VELOCITA' DI FUGA E RAGGIO DELL'ORIZZONTE DEGLI EVENTI SECONDO LA FISICA CLASSICA Per sfuggire all'attrazione gravitazionale di un corpo celeste ( come una stella o un pianeta) occorre possedere una velocità minima detta velocità di fuga. Esistono degli oggetti nell universo la cui densità è talmente alta che per sfuggire al loro campo gravitazionale sarebbe necessaria una velocità di fuga superiore a quella della luce nel vuoto; ma, poiché la velocità della luce è la massima velocità possibile, il campo gravitazionale di tali oggetti è insuperabile, nemmeno la luce e tutte le onde elettromagnetiche possono sfuggirgli. Un oggetto con queste caratteristiche viene definito un buco nero (black hole). Ogni buco nero è circondato da una superficie immaginaria, l' orizzonte degli eventi, caratterizzata dal fatto che in ogni suo punto la velocità di fuga equivale alla velocità della luce. All'interno di questa superficie la velocità della luce non è più sufficiente a sfuggire al buco nero, e dato che non esiste in natura una velocità maggiore, giungiamo alla conclusione che da ogni punto interno all'orizzonte degli eventi non può uscire nulla 1. Sebbene in realtà il buco nero vero e proprio sia un punto matematico, privo di dimensioni, di 1 La discussione su questo punto è tuttora in corso; la totalità dei fisici ritiene che una completa descrizione della materia allo stato di buco nero debba tener conto delle proprietà quantistiche di questa. Il carattere probabilistico della descrizione quantistica della materia, applicata ad un buco nero porterebbe alla conclusione che i buchi neri non sarebbero poi così neri!!!! L attuale mancanza di una teoria più generale che unifichi gravitazione e meccanica quantistica e l assenza di osservazioni sperimentali certe rende la discussione ipotetica ma estremamente interessante. Vedere in particolare le posizioni del fisico Stephen Hawking. 1
solito si considera il raggio dell'orizzonte degli eventi come il raggio del buco nero stesso. Conoscendo la massa M del buco nero è facile calcolare il raggio dell'orizzonte degli eventi: r = 2G M c 2 dove G è la costante di gravitazione universale, c è la velocità della luce. Se il Sole si potesse trasformare in buco nero avrebbe un raggio di 3 km, un buco nero di massa dieci volte maggiore, avrebbe un raggio di 30 km e così via. COME SI CALCOLANO LA VELOCITA' DI FUGA E IL RAGGIO DELL'ORIZZONTE DEGLI EVENTI un oggetto di massa m immerso in un campo gravitazionale a simmetria sferica creato da un oggetto di massa M (la massa M è molto più grande di m, M >> m) costituisce un sistema fisico per il quale vale il principio di conservazione dell'energia meccanica, la somma dell'energia potenziale e dell'energia cinetica è costante l'energia potenziale è data da E m (r) = E c (r) + E p (r) E p (r) = G mm r quella cinetica da E c (r) = 1 2 mv2 si considera solo l'energia cinetica dell'oggetto di massa m perché l'oggetto di massa M che crea il campo si considera fermo. L'energia meccanica è data quindi dalla relazione E m (r) = 1 2 mv2 G mm r 2
Se cambia la distanza tra m ed M, cambiano sia l'energia cinetica sia l'energia potenziale ma l'energia meccanica E (r) resta costante. m Per calcolare il valore di E (r) si può ragionare in questo modo, m se il corpo di massa m fosse posto a distanza infinità da M l'energia potenziale gravitazionale sarebbe zero e anche la sua ipotetica velocità di fuga v sarebbe zero; queste osservazioni permettono di affermare che l'energia meccanica di questo sistema è zero, E (r) = 0, quindi m 0 = 1 2 mv2 G mm r da cui semplificando 1 2 mv2 = G mm r 1 2 v2 = G M r possiamo ricavare la velocità necessaria affinché un oggetto di massa m possa sfuggire al campo gravitazionale creato da un'altra massa M v 2 = 2G M r estraendo la radice quadrata e considerando solo il valore positivo v = 2G M r 3
questa velocità è indipendente dalla massa m (che infatti non compare nella formula). La velocità limite v dipende quindi dalla massa M dell'oggetto che crea il campo e dalla distanza r considerata. Si può calcolare per quali valori della massa M e della distanza r la velocità v diventa la velocità c della luce, sostituendo, al primo membro, v con c si ottiene c = 2G M r da cui c 2 = 2G M r e quindi r = 2G M c 2 4
dove M è la Massa, G la costante di gravitazione universale e c la velocità della luce nel vuoto. Tale espressione definisce il cosiddetto Raggio di Schwarzschild; il raggio r così trovato determina la sfera (di raggio r) attorno ad M, chiamata orizzonte degli eventi. Un oggetto di massa m che si trovasse a questa distanza r non potrebbe abbandonare il campo gravitazionale creato da M perché per farlo si dovrebbe muovere alla velocità della luce. Nella teoria della relatività generale l'aumento della velocità di fuga è legato alla distorsione della struttura dello spazio-tempo indotta dalla massa M. L'orizzonte degli eventi è una particolare superficie dello spazio-tempo che separa i posti da cui possono sfuggire segnali da quelli da cui nessun segnale può sfuggire. In una accezione molto più generale, se per "evento" si intende un fenomeno (particolare stato della realtà fisica osservabile), che avviene, rispetto ad un sistema di riferimento, in un preciso punto dello spazio e in un determinato istante di tempo (identificato dalle quattro coordinate spazio-temporali x,y,z e t). Un "orizzonte degli eventi" può essere definito come una regione dello spazio-tempo oltre la quale cessa di essere possibile osservare il fenomeno. Nel caso dei buchi neri di Schwarzschild, l'orizzonte degli eventi è una superficie sferica che circonda una singolarità posta al centro della sfera; quest'ultima è un punto nel quale la densità sarebbe infinita e le leggi della fisica, secondo la teoria della relatività generale, perdono significato. 5
Una pagina di uno dei quaderni di lavoro di Einstein Un buco nero potrebbe essere teoricamente prodotto da un corpo celeste di grande massa solo se questo avesse densità tale da essere interamente contenuto all'interno dell'orizzonte degli eventi (se, cioè, il corpo celeste avesse raggio inferiore al raggio di Schwarzschild corrispondente alla sua massa totale). LA SINGOLARITA' RISPETTO ALLA QUALE CESSANO DI VALERE LE LEGGI DELLA FISICA E' PRESENTE ANCHE NELLA LEGGE DELLA FISICA CLASSICA CHE DESCRIVE L'INTERAZIONE GRAVITAZIONALE. Abbiamo già visto che il campo gravitazionale a simmetria sferica creato da una massa m è descritto dalla relazione E g (r) = G mm r 2 Quanto vale il campo nel punto in cui è situata la massa M? In corrispondenza a quel punto r = 0, ma se sostituiamo questo valore nella formula, si ottiene un'operazione, la divisione per zero, che non è definita. 6
utilizzando il concetto di limite si può dire che nel punto r = 0 il campo Eg(r) diventa infinitamente grande. Secondo la notazione dell'analisi matematica si scrive quello che succede per r = 0 non è descrivibile con le leggi della fisica classica; La struttura matematica della legge che descrive il campo gravitazionale è del tipo f(x) = k x 2 l'insieme di esistenza di questo tipo di funzioni è I: x R La funzione non è definita per x = 0. UN CAMPO GRAVITAZIONALE MOLTO INTENSO DEVIA ANCHE LA RADIAZIONE ELETTROMAGNETICA 7
Questo effetto non è previsto dalla fisica classica mentre è una diretta conseguenza della teoria generale della relatività, la radiazione e.m segue la distorsione dello spazio-tempo; è questo percorso distorto (rispetto alla direzione rettilinea della luce della fisica classica) che noi classicamente descriviamo come attrazione della radiazione e.m. Onde elettromagnetiche e goniometria Un onda elettromagnetica si propaga nello spazio e nel tempo secondo un andamento di tipo sinosuidale. Come varia nel tempo l'ampiezza di un'onda elettromagnetica (monocromatica con frequenza ) che si propaga è descritta dalla funzione I(t) = I 0 sen( t + ); I 0 rappresenta l'ampiezza massima dell'onda e.m., quello che per la funzione seno sarebbe 1, e la frequenza dell onda em. La funzione che descrive l'onda, a parte i simboli diversi, non è niente altro che la funzione f(x) = senx 8
Esercizi e problemi 1. Calcolare il la velocità di fuga dal pianeta Terra. 2. Calcolare la velocità di fuga dal pianeta Giove. 3. Calcolare che raggio dovrebbe avere il raggio della Terra perché la velocità di fuga dal suo campo gravitazione sia esattamente la velocità della luce. 4. Calcolare che raggio dovrebbe avere il Sole perché diventi un buco nero.. 5. Alcuni astronomi sono certi che alla periferia del Sistema Solare esista un pianeta che ha una massa di circa 10 masse terrestri; quale potrebbe essere la velocità di fuga dal suo campo gravitazionale? 6. Un corpo celeste ha una massa M=10 40 kg e un raggio r=10 5 m. dire se si tratta di un buco nero e, nel caso la risposta sia affermativa, calcolarne il raggio di Schwarzschild (orizzonte degli eventi). 9