LO SCRIGNO DI PROMETEO COLLANA DI DIDATTICA, DIVULGAZIONE E STORIA DELLA FISICA

LO SCRIGNO DI PROMETEO COLLANA DI DIDATTICA, DIVULGAZIONE E STORIA DELLA FISICA 2

Direttore Ettore GADIOLI Università degli Studi di Milano Piero Caldirola International Centre for the Promotion of Science Comitato scientifico Sigfrido BOFFI Università degli Studi di Pavia Giovanni FIORENTINI Università degli Studi di Ferrara Marco Alessandro Luigi GILIBERTI Università degli Studi di Milano

LO SCRIGNO DI PROMETEO COLLANA DI DIDATTICA, DIVULGAZIONE E STORIA DELLA FISICA La conoscenza completa delle leggi fisiche è la meta più alta a cui possa aspirare un fisico, sia che essa abbia uno scopo puramente utilitario... sia che egli vi cerchi la soddisfazione di un profondo bisogno di sapere e la solida base per la sua intuizione della natura. Max PLANCK La Fisica ha come scopo capire il rapporto tra l uomo e la natura, non solo da un punto di vista scientifico, ma anche filosofico, e ha cambiato in modo irreversibile la nostra vita tramite le sue ricadute tecnologiche. La spiegazione e la divulgazione dei concetti che stanno alla sua base, dati quasi per scontati, ma lungi dall essere noti o compresi da molti, e l evoluzione delle tecniche sperimentali, che hanno permesso di scoprire le leggi che regolano i fenomeni naturali e delle teorie via via elaborate, sono perciò argomenti di studio e riflessione di rilevanza primaria. Questa collana si rivolge a chi abbia desiderio di approfondire o discutere questi temi ed è aperta a chi voglia collaborarvi con contributi originali.

Marino Dobrowolny Problemi aperti della Fisica

Copyright MMXIV ARACNE editrice S.r.l. www.aracneeditrice.it info@aracneeditrice.it via Raffaele Garofalo, 133/A B 00173 Roma (06) 93781065 ISBN 978-88-548-7359-9 I diritti di traduzione, di memorizzazione elettronica, di riproduzione e di adattamento anche parziale, con qualsiasi mezzo, sono riservati per tutti i Paesi. Non sono assolutamente consentite le fotocopie senza il permesso scritto dell Editore. I edizione: luglio 2014

Indice 11 Introduzione 17 Capitolo I Fondamenti della Meccanica quantistica 1.1. L esperimento delle due fenditure, 17 1.2. L equazione di Schrödinger e il problema della misurazione, 22 1.3. Indagini sul problema fondazionale della meccanica quantistica, 24 1.3.1. La teoria dell onda pilota, 24 1.3.2. La decoerenza ambientale, 27 1.3.3. L equazione di Schrödinger modificata di Ghirardi Rimini e Weber (GRW), 30 1.3.4. Un possibile ruolo della gravità nella riduzione dello stato quantico, 32 1.3.5. Meccanica quantistica relazionale, 38. 43 Appendice 1A I postulati della meccanica quantistica 45 Capitolo II L energia del vuoto quantistico 2.1. La nozione di campo quantistico, 45 2.2. Modi normali dei campi e vettori di stato, 49 2.3. Energia di un campo nello stato di vuoto, 52 2.4. Calcoli della energia del vuoto, 54 2.4.1. Stime della densità di energia per il vuoto virtuale, 55 2.4.2. Stima della densità di energia del vuoto dei campi quantistici, 57. 61 Appendice 2A Il principio di indeterminazione di Heisenberg 63 Appendice 2B Il principio di esclusione di Pauli 65 Appendice 2C Quantizzazione dell oscillatore armonico 7

8 Indice 69 Appendice 2D Quantizzazione del campo di Klein Gordon 71 Appendice 2E La lunghezza di Planck 73 Capitolo III Il Modello Standard e il quadro attuale delle particelle elementari 3.1. Le forze fondamentali e il Modello Standard, 73 3.2. L Interazione elettromagnetica, 75 3.3. L interazione forte, 76 3.4. La forza debole, 78 3.5. Simmetrie di gauge, 79 3.6. Rottura spontanea della simmetria, 82 3.7. Il campo di Higgs, 84 3.8. L assoluta necessità di un campo di Higgs, 86 3.9. Il campo di Higgs nella storia dell Universo, 88 3.10. Un quadro riassuntivo delle particelle elementari, 90. 93 Appendice 3A La costante di struttura fine 95 Appendice 3B Invarianza di gauge della elettrodinamica quantistica 99 Capitolo IV Oltre il Modello Standard 4.1. Problemi aperti del Modello Standard, 99 4.2. I neutrini, 101 4.3. Il problema della gerarchia, 103 4.4. Il problema della asimmetria cosmica di materia e antimateria, 106 4.5. La materia oscura, 108 4.6. Teorie oltre il Modello Standard, 111 4.6.1. Teorie di Grande Unificazione (GUT s), 111 4.6.2. Teorie supersimmetriche, 115 4.7. Alla caccia della materia oscura, 117. 121 Capitolo V L espansione dell Universo e le cosmologie della relatività generale 5.1. La scoperta di Hubble, 121 5.2. L espansione dell Universo nella meccanica newtoniana, 124 5.3. Le cosmologie della relatività generale, 127 5.4. La costante cosmologica, 133 5.5. Soluzione cosmologica con materia e costante cosmologica, 136. 139 Appendice 5A Energia dello stato di vuoto dei campi quantistici

141 Capitolo VI Cosmologia osservativa Indice 9 6.1. Breve storia dell Universo, 141 6.2. L Universo prima della rottura della simmetria elettrodebole, 148 6.3. Osservazioni della radiazione cosmica di fondo, 150 6.4. Misure dello spettro delle fluttuazioni di temperatura, 151 6.5. La scoperta della accelerazione dell Universo attuale, 154. 157 Capitolo VII L ipotesi inflazionaria 7.1. Problemi con la teoria standard del Big Bang e l ipotesi inflazionaria, 157 7.2. Meccanismo fisico della inflazione, 160 7.3. Il modello ΛCDM, 165. 169 Capitolo VIII Problemi aperti della Cosmologia 8.1. La costante cosmologica, 170 8.1.1. Il problema della energia del vuoto quantistico, 172 8.1.2. Il problema della costante cosmologica, 173 8.2. L evoluzione dell entropia nell Universo, 174 8.3. Problemi connessi con l inflazione, 178. 183 Capitolo IX Verso la quantizzazione della gravità: i buchi neri 9.1. Le singolarità delle equazioni di Einstein, 183 9.2. Le stelle oscure di Mitchell e Laplace, 184 9.3. La soluzione di Schwarzschild alle equazioni di Einstein, 187 9.4. Evidenze osservative di buchi neri, 191 9.5. Buchi neri e natura dello spazio tempo, 192 9.6. Buchi neri e termodinamica, 194 9.7. Radiazione di Hawking, 197. 201 Appendice 9A Cenni sulla evoluzione stellare 205 Capitolo X Gravità quantistica 10.1. Incompatibilità della meccanica quantistica con la relatività generale, 205 10.2. Teorie delle stringhe, 207 10.3. Gravità quantistica a loop, 209 10.4. La quantizzazione della geometria, 212 10.5. Altri risultati della gravità quantistica a loop, 214 10.6. Verifiche sperimentali, 216

10 Indice 10.7. Il problema del tempo, 218 10.8. Verso una teoria di tutte le interazioni, 220. 223 Bibliografia

Introduzione Il secolo scorso è stato caratterizzato da due grandi rivoluzioni scientifiche che hanno ridefinito i fondamenti della fisica. Si tratta, naturalmente, della meccanica quantistica e della relatività di Einstein. La meccanica quantistica si può dire iniziata nel 1900 con l ipotesi che l energia della radiazione si presenti in pacchetti discreti e l introduzione della costante di Planck. Nel 1905 Einstein introduceva la relatività speciale, rivoluzionando lo spazio e il tempo newtoniani, e, circa venti anni dopo, la relatività generale che è una teoria anche essa rivoluzionaria, della gravità, che sostituiva la gravitazione di Newton. Nel seguito, partendo da Dirac, la meccanica quantistica viene combinata con la relatività speciale. Si scoprono nuove particelle come il neutrone, il neutrino e centinaia di altre particelle elementari. Si capisce che la totalità dei fenomeni naturali è imputabile a 4 forze: l elettromagnetismo, la gravità, la forza nucleare forte (che tiene insieme i nuclei atomici) e la forza nucleare debole (responsabile dei fenomeni radioattivi). Neli anni 80, si era arrivati a una complessa teoria, denominata il Modello Standard delle particelle elementari, capace di spiegare tutti gli esperimenti sulle particelle effettuati con gli acceleratori. L ultima scoperta sperimentale che convalida il Modello Standard, è in effetti, quella del bosone di Higgs, rivelato nel 2012 nel Large Hadron Collider di Ginevra. In maniera simile, la relatività generale di Einstein ha avuto numerose conferme sperimentali, dalla anomalia del perielio di Mercurio, all incurvamento dei raggi luminosi in un campo gravitazionale, alla conferma della dilatazione del tempo (gravitational red shift). Infine una conferma indiretta, ma molto precisa, delle onde gravitazionali predette dalla teoria, si è ottenuta dalla osservazione della radiazione emessa da un sistema di pulsar binarie. In conclusione, si può dire 11

12 Introduzione che, per la prima volta nella storia della fisica, il Modello Standard della fisica delle particelle e la relatività generale di Einstein, ci hanno dato un background teorico in accordo, senza eccezioni, con i risultati degli esperimenti. A questo bisogna aggiungere che la relatività generale, applicata da Einstein stesso all intero Universo, prevedeva la sua espansione, poi confermata dalle osservazioni di Hubble sull allontanamento delle galassie. Queste, e altre osservazioni astronomiche, sempre nel secolo scorso, hanno consolidato la cosmologia in una scienza sperimentale. In questo campo ha preso corpo l ipotesi di un Big Bang iniziale e, anche qui, è stata sviluppata quella che possiamo chiamare una teoria standard dell Universo primordiale. Questo grande progresso, con le conseguenti ricadute tecnologiche, ha però lasciato alcuni problemi fondamentali aperti e, nonostante molto lavoro, non si può dire che si sia fatto, negli anni dal 1980 ad oggi, un sostanziale progresso, intendendosi per sostanziale progresso una chiarificazione definitiva dei problemi stessi. L opinione è, in effetti, che, per superare tali problemi, occorra introdurre dei nuovi principi fondamentali, come fu fatto per la relatività generale e la meccanica quantistica. Ricordo adesso brevemente quali sono questi problemi che verranno poi meglio inquadrati e discussi nel resto del libro. Il primo problema riguarda i fondamenti della meccanica quantistica. La teoria divide sostanzialmente la natura in due parti. Da una parte c è il sistema che vogliamo osservare, dall altra c è l osservatore con, eventualmente, le sue apparecchiature sperimentali. Conosciamo lo stato del sistema solo quando interagisce con l osservatore, cioè quando è misurato, mentre non possiamo dire niente su questo stato prima della misura, o in assenza di osservatori. Questo contrasta con una visione realistica del mondo, secondo la quale, la maniera in cui la scienza descrive la realtà non deve involvere, in alcun modo, un procedimento di misura. Il ché è un altro modo per dire che il mondo reale deve esistere indipendentemente da noi. Se si accetta questa visione realistica del mondo, c è dunque un problema con la meccanica quantistica quale è attualmente presentata. Questo si chiama il problema fondazionale della meccanica quantistica ed è il primo grande problema aperto.

Introduzione 13 Problema n. 1: Il problema fondazionale della meccanica quantistica Aggiungo che, su questo problema, si dibatte da circa un secolo, dai primi scontri tra la concezione di Bohr e Heisenberg da un lato, e le opinioni di Einstein e Schrödinger che ritenevano che la teoria dei quanti fosse una descrizione incompleta della natura. Veniamo adesso al Modello Standard delle particelle elementari che si è gradualmente sviluppato a partire da un adeguamento alla relatività speciale della meccanica quantistica. Il Modello Standard, nonostante il suo straordinario accordo con tutti i risultati sperimentali ad oggi, ha un grosso problema che è quello di avere una lunga lista di costanti da aggiustare. Queste costanti specificano proprietà delle particelle, come la massa dei leptoni e dei quark, o l intensità delle forze. Per ottenere lo straordinario accordo con gli esperimenti che abbiamo menzionato, i valori usati nel Modello Standard sono quelli ottenuti da misure sperimentali. Tuttavia, la teoria continuerebbe a essere consistente (ma non in accordo con gli esperimenti), per qualunque altro valore di queste costanti. Ci sono in tutto circa 20 costanti da aggiustare il ché è evidentemente in contrasto col fatto che si vorrebbe avere a che fare con una teoria fondamentale. La distanza da una teoria fondamentale appare chiaramente quando si confronti il Modello Standard con la teoria della relatività generale che contiene una sola costante e cioè la costante di gravitazione. Il secondo Problema aperto à dunque il seguente: Problema n. 2: Spiegare come i val0ri delle costanti libere nel Modello Standard delle particelle elementari siano scelte in natura Questo naturalmente indica la necessità di una teoria, oltre il Modello Standard, e di cui il Modello Standard sia una approssimazione. Questa teoria viene cercata, come diremo, nella unificazione delle forze e, una volta trovata, dovrebbe anche rispondere al Problema n. 2. Un terzo problema, sempre di natura fondamentale, viene dalla considerazione del fatto che le due teorie fondamentali del 19 secolo, la teoria dei quanti e la relatività generale, soffrono della presenza di singolarità o, in maniera equivalente, portano a valori infiniti per certe quantità.

14 Introduzione Nella teoria dei campi quantistici, alla base del Modello Standard, le infinità derivano appunto dal fatto che si usa la teoria per descrivere dei campi. Il problema è che un campo ha valori in ogni punto dello spazio, il che conduce a un numero infinito di variabili. Per di più, nella teoria quantistica, queste variabili fluttuano in maniera incontrollata. È questo che conduce a un risultato infinito per certe quantità. Questi infiniti sono, per così dire, controllati, nella teoria dei quanti, con una procedura detta di rinormalizzazione. La procedura è tuttavia molto artificiosa e il problema di fondo rimane. D altra parte, la relatività generale ha problemi con gli infiniti quando si considera l interno di un buco nero, dove la densità della materia e la curvatura dello spazio diventano infinite. E lo stesso succede quando ci avviciniamo al Big Bang, usando la relatività generale per descrivere l Universo primordiale. In aggiunta al problema degli infiniti, c è il fatto, che discuteremo più avanti, che la meccanica quantistica e la relatività generale sono incompatibili fra loro. Esse sono sopravvissute in maniera indipendente fino ad ora, perché abbiamo scelto di dividere la nostra descrizione del mondo in due parti. In una parte, il mondo atomico e sub atomico segue la teoria dei quanti e la gravità si può ignorare perché la forza corrispondente è trascurabile rispetto alle altre forze. In un altra parte, quella della gravitazione e della cosmologia, dove le dimensioni sono grandi, si può usare la relatività generale e si possono ignorare i fenomeni quantistici. È chiaro che questa situazione va superata e questo conduce al problema fondamentale n. 3: Problema n. 3: Combinare la relatività generale con la teoria dei quanti in un unica teoria che si possa eventualmente identificare come la teoria completa della natura Questo è il problema della gravità quantistica sul quale, come vedremo, si sono fatti molti passi avanti negli ultimi anni, anche se rimangono questioni irrisolte. Veniamo adesso a quei problemi aperti che vengono, in particolare, dalla astrofisica e dalla cosmologia. Con diverse osservazioni, e nell arco di decenni, gli astronomi si sono resi conto che il moto delle stelle nelle galassie richiede la

Introduzione 15 presenza di una massa molto maggiore, anche 10 volte superiore, a quella che si desume dalle osservazioni dirette del contenuto della galassia. Questo eccesso di massa viene indicato come materia oscura. È infatti materia che noi non vediamo in quanto non emette né riflette la luce. Si tratta quindi di materia che non è presente nel Modello Standard delle particelle elementari. Questo dà luogo a un altro problema della fisica moderna: Problema n. 4: Cosa è la materia oscura La sua soluzione, a meno che non si voglia mettere in discussione le leggi di Newton, e quindi la relatività generale, va cercata oltre il Modello Standard. Andando a scale più grandi, quelle della cosmologia, dai dati della radiazione di fondo si è ottenuta una alta uniformità della materia e, inoltre, che l Universo, tra le possibili geometrie, è piatto. Per spiegare questi fatti, è stata introdotta, nel 1980, l idea della inflazione, cioè di un periodo brevissimo di espansione accelerata dell Universo. Questa idea sembrava risolvere semplicemente tutti i problemi e adesso è accettata da gran parte degli astrofisici. Vedremo tuttavia che ci sono numerose critiche a questa idea, non ultimo il numero dei parametri che bisogna fissare per farla funzionare. Anche l inflazione si può quindi considerare un problema aperto: Problema n. 5: Necessità reale di una inflazione e sua natura Inoltre, sempre dalla piattezza dell Universo, e dalle percentuali di materia visibile e materia oscura, si deriva che manca ancora una grande quantità di massa (o energia). Questa viene denominata energia oscura. Più precisamente, il 70% della densità di materia appare nella forma di energia oscura, il 26% nella forma di materia oscura e solo il 4% è materia ordinaria. Dunque, abbiamo osservato sperimentalmente solo 1 parte su 20 del contenuto dell Universo, mentre il restante 96% è sconosciuto. Questa energia oscura, vedremo, è associata a una forza repulsiva nelle equazioni cosmologiche (il termine della costante cosmologica) e questa forza è stata in effetti confermata da osservazioni astrofisiche

16 Introduzione su delle supernovae che indicano una accelerazione della espansione dell Universo al tempo attuale. Abbiamo dunque un ulteriore problema aperto nella nostra lista: Problema n. 6: Spiegare l energia oscura e, quindi, il valore osservato della costante cosmologica Siccome un termine di costante cosmologica viene, come vedremo, dalla energia del vuoto, e le possibili stime di questa energia, dalla teoria dei campi quantistici, sono enormemente più grandi rispetto al valore della costante cosmologica dedotto dalle osservazioni, possiamo dire di avere un ulteriore problema aperto, di natura fondamentale: Problema n. 7: La natura della energia del vuoto e un suo calcolo appropriato Avendo dunque fatto un elenco, per così dire, di alcuni problemi aperti fondamentali della fisica attuale, procederò, nel resto del libro, a inquadrare meglio questi problemi (e altri ancora) e, inoltre, a descrivere cosa si è fatto, o si sta facendo, per cercare di risolverli.

Capitolo I Fondamenti della Meccanica quantistica Al contrario della relatività generale (come vedremo), la meccanica quantistica venne sviluppata, ad opera di diversi scienziati e nel giro di diversi anni, sulla base di ottimi dati sperimentali che non si potevano spiegare con la fisica pre esistente (la fisica classica). La teoria che ne è seguita rappresenta una rivoluzione, rispetto alla meccanica di Newton, ancora più grande di quella intervenuta con le teorie della relatività di Einstein. Nel seguito cercherò di accennare ai fondamentali della meccanica quantistica e la sua strana visione del mondo. Come vedremo ne consegue, per lo meno agli occhi di molti, un problema, che abbiamo ricordato nella introduzione e che possiamo chiamare il problema fondazionale della meccanica quantistica. Per quanto se ne discuta sin dagli inizi della teoria, cioè da circa un secolo, il problema si deve considerare ancora aperto. 1.1. L esperimento delle due fenditure Secondo Feymann, tutte le caratteristiche essenziali della meccanica quantistica sono contenute nell esperimento delle due fenditure. Nello stesso tempo, i risultati di questo esperimento, indicano anche chiaramente il formalismo che si deve usare per spiegare quanto osservato. Questo formalismo (e, in effetti, la base di postulati della meccanica quantistica), è estremamente semplice mentre le sue conseguenze, rispetto alla descrizione classica del mondo, sono straordinarie. Vediamo dunque l esperimento delle due fenditure (ancorché in una versione ideale), e riferiamoci agli elettroni, ricordando però che questo esperimento, e altri simili con particelle diverse dagli elettroni, è stato effettivamente realizzato. 17

18 Problemi aperti della Fisica La figura 1.1 è uno schema dell esperimento. Figura 1.1. Schema dell esperimento delle due fenditure. A sinistra abbiamo un cannone di elettroni. Gli elettroni (mono energetici), sono diretti verso una parete con due fenditure, indicate con 1 e 2. A destra di questa parete, c è una piastra dove vanno a urtare gli elettroni e, su questa piastra, possiamo pensare di mettere un rivelatore connesso con un altoparlante. La prima cosa da notare è che, corrispondentemente alla rivelazione degli elettroni, sentiamo dei click, sempre dello stesso tipo. La loro frequenza si può variare, se muoviamo il rilevatore nella direzione x, ma i click restano inalterati. Questo è consistente con l idea che vengano rilevate singole particelle. Muovendo il rilevatore, possiamo determinare la probabilità di rivelare un elettrone a un certo x. Questa curva di probabilità è quella indicata con P 12 alla estrema destra della figura, e rappresenta, chiaramente, un effetto di interferenza. Come la possiamo interpretare? I click corrispondono ai singoli elettroni e un elettrone, diremmo, o è passato attraverso la fenditura 1 o attraverso la fenditura 2. Assumendo questo, gli elettroni che sentiremo sulla piastra terminale si dividono dunque in due classi, quelli che sono passati attraverso 1 e quelli che sono passati attraverso 2. Perciò la curva di probabilità (funzione di x) che misuriamo dovrebbe corrispondere alla somma degli effetti degli elettroni che passano da 1 e di quelli che passano da 2.

I. Fondamenti della Meccanica quantistica 19 Ma questo lo possiamo verificare sperimentalmente. Prima guardiamo gli elettroni che vengono dalla fenditura 1 e, per questo, chiudiamo la fenditura 2. Contiamo i click del rivelatore (in funzione di x) e otteniamo la curva di probabilità indicata con P 1 (questa, con un massimo corrispondente alla fenditura 1, sembra perfettamente ragionevole). Facciamo la stessa cosa per ottenere la distribuzione di probabilità degli elettroni che passano dalla fenditura 2 (cioè questa volta chiudiamo la 1) e otteniamo la curva P 2 che ha un massimo corrispondente alla fenditura 2. Ora, come si vede dalla figura 1.1, il risultato ottenuto con tutte e due le fenditure aperte (P 12 ), non è sicuramente la somma di P 1 e P 2, cioè delle probabilità relative a ciascuna fenditura P 12 = P 1 + P 2 Possiamo cercare di immaginare ogni sorta di possibili complicazioni per le traiettorie degli elettroni che potrebbero passare da 1, per tornare indietro e quindi passare da 2 ecc., ma, per quante complicazioni consideriamo, non riusciremo mai a ottenere P 12. Il risultato P 12, che mostra una interferenza, come ci si aspetterebbe da onde e non da particelle, è dunque essenzialmente un mistero. Tuttavia, possiamo legare P 12 con P 1 e P 2 con una matematica estremamente semplice. Quello che accade nella parete finale del nostro esperimento si può spiegare attraverso due numeri complessi φ 1 e φ 2 (che sono, naturalmente, funzioni di x). Il valore assoluto al quadrato di φ 1 (funzione di x), dà il risultato che vediamo quando solo la fenditura 1 è aperta, cioè P 1 = φ 1 2 Analogamente, quando è aperta solo la fenditura 2, quello che vediamo è P 2 = φ 2 2 Quando tutte e due le fenditure sono aperte, d altra parte, si ottiene P 12 da P 12 = φ 2 + φ 2 2

20 Problemi aperti della Fisica Questa è però evidentemente la matematica con cui si rappresentano le onde. In conclusione, i click ci dicono che gli elettroni arrivano come particelle, ma la loro distribuzione probabile sulla piastra finale corrisponde alla distribuzione di intensità di un onda. In questo senso potremmo dire che si comportano, in parte come particelle, e in parte come onde. Possiamo sintetizzare quanto sopra nel modo seguente: a) La probabilità P di un evento è data dal quadrato del valore assoluto di un numero complesso φ che viene chiamato ampiezza di probabilità o funzione d onda P = probabilità φ = ampiezza di probabilità P = φ 2 b) Quando un evento si può verificare in diversi modi alternativi, ll ampiezza di probabilità è la somma delle ampiezze di probabilità φ = φ 1 + φ 2 e la probabilità è data da P= φ 2 + φ 2 2 cioè si ha interferenza. In altre parole, se associamo l ampiezza di probabilità con lo stato dell elettrone, dobbiamo dire che l elettrone è in una sovrapposizione di stati. c) Se invece nell esperimento si scieglie l alternativa, la probabilità dell evento diventa la somma delle probabilità per ciascuna alternativa. Cosa succede se si hanno 3 fenditure? Si hanno tre ampiezze di probabilità φ 1, φ 2, φ 3 e l ampiezza di probabilità totale è data dalla somma delle tre ampiezze φ = φ 1 + φ 2 + φ 3 La figura che si ottiene sullo schermo finale corrisponde allora a una probabilità P= φ 2 + φ 2 + φ 3 2