1 Partiamo da un informazione comune a tutti gli alunni della scuola italiana: La somma degli angoli interni di un triangolo è 180. Come giustificare questo fatto? Con delle prove sperimentali, ad esempio. Proviamo così: 1) Prendi due cartoncini rettangolari uguali e disegna su di essi due triangoli uguali, che abbiano per base un lato del cartoncino e per vertice opposto alla base, un punto, E, qualsiasi del lato opposto. 2) Dal punto scelto, E, traccia la perpendicolare alla base AB (l altezza) 3) I triangoli ABE rimangono così divisi ciascuno in due triangoli rettangoli, AEF e BEF, i quali hanno un angolo acuto che coincide con quello del triangolo iniziale, ABE D E C D E C A F B A F B B 4) Ora ritaglia da un solo cartoncino, i due triangoli rettangoli AEF e BEF 5) Appoggiali sull altro cartoncino sovrapponendoli a quelli disegnati poi ruotali in modo che il punto A vada sul punto E, il punto F vada sul punto D e il punto E vada su A. In tal modo l angolo acuto alla base, ( EAF) va a collocarsi vicino all angolo al vertice (AEB) del triangolo grande. F AB F F AB F E D C E E B E 6) Ora osserva: che tipo di angolo formano i triangoli così accostati? 7) Si vede che si tratta di un angolo piatto. E, se rifletti bene, ti accorgi che i tre angoli in questione sono proprio gli angoli del triangolo iniziale. D Dunque, concludendo: La somma degli angoli interni di un triangolo misura 180, proprio come l angolo piatto che essi hanno formato.
2 Possiamo fornire un altra prova sperimentale di questo fatto Prendiamo un triangolo ed inseriamo al suo interno un oggetto di cui sia facile stabilire l orientamento, ad esempio una freccia o una matita A' B' A B A B A' B' Si vede che, se voglio cambiare l orientamento, la freccia deve percorrere un angolo. Così, nella seconda figura, si capisce che se la direzione è la stessa, ma l orientamento è opposto, la freccia deve aver percorso una rotazione complessiva di 180. La freccia ha percorso tre angoli ed ora ha l orientamento opposto. Dunque ha percorso 180. Ne consegue che la somma dei tre angoli percorsi doveva essere di 180. Dunque, concludendo: La somma degli angoli interni di un triangolo misura 180, proprio come l angolo piatto che è stato percorso.
3 Scheda 1 Proviamo ad applicare questa informazione, alla scoperta di altre proprietà delle figure geometriche. Come si può trovare la somma degli angoli interni di un poligono con più di tre lati? Iniziamo dai quadrilateri: 1) Determina la somma degli angoli interni di un quadrilatero e spiega come hai fatto. 2) Determina la somma degli angoli interni di un pentagono e spiega come hai fatto. 3) Quale relazione intercorre fra la somma degli angoli interni di un poligono e il numero dei suoi lati? Esprimiamo questo legame con una formula:
4 Alcune definizioni Nella figura qui sotto sono indicati due elementi dei poligoni: l angolo interno e l angolo esterno. ANGOLO INTERNO ANGOLO ESTERNO Prova a descriverli in modo che le parole illustrino in maniera chiara questi due elementi. Definizione di Angolo Interno di un poligono: Definizione di Angolo Esterno di un poligono: Relazione fra angolo interno e angolo esterno adiacenti RELAZIONE FRA ANGOLO INTERNO ED ANGOLO ESTERNO ADIACENTI ANGOLO INTERNO ANGOLO ESTERNO Quale relazione intercorre fra l angolo interno e quello esterno adiacente?
5 Il Teorema dell angolo esterno Abbiamo visto che l angolo esterno e quello interno ad esso adiacente formano un angolo di 180, e che la somma degli angoli interni di un triangolo vale 180. A partire da queste informazioni puoi dedurre la relazione che intercorre fra un l angolo esterno di un triangolo e gli altri due angoli interni, e, non adiacenti ad esso? Quello che hai appena dimostrato è uno dei più importanti teoremi della geometria e si chiama: Teorema dell angolo esterno. Proviamo ad enunciarlo:
6 Somma Angoli Esterni di un poligono Un altra definizione: La somma degli angoli esterni. Def. Si chiama Somma degli angoli esterni di un poligono, la somma degli angoli esterni ottenuti prolungando i lati sempre nello stesso verso. Nel poligono in figura, i lati sono stati prolungati in senso orario. Proviamo ora a scoprire cosa si può dire della somma degli angoli esterni di un poligono. Si può ricavare dai dati che abbiamo? Determina la somma degli angoli esterni di un triangolo e descrivi il ragionamento seguito: Quale relazione intercorre fra la somma degli angoli esterni di un poligono e il numero dei suoi lati?
7 Def: Un poligono si dice regolare quando ha : a) tutti i lati uguali fra loro e b) tutti gli angoli uguali fra loro. Poligoni regolari Se non ci fosse questa definizione così completa, non avremmo l idea che abbiamo di poligono regolare. Diciamo che, alla ricerca di un massimo di simmetria, desideriamo che tutti gli elementi dello stesso tipo (lati; angoli;) siano uguali fra loro. Ma è proprio necessario dire entrambe le cose? O si ottiene lo stesso risultato dicendone solo una? Rispondi alle domande seguenti: 1) E vero che se un poligono ha tutti i lati uguali fra loro, allora ha anche gli angoli uguali fra loro? Spiega la tua risposta 2) E vero che se un poligono ha tutti gli angoli uguali fra loro, allora ha anche i lati uguali fra loro? Spiega la tua risposta 3) Quanti tipi di poligono regolare si possono immaginare? 4) Come si può trovare l ampiezza di un solo angolo di un poligono regolare? 5) Scrivi la formula che consente di determinare l ampiezza di un solo angolo interno di un poligono regolare di n lati. 6) Determina l ampiezza dell angolo interno nei seguenti poligoni regolari: Triangolo equilatero.. Pentagono regolare Ottagono regolare.. Quadrato Esagono regolare Decagono regolare
8 Rispondi alle domande seguenti: Una piccola curiosità 1)Come si comporta l angolo interno di un poligono regolare all aumentare del numero dei lati? 2) La sua ampiezza aumenta indefinitamente? o c è un limite? 3) Cosa suggerisce la formula: 2 180 n quando n è molto, molto. molto grande? n 4) E se n continua ad aumentare a quale numero la frazione n 2 n si avvicina sempre più? 5) A quale numero si avvicina allora l ampiezza dell angolo interno all aumentare dei lati? 6) Commenta il seguente disegno: 3 4 5 6 8 10 12 16 20 30 7) Quanti lati ha un poligono regolare con un angolo di 179 gradi?
9 Riempimenti regolari del piano. (Tassellazioni o pavimentazioni di un piano infinito) Per pavimentazione regolare si intende un ricoprimento del piano con poligoni regolari tutti dello stesso tipo, accostati in modo che abbiano lati e vertici in comune, come accade nei pavimenti. 1) Qual è la legge geometrica che governa il riempimento del piano? (Osservare cosa accade nei vertici delle mattonelle che formano il pavimento) 2) Qui sotto sono elencati alcuni poligoni regolari. Stabilisci quali di essi possono essere usati per costruire un pavimento e per ognuno di essi, quanti convergono nello stesso vertice: Triangoli equilateri.. Quadrati Si e in ogni vertice ne convergono 4 Pentagoni.. Esagoni.. Ottagoni.. 3) A quale legge deve obbedire l ampiezza dell angolo dei poligoni regolari con i quali posso riempire il piano? Spiega la tua risposta 4) Disegna qui sotto le possibili pavimentazioni regolari 5) Dimostra che esistono solo tre tipi di pavimentazione regolare
10 Riempimenti semiregolari del piano Questa attività è il naturale proseguimento dell altra. Può contribuire a rinforzare le nozioni sugli angoli e a sviluppare la capacità dell alunno di vedere la matematica intorno a sé. Ora vogliamo studiare le tassellazioni del piano che si possono ottenere mescolando poligoni regolari delle stesse dimensioni (lati uguali), ma di tipo diverso. Ad esempio, usando quadrati e triangoli equilateri. Per questa ricerca fissiamo due regole: A) I vertici devono incontrarsi sui vertici (non devono esserci vertici di un poligono sui lati di un altro); B) Tutti i vertici del piano devono essere dello stesso tipo, cioè in ogni vertice deve concorrere lo stesso numero e tipo di poligoni, e con la stessa orientazione. 1) Quali moduli ( disposizioni) si possono avere con triangoli equilateri e quadrati? Fai un disegno e descrivi cosa accade in ogni vertice: 2) Sono ripetibili tali moduli? Vuol dire: si può continuare a pavimentare allo stesso modo? (con gli stessi poligoni, orientati allo stesso modo, in tutti i vertici) Abbiamo visto cosa accade usando triangoli equilateri e quadrati. 3) Con quali altre coppie (ad esempio, triangoli ed esagoni oppure quadrati e pentagoni, oppure ottagoni e quadrati di poligoni regolari si possono costruire pavimenti con i vertici tutti dello stesso tipo? Elenca i modi possibili: (per aiutarti, ti dirò che ne mancano solo 6. Riesci a trovarli tutti? )
11 4) In quanti modi si può ricoprire il piano con poligoni regolari di tre tipi diversi e i vertici tutti dello stesso tipo? Elenca alcuni modi possibili. ( In tutto sono solo 10, ma chissà se riesci a trovarli tutti? Cercane un po e fermati quando vuoi) 5) Dimostra che non è possibile con quattro tipi di poligono regolare.. 6) Enuncia il Teorema al quale si perviene con l ultima dimostrazione: 7) E ripetibile il modulo sotto illustrato? Giustifica la risposta 8) Riesamina le risposte date nella pagina precedente e stabilisci, per ogni situazione individuata, l effettiva costruibilità. 9) Prova a costruire e colorare alcuni pavimenti semiregolari
12 Riempimenti del piano con poligoni non regolari Questa attività è posta alla fine del lavoro sui riempimenti del piano, ma può essere presentata prima come gioco introduttivo, oppure dopo il lavoro con i poligoni regolari. Oppure alla fine per completare il lavoro e per fare riflettere su alcune proprietà poco note dei poligoni. Abbiamo visto come riempire il piano con poligoni regolari dello stesso tipo. Si può fare la stessa cosa utilizzando poligoni non regolari, tutti dello stesso tipo? Iniziamo dai triangoli 1) Si può riempire il piano usando solo triangoli della stessa forma? Spiega la tua risposta. (Costruire triangoli in cartoncino,tutti uguali fra loro e provare) 2) Si può riempire il piano usando solo quadrilateri della stessa forma? Spiega la tua risposta. (Costruire 10 quadrilateri uguali, in cartoncino e provare) 3) Si può riempire il piano con pentagoni non regolari tutti della stessa forma? Provare con pentagoni in cartoncino, non regolari, ma tutti uguali fra loro 4) A quali conclusioni si arriva?