Modellazione dei processi produttivi 98

Modellazione dei processi produttivi Sistemi DES Reti di Petri Equazione di stato Grafo di stato Strutture fondamentali Proprietà Analisi matriciale P-invarianti T-invarianti Sifoni Trappole Macchine a stati finiti Esempio di processo manifatturiero Modellazione dei processi produttivi 98

Reti di Petri Carl Adam Petri, 1962 strumento per la modellizzazione di processi mediante sistemi ad eventi discreti ampia diffusione nel campo dell ingegneria elettronica e informatica modellazione di architetture di microprocessori Ajmone Marsan et al., 1994 applicazioni nell industria manifatturiera modellazione di Flexible Manufacturing System (FMS) Yan et al., 1998 modellazione di sistemi just-in-time Song & Lee, 1998 Reliability Modelling Schneeweiss 1999 Modellazione dei processi produttivi 99

Nella descrizione di un processo (produttivo, organizzativo, ecc.) spesso si ha la necessità di rappresentare sottoprocessi o attività che possono essere eseguite contemporaneamente, in parallelo fra loro, ma non indipendentemente l una dall altra Programmazione e Controllo Potrebbe accadere che un determinato passaggio o una certa fase del processo non possa verificarsi o non possa essere attivata fintanto che altre fasi o attività non sono concluse o fino al verificarsi di determinate condizioni. situazioni di questo tipo non possono essere descritte mediante un diagramma di flusso le attività sono rigidamente serializzate Con le Reti di Petri la serializzazione i degli step del procedimento viene superata due rami distinti non vengono mai percorsi contemporaneamente, ma rappresentano due strade alternative scelte secondo un criterio rigidamente deterministico dipendente dall esito della valutazione di una espressione booleana non solo permettono di rappresentare e di descrivere globalmente un processo, ma consentono anche di seguirne l evoluzione permettendo di visualizzare lo stato in cui si trova in un certo istante la rete. Modellazione dei processi produttivi 100

Programmazione e Controllo Possono rappresentare infiniti i fi i i stati con un numero finito di nodi Strumento di modellazione formale Strumento di analisi e verifica del comportamento di un sistema RETI DI PETRI Gli eventi non sono vincolati ad accadere con frequenza definita Gli eventi a flusso con code vengono rappresentati spontaneamente Modellazione dei processi produttivi 101

Rete di Petri: Flusso P: { P, T, F, M } Posto 0 Programmazione e Controllo P Posti T Transizioni F Relazioni di flusso M 0 Marcatura iniziale Proprietà: Transizione 1. P T 2. 3. P T F P T T P 1. gli insiemi dei posti e delle transizioni sono disgiunti 2. la rete deve avere almeno un posto o una transizione 3. F lega posti a transizioni e transizioni ai posti ma non transizioni a transizioni e posti a posti Modellazione dei processi produttivi 102

Esempio: pressofusione La pressa 1. Posiziona lo stampo sotto il pistone della pressa 2. Scalda lo stampo 3. Scalda il forno a muffola 4. Accendi la pressa e seleziona i parametri 5. Quando lo stampo è a temperatura la macchina è pronta 6. Quando il forno è a temperatura inserisci il crogiolo 7. Quando il materiale è fuso estrai il crogiolo ed effettua la colata dentro lo stampo 8. Al termine della colata aziona la pressa 9. A fine solidificazione estrai il getto Stampo Provini Forno a muffola Modellazione dei processi produttivi 103

Esempio: pressofusione Macchine pronte Posizionare stampo Scaldare forno Settare pressa stampo posizionato forno a temperatura pressa pronta Riscaldare stampo Fondere materiale stampo a temperatura materiale fuso colata Applicaz. pressione Prodotto finito mat. colato mat. In press. estrazione mat. solidif. solidificazione Modellazione dei processi produttivi 104

Una Rete di Petri è un grafo che consiste di posti, transizioni ed archi che li collegano gli archi di input collegano i posti con le transizioni gli archi di output collegano le transizioni con i posti Lo stato della rete indica una sua configurazione in un determinato istante dell esecuzione del processo descritto dalla rete stessa. Una Rete di Petri evolve passando attraverso una serie di stati pezzo 1 grezzo sulla macchina Si conferisce uno stato a una Rete di Petri mediante una marcatura Assegnamento di un numero Stato della rete e marcatura naturale ad ogni posto. Le transizioni invece rappresentano le componenti attive del modello. Rappresentano le attività che possono essere realizzate modificando lo stato della rete. operazione su 1 Operaz. su 1 finita pezzo 1 grezzo sulla macchina operazione su 1 Operaz. su 1 finita Modellazione dei processi produttivi 105

Le transizioni sono consentite (ossia possono essere realizzate) soltanto se sono abilitate, ossia soltanto se tutte le condizioni che le precedono sono verificate. transizione abilitata 2 3 2 3 4 4 transizione non abilitata Quando viene attivata una transizione vengono rimossi le marche dai posti che precedono la transizione e alcune marche vengono collocate in ognuno dei posti che seguono la transizione stessa. 2 3 2 3 4 4 Modellazione dei processi produttivi 106

grezzo sulla macchina inizio operazione pezzo in lavorazione fine operazione pezzo in attesa scambio pezzi in uscita Modellazione dei processi produttivi 107

T : insieme dei nodi transizione P : insieme dei nodi posto Pre : matrice delle marcature per lo scatto Post : matrice delle marcature create dallo scatto rete di Petri: N = (T, P, Pre, Post, M 0 ) 0 Modellazione dei processi produttivi 113

Matrice PRE La macchina deve essere pronta Il nuovo pezze deve essere arrivato in posizione Modellazione dei processi produttivi 114

Modellazione dei processi produttivi 115

Scatto di transizione Modellazione dei processi produttivi 117

RETE DI PETRI MARCATA: {N, M 0 } Modellazione dei processi produttivi 118

GRAFO DI STATO: {N, M 0 } Modellazione dei processi produttivi 119

GRAFO DI STATO: (N, M 0 ) Modellazione dei processi produttivi 123

MATRICE DI INCIDENZA Modellazione dei processi produttivi 133

EQUAZIONE DI STATO Modellazione dei processi produttivi 134

EQUAZIONE DI TRANSIZIONE Modellazione dei processi produttivi 135

Sequenze ammissibili: percorso ammissibile nel grafo degli stati No: S 143 S 125 Si: S 124 S 412 S 142 S 1245 S 4152 Modellazione dei processi produttivi 136

Approfondimenti sulle reti di Petri Modellazione dei processi produttivi 137

Proprietà di base delle Reti di Petri Non determinismo Programmazione e Controllo Data una rete di Petri marcata con matrice di marcatura M e dato S l insieme delle transizioni abilitate in M, solamente una di queste viene scelta a caso per lo scatto Non si fa nessun riferimento al tempo Serve una nuova valutazione della futura transizione abilitata a scattare Località della rete: L evoluzione del sistema è locale e ciò è garantito dall indipendenza degli eventi Modellazione dei processi produttivi 138

Esempio di una evoluzione di una rete: P3 P1 e P2: sottorete produttori P3 e P4: sottorete consumatori C1 P5 e P6: sottorete consumatori C2 t1 P1 t2 P7 t3 2 P4 t4 t1 è l assegnazione delle materie prime t2 è la produzione: gli oggetti da produrre in P1 sono prodotti finiti in P2 P2 2 2 t5 P5 4 4 P6 t6 P7 rappresenta una coda tra i produttori e i consumatori t3 e t5 sono le attività di assegnazione dei prodotti ai consumatori t4 e t6 sono le attività di consumo dei prodotti da parte dei consumatori Modellazione dei processi produttivi 139

Una transizione abilitata è t2 M 0 Allo scatto di t2 ci sono quattro possibili transizioni abilitate: t1, t2, t3 e t5 Scatto di t2 Allo scatto di t3 si ha una nuova configurazione Se volessimo aumentare i prodotti e/o i produttori sarebbe sufficiente aumentare le marche rispettive Scatto di t3 Modellazione dei processi produttivi 140

Due transizioni sono: Strutture fondamentali in sequenza Se t1 precede in una data marcatura t2 e lo scatto di t1 abilita t2 in conflitto strutturale Se e solo se hanno un posto di ingresso in comune in conflitto effettivo Se sono in conflitto strutturale e, poiché le marche non sono sufficienti ad abilitarle entrambe, lo scatto di una transizione disabilita l altra Modellazione dei processi produttivi 141

in concorrenza strutturale Se non condividono nessun posto di ingresso e quindi l una non disabilita l altra in concorrenza effettivaett La concorrenza strutturale implica la concorrenza effettiva poiché se sono abilitate entrambe le marche sono sufficienti ad entrambe le transizioni Transizione di sincronizzazione Più posti a monte Transizione di inizio di concorrenza Più posti a valle Modellazione dei processi produttivi 142

Proprietà delle reti di Petri Raggiungibilità: Una marcatura M 1 è raggiungibile a partire da M se esiste almeno una sequenza di transizioni che permetta il passaggio da M a M 1 M 1 [ [M Insieme delle marcature raggiungibili a partire da M M M 1 raggiungibile da M Reversibilità: Una rete {N,M 0 } è reversibile se per ogni marcatura raggiungibile da M 0, M 0 è raggiungibile da questa marcatura M [ M, M [ M 0 0 Home state: Uno stato M* della rete {N,M 0 } è detto di home state se per ogni marcatura raggiungibile da M 0, M* è raggiungibile da questa marcatura M [ M, M* [ M 0 Modellazione dei processi produttivi 143

Limitatezza: Assenza di accumulo di marcature indesiderate nella rete Posto k-limitato: Rete k-limitata: Rete limitata: In tutte le marcature raggiungibili dalla rete non si supera mai il valore di k Tutti i posti della rete sono k-limitati. Rete k-limitata per qualche valore finito di k Esempio di rete non limitata la sequenza di scatti t1, t2, t3 può avvenire infinite volte accumulando marcature in P4 Modellazione dei processi produttivi 144

Rete binaria: Rete 1-limitata (ovvero k-limitata con k=1) Affinché una rete sia binaria la marcatura iniziale M0 e tutte le marcature da essa raggiungibili devono avere solo 0 e 1 Qualunque rete può essere resa limitata con l aggiunta di opportuni posti detti complementari Introduzione del posto P6 con significato complementare a P5: le marcature rappresentano le postazioni libere nel buffer Sistema produttoriconsumatori con buffer intermedio Modellazione dei processi produttivi 145

Vivezza: Capacità della rete di evolvere bene ovvero senza che si blocchi mai Transizione viva: Se e solo se per ogni marcatura raggiungibile da M 0 esiste un altra marcatura raggiungibile dalla prima nella quale la transizione risulta abilitata M [ M, M [ M t. c. t abilitata in M 0 Rete viva: Se tutte le transizioni sono vive Considerazioni: Una transizione è viva se da una qualunque marcatura M raggiungibile nella rete è possibile raggiungerne un altra M* in cui t è abilitata. Se questa transizione scatta in M* si raggiunge una marcatura M** che per definizione è raggiungibile da quella iniziale. Pertanto M** ricade nella definizione di vivezza. La transizione è allora ancora viva e a partire da M** raggiunge M*** e così via. In una rete viva tutte le transizioni possono scattare infine volte qualunque sia la marcatura raggiungibile da quella iniziale Modellazione dei processi produttivi 146

Marcatura viva: Se e solo se per ogni transizione esiste una marcatura raggiungibile ibil da M tale che la transizione i risulta abilitata t t T, M* [ M t. c. t abilitata in M * A partire dalla marcatura viva è possibile far scattare una qualunque transizione PROPRIETÀ: Una rete è viva se e solo se tutte le sue marcature raggiungibili dalla marcatura iniziale sono vive Marcatura morta: Se e solo se nessuna transizione è abilitata in M Modellazione dei processi produttivi 147

Limitatatezza: SI Vivezza: NO Reversibilità: NO Limitatatezza: SI Vivezza: NO Reversibilità: SI Limitatatezza: NO Vivezza: SI Reversibilità: SI Limitatatezza: SI Vivezza: SI Reversibilità: NO Esempi di Murata Modellazione dei processi produttivi 148

Analisi delle reti di Petri Insieme di raggiungibilità: Insieme R(N,M 0 ) più piccolo di marcature tale che: M R( N, M ) 0 0 La marcatura iniziale appartiene all insieme M* RNM (, ), t Ttc.. M*[ t M** M** RNM (, ) 0 0 Tutte le marcature iniziali raggiungibili dall insieme di raggiungibilità appartiengono all insieme Grafo di raggiungibilità G(N,M 0 ) Grafo di stato {N,M 0 } completo e minimo Modellazione dei processi produttivi 149

Rete di Petri Grafo di raggiungibilità Modellazione dei processi produttivi 150

Analisi matriciale Metodo di analisi che sfrutta le informazioni contenute nella matrice di incidenza Caratteristiche statiche Caratteristiche che dipendono dalla topologia della rete e non dalla marcatura P-Invarianti Sifoni T-Invarianti Trappole Vettori colonna Insiemi di posti Modellazione dei processi produttivi 151

P-invarianti: Insiemi di posti tali che la somma pesata delle marche che contengono rimane costante per tutte le marcature raggiungibili Def.: Un vettore è P-invariante se: M R ( N, M ), x ' tc.. x ' M x ' M 0 0 Eq. Di stato: Moltiplico a sinistra per x valida per ogni s non vuoto Se x è invariante allora: Modellazione dei processi produttivi 152

Gli invarianti si trovano dalle: Eq. 1 Eq. 2 Infinite soluzioni: Se un x è un P-invariante allora anche k x con k intero lo è Se un x1 e x2 sono P-invarianti allora anche x = x1 + x2 lo è Problema: determinare il più piccolo insieme di P-invarianti in grado di generare tutte le soluzioni delle equazioni Modellazione dei processi produttivi 153

Supporto di un P-invariante: P-invariante a supporto minimo: Insieme dei posti corrispondenti ad elementi non nulli di x Un p-invariante è detto a supporto minimo se il suo supporto non contiene quello di nessun altro P-invariante della rete P-invariante canonico: Un p-invariante è detto a canonico se il massimo comun divisore dei suoi elementi non nulli è 1 Un P-invariante composto di soli elementi positivi permette di identificare un gruppo di posti dove si conserva non tanto il numero di marche ma una loro combinazione lineare Gli P-invarianti positivi sono detti componenti conservative di una rete Modellazione dei processi produttivi 154

Esempio di P-invariante negativo Il numero di marche in P1 è vincolato ad essere uguale a quello di P2 Generatore di P-invarianti positivi: Il più piccolo insieme di P-invarianti positivi PI k tale che ogni altro P-invariante della rete è ottenibile tramite ombinazione lineare degli invarianti di PI k Gli elementi dell insieme si chiamano P-invarianti minimi Proposizione 1 Proposizione 2 Un P-invariante è minimo se e solo se è canonico e a supporto minimo L insieme generatore di P-invarianti è finito ed è unico Modellazione dei processi produttivi 155

Rete coperta da P-invarianti: Ogni posto della rete appartiene al supporto di almeno un P-invariante Rete conservativa: Rete coperta da P-invarianti non negativi p P, x P-invariante tc.. p x et x( p) 0 Proposizione 3 Una rete conservativa è limitata In una rete conservativa il numero di marche non cresce mai indefinitamente. Non è detto il contrario Modellazione dei processi produttivi 156

Esempi: Reti coperte dal P-invariante [1,1,1] Qualunque sia la marcatura iniziale il numero delle marche si mantiene costante Questa rete è viva Due processi diversi si devono sincronizzare ovvero deve esistere una attesa reciproca Gli P-invarianti minimi sono: [1,1,0,0] e [0,0,1,1] Modellazione dei processi produttivi 157

Calcolo degli P-invarianti minimi Algoritmo di Colom e Silva In matrice identità di dimensione n Modellazione dei processi produttivi 158

T-invarianti: In modo duale agli P-invarianti rappresentano possibili sequenze di scatti che riportano la rete alla marcatura iniziale Def.: Un vettore (colonna) y è T-invariante se è soluzione dell equazione: Eq. 3 Se y è un vettore delle occorrenze coincidente con un T-invariante allora: Osservazione: La presenza di un T-invariante non implica che sia veramente possibile ritornare alla posizione di partenza Il significato di un T-invariante y è quello che, se fosse possibile far scattare ogni transizione del supporto di y in un ordine qualunque ma un numero di volte pari a quello definito da y allora lo stato della rete potrebbe tornare al valore iniziale al termine della sequenza Modellazione dei processi produttivi 159

Confrontando l Eq. 2 con l Eq. 3 Eq. 2 Eq. 3 Si deduce che: gli T-invarianti di una rete con matrice di incidenza C coincidono con gli P-invarianti di una rete con matrice di incidenza C e viceversa La matrice di incidenza C si ottiene dalla rete con matrice C scambiando i posti con le transizioni senza alterare gli indici dei nomi e invertendo il verso degli archi Se non di invertisse il verso degli archi, si otterrebbe una matrice di incidenza C Ad ogni modo C x=0 equivale a -C x=0 così come Cy=0 equivale a -C y=0 pertanto si otterrebbero gli stessi T-invarianti e P-invarianti Modellazione dei processi produttivi 160

Sifoni: Rappresenta un insieme di posti che complessivamente tende a perdere marche durante l evoluzione della rete e che, una volta arrivati a zero, non è più in grado di riacquistarne Notazione per le matrici dei Pre e dei Post: X Pre[X] X Post[X] Def.: Un sifone S è un insieme di posti se e solo se: S S Tutte le transizioni di ingresso per un sifone sono anche di uscita ma esistono delle transizioni di uscita che non sono di ingresso Modellazione dei processi produttivi 161

Esempio: Sifone: infatti: é contenuto in: Sifone: infatti: é contenuto in: Modellazione dei processi produttivi 162

Sifone minimo.: Un sifone S è minimo se e solo se esiste un altro sifone S tale che: S ' S Proprietà L unione di sifoni è un sifone Sifone di base: Un sifone di base è un sifone che non può essere ottenuto come unione di altri sifoni Proprietà Se S è un sifone privo di marche in una certa marcatura M allora è priva di marche anche ogni marcatura raggiungibile M [M> In presenza di un sifone non marcato tutte le transizioni di S sono morte e la rete in con S non viva Modellazione dei processi produttivi 163

Trappole: È il duale del sifone e rappresenta un insieme di posti che complessivamente tende ad acquistare marche durante l evoluzione della rete e che, una volta presa almeno una marca a zero, non è più in grado di smarcare contemporaneamente tutti i suoi posti Def.: Una trappola S è un insieme di posti se e solo se: S S Tutte le transizioni di uscita per una trappola sono anche di ingresso ma esistono delle transizioni di ingresso che non sono di uscita Modellazione dei processi produttivi 164

Esempio: Trappole: infatti: é contenuto in: Trappole anche: e Modellazione dei processi produttivi 165

Proprietà L unione di trappole è una trappola Proprietà Se S è una trappola marcata in una certa marcatura M allora rimane marcata in ogni marcatura raggiungibile M [M> Proprietà Il supporto di un P-invariante con elementi non negativi è un sifone e una trappola Non tutti i sifoni o trappole di una rete sono pericolosi ai fini della vivezza. Il legame tra queste strutture e la vivezza non è semplice Proprietà Se M è una marcatura morta allora l insieme dei posti privi di marche: È un sifone non marcato Modellazione dei processi produttivi 166

Proprietà Se ogni sifone contiene una trappola marcata in una marcatura M allora non esiste in [M> una marcatura morta Se infatti, per assurdo, esistesse una simile marcatura M allora i posti senza marche in M costituiscono un sifone senza marche contraddicendo l ipotesi N.B.: non è detto che una rete in cui ogni sifone contiene una trappola sia viva Esempio precedente: Sifoni marcati che non contengono trappole Infatti tramite la sequenza [ t3 t1 t2 t1 ] è possibile raggiungere M = [ 2 0 0 0 ] che è morta Modellazione dei processi produttivi 167

Macchine a stati finiti La macchina a stati finiti è un automa Macchina a stati finiti: È una rete di Petri tale che: t T, t 1 et t 1 j j j Proprietà : È strettamente conservativa Il numero di marche nella rete non cambia mai Il sistema è finito e pure il grafo di raggiungibilità Se la marcatura iniziale contiene una sola marca allora la rete è binaria Se la rete è fortemente connessa (cioè è possibile andare da un nodo all altro seguendo una relazione di flusso) e se ha almeno un gettone Allora la rete è viva Modellazione dei processi produttivi 168

Grafo marcato Sottoclasse delle reti di Petri in cui ogni posto ha esattamente una transizione di ingresso e una di uscita Grafo marcato: Proprietà : È una rete di Petri tale che: p P, p 1 et p 1 i i i Mentre la macchina a stati può avere al suo interno dei conflitti (un posto con molte transizioni in uscita), il grafo marcato non può modellare conflitti A differenza della macchina a stati, il grafo marcato può modellare la creazione e la distruzione di marche necessarie per la simultaneità necessaria per la sincronizzazione Un grafo marcato è vivo se e solo se ogni suo ciclo contiene almeno un posto con una marca Sequenza di posti ottenuta con un flusso in cui la transizione di ingresso al primo posto della sequenza è anche quella di uscita all ultimo posto Modellazione dei processi produttivi 169

Reti a scelta libera Sono reti che non ammettono confusione Scelta libera: È una rete di Petri tale che: t T, p P, t { p } opp p { t } j i j i i j Per ogni arco da un posto ad una transizione o quel posto è l unico posto in ingresso a quella transizione (non c è sincronizzazione) oppure quella transizione è l unica transizione in uscita da quel posto (non ci sono conflitti) I conflitti potenziali sono controllati: I conflitti accadono solo se il posto è in ingresso a molte transizioni Se un posto è in ingresso a molte transizioni allora esso è l unico ingresso per tutte le transizioni O tutte le transizioni sono permesse o non lo è nessuna Scelta libera Modellazione dei processi produttivi 170

Una macchina a stati e un grafo marcato sono reti a scelta libera ma non vale il viceversa Tipica situazione di confusione Non è chiaro a priori quale delle due transizioni scatterà CONFLITTO Modellazione dei processi produttivi 171

Reti a scelta libera estesa Scelta libera estesa: È una rete di Petri tale che: t T, p, un arco da tutti i posti di ingresso a t a tutte le trasizioni di uscita di p j i j i Se due posti hanno una transizione di uscita in comune, allora quei posti hanno le stesse transizione di uscita: Rete a scelta libera estesa Una rete a scelta libera estesa è una rete a scelta libera ma non vale il viceversa Teorema di Commoner: una rete a scelta libera estesa è viva se i suoi sifoni contengono una trappola trasformazione in rete a scelta libera Modellazione dei processi produttivi 172

Reti a scelta asimmetrica Scelta libera asimmetrica: È una rete di Petri tale che: p p p p opp p p i j i j i j Esempio di scelta asimmetrica Proprietà Una rete a scelta asimmetrica è viva se (ma non solo se) tutti i sifoni contengono una trappola Modellazione dei processi produttivi 173

Diagramma di Venn per le relazioni tra le classi di reti di Petri Modellazione dei processi produttivi 174

Esempio di processo manifatturiero Programmazione e Controllo Il processo in esame è costituito da due centri di lavoro, due robot e due nastri trasportatori. Ogni centro è servito da un robot per le operazioni di carico e scarico. Un nastro è usato per i pezzi da lavorare, con un massimo per entrambi di due alla volta. L altro nastro è usato per i pallet vuoti. Ci sono tre pallet disponibili nel sistema. Ogni pezzo da lavorare è manipolato su M1 e M2, in questo ordine. Centro di lavoro M1 Centro di lavoro M2 Semilavorati Robot 1 Robot 2 Nastro trasportatore 2 Prodotti finiti Pallet Nastro trasportatore 1 Pallet Modellazione dei processi produttivi 175

Marcatura iniziale: Matrice di incidenza: Modellazione dei processi produttivi 177

Unico T-invariante: Gli P-invarianti minimi sono 6: Supporti agli P-invarianti: Ogni posto della rete appartiene ad almeno un P-invariante dunque la rete è CONSERVATIVA e LIMITATA Modellazione dei processi produttivi 178

Marcature raggiungibili dalla rete: Modellazione dei processi produttivi 179

Grafo di raggiungibilità Modellazione dei processi produttivi 180

Analisi del grafo di raggiungibilità Dal grafo di deduce che la rete progettata è viva Infatti: a partire da ogni marcatura raggiungibile, è possibile raggiungerne un altra in cui una determinata transizione sia abilitata Lo si poteva vedere anche considerando che la rete di Petri è un grafo marcato poiché gli unici sifoni che contiene sono i supporti dei P-invarianti che sono inizialmente marcati, allora la rete è viva Modellazione dei processi produttivi 181