e β 1 γα(x i ) = y i per ogni i = 1,..., k, quindi G è k-transitivo su E. Inoltre se G a è strettamente (k-1)-transitivo su E {a}, l unico elemento di G che fissa a, x 2,.., x k è l identità; infatti poiché G é k-transitivo su E, esiste δ G tale che δ(a) = a, δ(x i ) = x i con i = 2,..., k. La permutazione δ fissa k-1 elementi di E {a} e δ G a, allora per la stretta (k-1)-transitività di G a, δ è l identità in G a ossia fissa tutti gli elementi di E {a} e poiché é anche δ(a) = a si ha che δ fissa tutti gli elementi di E, cioé é l identità anche in G, allora per il teorema 2.1.12 G è strettamente k-transitivo su E. Corollario 2.1.20. Sia G un gruppo di permutazioni su E e a E. G é strettamente k-transitivo su E se e solo se G a é strettamente (k-1)-transitivo su E {a}. Dimostrazione. Segue dai teoremi 2.1.17 e 2.1.19. Teorema 2.1.21. Sia G un gruppo di permutazioni su un insieme E, sia G transitivo su E. Se a, b E allora G a è coniugato con G b. Dimostrazione. Si deve dimostrare che esiste α G tale che α 1 G b α = G a. Il gruppo G è per ipotesi transitivo e pertanto esiste α G tale che α(a) = b. Le permutazioni αg a α 1 fissano b, infatti per ogni γ G a si ha αγα 1 (b) = αγ(a) = α(a) = b. Risulta pertanto αg a α 1 G b da cui G a α 1 G b α. Analogamente le permutazioni di α 1 G b α fissano a e perciò risulta anche α 1 G b α G a. Resta così provato α 1 G b α = G a. Corollario 2.1.22. Sia G un insieme di permutazioni su un insieme E, sia G transitivo su E. Se a, b E allora G a è isomorfo a G b. Dimostrazione. La relazione di coniugio che lega gli stabilizzatori determina l isomorfismo.

CAPITOLO 2 - Gruppi e insiemi di permutazioni k-transitivi 13 Teorema 2.1.23. Sia G un gruppo di permutazioni k-transitivo su un insieme E finito, E = n. Siano x 1,..., x k elementi distinti di E. Si ha G = G x1,...,x k n(n 1)... (n k + 1) Dimostrazione. Poichè lo stabilizzatore G x1,...,x k è un sottogruppo di G, basta dimostrare che n(n 1)... (n k + 1) è il suo indice in G. G è finito e perciò l indice di G x1,...,x k coincide con il numero dei laterali distinti. Fissati α, β G, i due laterali αg x1,...,x k e βg x1,...,x k coincidono se e solo se α(x i ) = β(x i ) con i = 1,..., k, pertanto i laterali distinti sono tanti quante le possibili k-uple distinte di elementi distinti di E, ossia sono n(n 1)... (n k + 1) da cui segue la tesi. Teorema 2.1.24. Sia G un insieme di permutazioni strettamente k-transitivo su un insieme E tale che 1 E G e αβ G per ogni α, β G. Allora G è un gruppo. Dimostrazione. Poichè G S E, basta dimostrare che G è un sottogruppo di S E. Per ipotesi αβ G per ogni α, β G. Rimane da dimostrare che se α G allora anche α 1 G. Sia α G e sia α(x i ) = y i, i = 1,..., k; siccome G è strettamente k-transitivo, esiste ed è unica β G tale che β(y i ) = x i, i = 1,..., k. Per ipotesi βα G e risulta βα(x i ) = x i, i = 1,..., k e pertanto βα = 1 E da cui β = α 1 e perciò α 1 G. Teorema 2.1.25. Sia G un insieme di permutazioni k-transitivo su un insieme E tale che 1 E G. Se α β G per ogni α, β G e solo l identità fissa k elementi distinti di E, allora G è un gruppo strettamente k-transitivo su E. Dimostrazione. Poichè G per ipotesi è chiuso rispetto al prodotto, per dimostrare che è un gruppo basta dimostrare che ogni elemento di G ha l inverso che sta in G. Sia α G, α(x 1 ) = y 1,..., α(x k ) = y k. Poichè G è k-transitivo esiste β G tale che β(y 1 ) = x 1,..., β(y k ) = x k, inoltre per ipotesi βα G e βα fissa gli elementi x 1, x 2,..., x k ; poichè per ipotesi solo l identità fissa k elementi risulta βα = 1 E da cui α 1 = β G e pertanto G è un gruppo. Dimostriamo ora che G è strettamente k-transitivo. Per ipotesi G è k-transitivo, supponiamo per assurdo che esistano α, β G tali che α(x 1 ) = β(x 1 ) = y 1,..., α(x k ) = β(x k ) = y k, allora β 1 α G e β 1 α fissa gli elementi x 1,..., x k perciò per l ipotesi fatta risulta β 1 α = 1 E da cui α = β. Teorema 2.1.26. Sia G un insieme di permutazioni su un insieme E. Se G è transitivo su E e se αβ = βα per ogni α, β G allora G è un gruppo abeliano e regolare su E.

CAPITOLO 2 - Gruppi e insiemi di permutazioni k-transitivi 14 Dimostrazione. Da inserire. Esempio 2.1.27. S n è strettamente n-transitivo su E. Segue dalla definizione di S n. Esempio 2.1.28. S n è strettamente (n-1)-transitivo su E. Infatti fissate due (n-1)-uple (x 1,..., x n 1 ), (y 1,..., y n 1 ) di elementi distinti di E, la permutazione che trasforma gli x i negli y i muta anche l unico elemento di E diverso dagli x i nell unico elemento di E diverso dagli y i e pertanto questa permutazione è unica. Esempio 2.1.29. A n è strettamente (n-2)-transitivo su E. Infatti siano x 1,..., x n 2 e y 1,..., y n 2 due (n-2)-uple di elementi distinti di E. Rimangono determinate le due n-uple (x 1,..., x n 2, a, b) e (y 1, y 2,..., y n 2, c, d). In S n esistono α e β tali che α : ( x1... x n 2 a b y 1... y n 2 c d ) β : ( x1... x n 2 a b y 1... y n 2 d c e queste sono le uniche permutazioni di S n che trasformano x 1,..., x n 2 in y 1,..., y n 2. Inoltre una sola tra le permutazioni α e β è di classe pari perchè α 1 β è una trasposizione (e quindi di classe dispari). Dunque in A n esiste un unica permutazione che trasforma gli x i negli y i perciò A n è strettamente (n-2)-transitivo su E. ) Per i gruppi di permutazioni k-transitivi su n elementi, i casi k = n, k = n 1, k = n 2 sono considerati banali. Nel caso più generale in cui G sia un insieme non gruppo, si ha il seguente teorema. Teorema 2.1.30. Sia G un insieme di permutazioni su un insieme finito E, E = n 3. Se G è strettamente (n-2)-transitivo su E, allora G = A n oppure G = S n A n. Dimostrazione. La dimostrazione si suddivide in due casi a seconda che la permutazione identitá 1 E appartenga oppure no all insieme G. Ricordiamo che A n è un sottogruppo di indice due in S n e i due laterali sono A n e S n A n.

CAPITOLO 2 - Gruppi e insiemi di permutazioni k-transitivi 15 (1) Sia 1 E G. Si dimostra per induzione che G = A n. Sia n = 3, allora G è strettamente 1-transitivo e perciò G = 3 e gli elementi di G diversi dall identità non fissano nessun elemento pertanto risulta G = { ( 1 2 3 1 E, 2 3 1 ) ( 1 2 3, 3 1 2 ossia G = A n. Sia n > 3; l ipotesi induttiva è che ogni insieme di permutazioni strettamente ((n-1)-2)=(n-3)-transitivo su n-1 elementi contenente l identità è il gruppo A n 1. Osserviamo che se G è strettamente (n-2)-transitivo su n elementi si ha G = n(n 1)... (n (n 2) + 1) = n!, ossia G = A 2 n. Per dimostrare che G coincide con A n basta quindi provare che G non contiene permutazioni di classe dispari. Per assurdo supponiamo che esista σ G di classe dispari; scriviamo σ come prodotto di cicli disgiunti σ = σ 1... σ h. Poichè σ è di classe dispari almeno uno dei cicli σ i (o comunque un numero dispari di essi) è di classe dispari. I cicli sono disgiunti e quindi permutabili e pertanto non è restrittivo supporre che sia σ 1 di classe dispari. Sia σ 1 = (x 1 x 2...x 2k ). Consideriamo il ciclo τ 1 = (x 1 x 2...x 2k 1 ) e la permutazione τ = τ 1 σ 2...σ h. La permutazione τ è di classe pari e fissa almeno l elemento x 2k (perchè non compare in τ 1 nè in σ i, i = 2,..., h) e pertanto τ A n 1. Lo stabilizzatore G x2k è strettamente (n-3)-transitivo su E {x 2k } e contiene l identità; perciò, per l ipotesi induttiva, si ha G x2k = A n 1. Allora τ A n 1 = G x2k G da cui τ G e quindi τ G, σ G. Ciò è assurdo in quanto τ e σ agiscono allo stesso modo sugli elementi di E {x 2k 1, x 2k } perchè differiscono solo nei cicli τ 1 e σ 1 i quali hanno azioni diverse solo sugli elementi x 2k 1 e x 2k. Le permutazioni τ e σ sono distinte e agiscono allo stesso modo su (n 2) elementi di E, ma ciò è assurdo per la stretta (n-2)-transitività di G. (2) Sia 1 E / G. Si dimostra che G = S n A n. Sia α G; si ha α 1 G insieme di permutazioni su E con 1 E = α 1 α α 1 G e perciò per il caso (1) si ha α 1 G = A n, G = αa n. Non può essere αa n = A n perchè si avrebbe G = A n da cui 1 E G contro l ipotesi. Dunque αa n A n e pertanto αa n = S n A n ossia G = S n A n. )}

CAPITOLO 2 - Gruppi e insiemi di permutazioni k-transitivi 16 2. Considerazioni finali e problemi aperti (1) Tutti i gruppi finiti strettamente k-transitivi, k 2, sono noti. Per K 4 sono noti anche tutti i grupi strettamente k-transitivi non finiti. (2) Per k = 2 e per k = 3 esistono esempi di insiemi di permutazioni G, finiti e non finiti, contenenti la permutazione identitá i quali sono strettamente k-transitivi e non sono gruppi. (3) Per k 4 non vi è alcun esempio di insieme strettamente k-transitivo, contenente la permutazione identitá che non sia un gruppo. (4) A.Bonisoli, P.Quattrocchi hanno dimostrato che per qualunque k 4, se G è un insieme strettamente k-transitivo finito contenente la permutazione identitá e tale che α 1 G per ogni α G allora G è un gruppo. Esso è il gruppo simmetrico oppure il gruppo alterno oppure il gruppo M 4,11 oppure il gruppo M 5,12. ( Each Invertible Sharply d-transitive Finite Permutation set with d 4 is a group. Journal of Algebraic Combination, 12, (2000 Olanda), p.p. 239-248.) (5) Nel lavoro di Bonisoli-Quattrocchi sopra citato si dimostra anche che: un insieme di permutazioni su 11 elementi strettamente 4-transitivo contenente la permutazione identità è necessariamente il gruppo di Mathieu M 4,11. Un insieme di permutazioni su 12 elementi strettamente 5-transitivo contenente la permutazione identitá è necessariamente il gruppo di Mathieu M 5,12. Per k 6 non esistono insieme strettamente k-transitivi su un insieme finito con almeno k + 3 elementi. (6) Problema aperto: un insieme G strettamente 3-transitivo finito contenente la permutazione identitá e tale che α 1 G per ogni α G é un gruppo?

CAPITOLO 3 Gruppi e insiemi di permutazioni 2-transitivi 1. Definizioni e teoremi I gruppi strettamente 2-transitivi finiti sono tutti noti. Oltre ai gruppi banali S 2, S 3, A 4 esistono infinite famiglie di gruppi strettamente 2-transitivi che sono state classificate da Zassenhaus nel 1936. I gruppi strettamente 2-transitivi non banali sono dati dalle trasformazioni affini su un quasicorpo associativo planare oppure su uno pseudocorpo; i primi (quelli su un quasicorpo associativo planare) determinano un piano affine ed inoltre non occorre l ipotesi di planarità se il quasicorpo associativo è finito. Iniziamo con il dare un esempio di gruppo strettamente 2-transitivo. Esempio 3.1.1. Sia K un campo, finito o no; per ogni a, b K, a 0, l applicazione definita da α a,b : K K, α a,b (x) = ax+b è una permutazione. Sia G = {α a,b a K, b K}. L insieme G così definito è un gruppo di permutazioni strettamente 2-transitivo su K, sottogruppo di Sym K. (1) G è un gruppo se α a,b, α c,d G allora si ha α a,b α c,d = α h,k con h = ac 0, k = ad+b e pertanto α a,b α c,d G; α 1,0 : x x è elemento neutro per G; se α a,b G allora α a 1, a 1 b G è la sua inversa. (2) G è transitivo Per ogni x K esiste in G una permutazione che trasforma 0 in x, infatti basta considerare un applicazione del tipo α a,x con a 0. Comunque presi x, y K, si considerino le permutazioni α, β G tali che α(0) = x, β(0) = y, allora risulta βα 1 (x) = y con βα 1 G e pertanto G è transitivo su K. (3) G 0 è strettamente 1-transitivo su K {0} Gli elementi di G 0 sono tutte e sole le permutazioni del tipo α a,0. Per ogni x, y K esiste ed è unica la permutazione α G 0 tale che α(x) = y, essa è la permutazione α yx 1,0; pertanto lo stabilizzatore G 0 è strettamente 1-transitivo su K. 17

CAPITOLO 3 - Gruppi e insiemi di permutazioni 2-transitivi 18 Per il teorema 2.1.19 rimane dimostrato che G è strettamente 2-transitivo essendo verificate(2) e (3). Il gruppo G dell esempio 3.1.1 è indicato con AG(1, K) ed è detto gruppo delle affinità sulla retta affine. Definizione 3.1.2. Sia G un insieme di permutazioni strettamente 2-transitivo su E. L insieme G è detto planare se comunque presi a, b E e comunque preso β G con β(a) b, esiste una ed una sola permutazione α G tale che α(a) = b e α(x) β(x) per ogni x E. Il gruppo G = AG(1, K) é un esempio di gruppo strettamente 2-transitivo planare. La proprietá di planaritá non vale per tutti gli insiemi strettamente 2- transitivi ma vale sempre nel caso in cui l insieme sia finito. Teorema 3.1.3. Se G è un insieme strettamente 2-transitivo su un insieme E finito allora G è planare. Dimostrazione. Sia E = n, siano a, b E, a b, e sia β G tale che β(a) = c b. Per la stretta 2-transitività, in G esistono esattamente n 1 permutazioni α tali che α(a) = b perchè fissato un qualunque elemento a E {a} le permutazioni di G che trasformano (a, a) in (b, y) sono tante quante sono le possibilità di scelta per y ossia sono n 1 essendo y E {b}. Sia β 1 (b) = d, ovviamente d a per l ipotesi β(a) b e pertanto una permutazione γ G tale che γ(a) = b può avere la stessa azione di β solo su x tale che x E {a, d}. Per la stretta 2-transitività di G, per ogni x E {a, d} esiste una ed una sola permutazione che trasforma (a, x) in (b, β(x)) e pertanto le permutazioni γ tali che γ(a) = b e γ(x) = β(x) sono n 2. Rimane così dimostrato che in G vi è esattamente 1 = (n 1) (n 2) permutazione che trasforma a in b e non ha la stessa azione di β su alcun elemento di E. I prossimi risultati mettono in evidenza alcune proprietà di particolari elementi di un gruppo G strettamente 2-transitivo (non necessariamente planare). Definizione 3.1.4. Sia G un gruppo di permutazioni su E, una permutazione j G si dice textbfinvoluzione se j 2 = 1 E, j 1 E. Nota 3.1.5. Se α é una involuzione, da α 2 = 1 E segue che α(y) = x implica α(x) = y ossia α é una simmetria.

CAPITOLO 3 - Gruppi e insiemi di permutazioni 2-transitivi 19 Teorema 3.1.6. Le involuzioni di un gruppo G strettamente 2-transitivo sono a due a due coniugate. Dimostrazione. Ricordiamo anzitutto che due elementi g 1 e g 2 di un gruppo H si dicono coniugati se esiste x H tale che g 2 = x 1 g 1 x. Siano j 1 e j 2 G involuzioni distinte, e sia ( ) ( ) a b... a c... j 1 =, j b a... 2 = c a... con b c; queste involuzioni esistono certamente perchè G è strettamente 2-transitivo. Per la stretta 2-transitività di G, esiste γ G tale che ( ) a c... γ = a b... e si ha γ 1 j 1 γ = j 2. Nota 3.1.7. Sia G un gruppo strettamente 2-transitivo, allora: in G esiste almeno una involuzione, basta prendere g G tale che g(a) = b, g(b) = a con a b; una involuzione j G ha al più un punto fisso perchè se ne avesse più di uno agirebbe come l identità; se G è su E con E = n dispari allora ogni involuzione di G ha esattamente un punto fisso. Teorema 3.1.8. Sia G un gruppo strettamente 2-transitivo, si possono avere due casi: (1) tutte le involuzioni di G hanno un elemento fisso; (2) tutte le involuzioni di G sono prive di elementi fissi. Dimostrazione. Sia j 1 G una involuzione con un elemento fisso, j 1 (x) = x. Ogni altra involuzione j 2 G è coniugata a j 1 tramite una opportuna permutazione γ G; posto j 2 = γ 1 j 1 γ si ha che j 2 fissa l elemento γ 1 (x). Si conclude pertanto che in G o tutte le involuzioni fissano un elemento o nessuna involuzione fissa un elemento. Esempio 3.1.9. Sia G = AG(1, K). (1) Se K ha caratteristica 2 allora le involuzioni di G sono prive di punti fissi. Infatti in questo caso le involuzioni sono le applicazioni g(x) = x + b con b K e queste sono prive di punti fissi.

CAPITOLO 3 - Gruppi e insiemi di permutazioni 2-transitivi 20 (2) Se K ha caratteristica diversa da 2, le involuzioni sono le applicazioni h(x) = x + b con b K e queste hanno tutte un punto fisso, è l elemento x = b(2u) 1 dove u è l unità del campo K. Teorema 3.1.10. Sia G un gruppo di permutazioni strettamente 2-transitivo sull insieme E e tale che tutte le involuzioni hanno un elemento fisso. Allora per ogni x E esiste ed è unica l involuzione j G tale che j(x) = x. Dimostrazione. Iniziamo con il dimostrare l esistenza: sia x E e sia j G una involuzione, per ipotesi j fissa un elemento di E, sia j(a) = a. Consideriamo γ G tale che γ(x) = a, risulta γ 1 jγ(x) = γ 1 j(a) = γ 1 (a) = x con γ 1 jγ involuzione di G. Dimostriamo ora l unicità: supponiamo per assurdo che esistano due involuzioni distinte j 1 e j 2 che fissano x E. Sia a E, a x, sia j 1 (a) = b, j 2 (a) = c; per la stretta 2-transitività di G ed essendo j 1 (x) = j 2 (x) = x, si ha b c, a b, a c. Le involuzioni j 1 e j 2 sono tra loro coniugate tramite γ G tale che γ(a) = a, γ(b) = c, ossia j 2 = γ 1 j 1 γ. Risulta j 2 (x) = γ 1 j 1 γ(x) = x da cui j 1 (γ(x)) = γ(x) e perciò deve essere γ(x) = x essendo j 1 id; ma allora γ G, γ(a) = a, γ(x) = x e pertanto per la stretta 2-transitività di G risulta γ = 1 E ma ciò è assurdo perchè γ(c) = b con c b. Teorema 3.1.11. Sia G un gruppo di permutazioni strettamente 2-transitivo su un insieme E. Il prodotto di due involuzioni distinte di G è una permutazione di G priva di punti fissi. Dimostrazione. Siano j 1, j 2 G due involuzioni, j 1 j 2 ; ovviamente j 1 j 2 G. Supponiamo per assurdo che sia j 1 j 2 (x) = x con x E; allora risulta j 1 (x) = j 2 (x). Sia j 1 (x) = j 2 (x) = y, per il teorema 3.1.10 deve essere x y ma allora j 1 (x) = j 2 (x) = y e j 1 (y) = j 2 (y) = x e pertanto j 1 = j 2 poichè le permutazioni agiscono allo stesso modo su due elementi diversi; ciò è assurdo per la stretta 2-transitivitá di G e per l ipotesi j 1 j 2. Nota 3.1.12. Il prodotto di due involuzioni di G è un elemento di G ma non è detto sia ancora una involuzione di G. Il seguente teorema richiama la condizione che caratterizza la condizione di planarità per i gruppi ma non assicura tale proprietà perchè non assicura la condizione di unicità.

CAPITOLO 3 - Gruppi e insiemi di permutazioni 2-transitivi 21 Teorema 3.1.13. Sia G un gruppo di permutazioni strettamente 2-transitivo su un insieme E. Comunque presi a, b E, a b, esiste α G tale che α(a) = b e α(x) x per ogni x E. Dimostrazione. Siano a, b E, a b; dividiamo la dimostrazione in due casi: (1) Sia G tale che tutte le involuzioni hanno un elemento fisso. Per il teorema 3.1.10 esiste ed è unica l involuzione j 1 G tale che j 1 (a) = a. Poichè G è strettamente 2-transitivo, esiste ed è unica l involuzione j 2 G tale che j 2 (a) = b, j 2 (b) = a. Allora risulta j 2 j 1 G, j 2 j 1 (a) = b e j 2 j 1 (x) x per ogni x E per il teorema 3.1.11. (2) Sia G tale che tutte le involuzioni sono prive di punti fissi. Sia j G tale che j(a) = b, j(b) = a; per la stretta 2-transitività di G la permutazione j esiste, è unica, è una involuzione e per l ipotesi fatta si ha j(x) x per ogni x E. I seguenti teoremi permettono di approfondire lo studio dei gruppi strettamente 2-transitivi planari. Teorema 3.1.14. Sia G un gruppo di permutazioni strettamente 2-transitivo planare su un insieme E e tale che tutte le involuzioni sono prive di punti fissi. Allora si ha: (1) Ogni elemento di G privo di punti fissi è una involuzione. (2) Detto J l insieme delle involuzioni e detto A = J {1 E }, A è un sottogruppo di G, abeliano, normale in G, regolare su E. Dimostrazione. (1) Sia α G, α(x) x per ogni x E e sia α(a) = b con a b. Sia j G tale che j(a) = b, j(b) = a; la permutazione j è una involuzione e per l ipotesi fatte j(x) x per ogni x E. Poichè G è planare, in G esiste ed è unica la permutazione che manda a in b e che non fissa nessun elemento di E e pertanto deve essere α = j ossia α è una involuzione. (2) Sia A = J {1 E }. A è un sottogruppo di G. Infatti A è chiuso rispetto al prodotto perchè j j = 1 E A per ogni j A, inoltre se j 1 j 2 la permutazione j 1 j 2 è priva di punti fissi e per quanto provato al punto (1) è allora una involuzione e pertanto j 1 j 2 A. Infine se j A anche j 1 = j A. A è abeliano. Infatti siano j 1, j 2 A, si ha j 1 j 2 = j 3 A perchè A è sottogruppo e perciò j 3 = j3 1, allora j 1 j 2 = j 3 = j 1 1 = j 2 j 1. j 1 2 j 1 3 = (j 1 j 2 ) 1 =

CAPITOLO 3 - Gruppi e insiemi di permutazioni 2-transitivi 22 A è normale in G. Infatti sia γ G, j A. Se j = 1 E allora γ 1 1 E γ = 1 E A; se j 1 E allora γ 1 jγ è la permutazione coniugata di una involuzione e quindi γ 1 jγ A. A è regolare su E. Infatti siano a, b E. Se a = b allora l unico elemento di A che fissa il punto a è l identità 1 E. Se a b allora in A esiste l involuzione j tale che j(a) = b, j(b) = a e per la planarità di G la permutazione j è unica. Teorema 3.1.15. Sia G un gruppo di permutazioni strettamente 2-transitivo planare su un insieme E e tale che tutte le involuzioni hanno un punto fisso. Sia A l insieme costituito dall identità e da tutti e soli gli elementi di G privi di punti fissi; sia J l insieme di tutte le involuzioni di G e sia j 1 J una qualunque involuzione. Allora si ha: (1) A = j 1 J = J J ; (2) A è un sottogruppo di G, abeliano, normale in G, regolare su E. Dimostrazione. (1) Per il teorema 3.1.11 si ha j 1 J A; dimostriamo che A j 1 J. Sia α A; se α = 1 E allora α = j 1 j 1 j 1 J ; se α 1 E sia α(a) = b con a, b E, a b. Sia j J tale che j(a) = j 1 (b) da cui j 1 j(a) = b, inoltre da a b segue j 1 j 1 E, j 1 j e pertanto per il teorema 3.1.11 si ha j 1 j(x) x per ogni x E. Poichè G è planare, in G esiste ed è unica la permutazione che manda a in b e non fissa nessun elemento di E e quindi j 1 j = α da cui α j 1 J. Rimane così provato che A = j 1 J ; questa uguaglianza non dipende dalla scelta di j 1 J e pertanto A = j i J = J J. j i J (2) A è un sottogruppo di G. Infatti A è chiuso rispetto al prodotto perchè j 1 j 2 j 1 j 3 = j 4 j 3 J J = A (si ricordi che j 1 j 2 j 1 è una involuzione perchè è una permutazione coniugata di una involuzione). Inoltre se j 1 j 2 A si ha (j 1 j 2 ) 1 = j2 1 j1 1 = j 2 j 1 J J = A. A è abeliano. Infatti siano j 1 j 2, j 1 j 3 A, si ha j 1 j 2 j 1 j 3 A e perciò j 1 j 2 j 1 j 3 = j 1 j 4 = j 1 j4 1 = j 1 (j 2 j 1 j 3 ) 1 = j 1 j3 1 j1 1 j2 1 = j 1 j 3 j 1 j 2. A è normale in G. Infatti sia γ G, j 1 j A; si ha γj 1 jγ 1 = γj 1 γ 1 γjγ 1 = j 2 j 3 J J = A perchè γj 1 γ 1 e γjγ 1 sono involuzioni essendo coniugate di involuzioni. A è regolare su E. Infatti siano a, b E. Se a = b allora l unico elemento di A che fissa a è l identità 1 E = j 1 j 1 J J = A. Se a b sia j J l involuzione tale che j(a) = j 1 (b); risulta j 1 j(a) = b con j 1 j J J = A e inoltre j 1 j è unica per la planarità di G.

CAPITOLO 3 - Gruppi e insiemi di permutazioni 2-transitivi 23 Corollario 3.1.16. Sia G un gruppo strettamente 2-transitivo planare su E. In G esiste un sottogruppo A che risulta abeliano, normale in G, regolare su E. Dimostrazione. Segue dai teoremi 3.1.14 e 3.1.15 Quali sono le strutture algebriche che caratterizzano i gruppi strettamente 2-transitivi? Si dimostra che: (1) i gruppi strettamente 2-transitivi sono caratterizzati dalla struttura algebrica di pseudocorpo; (2) i gruppi strettamente 2-transitivi planari sono caratterizzati dalla struttura algebrica di quasicorpo associativo planare. Come risulta dalla definizione di pseudocorpo e di quasicorpo associativo di seguito riportate, la struttura di pseudocorpo è più debole di quella di quasicorpo associativo. Non si conoscono esempi di pseudocorpi che non siano quasicorpi associativi mentre sono noti quasicorpi associativi non planari. Probema aperto: esistono pseudocorpi che non siano quasicorpi associativi? Richiamiamo le definizioni delle strutture algebriche sopra citate. Definizione 3.1.17. Sia E un insieme non vuoto e + una operazione binaria interna ad E. La struttura (E, +) si dice cappio se: (1) Esistono e sono unici x, y E tali che a + x = b, y + a = b per ogni a, b E. (2) Esiste 0 E tale che 0 + a = a + 0 = a per ogni a E. Definizione 3.1.18. Sia E un insieme non vuoto e siano + e due operazioni binarie interne ad E. La struttura (E, +, ) si dice pseudocorpo se: (1) (E, +) è un cappio, sia 0 l elemento neutro; (2) per ogni a, b, c E si ha (a + b) + c = h b,c a + (b + c) con h b,c E e dipendente solo da b e da c (questa proprietà è detta pseudoassociativa); (3) (E, ) è un gruppo, E = E {0}; (4) 0 a = 0 per ogni a E; (5) a (b + c) = a b + a c per ogni a, b, c E.

CAPITOLO 3 - Gruppi e insiemi di permutazioni 2-transitivi 24 Definizione 3.1.19. Sia E un insieme non vuoto e siano + e due operazioni binarie interne ad E. La struttura (E, +, ) si dice quasicorpo associativo se: (1) (E, +) è un gruppo abeliano, sia 0 l elemento neutro; (2) (E, ) è un gruppo, E = E {0}; (3) 0 a = 0 per ogni a E; (4) a (b + c) = a b + a c per ogni a, b, c E. Definizione 3.1.20. Sia E un insieme non vuoto e siano + e due operazioni binarie interne ad E. La struttura (E, +, ) si dice quasicorpo associativo planare se: (1) (E, +, ) è un quasicorpo associativo. (2) Per ogni a, b, c E, a b, esiste x E tale che a x = b x + c. Valgono i seguenti teoremi di cui non riportiamo la dimostrazione. Teorema 3.1.21. Ogni quasicorpo associativo finito è planare. Teorema 3.1.22. Sia G un gruppo di permutazione strettamente 2-transitivo su un insieme E. Si possono definire in E due operazioni + e tali che (E, +, ) risulti uno pseudocorpo e gli elementi di G si possono rappresentare nella forma x a x + b, a E, b E. Viceversa sia (E, +, ) uno pseudocorpo, sia E = E {0} e sia G = {α α(x) = a x + b, a E, b E}. G è un gruppo di permutazioni strettamente 2-transitivo su E. Teorema 3.1.23. Sia G un gruppo di permutazioni su E, G strettamente 2-transitivo e planare. Si possono definire in E due operazioni + e tali che (E, +, ) risulti un quasicorpo associativo planare e gli elementi di G si possono rappresentare nella forma x a x + b, a E, b E.

CAPITOLO 3 - Gruppi e insiemi di permutazioni 2-transitivi 25 2. Esempi di Quasicorpi associativi non planari Concludiamo il capitolo riportando tre esempi di quasicorpi associativi non planari. Esempio 3.2.1. L esempio è dovuto a Helmut Karzel. Consideriamo il campo dei numeri reali (R, +, ) e fissiamo un suo ampliamento trascendente { } a0 + a 1 t +... + a n t n R(t) = b 0 + b 1 t +... + b m t n, m N, b m i non tutti nulli. A partire dal campo (R(t), +, ) costruiamo una famiglia di quasicorpi associativi non planari deformando l operazione di moltiplicazione. Notiamo che se x R(t) allora x può essere rappresentato nella forma x = p(t) q(t) = a 0 + a 1 t +... + a n t n b 0 + b 1 t +... + b m t m con a n, b m 0 e con p(t), q(t) 0 e primi fra loro. Definiamo allora x = a n b m. Se consideriamo l applicazione ϕ : (R(t), ) (R, ) tale che ϕ(x) = x essa è un omomorfismo di gruppi perchè banalmente ϕ(x 1 x 2 ) = ϕ(x 1 )ϕ(x 2 ), inoltre ϕ è un isomorfismo se e solo se restringiamo l immagine a (R +, ). Fissiamo a R +, a 1; per ogni x R(t) definiamo 0 x = 0 e per ogni x R(t), per ogni y R(t) definiamo x y = f 1(t) f 2 (t) g 1(t) g 2 (t) = f 1(t) f 2 (t) g1(t + lg a x) g 2 (t + lg a x). Proviamo che la struttura (R(t), +, ) è un quasicorpo associativo non planare. (R(t), +, ) è un quasicorpo associativo. Infatti: (1) (R(t), +) è un gruppo perché l operazione di addizione non è stata modificata. (2) Per le proprietà dei logaritmi si ha che (R(t), ) è un gruppo: è una operazione binaria interna; esiste l elemento neutro ed è il polinomio costante 1; esiste l elemento inverso: per ogni x R(t) se x = f 1(t) f 2 (t) allora x 1 = f 2(t lg a x) f 1 (t lg a x) ; vale la proprietà associativa. (3) Dalla definizione posta si ha che per ogni x R(t) risulta 0 x = 0. (4) Vale la proprietà distributiva a sinistra, come si può facilmente verificare.