RIPARTIZIONE DELLE FORZE SISMICHE ORIZZONTALI (Modellazone approssmata alla rnter) Le strutture degl edfc sottopost alle forze ssmche sono organsm spazal pù o meno compless, l cu comportamento va analzzato attraverso modell matematc n grado d n nterpetrarne adeguatamente le loro caratterstche elastche. Tal modell vengono defnt ed mplementat attraverso codc d calcolo automatco sempre pù sofstcat, che mplcano necessaramente competenze specfche. La modellazone d rnter, d seguto llustrata, consente d operare su un modello approssmato, d semplce utlzzazone, molto utle per una prelmnare, seppur sommara, anals del comportamento della struttura. L approssmazone del modello consste nell potzzare che n una struttura a telao sottoposta a forze orzzontal le estremtà de plastr sano mpedte d ruotare e, qund, nell potzzare travers nfntamente rgd. Da cò ne consegue che tale modellazone nterpetra l comportamento della struttura solo attraverso un unco parametro dentfcatvo delle sngole colonne, la rgdezza a taglo,, che può esprmers, con l ovvo sgnfcato desmbol, come appresso: = 12EI H 3 1
Per coglere ntutvamente l comportamento globale d un semplce edfco, con pano rgdo, può fars rfermento agl schem sotto llustrat. Fy Fx Fy Fx Fy Fx Fy Fx 2
Cò premesso s consder un edfco, sempre con un pano rgdo e su cu agsce una forza ssmca orzzontale Fx, la cu artcolazone n panta de plastr è rappresentata nella carpentera d Fg.1. y F x C R e y e x Fg.1 x Al fne d llustrare l modello d rnter è necessaro preventvamente ntrodurre l concetto d barcentro delle rgdezze, defnto anche centro elastco, dell mpalcato. E noto che per la loro natura le forze ssmche sono applcate ne barcentr delle masse, che, per la maggor parte degl edfc ordnar, possono essere consderat concdent con barcentr geometrc degl mpalcat. Qund, a var pan de fabbrcat la poszone del barcentro delle masse dpende dalla forma geometrca dell mpalcato e vene determnata con metod fornt dalla geometra delle masse, attraverso le seguent formule: 3
dove: X A X A Y A Y A A X ed Y A è l area delle fgure semplc (rettangol, trangol ecc.), n cu può scompors l mpalcato. sono le coordnate de barcentr delle aree A, rspetto ad un sstema d ass cartesan, scelto sempre n modo da contenere, per semplctà d calcolo, l mpalcato tutto nel 1 quadrante. è l area totale dell mpalcato. S defnsce barcentro delle rgdezze, o centro elastco dell mpalcato, C, l punto d applcazone della rsultante R delle reazon elastche delle colonne, ovvero l barcentro delle rgdezze delle stesse, e, qund, l punto rspetto al quale l momento statco delle rgdezze secondo gl ass x ( ) ed y ( y ), rguardate come vettor, è nullo. Conseguentemente le coordnate d C varranno: x c = y x y y c = y E evdente che, n caso d dstrbuzone rregolare delle rgdezze, la poszone d C verrà a trovars dalla parte dove v sono pù plastr, ovvero dove sono present plastr dotat d pù elevata rgdezza. In caso d edfc caratterzzat da una dstrbuzone regolare delle rgdezze, coè n presenza d due ass d smmetra elastca delle colonne, C e. Nel modello approssmato alla rnter se plastr sono realzzat con lo stesso materale ed hanno la stessa altezza le coordnate d C possono 4
calcolars sosttuendo alle rgdezze moment d nerza delle colonne: x c = I x I y c = I y I y y Cò premesso, sull edfco d cu alla Fg.1, per effetto della forza ssmca F x applcata n, s determnano ne plastr delle reazon d taglo che, per l equlbro alla traslazone secondo x, danno luogo ad una rsultante R, uguale ed opposta ad F x, applcata nel barcentro delle rgdezze C. Nel caso d edfc non smmetrc, la rsultante delle reazon de plastr non sarà qund ubcata sulla stessa retta d azone d F x,, rsultando e C eccentrc. Ne consegue che, affnchè F x ed R rsultno n equlbro, sull mpalcato deve essere presente anche una coppa costtuta dalle due forze, l cu momento vale: M t = F x e y. Per effetto d tale momento l mpalcato subrà oltre che una traslazone anche una rotazone, dovuta appunto all effetto torcente. Qualora la forza F x passasse per C l mpalcato subrebbe nvece solo una traslazone nella drezone della forza applcata. In presenza d momento torcente, dunque, le reazon elastche de plastr, n partcolare d quell pù estern, s modfcheranno, per poter fronteggare la presenza d M t, e che gl ncrement de tagl rsulteranno d segno opposto, a seconda della poszone delle relatve colonne rspetto a C. Va però osservato che, con l alternars del verso delle forze ssmche, anhe vers de tagl s nvertono e, qund, la presenza della coppa torcente M t comporterà sempre un aggravo per plastr pù estern. 5
E pertanto evdente che è preferble realzzare strutture che non presentno eccentrctà rlevant tra e C, e che le forme planmetrche compatte e regolar sono preferbl rspetto a quelle rregolar. Sulla scorta d quanto sopra s passa ad esamnare come valutare l enttà de tagl nascent ne plastr per effetto della forza ssmca. Cò è possble utlzzando l prncpo d sovrapposzone degl effett, valutando coè tagl ne plastr come somma dell alquota dervante dalla sola traslazone dell mpalcato (T ) e d quella dervante dalla sola rotazone (T ). Per procedere n tal senso s procede traslando la forza ssmca da a C, ed ntroducendo l relatvo momento d trasporto M t (vedas Fg. 2). L effetto della traslazone (T ) sarà valutato consderando la presenza della sola forza ssmca Fx, mentre quello della rotazone (T ) dpenderà dal solo momento torcente. y M t F x C e y M t = F x e y e x Fg. 2 x 6
Effetto della sola traslazone S consder che la condzone d congruenza (rgdezza dell mpalcato nel suo pano) mpone che tutt plastr subscano gl stess spostament.da cò ne derva che : =, e T' =. Conseguentemente s avrà che: = T' La condzone d equlbro alla traslazone secondo x mpone peraltro che F x = T' =. ; da cu ne consegue che: δ Σ F x Uguaglando l espressone d rcavata dalla condzone d congruenza con quella dedotta dall equazone d equlbro, s avrà che: T' F Σ x ; T' = F x x Σ ; T' y = 0 7
Effetto della sola rotazone y M t C e y e x Fg. 3 x S consder agente sull mpalcato solo l momento torcente M t = F x e y. Assumendo un sstema d rfermento x, y, con orgne n C, per come ndcato n Fg.4, è evdente che l generco plastro subrà per effetto d Mt uno spostamento δ r, n cu rappresenta la rotazone dell mpalcato, nfntamente rgdo nel suo pano, ed r la dstanza del plastro da C. Le component d secondo x e y, varranno: δ δ sen α ; δ y δ cos α Imponendo all mpalcato una condzone d congruenza ed una d equlbro alla rotazone, s pervene, analogamente a quanto fatto precedentemente, alla determnazone dell alquota d taglo T che 8
compete a cascun plastro per effetto della sola rotazone dell mpalcato stesso. y M t y C r x y x Fg. 4 T = Ty y y sen = y ; r x cos = r T = sen = y ed analogalmente: T y = y x, da cu s avrà: = T y = Ty y (condzone d congruenza) Per l equlbro alla rotazone dell mpalcato s avrà: 9
M t = ( T y + T y x ) M t = ( 2 y + 2 y x ) Ponendo: I p = ( 2 y + y x 2 ) (momento d nerza polare) s avrà: Mt = I p ; = M I t p Uguaglando l espressone d rcavata dalla condzone d congruenza con quella dedotta dall equazone d equlbro, s avrà: T Mt y I p ; T y Mt y I p In conclusone qund l taglo complessvo che nasce ne sngol plastr per effetto dell applcazone n della forza Fx varrà: T T ' T ; T Ty y 10
Analogamente, se la forza ssmca vene applcata parallelamente all asse y, operando come fatto precedentemente, s avrà: T T' T ; T y T ' y T y T' 0; T ' y F y y Σ y T Mt y I p ; T y Mt y I p NB) Nel caso d strutture a pù pan nelle formule precedent s dovranno sostture ad F x ed F y taglant ssmc d pano T x e T y. 11