Fondamenti di Informatica - 1 Prof. B.Buttarazzi A.A. 2011/2012
Sommario I sistemi di numerazione Il sistema binario Altri sistemi di numerazione Algoritmi di conversione Esercizi 07/03/2012 2
Sistemi di numerazione Un sistema numerico o di numerazione è un linguaggio che permette di rappresentare i numeri e, come tale, si compone di: un alfabeto (l'insieme di simboli), una grammatica: le regole con le quali comporre sequenze valide (sintassi) e quelle per dedurne il significato numerico (semantica).
Sistema di numerazione romano Sistema di numerazione additivo basato sull uso di simboli associati a un valore numerico XXVII (romano) = 27 (decimale) Simboli: I = 1 V = 5 X = 10 L = 50 C = 100 D = 500 M = 1000 non è presente un simbolo che rappresenta 0
Sistema di numerazione romano REGOLE DI CALCOLO 27 è compreso fra 20 e 30 XX (parte residua non rappresentata: 7) 7 è compreso fra 5 e 10 V (parte residua non rappresentata: 2) 2 si rappresenta direttamente II 27 si rappresenta in romano con la stringa di simboli XXVII
Sistema di numerazione posizionale Nel sistema numerico posizionale il valore di ogni cifra che compare nella rappresentazione del numero dipende dalla posizione che occupa. Il numero di cifre diverse usate da un sistema numerico prende il nome di BASE. Ogni cifra è moltiplicata per una potenza della base. Ad es: 321 10 = 3x10 2 + 2x10 1 + 1x10 0 = 3x100 + 2x10 +1x1 = 321 10
Sistemi di numerazione posizionali
Sistemi di numerazione posizionali
Sistemi di numerazione posizionali Decimale (es. 2002 10 ): cifre 2 0 0 2 pesi 10 3 10 2 10 1 10 0 cifre x pesi 2000 0 0 2 Binario (es. 0111 2 = 7 10 ): cifre 0 1 1 1 pesi 2 3 2 2 2 1 2 0 cifre x pesi 0 4 2 1
Conversioni di base Da qualsiasi base (B) a decimale (10): Osservando che comunque in una notazione posizionale si ha N B = B 0 *d 0 + B 1 * d 1 + B 2 * d 2 + B 3 * d 3 +... d w d w-1.. d 1 d 0 N k j 10 j c j 10 0 c k c k-1.. c 1 c 0
Conversioni di base Da qualsiasi base (B) a decimale (B=10): Osservando che comunque in una notazione posizionale si ha N 2 =1011= B 0 *d 0 + B 1 * d 1 + B 2 * d 2 + B 3 * d 3 +... =1*1+2*1+4*0+8*1 =1+2+8= 11 d w d w-1.. d 1 d 0 N k j 10 j c j 10 0 =1*1+10*1= 11 c k c k-1.. c 1 c 0
Conversioni di base Da qualsiasi base (B) a decimale (B=10) Metodo del calcolo della espressione polinomiale associata c w c w-1.. c 1 c 0 N w j 10 j c j 10 0 b k b k-1.. b 1 b 0
Conversione: base 16 base 10 Trasformare 1F4 16 in decimale cifre 1 F 4 pesi 16 2 16 1 16 0 cifre x pesi 1*16 2 15*16 4*1 N w j 10 j c j b 0
Conversione: base 16 base 10 Trasformare 1F4 16 in decimale cifre 1 F 4 pesi 16 2 16 1 16 0 500 10 = 1F4 16 cifre x pesi 256 240 4
Conversioni di base Da decimale (10) a qualsiasi base (B): n = 10 0 *c 0 + 10 1 * c 1 + 10 2 * c 2 + 10 3 * c 3 +... n = B 0 *d 0 + B 1 * d 1 + B 2 * d 2 + B 3 * d 3 +... ovvero n = d 0 + B *( d 1 + B 1 * d 2 + B 2 * d 3 +... ) che si può riscrivere come: n = d 0 + B *( d 1 + B 1 * (d 2 + B 2 * (d 3 +... )))) d 0 si può ricavare come resto della divisione intera n / B
Conversioni di base Da decimale (10) a qualsiasi base (B): n = 10 0 *c 0 + 10 1 * c 1 + 10 2 * c 2 + 10 3 * c 3 +... n = B 0 *d 0 + B 1 * d 1 + B 2 * d 2 + B 3 * d 3 +... ovvero n = d 0 + B *( d 1 + B 1 * d 2 + B 2 * d 3 +... ) che si può riscrivere come: n = d 0 + B *( d 1 + B 1 * (d 2 + B 2 * (d 3 +... )))) Considerando il quoziente q della divisione intera q = d 1 + B 1 * (d 2 + B 2 * (d 3 +... ))))
Conversioni di base Da decimale (10) a qualsiasi base (B): n = 10 0 *c 0 + 10 1 * c 1 + 10 2 * c 2 + 10 3 * c 3 +... n = B 0 * d 0 + B 1 * d 1 + B 2 * d 2 + B 3 * d 3 +... ovvero n = d 0 + B *( d 1 + B 1 * d 2 + B 2 * d 3 +... ) che si può riscrivere come: n = d 0 + B *( d 1 + B 1 * (d 2 + B 2 * (d 3 +... )))) le altre cifre si possono ottenere allo stesso modo, iterando il procedimento fino a quando si ottiene come quoziente 0, secondo il metodo delle divisioni successive
Conversioni di base Da decimale a qualsiasi base: Metodo delle divisioni successive c w c w-1.. c 1 c 0 b k b k-1.. b 1 b 0 le cifre vengono prodotte nell'ordine dalla meno significativa (b 0 ) (LSB) alla più significativa (b k )(MSB)
Conversioni di base Metodo delle divisioni successive Per convertire il numero n in una stringa di cifre che ne rappresentino il valore in base B si divide n per B il resto costituisce la cifra meno significativa (LSB) il quoziente q serve a iterare il procedimento se tale quoziente è zero, l algoritmo termina; se non lo è, si assume come nuovo valore q si itera il procedimento con il valore q
Conversione: base 10 base 2 11 2 Trasformare 11 10 in base 2. 1 5 2 1 2 2 0 1 2 1 0 11 10 = 1011 2
Conversione: base 10 base 12 Trasformare 500 10 in base 12 500 12 20 41 12 8 3 12 5 0 cifre 3 5 8 pesi 12 2 12 1 12 0 cifre x pesi 432 60 8 3 500 10 = 358 12
Metodo semplificato: base 10 base 2 Da base 10 a base 2 (es. 50 10 ): dividere per 2 corrisponde a stabilire se un numero è pari o dispari. 50 0 25 1 12 0 6 0 50 10 = 110010 2 3 1 1 1 0
Metodo semplificato: base 2 base 10 Da base 2 a base 10 (es. 110010 2 ): le potenze di 2 sono facilmente calcolabili. 110010 2 2 16 32 + = 50 110010 2 = 50 10
Conversione base B1 base B2 In generale, non è possibile convertire direttamente un numero rappresentato in base B1 in un numero in base B2, a meno che una delle due basi non sia la base 10. Bisogna prima passare dalla base B1 alla base 10 (attraverso la forma polinomia), e poi passare dalla base 10 alla base B2 (attraverso il metodo delle divisioni successive ). Ci sono però dei casi in cui la conversione diretta è possibile.
CONVERSIONE TRA BASI POTENZA UNA DELL ALTRA Le rappresentazioni R1 e R2 di uno stesso numero su basi B1 e B2 che sono una potenza dell altra sono strettamente correlate: se B1=2 e B2 = 2 n ogni cifra nella rappresentazione R1 corrisponde a n cifre nella rappresentazione R2 in particolare ogni cifra ottale corrisponde a 3 cifre binarie 1 0 1 1 1 0 1 0 0 = 5 6 4 ottale
CONVERSIONE TRA BASI POTENZA UNA DELL ALTRA Le rappresentazioni R1 e R2 di uno stesso numero su basi B1 e B2 che sono una potenza dell altra sono strettamente correlate: se B1=2 e B2 = 2 n ogni cifra nella rappresentazione R1 corrisponde a n cifre nella rappresentazione R2 in particolare ogni cifra esadecimale corrisponde a 4 cifre binarie Esempio 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 = 1 7 4 esadecimale
CONVERSIONE TRA BASI POTENZA UNA DELL ALTRA Le rappresentazioni R1 e R2 di uno stesso numero su basi B1 e B2 che sono una potenza dell altra sono strettamente correlate: se B1=2 e B2 = 2 n ogni cifra nella rappresentazione R1 corrisponde a n cifre nella rappresentazione R2 in particolare ogni cifra esadecimale corrisponde a 4 cifre binarie Esempio 2 1 0 1 0 0 0 1 1 = A 3 esadecimale
CONVERSIONE DA BINARIO A OTTALE/ESADECIMALE Per i numeri ottali è sufficiente suddividere il numero binario in gruppi di 3 bit (a partire da destra) e convertire ogni singolo gruppo nel corrispondente ottale: 1 0 1 1 1 0 1 0 0 = 5 6 4 ottale Per i numeri esadecimali è sufficiente suddividere il numero binario in gruppi di 4 bit (a partire da destra) e convertire ogni gruppo nel corrispondente esadecimale: 1 0 1 0 0 0 1 1 = A 3 esadecimale
CONVERSIONE INVERSA DA OTTALE/ESADECIMALE A BINARIO Per passare da un numero ottale a binario è sufficiente rappresentare con 3 bit ciascuna cifra ottale 5 6 4 ottale 1 0 1 1 1 0 1 0 Per passare da un numero esadecimale a binario è sufficiente rappresentare con 4 bit ciascuna cifra esadecimale A 3 0 esadecimale 1 0 1 0 0 0 1 1
Metodi semplificati: base 8 (2 3 ) base 2 (2 1 ) base 16 (2 3 ) Le trasformazioni tra basi potenza l una dell altra hanno caratteristiche algoritmiche interessanti: 1 1 1 3 7 6 2 8 2 1 4 2 1 4 2 1 4 2 1 4 2 1 4 2 1 4 2 1 01 001 001 011 111 110 010 2 01001001011111110010 2 0100 1001 0111 1111 0010 2 8 4 2 1 8 4 2 1 8 4 2 1 8 4 2 1 8 4 2 1 4 9 7 F 2 16
Confronti
Confronti
Operazioni aritmetiche Tutte le notazioni posizionali utilizzano per le operazioni aritmetiche le stesse regole, indipendentemente dalla base di rappresentazione adottata, quindi, le regole già note per la familiare rappresentazione in base 10 restano valide. Esempio addizione
Operazioni aritmetiche Esempio sottrazione
Operazioni aritmetiche Esempio moltiplicazione la tabellina del 2 non richiede di essere memorizzata ),
Esempio divisione Operazioni aritmetiche La divisione in base 2 utilizza ancora lo stesso algoritmo visto per la base 10, ma anche in questo caso con una semplificazione: non c'è più alcun bisogno di "indovinare" i quozienti parziali, dato che ogni quoziente parziale (che ha sempre una sola cifra) può essere solo 1 oppure 0, ed è uguale a 1 quando il dividendo parziale è maggiore del divisore, uguale a 0 altrimenti.
ESERCIZIO 1 1. Rappresentare il numero decimale 123 in base binaria, ottale e esadecimale 2. Convertire il numero esadecimale FA in decimale, ottale e binario
ESERCIZIO 2 Quale tra i seguenti valori corrisponde alla rappresentazione binaria del numero 254 10? a) 254 2 b) 127.5 2 c) 11111110 2 d) 11111111 10 e) 01110111 2
ESERCIZIO 3 Quale tra i seguenti è il numero successivo a 77 8? a) 78 10 b) 78 8 c) 100 2 d) 100 8 e) 80 8
ESERCIZIO 4 Quale tra i seguenti rappresenta la conversione del numero 13A H (base 16) in decimale, binario e ottale? a) 314 10, 100111010 2, 472 8 b) 314 2, 100111010 10, 472 8 c) 314 10, 111111111 2, 477 8 d) 114 10, 100111010 2, 577 8 e) 110 10, 100111010 2, 472 8
ESERCIZIO 5 Eseguire le seguenti somme: 1. (1101 + 1101); 2. (11011 + 101); 3. (1110111 +111); 4. (101101 + 110 + 11101); 5. (11111 + 11) Eseguire le seguenti moltiplicazioni: 1. (111011 * 11); 2. (10011*10); 3. (111011*1001)
ESERCIZIO 6 Eseguire le seguenti sottrazioni: 1. (1011 101); 2. (10101 11); 3. (11011 111); 4. (11000-101) Eseguire le seguenti divisioni: 1. (1101/10); 2. (100110/101); 3. (11010/111)
ESERCIZIO 7 Convertire in binario i seguenti numeri ottali: (37; 121, 7032; 976) Convertire in binario i seguenti numeri esadecimali: (37; 7032; 976;5A7B) Convertire in ottale i seguenti numeri binari (101111100; 1001000;11011110) Convertire in esadecimale i seguenti numeri binari (10111100;111110101010000; 101101110111)