La Teoria dei Giochi. (Game Theory) Giochi simultanei, Giochi sequenziali, Giochi cooperativi. Mario Sportelli Dipartimento di Matematica Università degli Studi di Bari Via E. Orabona, 4 I-70125 Bari (Italy) (Tel.: +39 (0)99 7720 626; fax: +39 (0)99 7763 295) E-mail: msportelli@dm.uniba.it URL: http://www.dm.uniba.it/~msportelli 1
Cenni storici. La teoria dei giochi fu sviluppata nella prima metà degli anni 40 del secolo scorso ad opera del matematico J. Von Neuman (1903-1957) e dell economista O. Morgestern (1902-1977). Dalla pubblicazione del volume Theory of Games and Economic Behavior (Princeton U. P., 1944), questa teoria è stata largamente utilizzata in economia e ogni altro contesto in cui è rilevante l elemento strategico nelle scelte degli individui. Le principali applicazioni in economia sono: l analisi dei mercati oligopolisti, i dibattiti sulla politica economica fra autorità monetaria e governo, contrattazione salariale tra imprese e lavoratori. 2
La teoria dei giochi: un approccio elementare. La teoria dei giochi studia il comportamento degli agenti economici in situazioni in cui il guadagno (il benessere) del singolo dipende dalle scelte degli altri agenti. Dal punto di vista del singolo, l adozione di una strategia è necessaria per il perseguimento del proprio obiettivo. Strumenti della teoria dei giochi che analizzeremo con un approccio elementare: i. Rappresentazione dei giochi in cui gli agenti effettuano simultaneamente e in modo indipendente la loro scelta (giochi simultanei). ii. Determinazione degli esiti di equilibrio, nell ipotesi di strategie pure. iii. Rappresentazione dei giochi in cui gli agenti effettuano la loro scelta in sequenza (giochi sequenziali). iv. Esiti dei giochi ripetuti con possibilità di cooperazione tra gli agenti (giochi cooperativi). 3
Giochi in forma normale. Un gioco in cui sono coinvolti due agenti è rappresentabile in forma normale con una tabella a doppia entrata denominata matrice dei guadagni (o payoff). Consideriamo due imprese che devono decidere l ammontare dell investimento pubblicitario. La pubblicità influisce positivamente sulle vendite e, quindi, sui profitti, ma incide negativamente sui costi. Supponiamo che ciascuna impresa possa scegliere tra due strategie: investire in misura modesta, oppure massicciamente, in campagne pubblicitarie. Ciascuna impresa non sa cosa farà l altra. In ogni caso, ad ogni scelta si assocerà un determinato livello dei profitti. A B Basso Alto Basso 100 100 35 125 Alto 125 35 50 50 Il gioco è caratterizzato da strategie dominanti (Alto per A, Alto per B). L equilibrio, pertanto, è (50, 50). 4
Giochi in forma normale. Definizione Per strategia dominante si intende una strategia che è ottima indipendentemente dalla scelta degli altri agenti. Osserviamo che, nel gioco che abbiamo rappresentato, esiste un altra coppia di strategie (basso, basso) = (100, 100) > (50, 50). Se le imprese potessero accordarsi, entrambe potrebbero migliorare il loro payoff. E altrettanto vero che entrambe sarebbero incentivate a violare l accordo e, di conseguenza, l equilibrio tornerebbe ad essere quello determinato dalle strategie dominanti. Ogniqualvolta si riscontra una situazione di questo tipo, ossia un conflitto tra interesse individuale e interesse di gruppo, si dice che il gioco configura un problema noto come dilemma del prigioniero. Le situazioni in cui il classico problema del dilemma del prigioniero si manifesta sono molto diffuse nella realtà: free raiding, evasione fiscale, ecc. 5
Giochi in forma normale e dominanza iterata. Si consideri il seguente gioco: Osserviamo che per l agente C, la strategia C3 è strettamente dominata dalla strategia C2. L agente C, pertanto, non sceglierà mai la strategia C3. Le strategie strettamente dominate possono essere eliminate dal gioco, perché l agente non le sceglierà mai. R C C1 C2 C3 R1 3 1 3 3 2 2 R2 2 4 1 2 4 1 6
Giochi in forma normale e dominanza iterata. Dal punto di vista dell agente R, la strategia R2 è strettamente dominata dalla strategia R1. Possiamo, quindi, eliminare dal gioco la strategia R2. R C C1 C2 C3 R1 3 1 3 3 2 2 R2 2 4 1 2 4 1 Poiché R gioca R1, l equilibrio in questo gioco è determinato in corrispondenza della coppia di strategie (R1, C2) = (3, 3). R C C1 C2 C3 R1 3 1 3 3 2 2 R2 2 4 1 2 4 1 Quando in un gioco si eliminano in successione le strategie strettamente dominate, si dice che l equilibrio è determinato applicando il principio di dominanza iterata. 7
L equilibrio di Nash. Il metodo di eliminazione delle strategie dominate non sempre è applicabile. Se nessun giocatore ha una strategia dominante, per determinare almeno un equilibrio occorre individuare un esito tale che nessuno dei giocatori abbia interesse a modificare la propria scelta. Questo tipo di equilibrio è noto come Equilibrio di Nash (J. F. Nash Jr. 1928, matematico ed economista statunitense). Consideriamo il seguente gioco: C C1 C2 C3 R1 7 1 3 6 2 8 R R2 4 1 6 5 5 3 R3 2 5 4 4 4 1 Applicando il principio sopra descritto a partire da una qualunque combinazione di strategie, individuiamo la coppia (R2, C2) = (6, 5) che è, appunto un equilibrio di Nash: la scelta di ciascuno è ottima data la scelta dell altro. 8
Giochi sequenziali. Nelle situazioni in cui gli agenti non decidono simultaneamente la propria strategia, il modo migliore per descrivere una interazione strategica è attraverso la forma estesa (o albero del gioco) che si sviluppa a partire dal nodo decisionale dell agente che effettua la prima mossa. La forma normale è, comunque, sempre utilizzabile. Consideriamo nuovamente l esempio relativo all investimento pubblicitario, assumendo che l impresa A effettui per prima la sua scelta (due strategie). In risposta ad A, l impresa B ha 2 2 = 4 strategie. Per determinare l equilibrio di un gioco in forma estesa, si utilizza il metodo dell induzione a ritroso (backward induction). L equilibrio (di Nash) in questo gioco è (50, 50) = (alto, alto). 9
Giochi sequenziali. Consideriamo un gioco sequenziale in forma normale ed estesa. A B b1 b2 a1 2,5 3,5 2 1 a2 2 1 4 2 In questo gioco vi sono due equilibri di Nash: (a1, b1) e (a2, b2). Se assumiamo che A giochi per primo, esaminando i sotto-giochi, possiamo verificare che: se siamo in B1, la scelta migliore per B è b1.1; se siamo in B2, la scelta migliore per B è b2.2. In B1, A ha scelto a1 e potrà realizzare 2.5. In B2, A ha scelto a2 e potrà realizzare 4, perché B non sceglierà mai b2.1. A, pertanto, sceglierà a2. L equilibrio di Nash (a2, b2) è denominato equilibrio perfetto nei sottogiochi, (l unico vero equilibrio del gioco). A tale equilibrio si perviene, perché A ha il vantaggio della prima mossa. 10
Dilemma del prigioniero infinitamente ripetuto. Consideriamo la seguente matrice dei payoff, supponendo che il gioco sia simultaneo. C C1 C2 C3 R1 112 112 93,7 125 56,5 110 R R2 125 93,7 100 100 50 75 R3 112,5 56,25 75 50 30 25 L equilibrio di Nash è determinato dalla coppia (R2, C2). Supponiamo ora che il gioco sia sequenziale e che R giochi per primo. In tal caso, l equilibrio perfetto nei sotto-giochi conduce all equilibrio di Nash (R3, C1). Osserviamo che il gioco configura anche la situazione nota come dilemma del prigioniero in corrispondenza della coppia (R1, C1). Si dimostra che se il gioco è simultaneo ed è ripetuto infinite volte, il comportamento razionale degli agenti tende a generare proprio l equilibrio (R1, C1) che è più vantaggioso per entrambi i giocatori. Tale coppia di strategie è l equilibrio di Nash nel gioco infinitamente ripetuto. 11