Corso di Laurea a ciclo Unico in Ingegneria Edile Architettura Geotecnica e Laboratorio Distribuzione delle tensioni nel terreno per effetto di carichi in superficie Cedimenti e mail: Prof. Ing. Marco Favaretti marco.favaretti@unipd.it website: bi www.marcofavaretti.net 1
Con il termine cedimento si intende uno spostamento verso il basso di una fondazione superficiale o profonda, di un'opera in terra (rilevato stradale o ferroviario, i rilevato arginale, diga in terra, ecc.) o di una qualsiasi li iopera civile. iil Il cedimento totale viene schematizzato come somma di tre differenti contributi s t s i s c s s s i : cedimento elastico (?) immediato (distorsione) s c : cedimento di consolidazione primaria (funzione del dl tempo) s s : cedimento per compressione secondaria (funzione del tempo) 2
CEDIMENTI Il cedimento immediato si verifica subito dopo l'applicazione di un carico esterno; pur essendo dovuto a deformazioni di natura sia elastica (reversibile qualora il carico venga rimosso) sia plastica (irreversibile), viene generalmente calcolato ricorrendo alla teoria dell'elasticità, ipotizzando il terreno come un mezzo omogeneo, elastico ed isotropo. In tal modo il cedimento immediato è dovuto ad una distorsione del terreno sottostante il carico, che si deforma e cambia forma a volume costante. Il cedimento immediato coincide pressoché con il cedimento totale nei terreni granulari (ghiaie, sabbie e mescolanze di ghiaia e sabbia), mentre è generalmente una parte trascurabile del cedimento totale nel caso di terreni coesivi ii( (argille e limi). i) 3
CEDIMENTI Il cedimento di consolidazione primaria è dovuto all'espulsione di una parte dell'acqua interstiziale (l'acqua che riempie i vuoti del terreno) per effetto dell'eccesso di pressione neutrale (pressione dell'acqua) prodotto da una variazione ditensione efficace nelterreno. Nei terreni coesivi inorganici costituisce generalmente la parte più rilevante del cedimento; a causa della dll modesta permeabilità dei diterreni coesivi iiilil cedimento di consolidazione primaria si sviluppa più o meno lentamente nel tempo. Il processo è tanto più lento quanto maggiore è la plasticità del terreno. 4
CEDIMENTI Il cedimento di compressione secondaria è dovuto a fenomeni di natura viscosa, a scorrimenti interparticellari ed alla riorientazione dei grani; è caratteristico dei terreni coesivi organici e dei terreni torbosi. Si sviluppa a tensione verticale efficace costante ed è indipendente dal processo di consolidazione primaria. Didirezione opposta al cedimento è il rigonfiamento, dovuto ad un eventuale scarico tensionale conseguente allo scavo fino al piano di fondazione. 5
Calcolo del cedimento sequenza Determinazione delle condizioni iniziali profilo stratigrafico e stato tensionale iniziale ( v0 u 0 v0 ) proprietà dei terreni (c c c R c v c ) Determinazione della geometria e dell entità dei carichi agenti sulla fondazione Valutazione delle variazioni delle tensioni negli strati compressibili 1 D: v = q 0 3 D: teoria dell elasticità/metodo 2:1 Stima della pressione di preconsolidazione p e del rapporto OCR Calcolo del cedimento di consolidazione primaria s c Stima dei tempi di consolidazione Stima dell entità e della velocità dell eventuale cedimento per comprex secondaria s s Stima del cedimento immediato (o per distorsione) s i terreno coesivo: teoria dell elasticità terreno granulare: metodi empirici 6
Metodo empirico 2:1 P q B1 B z 1 B z 1 carico z 0 1 area P q B L B z L z B z L z carico 0 2 z area (1) Fondazione continua (2) Fondazione isolata 7
Esempio 01 2 metri di riempimento di terra vengono stesi e compattati ( = 2.04 Mg/m 3 ). Sopra del riempimento viene realizzata una fondazione rettangolare (3 m x 4 m) che trasmette sul terreno un carico di 1.200 kn. Ipotizza una densità iniziale del terreno di fondazione di 168M 1.68 Mg/m 3. Non sia presente falda fld freatica. 8
Esempio 01 9
Teoria di Boussinesq (1885) La teoria dell elasticità viene usata per stimare le tensioni nel sottosuolo. Il terreno non deve presentare necessariamente un comportamento elastico, almeno per quel che concerne la valutazione delle le tensioni verticali. Le deformazioni sono considerate all incirca proporzionali alle tensioni. SEMISPAZIO LINEARMENTE ELASTICO OMOGENEO, ISOTROPO z Q 3 z 2 2 r z 3 2 5 / 2 Q z 2 N La tensione verticale è indipendente dalle proprietà del terreno. Boussinesq ha ricavato anche i valori delle tensioni radiali, tangenziali e di taglio. B Carico puntiforme B = Boussinesq W = Westergaard 10
Teoria di Boussinesq (1885) SEMISPAZIO LINEARMENTE ELASTICO OMOGENEO, ISOTROPO z 2P z x 3 4 Q z 2 N w Carico lineare P 11
Area di forma circolare (raggio R) caricata uniformemente 12
Striscia continua (larghezza 2a) caricata uniformemente 13
Newmark (1935) Integrando l espressione della dia 10 su una superficie uni formemente caricata di forma rettangolare si ottiene: z q 0 I x m z n y z 14
Esempio 02 Sia caricata un area di forma rettangolare (5 m x 10 m) con una pressione uniforme di 100 kpa. 15
Superficie di forma circolare caricata con una pressione uniforme q 0 16
Carico trapezoidale di lunghezza infinita 17
Carico triangolare di lunghezza finita 18
Abaco di Newmark, 1942 19
Esempio 03 20
Teoria di Westergaard (1938) Altra teoria utilizzabile, specie in presenza di terreni stratificati, è quella di Westergaard, che considera le tensioni su un mezzo elastico, nel quale le deformazioni orizzontali sono impedite. Essa conduce a valori idll della tensione verticale minori di quelli ottenuti da Boussinesq. La soluzione di Boussinesq fornisce tuttavia risultati soddisfacenti anchein presenza di terreni stratificati e caratterizzati da costanti elastiche molto diverse. 21
Confronto tra teorie di Boussinesq e di Westergaard Per r/z < 1.5 15i valori idi (B) sono maggiori di quelli di (W). Per r/z 15le 1.5 teorie forniscono valori confrontabili 22
Confronto tra teorie di Boussinesq e di Westergaard 23
Pressione di contatto Finora è stato esaminato il problema del calcolo dei cedimenti quasi sempre nell ipotesi che l area caricata sia flessibile. Il calcolo dei cedimenti nell ipotesi di area caricata flessibile e facendo riferimento ad una distribuzione delle tensioni verticali alla Boussinesq, indica dei cedimenti del piano di fondazione sottoposto a carico uniforme, distribuiti con i valori massimi nella zona centrale e i valori minimi ai bordi, poiché questa è anche la distribuzione delle tensioni verticali sui piani orizzontali. In realtà l area è spesso caricata da un opera che ha una sua rigidezza data dalla struttura di fondazione e da quella in elevazione. L opera con la sua rigidezza influisce sulla distribuzione dei carichi sulle fondazioni e sull entità e distribuzione della pressione di contatto, cioè della pressione unitaria esistente in ciascun punto di appoggio di una fondazione sul terreno. 24
Pressione di contatto La pressione di contatto è generalmente considerata uniforme per i calcoli di strutture sotto carichi di esercizio, cioè per carichi lontani dal carico di rottura. Ma qual è l andamento della distribuzione reale di questa pressione con i carichi di esercizio e al momento della rottura, limitandosi al caso di fondazione rigida, cioè di fondazione che dà luogo ad un cedimento uniforme? Poiché il cedimento della base di una struttura perfettamente rigida è necessariamente uniforme, laripartizione i della pressione sulla base è identica alla ripartizione del carico che produce una distribuzione delle tensioni verticali nel terreno, tale da dar luogo ad un cedimento uniforme della superficie caricata. Per ottenere un cedimento uniforme è quindi necessario spostare parte del carico dal centro ai bordi in modo che la pressione di contatto sulla base di una struttura rigida vada aumentando dal centro ai bordi. 25
Pressione di contatto Per una fondazione rigida di larghezza B, su terreno elastico ed omogeneo fino a grande profondità, e sottoposta a un carico uniforme q, la pressione di contatto determinata con la teoria di Boussinesq, indica valori un po inferiori a 0,76q al centro ed un valore infinito al bordo. Nel caso di una piastra circolare al centro la pressione di contatto è pari a 0,5q. 26
Pressione di contatto Se la fondazione poggia su un materiale reale la pressione sul bordo non può oltrepassare un certo valore finito q c a partire dal quale il materiale passa allo stato plastico. La ripartizione corrispondente a materiale coesivo in assenza di drenaggio ( =c u ) è rappresentata in figura dalla curva c. 27
Pressione di contatto Se si aumenta il carico, lo stato di equilibrio plastico si propaga a partire dai bordi e la ripartizione della pressione di contatto si modifica. Se la base della fondazione è liscia, la ripartizione diviene uniforme quando il terreno cede per scorrimento plastico. La curva c rappresenta la pressione di contatto in questo momento e la curva c 2 la pressione in un momento intermedio. 28
Pressione di contatto Se una fondazione rigida poggia su un materiale non coesivo l intensità della pressione di contatto per un carico q diminuisce, a partire da un valore massimo, al centro della fondazione per annullarsi ai bordi come indicato in figura. In realtà, abbastanza spesso, la fondazione è più o meno flessibile e la distribuzione della pressione di contatto non è uniforme, ma ha un andamento meno marcato di quello corrispondente ad una fondazione rigida. Questa ripartizione dipende dall intera zione tra terreno e fondazione ed è questo che rende difficile lo studio della pressione di contatto. Come è stato detto, l ostacolo in genere viene superato adottando una ripartizione uniforme, che può essere in parte giustificata tenendo conto dell elasticità non lineare del terreno e della non completa rigidità della struttura. 29
Pressione di contatto La distribuzione della pressione di contatto influenza quindi il comportamento della struttura di fondazione e della sovrastruttura. Il problema viene spesso semplificato considerando solo l interazione linterazionefondazione terreno, trascurando la rigidezza della struttura in elevazione. Tale ipotesi è accettabile se la rigidezza della sovrastruttura è < a quella della fondazione. Nell interazione fondazione terreno le condizioni di equilibrio e di congruenza devono essere soddisfatte nella struttura di fondazione, nel terreno e all interfaccia. E perciò necessario rappresentare la fondazione ed il terreno con modelli semplici. i Nll Nello scegliere il modello dll si deve tenere conto principalmente i delle possibilità di analisi con i vari metodi a disposizione (analitici, numerici, ecc.), del significato fisico dei parametri che caratterizzano il modello e delle possibilità di determinarli e del fatto che le risposte del modello siano sufficientemente aderenti al comportamento reale. La fondazione è solitamente formata da un elemento strutturale abbastanza semplice (trave, piastra) per il quale in genere si ha a disposizione l equazione differenziale che ne descrive il comportamento elastico. A questa equazione se ne deve associare un altra che rappresenti il comportamento del terreno, cioè indichi gli spostamenti all interfaccia in funzione della distribuzione della pressione di contatto. 30
Modello alla Winkler Un modello semplice è quello di Winkler che caratterizza il terreno con una relazione lineare tra la pressione di contatto p in un punto ed il cedimento s del punto stesso: p K r s K r è una costante t dtt detta modulod l ocoefficiente i di reazione e la reazione del terreno (pressione di contatto p) è proporzionale al cedimento s. La relazione si basa sull ipotesi che il cedimento di ogni elemento dell area caricata sia indipendente dal carico sugli elementi vicini (serie di molle indipendenti accostate). Nella realtà, per una fondazione di dimensioni usuali, poggiante sul terreno, il rapporto tra pressione/cedimento (p/s) diminuisce all aumentare del carico e può variare per punti diversi della base di fondazione. L utilizzazione del modello di Winkler richiede quindi una valutazione di K r appropriata al singolo caso; appare accettabile fare riferimento ad un K r dato dal rapporto tra la pressione media p e il cedimento s calcolato per il caso in esame. 31
Modello alla Winkler Terzaghi ha proposto di fare riferimento ad un modulo K p corrispondente ad una piastra quadrata di 0,3 m di lato ed ha indicato per K p ivalorimediriportatinella tabella persabbie e perargille. K p 32
Modello alla Winkler Ha poi proposto per le sabbie la relazione K r K p B b 2B 2 Con b larghezza della piastra e B la larghezza della fondazionecontinua e per le argille la relazione K r K p b 1,5 B 33
Cedimento immediato Avviene immediatamente dopo l applicazione del carico, principalmente per distorsione (variazione di forma ma non di volume) del terreno di fondazione. La maggior parte del cedimento di un terreno granulare è del tipo immediato. Nei terreno coesivi il cedimento per distorsione non è elastico, sebbene esso venga spesso valutato mediante espressioni basate sulla teoria dell elasticità. s i q 2 0 B 1 Is E u B: dimensione caratteristica della superficie caricata con pressione q 0 : rapporto di Poisson E u : modulo di Young non drenato I s : fattore di forma e di rigidezza 34
Cedimento immediato Il coefficiente I s prende in considerazione la forma e la rigidezza dell area caricata e dipende dalla posizione dal punto su cui si desidera valutare il cedimento immediato. Nella tabella 10.4 a e b sono indicati i valori di I s per due casi distinti: (A) Strato di spessore infinito (B) Strato di spessore illimitato soprastante un substrato rigido Dobbiamo ovviamente considerare a quale dei due casi virtuali la applicazione in esame più si avvicina. E necessario valutare i parametri elastici E u e. Per argille sature = 0.5 (distorsione senza variazione di volume), mentre =0.25 0.33 per argille non sature. Difficile la stima die u. Ildisturbo arrecatoai ai provini per prove diresistenza lal taglio in laboratorio (es.: TX UU)può determinare una sottostima del parametro e quindi una sovrastima del cedimento. 35
Cedimento immediato Campo di valori del modulo non drenato delle argille Consistenza E u /p a Molle 15 40 Media 40 80 Elevata 80 200 Campo di valori del modulo drenato delle sabbie Densità E d /p a Bassa 100 200 Media 200 500 Elevata 500 1000 36
Cedimento immediato 37
Cedimento immediato 38
Cedimento immediato Effetto della profondità del piano di posa Per aree caricate ad una certa profondità D dal piano campagna si può usare l abaco riportato a fianco. s i 0 1 q E 0 B u Effetto della distanza tra piano di posa e substrato rigido 39
Cedimento di consolidazione Le usuali espressioni utilizzate per il calcolo dei cedimenti di consolidazione si basano su coefficienti derivati sperimentalmente da prove edometriche (prove di consolidazione ad espansione laterale impedita). Nella realtà il terreno il più delle volte puòdeformarsi anche lateralmente, essendo le tensioni tangenziali molto più elevate di quelle agenti sui provini in laboratorio. Nelle argille OC l'incremento di pressione dei pori u, prodottosi dopo il carico, e le variazione di volume V, conseguenti alla consolidazione, sono fortemente ridotti dall'aumento di df deformazioni idi taglio: questo tipo di terreni presenta un comportamento t dilatante, ossia tende ad aumentare di volume per effetto delle tensioni di taglio. Conseguentemente la variazioni di volume che si verificano sono molto minori di quelle stimate con metodi edometrici, specialmente nella zona immediatamente al di sotto della fondazione (tensioni tangenziali molto elevate). 40
Cedimento di consolidazione Skempton e Bjerrum hanno così suggerito di utilizzare un coefficiente correttivo µ, pari al rapporto tra cedimento reale e cedimento edometrico, e funzione del coefficiente della pressione dei pori A e della geometria della fondazione e del rapporto H/B S c S ed B H 41