Capitolo 6. I poligoni. (Ob. 4, 5, 6, 7, 9, 11, 12, 14, 15)

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1 (Ob. 4, 5, 6, 7, 9, 11, 12, 14, 15) (vertici, lati, diagonali, convessità, angoli, perimetro) 6.2 I triangoli 6.3 I quadrilateri 6.4 I poligoni regolari 6.5 Le altezze 6.6 Le aree

2 Un poligono è la parte di piano delimitata da una poligonale (inclusa la poligonale stessa). Vertici consecutivi: ad es. A e B. Lati consecutivi: ad es. AB e BC. Qual è il lato opposto ad AB?

3 Attività. Discriminare poligoni da non poligoni e imparare i loro nomi. Suddividere la classe in coppie; materiale: modelli di figure geometriche (cartoncino o compensato o...), un sacchetto che le contenga tutte, rappresentazione e nome delle stesse figure su un cartellone; svolgimento: in ogni coppia l alunno A chiede all alunno B di pescare dal sacchetto (utilizzando il tatto, senza guardare) una certa figura e di stabilire se è o non è un poligono. Poi si scambiano i ruoli.

4 Attività. Immaginare e rappresentare poligoni, fare valutazioni dimensionali e di strategia. Suddividere la classe in coppie; materiale: carta punteggiata o geopiano; svolgimento: l alunno A della coppia traccia un lato di un triangolo. L alunno B traccia un altro lato e così via. L alunno che chiude un triangolo, tracciando l ultimo lato, lo contrassegna con il proprio colore/simbolo e ha diritto al turno successivo. Vince chi ha chiuso più triangoli.

5 Varianti. cambiare il poligono di riferimento chiedere che i poligoni abbiano tutti la stessa forma e la stessa area...

6 Attività. Riconoscere triangoli, quadrilteri, pentagoni, esagoni, ecc. e descriverli. È utile perché fa notare che non esistono soltanto i poligoni con il nome, che non tutti gli esagoni sono regolari,...

7 Criterio di costruibilità Righello alla mano, rappresentiamo poligoni di lati: (a) 5 cm, 5 cm, 7 cm; (b) 7 cm, 2 cm, 15 cm; (c) 5 cm, 7 cm, 2 cm; (d) 7 cm, 7 cm, 5 cm, 5 cm; (e)... A scuola possiamo utilizzare cannucce di lunghezza opportuna.

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9 Criterio di costruibilità. In un poligono la lunghezza di ogni lato deve essere minore della somma delle misure degli altri lati. Basta controllare se il lato maggiore è minore della somma degli altri lati. (a) (b) (c) (d) 5 cm, 5 cm, 7 cm; 7 < costruibile 7 cm, 2 cm, 15 cm; 15 > non costruibile 5 cm, 7 cm, 2 cm; 7 = non costruibile (caso degenere) 7 cm, 7 cm, 5 cm, 5 cm; 7 < costruibile

10 Assegnate le misure dei lati (e supponendo che rispettino il criterio di costruibilità), il poligono risulta univocamente determinato?

11 Numero di diagonali Da che cosa dipende il numero di diagonali che un poligono possiede?

12 Consideriamo un pentagono, ma pensiamo a un poligono di n lati (generalizzazione). Tracciamo tutte le possibili diagonali dal vertice A.

13 Le diagonali tracciate da A sono 2, perché i vertici sono 5 ma 3 sono vietati: A stesso, e i due consecutivi (B ed E). Quindi da un vertice (di un poligono di n vertici) si tracciano n 3 diagonali.

14 Tracciamo tutte le possibili diagonali dal vertice B (sempre n 3).

15 Tracciamo tutte le possibili diagonali dal vertice C (sempre n 3, anche se una l abbiamo già tracciata).

16 Tracciamo tutte le possibili diagonali dal vertice D (sempre n 3, anche se le avevamo già tracciate entrambe).

17 Tracciamo tutte le possibili diagonali dal vertice E (sempre n 3, anche se le abbiamo già tracciate entrambe).

18 Abbiamo tracciato 5 (5 3) diagonali, ma sono doppie. Quindi il numero di diagonali è 5 (5 3) 2. Generalizzando: num. diagonali di un poligono di n vertici = n(n 3) 2.

19 Quante diagonali ha un poligono di 25 lati?

20 Attività. Invece che proporre questa dimostrazione, possiamo chiedere (facendo provare): Quante strette di mano in un gruppo di 3 persone che devono presentarsi? Quante strette di mano in un gruppo di 4 persone che devono presentarsi? Quante strette di mano in un gruppo di 5 persone che devono presentarsi?... E se le persone sono disposte a cerchio e già si prendono per mano (ognuno conosce i suoi due vicini)?

21 Strette di mano primo caso: n(n 1) 2 Strette di mano secondo caso n(n 3) 2

22 Convessità Un poligono è convesso se comunque presi due punti che gli appartengono il segmento che li congiunge è interamente contenuto in un poligono (scegliamo di utilizzare questa definizione, che è attribuibile, più in generale, a una figura convessa). Poligono convesso: AB è interamente contenuto nel poligono, comunque vengano scelti due suoi punti A e B.

23 Viceversa, se esiste un segmento i cui estremi appartengono al poligono, ma che non è interamente contenuto in esso, allora tale poligono è detto concavo. Poligono concavo: AB non è interamente contenuto nel poligono, avendo scelto opportunamente due suoi punti A e B.

24 Proprietà 1. Se un poligono è convesso, allora comunque si scelga una retta contenente un lato, essa lascia il poligono tutto nello stesso semipiano. Il poligono appartiene tutto al semipiano 1. Lo stesso sarebbe scegliendo un altro lato.

25 Se un poligono è concavo, esiste una retta contenente un lato che taglia il poligono. Il poligono giace per una parte nel semipiano 1 e per una parte nel semipiano 2.

26 Proprietà 2. Se un poligono è convesso, allora tutti i suoi angoli interni sono convessi. Tutti gli angoli interni sono convessi.

27 Se un poligono è concavo, allora ha almeno un angolo interno concavo. L angolo interno A ˆBC è concavo (è maggiore di un angolo piatto e diverso dall angolo giro).

28 Attività. Proposta didattica sui poligoni convessi e concavi. RoboTino e i poligoni convessi

29 Attività. Quali tra le seguenti figure sono convesse (una figura è convessa se contiene tutti i segmenti che hanno gli estremi nella figura stessa)?

30 Angoli interni Come si definisce un angolo interno?

31 Angoli interni Ci riferiamo a poligoni convessi. Un angolo interno (o semplicemente angolo) è un angolo delimitato da due lati consecutivi del poligono, che contiene il poligono stesso.

32 Attività. Possiamo rappresentare sul pavimento una sagoma di un poligono ed evidenziare un angolo interno. Chiediamo ai bambini di collocarsi: nell angolo; nell angolo e fuori dal poligono; nel poligono e fuori dall angolo (?) (Un poligono convesso è l intersezione dei suoi angoli interni)

33 Un angolo è adiacente a un lato se è delimitato da quel lato. L angolo (interno) A ˆBC è adiacente ai lati AB e BC.

34 Somma degli angoli interni Quanto vale la somma S i degli angoli interni di un poligono? Da che cosa dipende?

35 Iniziamo con il triangolo. Ritagliamo un triangolo qualsiasi. S i (triangolo) = 180

36 Quello che abbiamo osservato è un Teorema. Si dimostra tramite il Teorema delle rette parallele tagliate da una trasversale.

37 Utilizziamo questo fatto per dedurre la somma degli angoli interni di tutti poligoni, suddividendoli in triangoli. Consideriamo un pentagono, pensando poi alla generalizzazione per un poligono di n vertici.

38 Tracciamo tutte le diagonali uscenti da un vertice. Abbiamo suddiviso il poligono in 3 triangoli.

39 Le diagonali uscenti da un vertice sono n 3, i triangoli n 2.

40 La somma degli angoli interni di tutti i triangoli, coincide con la somma degli angoli interni del poligono.

41 Questa somma è S i (poligono n vertici) = (n 2) 180

42 Angoli esterni Un angolo esterno è un angolo individuato da un lato del poligono e dal prolungamento di un suo consecutivo.

43 L angolo esterno è l angolo del cambiamento di direzione. Attività. Si può disegnare per terra un poligono e chiedere a un alunno di camminare sulla poligonale, sempre nello stesso verso, con le braccia tese in avanti. Ogni volta che raggiungerà un vertice, dovrà tenere un braccio fisso, che ricorda la direzione del lato appena percorso, e ruotare l altro braccio in modo da allinearsi al lato successivo. Con il suo movimento avrà indicato un angolo esterno del poligono.

44 Attività. Classificare poligoni secondo vari criteri. Esempi. Tra i poligoni rappresentati, quali hanno almeno un angolo (interno) retto? Quali hanno una coppia di lati paralleli? Quali sono convessi? Quali hanno una coppia di lati perpendicolari? Quali sono privi di diagonali?...