Università degli Studi di Milano

Università degli Studi di Milano Corso ITP 2005/06 Rappresentazione delle informazioni STEFANO FERRARI Informatica di base

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Indice 1 INTRODUZIONE..................................... 6 2 CONCETTO DI NUMERO............................... 7 2.1 Contare........................................... 7 2.2 Rappresentazione dei numeri.............................. 8 2.2.1 Sistemi di numerazione additivi.......................... 9 2.2.2 Sistemi di numerazione posizionali......................... 9 2.2.3 Numeri e rappresentazione............................. 9 2.2.4 Numeri frazionari.................................. 11 2.3 Cambio di base....................................... 11 2.3.1 Algoritmo per la conversione di base........................ 12 2.3.2 Lunghezza della rappresentazione......................... 13 2.3.3 Da base n a decimale................................. 13 2.3.4 Conversione da base decimale a base n....................... 14 2.3.5 Conversione da base m a base n........................... 14 2.3.6 Conversione da binario ad ottale.......................... 15 2.3.7 Conversione da binario ad esadecimale...................... 15 2.3.8 Conversione da ottale a binario........................... 16 2.3.9 Conversione da esadecimale a binario....................... 16 Rappresentazione delle informazioni Pagina 3 di 31

3 BIT & BYTE........................................ 17 3.1 Byte............................................. 17 3.1.1 Multipli binari.................................... 18 4 RAPPRESENTAZIONE BINARIA.......................... 19 4.1 Rappresentazione binaria di grandezze numeriche................. 19 Numeri naturali................................... 19 Numeri interi con segno............................... 19 Complemento a 2................................... 19 4.2 Numeri con la virgola................................. 20 4.2.1 Virgola fissa...................................... 21 4.2.2 Virgola mobile.................................... 21 4.2.3 Fissa o mobile?.................................... 21 4.3 Insiemi numerabili.................................... 22 4.4 Grandezze continue.................................... 23 4.4.1 Campionamento................................... 23 Quantizzazione.................................... 23 4.4.2 Segnale audio..................................... 23 Codifiche audio particolari............................. 24 4.5 Codifica di immagini................................... 24 4.5.1 Bitmap......................................... 24 4.5.2 Codifiche video particolari.............................. 25 4.5.3 Immagini vettoriali.................................. 26 Rappresentazione delle informazioni Pagina 4 di 31

4.6 Animazioni......................................... 26 5 ESERCIZI......................................... 27 5.1 Contare con le dita.................................... 27 5.2 Colori............................................ 27 5.3 Dimensione di una immagine digitale......................... 27 6 TEORIA DELL INFORMAZIONE.......................... 29 6.1 Informazione........................................ 29 6.2 Teoria dell informazione................................. 29 6.2.1 Misura dell informazione.............................. 29 Formalizzazione................................... 30 6.2.2 Bit e informazione.................................. 31 Rappresentazione delle informazioni Pagina 5 di 31

Capitolo 1 Introduzione In questa dispensa verranno brevemente introdotti i concetti alla base della rappresentazione numerica (comunemente detta digitale) delle informazioni. Nel capitolo 2 verrà introdotto il concetto di numeroe alcuni modi di rappresentare tale concetto, con particolare attenzione alla notazione posizionale (cioé quella più comunemente usata). Il capitolo 3 riporta qualche informazione sulla codifica binaria e i concetti ad essa legati, quali, in particolare, il concetto di bit e byte. Il capitolo 4 è dedicato a qualche esempio di utilizzo della codifica binaria per rappresentare dati numerici e non numerici. Il capitolo 5 riporta qualche esercizio per fissare i concetti principali dei capitoli precedenti. Infine, nel capitolo 6 trova spazio un approfondimento teorico sulla formalizzazione dell informazione. Gli argomenti trattati possono essere approfonditi sul testo del corso ( Sciuto ed altri, Introduzione ai sistemi Informatici, McGraw Hill, 2005, terza edizione). In particolare: codifica dell informazione (capitolo 2, pagg. 17 55); cenni di teoria della trasmissione (capitolo 4, pagg. 113 133). Rappresentazione delle informazioni Pagina 6 di 31

Capitolo 2 Concetto di numero In questo capitolo si illustreranno le caratteristiche principali dell entità astratta che viene definita numero e alcuni metodi utilizzati per la sua rappresentazione. È interessante notare come sia difficile dare una definizione in termini semplici ed intuitivi del concetto di numero. Tale concetto è chiaramente una astrazione, un prodotto culturale, ma è talmente radicato nella nostra cultura da sembrarci naturale e ovvio. Per quel che può essere utile al presente discorso, un numero è definibile come un ente astratto usato per indicare proprietà quantitative delle grandezze. Per esempio, la figura 2.1 riporta due insiemi. L insieme di sinistra è composto di diversi oggetti, differenti per dimensione e colore, mentre l insieme di sinistra è composto da oggetti aventi la stessa dimensione e lo stesso colore. Quello che i due insiemi hanno in comune è la quantità di oggetti da cui sono composti: 5. Il numero 5 è quindi una caratteristica dei due insiemi che descrive la quantità di oggetti da essi contenuti. x x x x x Figura 2.1: Il numero 5 è la caratteristica che accomuna questi due insiemi di oggetti. 2.1 Contare Uno degli utilizzi principali dei numeri e quasi sicuramente la necessità che ha portato alla sua invenzione è il conteggio. Tuttavia, quasi paradossalmente, per contare non è necessario conoscere i numeri. Basta infatti ricorrere a delle relazioni tra grandezze. Nel caso l oggetto del conteggio siano grandezze discrete, si possono utilizzare insiemi di oggetti di natura discreta per effettuarlo. Per esempio, possiamo immaginare un pastore, agli albori della civiltà, necessiti di assicurarsi di non perdere le pecore del suo gregge. A tale scopo, potrebbe contare le pecore all uscita dell ovile al mattino, e ricontarle al rientro, alla sera. Ciò è realizzabile Rappresentazione delle informazioni Pagina 7 di 31

anche senza conoscere i numeri: il pastore può predisporre un mucchio di sassolini vicino all uscita dell ovile e far uscire le pecore una per volta, accantonando un sassolino per ogni pecora che esce. Quando tutto il gregge è uscito, il pastore può raccogliere i sassolini accantonati e portarli con sè al pascolo. Al rientro, farà entrare una pecora per volta nell ovile, eliminando uno dei sassolini accontonati. Al termine dell operazione di rientro, i sassolini rimasti rendono conto delle pecore che non sono tornate dal pascolo. Analogamente, ci si può immaginare, una madre che si accerti della presenza di tutti i figli scandendo le dita della mano. L uso di analogie può essere esteso anche a grandezze continue. Per esempio, per quantificare la lunghezza di un intervallo di tempo si può utilizzare la (variazione di) lunghezza di una candela che abbia bruciato in tale intervallo di tempo, oppure lo spazio percorso dall ombra di un oggetto fisso. Va sottolineato come in tutti gli esempi visti non sia mai stato utilizzato il concetto di numero. Tale concetto può essere il frutto dell astrazione di tali usi. Per esempio, la tecnica di conteggio delle pecore del gregge può essere utilizzata anche per contare un branco di bovini. Inoltre alcune esigenze pratiche possono aver portato a scoprire concetti più evoluti. Per esempio, l esigenza di confrontare la consistenza di due greggi può aver portato a comprendere che era più pratico confrontare la consistenza di due mucchietti di sassi. Oppure, che per valutare la quantità di pecore di due greggi era sufficiente valutare la quantità di sassi del mucchietto ottenuto unendo i sassi corrispondenti a ciascun gregge. La necessità di comunicare informazioni quantitative può aver portato all assegnamento di nomi a quantità particolari. Una delle ipotesi su come siano stati scelti i nomi dei numeri è che una madre abbia utilizzato le dita di una mano per verificare la presenza (o, meglio, la mancata assenza), scandendo l appello toccandosi il dito corrispondente a ciascun figlio. A quel punto, il nome del figlio diventa il nome del dito e, in un secondo momento, anche il nome della quantità contata da tale dito. Analogamente, l esigenza di indicare quantità superiori alla decina ha portato allo sviluppo del concetto di ordine di grandezza. 2.2 Rappresentazione dei numeri L elaborazione (o la trasmissione) dei numeri richiede la loro rappresentazione su di un supporto fisico. È quindi necessario disporre di un mezzo fisico modificabile (altrimenti come sarebbe possibile scriverci sopra?), ma sufficientemente stabile (altrimenti come si potrebbe conservare quanto scritto?) e di una opportuna codifica (cioè una regola univoca per associare un valore ad una configurazione del mezzo fisico). Tale codifica prende il nome di sistema di numerazione. Come tutte le codifiche è di natura arbitraria: non vi sono vincoli alla scelta dei simboli e delle regole. Dal punto di vista teorico, un sistema vale l altro. Non tutti i sistemi di numerazione, però, presentano gli stessi vantaggi pratici. Lo scopo di un sistema di numerazione è di rappresentare un insieme infinito di oggetti utilizzando un insieme finito di simboli. Al concetto astratto di numero si affianca così la sua rappresentazione simbolica: il numerale. Va sottolineato che un numerale ha significato solo all interno di un dato sistema di numerazione. Lo stesso simbolo potrebbe essere utilizzato anche in un altro sistema di numerazione, ma potrebbe avere un significato differente. I sistemi di numerazione, in base alla regola utilizzata per associare numeri e numerali, si dividono Rappresentazione delle informazioni Pagina 8 di 31

principalmente in due categorie: i sistemi di numerazione additivi ed i sistemi di numerazione posizionali. 2.2.1 Sistemi di numerazione additivi Nei sistemi di numerazione additivi, il valore numerico rappresentato dai simboli di cui è composto il numerale viene composto sommando tra loro i valori numerici corrispondenti ai simboli utilizzati nel numerale stesso. Il sistema di numerazione romano (chiamato così perché era in uso nell antica Roma) è forse il sistema di numerazione additivo più conosciuto. Esso si basa sui simboli letterali I, V, X, L, C, D e M, corrispondenti rispettivamente ai numeri uno, cinque, dieci, cinquanta, cento, cinquecento e mille. La regola per ottenere il numero a partire dal numerale è la seguente: se un simbolo precede un simbolo di valore superiore, deve essere sottratto, altrimenti deve essere sommato. Per esempio, il numerale MCMLXII vale 1962 in quanto: M CM L X I I 1000 + (1000-100) + 50 + 10 + 1 + 1 = 1962 2.2.2 Sistemi di numerazione posizionali Nei sistemi di numerazione posizionale, il valore numerico associato ai simboli che compongono il numerale dipende dalla posizione che i simboli occupano all interno del numerale stesso. Il sistema posizionale più diffuso è la notazione decimale. Esso fu inventato in India, perfezionato dagli arabi e poi introdotto in Europa da Fibonacci. La notazione decimale deve il suo nome al fatto che è basata su dieci cifre. Il valore associato a ciascun simbolo dipende dalla sua posizione. Ogni simbolo viene associato ai numeri interi da zero a nove, ma assume tale significato solo se viene posto all ultima cifra a destra. Infatti la cifra che occupa la penultima posizione a destra rappresenta un multiplo di dieci, quella nella terzultima posizione un multiplo di cento, e così via. Per esempio, il numerale 1203 viene associato al numero milleduecentotré in quanto: 1203 = 1 10 3 + 2 10 2 + 0 10 1 + 3 10 0 2.2.3 Numeri e rappresentazione Va notato che il concetto di numero è indipendente dalla sua rappresentazione. In altri termini, tutte le proprietà che caratterizzano un numero non dipendono dal modo scelto per rappresentare tale numero: un numero pari rimane tale indipendentemente dal tipo di rappresentazione che viene scelta. La seguente successione di simboli illustra questo concetto: + + + o + o + o o o + o + o o o + o + o Infatti, i simboli + sono posizionati in corrispondenza di un numero primo, mentre i simboli o occupano la posizione delgi altri numeri. La scelta della rappresentazione dipende dall utilizzo che si vuol fare dei numeri rappresentati. Se si devono fare calcoli, la notazione posizionale offre alcuni indubbi vantaggi: Rappresentazione delle informazioni Pagina 9 di 31

somma: viene operata agendo localmente (unità con unità, decine con decine e così via); traslazione (shift): moltiplicare o dividere per 10 trasla le cifre di una posizione; compattezza: la rappresentazione richiede un numero di cifre logaritmico. La notazione decimale è utilizzata per praticità: abbiamo dieci dita che possono essere utilizzate per contare e fare calcoli. Inoltre il numero dieci è un numero abbastanza piccolo per le nostre capacità (ricordare dieci simboli e dieci nomi non è troppo difficile), ma è un numero sufficientemente elevato per gli usi comuni. Tuttavia, la scelta della base decimale per la rappresentazione dei numeri è arbitraria. I principi alla base della notazione decimale possono essere generalizzati, in modo da poter scegliere una base differente da 10. Scegliendo un numero intero maggiore o uguale a 2, b, detto base, e introducendo b simboli per rappresentare i numeri dell insieme {0,..., b 1}, la sequenza di simboli a n... a 1 a 0 (dove i simboli a k sono scelti fra i b simboli prima introdotti) viene interpretata come a n b n + + a 1 b 1 + a 0 b 0. Più formalmente: (a n... a 1 a 0 ) b n a i b i, b 2, a i {0,..., b 1} i=0 Fra le basi possibili, vengono spesso usate le seguenti: decimale, b = 10 a i {0,..., 9}; binaria, b = 2 a i {0, 1}; ottale, b = 8 a i {0,..., 7}; esadecimale, b = 16 a i {0,..., 9, A,..., F }. Quando il contesto chiarisce quale base si stia utilizzando, il valore della base riportato in pedice può essere evitato. Va infatti ribadito che il numerale ha senso solo all interno di una ben determinata notazione. Infatti, per esempio: (34) 10 = 3 10 + 4 1 = 34 (34) 8 = 3 8 + 4 1 = 28 (34) 16 = 3 16 + 4 1 = 52 In alcuni campi, è più comodo usare una base diversa da quella decimale. Infatti: le uova si vendono a dozzine; le ore sono composte da 60 minuti; un giorno dura 24 ore. La ragione è abbastanza semplice e, al solito, è dettata da motivi pratici. Infatti, poiché 12 è divisibile per 2, 3, 4 e 6, è più semplice calcolare frazioni di una quantità misurata in multipli di dodici (un terzo di una dozzina è un numero intero, ma lo stesso non si può dire per un terzo di una decina). Rappresentazione delle informazioni Pagina 10 di 31

2.2.4 Numeri frazionari La notazione posizionale può essere estesa in modo da rappresentare anche numeri frazionari. Allo scopo, si introduce un simbolo particolare detto separatore decimale che indica la posizione della cifra che si riferisce alle unità e che, appunto, separa le cifre che rappresentano frazioni delll unità dalle altre. Va notato che il nome può essere fuorviante quando si usi una base differente dalla base decimale. Così come le cifre rappresentano multipli delle potenze positive della base, così le cifre dopo il separatore rappresentano multipli delle potenze negative della base. I numeri frazionari si possono quindi rappresentare come: (a n... a 2 a 1 a 0. a 1... a m ) b n i= m dove il simbolo. è stato usato come separatore decimale. a i b i, b 2 Ogni numero intero è rappresentabile utilizzando una qualsiasi base, ma lo stesso non vale per i numeri frazionari. Infatti, un terzo in base 10 richiede l introduzione un formalismo particolare per poter essere rappresentato in notazione decimale: 1 3 (0. 3) 10 mentre non crea problemi la rappresentazione dello stesso numero in base tre: 2.3 Cambio di base 1 3 (0.1) 3 Poiché l uso di una base piuttosto che un altra è dettato da questioni di praticità, non è infrequente dover convertire un numero da una base ad un altra. Si cerca quindi di rispondere a domande del tipo: Come si scrive in base 12 il numero rappresentato dal numerale (32) 4? Va sottolineato che cambia solo la rappresentazione del numero, non il suo valore! L algoritmo per la conversione di base richiede l uso della divisione, i cui concetti base vengono brevemente richiamati nel seguito. Divisione Dati due numeri naturali a, b (b > 0), la divisione permette di determinare due numeri q ed r tali che a = b q + r, 0 r < b dove: a è il dividendo; b è il divisore; q è il quoziente (o quoto); r è il resto. Rappresentazione delle informazioni Pagina 11 di 31

L algoritmo per il cambio di base fa uso degli operatori di divisione intera (div) e di resto (mod). Questi operatori sono definiti come segue: div è la parte intera della divisione tra due numeri interi (quoziente): es: 13 div 5 = 2 mod è il resto della divisione tra due numeri interi: es: 13 mod 5 = 3 Infatti: 13 = 5 2 + 3 2.3.1 Algoritmo per la conversione di base L algoritmo per trovare il numerale del numero n, in una data base, b è il seguente: 1. Calcolare il quoziente, q, ed il resto, r, della divisione di n per b: q = n div b r = n mod b 2. Il resto, r, è l ultima cifra del numerale che esprime n in base b. 3. Se il quoziente, q, è diverso da zero, le rimanenti cifre si ottengono trasformando il quoziente, sostituendo nei passi precedenti q ad n. 4. Se il quoziente è zero, la conversione è terminata. Esempio Trovare il numerale in base 5 del numero (133) 10 ; cioè, quanto val e x tale per cui (133) 10 = (x) 5? Applicando l algoritmo della divisione: quoziente resto 133 133 = 26 5 + 3 26 3 26 = 5 5 + 1 5 1 5 = 1 5 + 0 1 0 1 = 0 5 + 1 0 1 Scrivendo a ritroso la sequenza dei resti si ottiene 1013. Quindi: (133) 10 = (1013) 5. Una spiegazione del funzionamento di questo algoritmo è possibile comprenderla analizzando la sequenza di operazioni che vengono fatte: 133 = 26 5 + 3 = = (5 5 + 1) 5 + 3 = = ((1 5 + 0) 5 + 1) 5 + 3 = = (((0 5 + 1) 5 + 0) 5 + 1) 5 + 3 = = ((1 5 + 0) 5 +1) 5 + 3 = = (1 5 2 + 0 5 + 1) 5 + 3 = = 1 5 3 + 0 5 2 + 1 5 + 3 = = 1 5 3 + 0 5 2 + 1 5 + 3 5 0 Il numero riportato nel primo passaggio è il numero da convertire, mentre l ultimo passaggio riporta la definizione di un nemerale in base 5. Poiché tutti ipassaggi sono legati da una relazione di equivalenza, si ottiene che (133) 10 = (1013) 5. Rappresentazione delle informazioni Pagina 12 di 31

2.3.2 Lunghezza della rappresentazione Si può notare dall esempio precedente che in base decimale servono tre cifre per rappresentare un numero che in base 5 ne richiede invece quattro. In generale, ci si può chiedere quante cifre, k, bisogna usare per rappresentare in base b il numero n. Un idea della rgola generale ce la si può fare ragionando nella base più congeniale, la base 10. Quanti numeri si possono rappresentare con un dato numero di cifre? Non è difficile rispondere: con 1 cifra: 0... 9 fino a 10 1 1 con 2 cifre: 10... 99 fino a 10 2 1 con 3 cifre: 100... 999 fino a 10 3 1 con k cifre: 10 k 1... 10 k 1 fino a 10 k 1 Quindi, è facile vedere che il numero di cifre, k, che bisogna usare per rappresentare in base b il numero n deve essere il più piccolo numero intero tale per cui b k 1 n. Per comodità, questa relazione si può riscrivere come b k n + 1. Una formula che esprima k può essere ottenuta applicando il logaritmo in base b ad entrambi i membri della disequazione precedente: dalla quale, per la definizione di logaritmo: e quindi: log b b k log b (n + 1) k log b (n + 1) k = log b (n + 1) dove x indica il più piccolo numero intero maggiore o uguale a x. Esempio Quante cifre sono necessarie per rappresentare 1145 in notazione posizionale in base: a) 10 b) 2 c) 16? a) 10: log 10 1146 3.0592 4 cifre. Infatti: 1145 = (1145) 10. b) 2: log 2 1146 10.162 11 cifre. Infatti: 1145 = (10001111001) 2. c) 16: log 16 1146 2.5406 3 cifre. Infatti: 1145 = (479) 16. 2.3.3 Da base n a decimale Nel paragrafo 2.3.1 è stato illustrato l algoritmo per la conversione di base di uso generale. Vi sono però alcuni casi particolari in cui tale conversione è più semplice. Uno di questi casi dove non è necessario utilizzare l algoritmo dato è la conversione da una base qualsiasi a bae decimale. Poiché siamo abituati a interpretare il numerale in base 10 come il numero, ci riesce facile fare i calcoli in base 10. In tal caso, quindi, è sufficiente applicare la definizione di notazione posizionale. Rappresentazione delle informazioni Pagina 13 di 31

Esempio Come si rappresenta in base 10 il numero (412) 5? Dalla definizione di notazione posizionale: (412) 5 = 4 5 2 + 1 5 1 + 2 5 0 = = 4 25 + 1 5 + 2 1 = = 100 + 5 + 2 = = 107 (412) 5 = (107) 10 2.3.4 Conversione da base decimale a base n Dovendo convertire un numero espresso in base decimale in un altra base, è semplice applicare l algoritmo basato sulla divisione (tutti i calcoli vengono fatti in base 10). Esempio Come si rappresenta in base 3 il numero (1079) 10? Applicando l algoritmo della divisione: quoziente resto 1079 359 2 119 2 39 2 13 0 4 1 1 1 0 1 Quindi: (1079) 10 = (1110222) 3. 2.3.5 Conversione da base m a base n La conversione da una base qualsiasi ad una base diversa dalla bae decimale è in teoria realizzabile mediante l algoritmo della divisione, ma, nella pratica, risulta molto più semplice spezzare la conversione in due fasi. Nella prima fase si converte il numerale in base decimale (applicando la definizione di notazione decimale), e nella seconda fase si converte il numerale decimale nel numerale della base obbiettivo (tramite l algoritmo della divisione). Il motivo di questa apparente complicazione è la difficoltà di operare la divisione su numerali espressi in una base differente da quella decimale. Per esempio, è difficile dire qual è il risultato della divisione intera di 106 in base 7 diviso per 5, mentre lo sarebbe molto meno se il numerale 106 fosse espresso in base decimale. Esempio Come si rappresenta in base 5 il numero (106) 7? Meglio risolvere il problema in due passi: 1. conversione da base 7 a decimale; 2. conversione da decimale a base 5. Conversione da base 7 a decimale: Rappresentazione delle informazioni Pagina 14 di 31

Conversione da decimale a base 5: Quindi: (106) 7 = 1 7 2 + 0 7 1 + 6 7 0 = 55 quoziente resto 55 11 0 2 1 0 2 (106) 7 = (210) 5 2.3.6 Conversione da binario ad ottale È un caso particolare di conversione da base m a base n: 8 = 2 3. Se n = m k, grazie alle proprietà delle potenze, il cambiamento di base si può operare per blocchi. In pratica, ogni blocco di k simboli del numerale in base m rappresenta una cifra del numerale in base n. Nel caso considerato, significa che il numerale binario deve essere scomposto in blocchi di tre cifre binarie e che ogni blocco può poi essere convertito in una cifra ottale. La separazione in blocchi deve partire dall ultima cifra a destra (quella delle unità) e risalire il numerale verso le cifre più significative. Eventualmente, se l ultimo blocco (cioè quello più significativo) non avesse abbastanza cifre, alcune cifre nulle possono essere esplicitate per coprire le potenze di ordine superiore. Esempio 1 (101001) 2 = (???) 8 (101001) 2 = = 1 2 5 + 0 2 4 + 1 2 3 + 0 2 2 + 0 2 1 + 1 2 0 = = (1 2 2 + 0 2 1 + 1 2 0 ) 2 3 + (0 2 2 + 0 2 1 + 1 2 0 ) 2 0 = = (5) 8 1 + (1) 8 0 = = (51) 8 base 2 101 001 base 8 5 1 Esempio 2 (10011) 2 = (???) 8 È necessario aggiungere uno 0 nel blocco più significativo. base 2 010 011 base 8 2 3 2.3.7 Conversione da binario ad esadecimale È un caso particolare di conversione da base m a base n: 16 = 2 4. La conversione avviene per blocchi di 4. Rappresentazione delle informazioni Pagina 15 di 31

Esempio (101001010) 2 = (???) 16 base 2 0001 0100 1010 base 16 1 4 A (101001010) 2 = (14A) 16 2.3.8 Conversione da ottale a binario È un caso particolare di conversione da base m a base n: 8 = 2 3. Se m = n k, il cambiamento di base si può operare per blocchi. numerale in base m rappresenta k cifre del numerale in base m. In pratica, ogni simbolo del Nel caso considerato, significa che ogni cifra ottale viene convertita in tre cifre binarie. È possibile che la conversione della cifra più significativa del numerale da converitire producano un numerale con alcune cifre di valore nullo, una volta operata la conversione. Tali cifre sono inutili nella pratica e vengono quindi ignorate nella scrittura del numerale. Esempio1 (51) 8 = (???) 2 = (51) 8 = (5) 8 1 + (1) 8 0 = = (1 2 2 + 0 2 1 + 1 2 0 ) 2 3 + (0 2 2 + 0 2 1 + 1 2 0 ) 2 0 = = 1 2 5 + 0 2 4 + 1 2 3 + 0 2 2 + 0 2 1 + 1 2 0 = = (101001) 2 base 8 5 1 base 2 101 001 Esempio2 (24) 8 = (???) 2 Lo 0 iniziale viene ignorato perché inutile: (24) 8 = (10100) 2 base 8 2 4 base 2 010 100 2.3.9 Conversione da esadecimale a binario È un caso particolare di conversione da base m a base n: 16 = 2 4. Ogni simbolo esadecimale produce 4 simboli binari. Esempio (14A) 16 = (???) 2 base 16 1 4 A base 2 0001 0100 1010 (14A) 16 = (101001010) 2 Rappresentazione delle informazioni Pagina 16 di 31

Capitolo 3 Bit & byte Per ragioni tecnologiche di affidabilità, gli attuali calcolatori sono in grado di rappresentare e di elaborare solo informazione espressa utilizzando due stati. É perciò naturale descrivere le informazioni in notazione binaria. In particolare, un elemento di informazione viene chiamato bit. Binary Digit cifra binaria Un bit può valere (convenzionalmente) 0 o 1. Per rappresentare oggetti che possono assumere più di due stati, si usano sequenze di bit. Quanti numeri sono rappresentabili in N bit? N simboli che, indipendentemente uno dall altro, possono assumere due valori assumono 2 N combinazioni diverse. 2 2 2 N volte Se abbiamo N bit, quali numeri rappresentiamo? Lo stabilisce la codifica (arbitraria). 3.1 Byte Una sequenza di otto bit viene detta byte. Quante configurazioni differenti può assumere un byte? 2 8 = 256. Una digressione: il termine byte indica un gruppo di elementi binari (tipicamente 8) trattati congiuntamente; Rappresentazione delle informazioni Pagina 17 di 31

diverse le origini del termine: variazione del termine bite per evitare confusione con bit; acronimo di Binary Yoked Transfer Element (elemento di trasferimento di binari aggiogati). 3.1.1 Multipli binari 2 10 = 1024 1000 = 10 3 uno scarto del 2.4%! Secondo il SI (basato su scala decimale), 1 kilobyte vale 1000 byte. Poiché molto spesso in informatica ricorrono multipli di potenze di due, è stato trovato conveniente riferirsi a 1024 come 1 kilobyte (KB). Lo scarto tra i multipli di 2 10 e di 10 3 cresce esponenzialmente: Mega: 2 20 = 1 048 576 1 000 000 = 10 6 uno scarto di circa 4.86%! Giga: 2 30 = 1 073 741 824 1 000 000 000 = 10 9 uno scarto di circa 7.37%! Tera: 2 40 = 1 099 511 627 776 1 000 000 000 000 = 10 12 uno scarto di circa 9.95%! Sono stati proposti i seguenti nomi per i multipli binari: Fatt. Nome Simb. Origine derivazione SI 2 10 kibi Ki kilobinary (2 10 ) 1 kilo (10 3 ) 1 = 10 3 2 20 mebi Mi megabinary (2 10 ) 2 mega (10 3 ) 2 = 10 6 2 30 gibi Gi gigabinary (2 10 ) 3 giga (10 3 ) 3 = 10 9 2 40 tebi Ti terabinary (2 10 ) 4 tera (10 3 ) 4 = 10 12 2 50 pebi Pi petabinary (2 10 ) 5 peta (10 3 ) 5 = 10 15 2 60 exbi Ei exabinary (2 10 ) 6 exa (10 3 ) 6 = 10 18 Fonte: http://www.iec.ch/zone/si/si_bytes.htm Rappresentazione delle informazioni Pagina 18 di 31

Capitolo 4 Rappresentazione binaria 4.1 Rappresentazione binaria di grandezze numeriche Numeri naturali È il tipo più naturale da rappresentare: rappresentazione in notazione posizionale in base due. Esempio: (13) 10 = (1101) 2 00001101, usando un byte. Il primo bit viene chiamato bit più significativo (Most Significant Bit, MSB). L ultimo bit viene chiamato bit meno significativo (Least Significant Bit, LSB). MSB 00001101 LSB Numeri interi con segno Con bit di segno (rappresentazione segno e modulo): 0 0 0 +0 0 0 1 +1 0 1 0 +2 0 1 1 +3 1 0 0-0 1 0 1-1 1 1 0-2 1 1 1-3 il bit più significativo rappresenta il segno, gli altri bit rappresentano il modulo; lo stesso numero (lo zero) viene rappresentato con due numerali differenti; le operazioni aritmetiche sono macchinose. Complemento a 2 Per rappresentare in complemento a 2 il numero x usando una sequenza di n bit, si rappresenta in binario (usando n + 1 bit) il numero 2 n + x, e scartando poi il bit più significativo. Esempio Usando 4 bit (n = 4): 6 2 4 + 6 = (22) 10 = (10110) 2 compl. a 2 0110 6 2 4 6 = (10) 10 = (01010) 2 compl. a 2 1010 Rappresentazione delle informazioni Pagina 19 di 31

1101-3 1111 1110-1 -2 0000 0 0001 1 0010 2 3 0011 1100-4 4 0100 1011-5 -6 1010-7 1001-8 1000 7 0111 6 0110 5 0101 Questa codifica equivale ad una rappresentazione posizionale modificata: a n 1 2 n 1 + a n 2 2 n 2 + + a 1 2 1 + a 0 2 0 Esempio 1010 = 8 + 2 = 6 Con questa rappresentazione: lo zero ha rappresentazione unica; con n bit, si rappresentano i numeri interi dell intervallo [ 2 n 1, 2 n 1 1]; i numeri negativi hanno il MSB che vale 1, gli altri 0 (di fatto, il MSB è il bit di segno); la somma si realizza considerando le sequenze di bit come numeri binari; la sottrazione si realizza invertendo il valore del sottraendo e poi sommandolo al minuendo in notazione binaria. 4.2 Numeri con la virgola Per la rappresentazione dei numeri razionali e reali ci sono due impedimenti: per via della notazione posizionale, alcuni numeri non possono essere rappresentati con un numero limitato di cifre (e.g., 1 3 in base 10); alcuni numeri reali (gli irrazionali) non possono proprio essere rappresentati in nessuna base (e.g., π). Per gli usi pratici, i numeri irrazionali possono essere approssimati da un numero razionale: per esempio, 3.14 π. Per rappresentare numeri razionali ci sono due notazioni, dette: virgola fissa; virgola mobile. Rappresentazione delle informazioni Pagina 20 di 31

4.2.1 Virgola fissa Data una sequenza di n bit, viene stabilito a priori quanti di questi, m rappresenteranno la parte intera, e quanti, k, la parte frazionaria. Equivale a dividere per 2 k. Esempio: m bit a n 1 a k. k bit a k 1 a 0 n bit (10.101) 2 = 1 2 1 + 0 2 0 + 1 2 1 + 0 2 2 + 1 2 3 = 1 2 + 0 1 + 1 0.5 + 0 0.25 + 1 0.125 = 2.625 (10101) 2 /2 3 = (1 2 4 +0 2 3 +1 2 2 +0 2 1 +1 2 0 = 1 16+0 8+1 4+0 2+1 1)/8 = 21/8 = 2.625 In virgola fissa, la precisione assoluta è fissata: 1 0 3 0. 2 7 e 0 0 0 1. 0 9 hanno la stessa precisione: 1/100. Per il primo numero, la precisione relativa è 1/10 6, mentre per il secondo numero, la precisione relativa è 1/10 2. 1.091 e 1.094 sono indistinguibili: vengono rappresentati con 1.09. Problema di underflow: può non essere possibile rappresentare un numero piccolo. Come si rappresenta 0.001? 0 0 0 0. 0 0! 4.2.2 Virgola mobile Un numero razionale può essere rappresentato nella forma: m b e, b è una base intera. Esempio 32.1 può essere scritto come 0.321 10 2. m è detto mantissa, e è detto esponente. In virgola mobile, un numero viene rappresentato tramite la coppia mantissa-esponente. In virgola mobile, la precisione relativa è fissata. Il numero di bit dedicati a: m fissano la precisione relativa con cui il numero può essere rappresentato; e fissano l estensione dell intervallo rappresentabile. IEEE Standard 754 Floating Point Numbers: singola precisione: 32 bit (1 per il segno, 8 per l esponente e 23 per la mantissa); doppia precisione: 64 bit (1 per il segno, 11 per l esponente e 52 per la mantissa). 4.2.3 Fissa o mobile? Con lo stesso budget di bit, possiamo rappresentare lo stesso numero di valori. Virgola fissa e mobile si differenziano per: Rappresentazione delle informazioni Pagina 21 di 31

distribuzione dei valori rappresentabili sulla retta dei reali; proprietà aritmetiche (e.g., l ordine con cui si eseguono le operazioni è importante in virgola mobile); precisione (e.g., l uso della virgola mobile per calcoli finanziari è pericoloso); costo computazionale. 4.3 Insiemi numerabili n bit possono assumere 2 n configurazioni. Attraverso un opportuna codifica, possiamo rappresentare un insieme di 2 n elementi. Esempio: la codifica di caratteri: EBCDIC, 8 bit: era usato sui mainframe IBM; ASCII (American Standard Code for Information Interchange), 7 bit + 1: adottata dall ANSI (American National Standards Institute); Unicode, 16 bit: a unique number for every character, no matter what the platform, no matter what the program, no matter what the language. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 NUL SOH STX ETX EOT ENQ ACK BEL BS HT 1 LF VT FF CR SO SI DLE DC1 DC2 DC3 2 DC4 NAK SYN ETB CAN EM SUB ESC FS GS 3 RS US SP! # $ % & 4 ( ) * +, -. / 0 1 5 2 3 4 5 6 7 8 9 : ; 6 =? @ A B C D E 7 F G H I J K L M N O 8 P Q R S T U V W X Y 9 Z [ ] ˆ a b c 10 d e f g h i j k l m 11 n o p q r s t u v w 12 x y z DEL Rappresentazione delle informazioni Pagina 22 di 31

Una chicca... Un russo scrive in e-mail ad un amico francese: Mandami il plico a questo indirizzo:... 4.4 Grandezze continue È possibile approssimare numericamente una grandezza continua tramite campionamento. Campionare significa collezionare ad intervalli regolari (di tempo o di spazio) i valori che la grandezza assume (nel tempo o nello spazio). 4.4.1 Campionamento In funzione delle caratteristiche del segnale, esiste la lunghezza massima dell intervallo di campionamento per poter ricostruire fedelmente il segnale. Quantizzazione L elaborazione digitale del suono (e più in generale dei segnali) richiede però di utilizzare una codifica digitale del valore di ogni campione. Questa operazione, chiamata quantizzazione, comporta una distorsione del segnale. 4.4.2 Segnale audio Un suono può essere rappresentato come una funzione continua: l ampiezza dell onda sonora nel tempo. Frequenza di campionamento: la voce umana deve essere campionata ad un ottavo di millesimo di secondo; la musica deve essere campionata 44 100 volte al secondo. Una codifica del segnale sonoro deve quindi decidere: Rappresentazione delle informazioni Pagina 23 di 31

il numero di canali (mono? stereo? effetto surround?); frequenza di campionamento (quanti campioni per ogni secondo?); i livelli di quantizzazione (quanti bit per ogni campione?). Esempio 1 La codifica a 8 bit di un segnale stereo della durata di 3 secondi, campionato a 16 khz richiede: Esempio 2 8 16 000 2 3 = 768 000 bit. Per i CD musicali viene utilizzata una codifica a 16 bit per canale e un campionamento a 44 100 Hz; per un ora di registrazione servono: Circa 606 MiB. 16 44 100 2 3600 = 5 080 320 000 bit. Codifiche audio particolari Per ottenere una codifica meno voluminosa, lo standard MP3 sfrutta: la ridondanza del segnale audio; le particolarità del nostro sistema uditivo. Il MIDI (Musical Instrument Digital Interface): codifica lo strumento, la nota e la sua durata; è l analogo di uno spartito musicale. 4.5 Codifica di immagini Le tecniche per descrivere un immagine digitale sono di due tipi: bitmap; vettoriali. 4.5.1 Bitmap Una immagine digitale bitmap è descritta da una matrice di pixel (contrazione di picture element). Ogni pixel può assumere un singolo colore. Quindi: il numero di righe e di colonne determina la risoluzione spaziale dell immagine; Rappresentazione delle informazioni Pagina 24 di 31

Figura 4.1: Rappresentazione bitmap e rappresentazione vettoriale. il numero di colori che il pixel può assumere determina la risoluzione cromatica. Una bitmap può essere: in bianco e nero: ogni pixel è codificato da 1 bit. a toni di grigio: il pixel può assumere diversi livelli intermedi tra il bianco e il nero; un immagine a 16 livelli di grigio richiede 4 bit per pixel. a colori: il colore può essere scomposto in termini di componente rossa, verde e blu (rappresentazione RGB Red, Green, Blue); utilizzando tre canali è possibile rappresentare il colore. 4.5.2 Codifiche video particolari Una rappresentazione più compatta può essere ottenuta sfruttando: la ridondanza del segnale; le caratteristiche del sistema percettivo. Queste tecniche sono utilizzate nelle codifiche più diffuse, quali GIF, PNG e JPEG. Sono molto utilizzate anche le codifiche a palette (tavolozza): insieme alla bitmap viene codificata una tabella dei colori usati; gli elementi della bitmap non contengono un colore, ma solo un riferimento ad un colore della tavolozza. Rappresentazione delle informazioni Pagina 25 di 31

4.5.3 Immagini vettoriali Una descrizione vettoriale indica: una collezione di elementi grafici: per esempio, un cerchio o un rettangolo; loro caratteristiche: per esempio, il tipo di tratto, il colore del bordo o dell interno. I formati vettoriali: sono l analogo del formato MIDI; sono molto usati nei sistemi CAD e nella grafica; si prestano a subire trasformazioni geometriche senza degradare l immagine descritta; permettono la visualizzazione alla risoluzione dei dispositivi. 4.6 Animazioni Una animazione può essere ottenuta tramite una successione di immagini. Ogni singola immagine viene detta frame. Il frame-rate è il numero di immagini per secondo che vengono rappresentate. Il numero di bit sufficiente per una animazione è quindi pari a: numero di bit per frame frame-rate durata In realtà, il numero di bit può essere ampiamente ridotto sfruttando la ridondanza dovuta alla somiglianza tra frame consecutivi (per esempio, MPEG). Rappresentazione delle informazioni Pagina 26 di 31

Capitolo 5 Esercizi 5.1 Contare con le dita D Fino a quanto si può contare usando solo le dita di due mani? R Ipotizzando che ogni dito possa assumere solo due posizioni (disteso o chiuso): si hanno 10 elementi indipendenti; ogni elemento può assumere due configurazioni; il numero di configurazioni totali è 2 10 = 1024. Si può quindi contare da 1 a 1024 (o da 0 a 1023!). 5.2 Colori D Quanti colori possono essere rappresentati in una codifica RGB a 1 byte per canale? R Ognuno dei canali (R, G e B) ha a disposizione 8 bit. In totale, dunque, 8 3 = 24 bit. Sono quindi rappresentabili 2 24 = 16 777 216 colori. La codifica a 24 bit è chiamata comunemente a 16 milioni di colori. 5.3 Dimensione di una immagine digitale D Quanti bit servono per rappresentare un immagine 1024 768 a colori, 8 bit per canale colore? R I pixel sono 1024 768 = 786 432. Ogni pixel è rappresentato da 3 colori (rosso, verde e blu) e ogni colore occupa 8 bit. Una immagine così fatta, occupa quindi: 786 432 3 8 = 18 874 368 bit. Essi equivalgono a 18 874 368/8 = 2 359 296 byte. Rappresentazione delle informazioni Pagina 27 di 31

Cioè 2 359 296/1024 = 2304 kib (kibibyte). O 2304/1024 = 2, 25 MiB (mebibyte). Rappresentazione delle informazioni Pagina 28 di 31

Capitolo 6 Teoria dell Informazione 6.1 Informazione Il termine informazione è usato in molti contesti e con molte accezioni. Portano informazione: una certa distribuzione di gocce di inchiostro su un foglio; una certa sequenza di lettere dell alfabeto; una certa sequenza di parole della lingua italiana. Si individuano diversi livelli di informazione: sintattico: l informazione sintattica è legata alle configurazioni del supporto fisico; semantico: l informazione semantica è legata al significato attribuibile alle diverse configurazioni del supporto fisico; pragmatico: l informazione pragmatica è legata al valore attribuibile alle diverse configurazioni del supporto fisico. 6.2 Teoria dell informazione La branca dell informatica nota come teoria dell informazione studia l informazione di tipo sintattico. 6.2.1 Misura dell informazione Qual è la natura dell informazione? Come si può misurare l informazione? Per rispondere a queste domande proviamo ad analizzare alcuni casi. Rappresentazione delle informazioni Pagina 29 di 31

Caso 1 Poniamo il caso di dover comunicare se un determinato evento è accaduto oppure no. Consideriamo le seguenti modalità per comunicare l evento: 1. organizziamo un falò da qualche decina di metri cubi di legna; 2. accendiamo un cerino. Quale modalità trasferisce più informazione? La risposta è chiara: sia chi vede il cerino, sia chi vede il falò hanno la stessa informazione. Quindi, si può trarre una prima conclusione:la quantità di informazione dipende dall evento, non dal mezzo di comunicazione! Caso 2 Consideriamo ora le seguenti domande: a) Quanti sono i sette nani? b) Quale lato della moneta che ho appena lanciato è uscito? Quale risposta fornisce più informazione? La risposta alla domanda a) è conosciuta. La risposta alla domanda b), magari non è interessante, ma toglie un dubbio. Possiamo trarre una seconda conclusione: l informazione è legata all incertezza. Formalizzazione Ipotizziamo un messaggio che contenga un simbolo x scelto da un insieme X = {x i 1 i n} di n simboli (detto alfabeto). Attraverso una funzione I( ), vorremmo misurare l informazione contenuta nel messaggio, I(x). Quali proprietà deve avere la funzione I( )? L informazione portata da una sequenza di simboli deve essere la somma dell informazione portata dai singoli simboli che compongono la sequenza stessa: I(x i x j ) = I(x i ) + I(x j ) Se il simbolo x i è meno frequente (o meno probabile) del simbolo x j, l informazione portata da x i deve essere maggiore dell informazione portata da x j : p(x i ) p(x j ) I(x i ) I(x j ) Se due simboli sono equiprobabili, l informazione da essi portata deve essere la stessa: p(x i ) = p(x j ) I(x i ) = I(x j ) Se è certo che un dato simbolo apparirà sul messaggio, allora l informazione portata dal messaggio è nulla: p(x i ) = 1 I(x i ) = 0 Meno probabile è un simbolo, maggiore è l informazione da esso portata: Rappresentazione delle informazioni Pagina 30 di 31

p(x i ) 0 I(x i ) Una funzione che gode delle precedenti proprietà è: I(x) = log 2 p(x), p(x) > 0 Questa funzione ha il vantaggio di valere 1 se l insieme di simboli che il messaggio può contenere è costituito da soli due simboli equiprobabili. In tal caso, ogni messaggio porta 1 bit! 6.2.2 Bit e informazione A questo punto ci sono due significati per il termine bit: unità di misura della capacità (o dell ingombro) di una rappresentazione binaria; unità di misura dell informazione. Per codificare 256 simboli equiprobabili, si usano 8 cifre binarie. Ogni cifra binaria porta 1 bit di informazione. Se i simboli non fossero equiprobabili, alcune cifre potrebbero portare (in media) più di 1 bit, e altre meno di 1 bit. Esempio Regole del gioco Indovina il numero : 1. una persona pensa un numero tra 1 e 128; 2. per scoprire tale numero gli si possono fare delle domande; 3. a tali domande, la persona può rispondere solo Sì o No. Qual è il numero minimo di domande necessarie per indovinare il numero nascosto? Risposta: 7. Traccia: la conoscenza del numero porta 7 bit di informazione; con ogni domanda possiamo ottenere 1 bit di informazione. Rappresentazione delle informazioni Pagina 31 di 31