Formazione delle bande di energia
Calcolo formale: Equazione di Schröedinger L equazione di Schröedinger è una relazione matematica che descrive il comportamento ondulatorio di una particella (elettrone) 2 d Ψ 2m ( E V ) 2 + 2 Ψ = dx h E è l energia totale, V l energia potenziale, m la massa della particella Ψ è la funzione d onda dell elettrone ΨΨ*dx è la probabilità di trovare l elettrone nell intervallo spaziale dx. 0
Equazione di Schröedinger per trovare la relazione esistente tra l energia ed il momento degli elettroni in un semiconduttore occorre risolvere l eq. di Schröedinger (EqSc) elettrone libero (nessuna interazione con ioni reticolo V=0 in EqSc) i( kx ϖ t) 2π Ψ ( x, t ) = Ae con k = e p = λ ( p momento dell ' elettrone ) h p h k p = hk E = = = 2 2mλ 2m 2m 2 2 2 2 2 2 d E 1 * d E = m = m 2 e = massa efficace 2 dp m dp 1 h λ pesante leggera relazione parabolica tra energia e momento
Struttura a bande GaS Si
Tipiche strutture a bande di energia a 0 K
Gap di energia per il Silicio cristallino a temperatura ambiente (RT) l ampiezza della banda proibita per il Si è 1.12 ev E ( T ) = 1.17 4.73 10 T 4 2 g in generale T + 636 con con T in gradi Kelvin ed E g in ev Il coefficiente di temperatura deg/dt è negativo, cioè l ampiezza della banda proibita diminuisce al crescere della temperatura.
Silicio in equilibrio termico: Concentrazione di portatori intrinseci Per predire, quantitativamente, il numero di elettroni (e lacune) liberi in un semiconduttore, occorre conoscere: 2. La densità di stati permessi nella banda di energia 3. La probabilità che questi stati siano occupati
Densità degli stati g c (E)dE è la densità degli stati nella banda di conduzione compresa tra E e E+dE analogamente g v (E)dE è la densità di stati nella banda di valenza tra E e E+dE dalla meccanica quantistica 1 gc E = 2m 2 3 n E Ec 2π h 1 gv E = 2m 2 3 p Ev E 2π h 3 2 1 2 ( ) ( ) ( ) 3 2 1 2 ( ) ( ) ( ) m n, m p = massa efficace di elettroni e lacune E c, E v = limite di banda di conduzione e valenza
Probabilità di occupazione: distribuzione di Fermi-Dirac La probabilità che una stato di energia sia occupato da un elettrone è descritta dalla distribuzione di Fermi-Dirac f E ( ) = 1 1 D E E kt + e ( - ) f essendo E f il livello di energia per cui f D (E f ) = 0.5 (probabilità di occupazione pari al 50%) per E >> E f f D (E f ) tende alla statistica di Maxwell- Boltzmann - ( E - E f ) kt f ( E )» e = f ( E ) D M
Probabilità di occupazione: distribuzione di Fermi-Dirac ( f ) f ( E ) = e - - M E E kt questa approssimazione è valida per semiconduttori nondegeneri. Quando un semiconduttore è degenere, cioè quando gli atomi droganti introdotti sono in concentrazione così elevata da interagire tra di loro, va usata f D.
Concentrazione portatori Calcoliamo la concentrazione di portatori liberi:
Concentrazione elettroni In definitiva la concentrazione di elettroni liberi in banda di conduzione è data da: E ( ) ( ) ( ) ( ) sup n gc E f E D E de g c 0 c E fm E de N = = 3 2 2π mn kt ( c f ) ( c f ) = 2 e N 2 = C e h C 3 2 2πmnkT = = 2 h E E kt E E kt 19 3 = 2.8 10 25 densità efficace degli stati in banda di conduzione cm per Si a C
Concentrazione lacune Analogamente la concentrazione di lacune libere in banda di valenza è data da: E v ( ) ( ) v p g ( ) ( ) v E f D E de gv E f M E de Einf N = = 3 2 2π mpkt ( f v ) ( f v ) = 2 e N 2 = V e h V 3 2 2π mnkt = = 2 h 19 3 = 1.04 10 25 E E E kt E E kt densità efficace degli stati in banda di valenza cm per Si a C
Concentrazione intrinseca di portatori Il tasso di eccitazione di elettroni in banda di conduzione (e cioè il tasso di generazione di una coppia e-h) è funzione della temperatura: Il tasso di ricombinazione e-h è funzione della temperatura e della concentrazione di e ed h : in equilibrio (condizioni stazionarie) ( T ) ( T ) 1 G = R np = = ni pi i i 2 ( C f ) ( f v ) n = np = N e N e i C V ( ) EC EV kt = N N e = C C V V i C V E g E g 2 E E kt E E kt kt f f n = p = concentrazione intrinseca di elettroni (la cune) n = = N N e N N e 2 kt G = f T 1 1 ( ) R = n p f T ( )
Legge dell azione di massa in equilibrio (condizioni stazionarie) ( T ) ( T ) 1 G = R np = = ni pi i i 2 ( C f ) ( f v ) n = np = N e N e ( ) EC EV kt = N N e = g g 2 kt 2 E E kt E E kt i C V C C V V i C V E E kt f f n = p = concentrazione intrinseca di elettroni (la cune) n = = N N e N N e
Legge dell azione di massa n i è funzione di T ed E g. Sostituendo l espressione di E g 16 3 2 ni = 3.87 10 T e ( Eg ) 1.21 2kT 10 essendo E g = 7.1 10 n i T per il Si E = 1.21 ev a T = 0 K g 10 3 ni 1.45 10 cm per Si a T = 25 C n i è il parametro che determina le condizioni operative di un materiale semiconduttore (cioè il drogaggio deve essere >> n i )
Livello di Fermi intrinseco dovendo essere n i = n = p sulla base delle relazioni 3 2 ( E ) 2 c Ei kt π m kt n = C C = 2 n N e con N i 3 2 ( E ) 2 i Ev kt π mn kt = V V = 2 p N e con N E E + E 3 mp E + E = + kt ln 2 4 mv 2 c v c v h h E i rappresenta il valore assunto dal livello di Fermi E f in un semiconduttore intrinseco (cioè non drogato)
Silicio intrinseco (non-drogato) una lacuna (hole = mancanza di carica negativa) è assimilibile ad una carica positiva mobile! n i =10-10 cm -3 a RT
Drogaggio di tipo n Sostituendo un atomo di silicio con un atomo di elementi della V colonna del sistema periodico si crea un elettrone di conduzione. Donori: P, As, Sb rappresentazione 2D +5 P elettrone extra Donore I droganti sono aggiunti per controllare le proprietà elettroniche del materiale. A temperatura ambiente (RT) tutti i donori sono ionizzati e cresce la conducibilità elettrica. Concentrazioni tipiche vanno da 10 14 cm -3 a 10 20 cm -3.
Drogaggio di tipo p Sostituendo un atomo di silicio con un atomi di un elemento della III colonna del sistema periodico si crea una lacuna. Accettori: B, In, Al, Ga rappresentazione 2D +3 B lacuna extra Accettore I droganti sono aggiunti per controllare le proprietà elettroniche del materiale. A temperatura ambiente (RT) tutti gli accettori sono ionizzati e cresce la conducibilità elettrica. Concentrazioni tipiche vanno da 10 14 cm -3 a 10 20 cm -3.
Drogaggio: livello di Fermi estrinseco + N d = densità di donori ionizzati (densità di livelli E d non occupati da elettroni, finiti in banda di conduzione) + N a = densità di accettori ionizzati (densità di livelli E a occupati da elettroni che creano lacune in banda di valenza) E c drogaggio di tipo n (donori) E c drogaggio di tipo p (accettori) E d E a E v E v
Livello di Fermi estrinseco dalla condizione di neutralità della carica n + N = p + N essendo + a d + Nd N d = N d ( 1 f D ( E ) ) = ( E f Ed ) kt 1+ e Na N a = N a f D ( E ) = ( Ea E f ) kt 1+ e se E = E = E ( ovvero T elevate ) a f d N N e N N quindi n + N = p + N ed essendo np = n + + 2 d d a a a d i 1 2 2 n = ( N N ) + 4n + ( N N ) ( 2 N N ) per ( N N )? n per il silicio di tipo n d a i d a d a d a i
Livello di Fermi estrinseco poichè deve comunque sempre essere valida la relazione ( Ec Ef ) kt ( Ec Ei ) kt ( Ei Ef ) kt ( Ei Ef ) kt n = N e = N e e = n e da cui f C C i E = E + kt i ln n n i 1 analogamente p = N a N d + ni + N a N d N a N d 2 ( E f Ei ) kt p p = ni e e, quindi E f = Ei + kt ln per il silicio di tipo p n 2 2 ( ) 4 ( ) ( ) i