Gravità e moti orbitali Lezione 3
Sommario Brevi cenni storici. Le leggi di Keplero e le leggi di Newton. La forza di gravitazionale universale e le orbite dei pianeti. 2
L Universo Geocentrico La sfera celeste ruota verso Ovest Luna Terra Sole Gli antichi greci e cinesi avevano sviluppato un modello di universo geocentrico. La Terra era stazionaria mentre la sfera celeste, la luna ed i pianeti ruotavano attorno ad essa. Stelle fisse sulla sfera celeste Perché questo era necessario? Il Sole, la luna ed i pianeti erano anche soggetti ad una rotazione in senso opposto più lenta. 3
Il mistero dei moti retrogradi Occasionalmente sembrava che i pianeti si muovessero in senso opposto rispetto alle stelle fisse. Moto Retrogrado: i pianeti si muovono da Est ad Ovest invece che da Ovest ad Est. Il sistema Tolemaico fu sviluppato proprio per spiegare questo moto planetario non uniforme. 4
Il Sistema Tolemaico Epicicli: introdotti per spiegare il moto retrogrado Deferenti: orbite attorno alla Terra Il sistema Tolemaico è il sistema geocentrico più avanzato sviluppato dai filosofi Greci. I moti retrogradi sono la conseguenza del fatto che i pianeti compiono orbite circolari (epicicli) attorno ad un centro che a sua volta compie un orbita circolare (deferente) attorno alla Terra. 5
La Rivoluzione Copernicana Niccolò Copernico (1473-1543) introdusse il concetto di universo Eliocentrico (correndo qualche rischio...). I pianeti (Terra compresa) compiono orbite circolari attorno al Sole. I pianeti più interni si muovono più velocemente. Nessun bisogno di Epicicli 6
Galileo, l osservatore Galileo Galilei (1564-1642) compie le prime osservazioni sistematiche inventando ed usando un telescopio di sua costruzione. Scopre le macchie solari, i 4 più grandi satelliti di Giove (satelliti Medicei), le fasi di Venere (l osservazione della fase piena è una prova del sistema Copernicano). 7
Le Fasi di Venere Galileo col suo canocchiale scopre che Venere mostra delle fasi come la Luna (1610). Le fasi non sono spiegabili nel sistema Tolemaico... 8
Le Fasi di Venere... ma si possono spiegare facilmente nel sistema Copernicano. 9
Le leggi di Keplero Le Leggi di Keplero sui moti planetari 1. Un pianeta descrive un orbita ellittica di cui il Sole occupa uno dei due fuochi. Johannes Kepler (1571-1630) descrisse empiricamente i moti planetari con orbite ellittiche. Si basò sulle osservazioni accuratissime del maestro Tycho Brahe (1546-1601). 2. Il raggio vettore che connette il pianeta al Sole spazza aree uguali in tempi uguali. 3. Un orbita planetaria è caratterizzata da P 2 a 3 dove P è il periodo orbitale ed a è la distanza media del pianeta dal Sole. 10
La prima legge di Keplero Un pianeta descrive un orbita ellittica di cui il Sole occupa uno dei due fuochi (il fuoco principale). b r' a e r Pianeta Perielio Un elllisse è un insieme di punti che soddisfa: r + r = 2a circonferenza se F coincide con F. Afelio F' a Sole nel fuoco principale Semiasse maggiore: a Semiasse minore: b Eccentricità: e (0 < e < 1; e=0 per una circonferenza) 11
La seconda legge di Keplero Il raggio vettore che connette il pianeta al Sole spazza aree uguali in tempi uguali. B A Sole B Stessa area A Un pianeta si muove più rapidamente al Perielio che all Afelio. 12
La terza legge di Keplero Un orbita planetaria è caratterizzata da P 2 a 3 dove P è il periodo orbitale ed a è la distanza media del pianeta dal Sole. P 2 /a 3 = C; la costante C ha lo stesso valore per tutti i pianeti. La terza legge di Keplero è lineare con pendenza 2/3 con log a in funzione di log P: log a = 2/3 log P + log C 13
La meccanica di Newton I tre principi della Dinamica di Newton 1. Un corpo persevera nel suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme se non è soggetto ad alcuna forza. Isaac Newton (1642-1727) ha gettato i fondamenti della fisica moderna (in contrapposizione a quella Aristotelica). 2. La forza che agisce su un corpo è uguale al prodotto della sua massa ed accelerazione: F = ma. 3. Ad ogni azione corrisponde un azione uguale e contraria. 14
La legge di gravitazione universale Newton postulò che due masse M ed m si attraggono con una forza diretta secondo la congiungente le due masse ed il cui modulo è F = G M m r 2 G = 6.67 10 11 N m 2 kg 2 F è inversamente proporzionale al quadrato della distanza; G è la costante di gravitazione universale. La legge di gravitazione universale combinata con i 3 principi della dinamica permette di spiegare TUTTE le caratteristiche delle orbite planetarie (ovvero le 3 leggi di Keplero). 15
La legge di gravitazione universale Consideriamo ad esempio la massa m e supponiamo che m<<m. In questo modo M si può considerare fissa nello spazio. Si applica il secondo principio della dinamica e la legge di gravitazione universale ottenendo un equazione vettoriale: F = m a = G M m u r r 2 versore direzione (vettore con modulo unitario) Si può dimostrare che: 1. le traiettorie della massa m sono sempre in un piano che contiene M e m; 2. le traiettorie di m sono delle curve coniche. M r u r m 16
La legge di gravitazione universale Le coniche sono le curve che originano dall intersezione di un cono e di un piano. Le coniche sono: ellisse (cerchio), parabola ed iperbole. L energia totale (Cinetica+Gravitazionale) determina il tipo di orbita. Le orbite legate sono ellissi o circonferenze (Prima Legge di Keplero). Iperbole Parabola Orbite slegate Ellisse Cerchio Cerchio Ellisse Parabola Iperbole Orbite legate ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0 17
La legge di gravitazione universale F = m a = G M m r 2 u r m u r r La Seconda Legge di Keplero (aree uguali spazzate in tempi uguali) è una conseguenza della conservazione del momento angolare ( m r v ) del sistema M+m. Quando un sistema non è soggetto a forze esterne il suo momento angolare totale si conserva. 18
La legge di gravitazione universale Moto circolare uniforme r v a 1. Velocità ha direzione tangente alla circonferenza ed è costante in modulo. 2. Accelerazione centripeta, costante in modulo. a = v2 r T = 2π r v Assumiamo che l orbita di un pianeta sia circolare, F = ma = m v2 ma considerato il valore di T si ottiene: r F = G M m r 2 v 2 = G M r r 3 T 2 = G M 4π 2 Per i pianeti, M è la massa del Sole, per cui r 3 /T 2 =cost. ovvero la Terza Legge di Keplero! 19
Energia Gravitazionale L energia totale di un corpo di massa m in orbita attorno ad un corpo di massa M é: Energia cinetica E = 1 2 mv2 G M m r Energia potenziale gravitazionale (0 per r ) Se non ci sono forze esterne al sistema M+m l energia si conserva. E < 0 orbite ellittiche E = 0 orbite paraboliche E > 0 orbite iperboliche 20
Il centro di massa Fino ad ora abbiamo assunto che M >> m per cui la massa M poteva essere considerata fissa nello spazio (assunzione per cui sono valide le leggi di Keplero). Questo in generale non è sempre vero. m A v A r A C.d.M. r B v B m B In generale si può dimostrare che i due corpi ma, mb orbitano attorno al loro centro di massa e che valgono le relazioni: m A v A = m B v B m A r A = m B r B La terza legge di Keplero generalizzata diventa: T 2 = 4π 2 r 3 G (m A + m B ) dove r = ra+rb 21
Le masse dei pianeti Jupiter Io 422 000 km La massa di un pianeta può essere determinate applicando la 3 a legge di Keplero all orbita di un suo satellite (ms << mp) T 2 = 4π 2 r 3 G(m P + m S ) 4π2 r 3 Esempio: massa di Giove dall orbita di Io (T = 177 d, r = 422,000 km): Gm P m P = 1.90 10 27 kg = 318 M 22
Il centro di massa Terra-Luna Determiniamo il centro di massa dalla distanza della luna e dal periodo orbitale: T = 27.322 d r = 384,405 km M = 5.98 10 24 kg (massa della Terra) Terra M = m + m = 4π2 r 3 Gt 2 r orbita Luna 384 405 km r O M = 1.0123 m m = 0.0123 m Ricordando che r = r + r m r = m r si ottiene: r = m M r = 0.0123 r = 4670 km 1.0123 circa 1700 km sotto la superficie della Terra! 23
Velocità orbitale attorno al C.d.M. La Terra e la Luna devono avere lo stesso periodo orbitale attorno al centro di massa. Terra r orbita 384 405 km r O Luna P = 2πr v = 2πr v Ovvero utilizzando le relazioni precedenti per i raggi si ottiene: v = 32 km s 1 v = 12 m s 1 24
Conclusioni Il moto dei pianeti è descritto dalle leggi di Keplero. Le leggi di Keplero sono la diretta conseguenza dei principi della dinamica e della legge di gravitazione universale di Newton. Proprietà delle orbite Kepleriane : Le traiettorie sono sezioni coniche (ellissi, parabole, iperboli) Energia e momento angolare si conservano durante l orbita. Nel caso generale di due masse queste orbitano attorno al loro centro di massa. 25