Lezione 3 1 1 Dipartimento di Matematica Sapienza, Università di Roma Roma, 11 Marzo 2014
Il primo libro degli degli elementi Nei primi quattro libri degli elementi si tratta delle proprietà della geometria elementare del piano che non dipendono dalla teoria delle proporzioni. Il primo libro si conclude con la dimostrazione del teorema di Pitagora (prop. 47) e del suo inverso (prop. 48). La dimostrazione viene attribuita allo stesso Euclide. È probabile che fosse nota una dimostrazione più semplice basata sulla teoria delle proporzioni, ma Euclide fa vedere come si tratti di un risultato più elementare, indipendente dalla teoria delle proporzioni. Cominiciamo con il consigliare la lettura della dimostrazione originale di Euclide del teorema di Pitagora.
La dimostrazione euclidea del teorema di Pitagora
Osservazioni sulla dimostrazione del teorema di Pitagora L approccio di Euclide è costruttivo. Per esempio, egli si riferisce al quadrato su un segmento solo dopo aver esplicitamente descritto come si può realizzare la sua costruzione con riga e compasso e aver dimostrato che tale costruzione fornisce un oggetto con le proprietà volute. Nella dimostrazione vengono esplicitamente indicate tutte le proposizioni i postulati e le nozioni comuni utilizzat. È quindi facile costruire la mappa delle dipendenze logiche tra le diverse proposizioni, assiomi e nozioni comuni, nacessarie per dimostrare il teorema di Pitagora. Questa rete copre buona parte del libro primo.
Definizioni, postulati e nozioni comuni Vonsigliamo di proseguire la lettura delle prime pagine degli elementi, dove sono riportate definizioni, postulati e nozioni comuni. È chiaro che la pretesa di definire ogni termine utilizzando termini già noti porta a un circolo vizioso. È necessario quindi assumere, senza definirli, un piccolo numero di concetti primitivi, a partire dai quali definire tutti gli altri. Secondo la visione moderna di una teoria assiomatica, come sviluppata interamente da Hilbert, gli assiomi hanno anche lo scopo di definire implicitamente i concetti primitivi, delimitandone l uso. Negli Elementi non viene seguito questo percorso. Non sono selezionati i concetti primitivi e quindi il sistema di definizioni degli elementi sono criticabili dal punto di vista logico. Alcuni storici hanno avanzato l ipotesi che alcune definizioni degli Elementi, tra cui quella particolarmente oscura di retta, non siano di Euclide ma si tratti di aggiunte di commentatori successivi, e che l esposizione originale di Euclide fosse più vicina a quella di una moderna teoria assiomatica (Cfr. Russo, la rivoluzione dimenticata, par. 10.15).
Sui concetti di punto e di retta Il termine greco utilizzato da Euclide per denotare il punto è σεμειον che significa anche segno. È ipotizzabile che per Euclide un punto di un segmento non fosse un costituente elementare, ma come una struttura aggiunta attraverso operazioni, quali l intersezione di due segmenti, e di conseguenza un segmento non venisse concepito come unione di punti ma come ente elementare. Euclide non introduce il concetto di retta illimitata ma postula che ogni segmento possa essere allungato indefinitamente. In questo senso la retta illimitata è per Euclide un oggetto potenziale. Questo fatto è stato utilizzato per sostenere che la matematica ellenica ed ellenistica bandisce l infinito attuale e considera solo infiniti potenziali. Passi di Apollonio, citati in Russo, La rivoluzione dimenticata, p. 67, sembrano indicare che gli antichi, pur preferendo, quando possibile, evitare l uso diretto dell infinito attuale, non ne fossero affatto atterriti.
Il quinto postulato La formulazione originale del quinto postulato è diversa da quella insegnata oggi, che è dovuta a Playfair nel 1795 e fu scelta da Hilbert per i Grundlagen. Formulazione di Euclide E che, se una retta venendo a cadere su due rette forma gli angoli interni e dalla stessa parte minori di due retti, le due rette prolungate illimitatamenteverranno ad incontrarsi da quella parte in cui sono gli angoli minori di due retti. Formulazione di Playfair In un piano, data una retta e un punto esterno ad essa, esiste al più una retta parallela alla retta data e passante per il punto dato. Dagli infruttuosi tentativi, compiuti nell arco di duemila anni, di dimostrare il quinto postulato dagli altri, sono nate le geometrie non euclidee. Per questa affascinante storia rimandiamo alla lettura di un classico.
Osservazioni sulla Proposizione 1 Leggiamo l enunciato e la dimostrazione della proposizione 1. È stato osservato fin dai primi commentatori che Euclide tralascia di dimostrare che i due cerchi si intersecano. Nella trattazione moderna, si è riconosciuta la necessità di aggiungere un nuovo assioma per arrivare a questa dimostrazione. Un esposizione della geometria euclidea ritenuta soddisfaciente secondo i criteri moderni è quella data da Hilbert nel 1899 nei Grundlagen der geometrie (fondamenti di geometria), di cui è disponibile una versione elettronica in inglese, liberamente scaricabile. In essa viene formulata una lista completa di assiomi per la geometria euclidea.
Osservazioni sulla Proposizione 2 Questa proposizione permette di precisare il contenuto del postulato III. Il compasso euclideo è un compasso collassabile, nel senso che quando viene staccato da centro non è possibile garantire che mantenga l apertura fissata. È quindi in grado di tracciare circonferenze il cui raggio è specificato da un segmento avente un estremo coincidente con il centro della circonferenza. la proposizione 2 dimostra come sia possibile il trasporto rigido di un segmento con il compasso collassabile. In virtù di questa proposizione il compasso euclideo permette di tracciara una circonferenza di centro fissato e di raggio uguale ad un segmento che non ha necessariamente un estremo coincidente con il centro della circonferenza da tracciare.
Disegni con riga e compasso Gli Elementi di Euclide si possono intendere come la teoria scientifica dei disegni con riga e compasso. La riga e il compasso sono, per gli antichi, efficaci strumenti di calcolo. Quando un problema si riconduce alla costruzione di un segmento, esso puù venire misurato con una precisione sufficiente alle applicazioni tecnologiche e maggiore di quella ottenibile con il regolo calcolatore. Un miglioramento della precisione dei calcoli fatti con riga e compasso è stato possibile solo con l avvento dei logaritmi e successivamente delle macchine calcolatrici. La ricerca di soluzioni con riga e compasso non è quindi un pregiudizio ma risponde anche a un esigenza pratica.
Costruzioni impossibili con riga e compasso Molti problemi non sono risolubili con riga e compasso. Tra questi sono famosi i problemi: Duplicazione del cubo Trisezione dell angolo Quadratura della circonferenza I tentativi di risoluzione con riga e compasso si protrassero per secoli e solo nel diciannovesimo secolo, con le ricerche di Gauss, Abel e Galois, fu definitivamente dimostrata l impossibilità di trovare una soluzione con riga e compasso. Erano ben note ai greci anche soluzioni di problemi geometrici attraverso la costruzione di apparati meccanici per il disegno di curve trascendenti, come la trisettrice di Ippia, utilizzando la quale si può trisecare un angolo e quadrare la circonferenza. Queste soluzioni venivano dette sofistiche ma non erano tenute in grande considerazione anche perchè non si prestavano ad effettuare calcoli approssimati precisi, caratteristica fondamentale delle soluzioni con riga e compasso.