Esame di Calcolo Numerico per Informatica A.A. 2010/11 Proff. S. De Marchi e M. R. Russo 20 giugno 2011 L esame consiste di 4 domande aperte e 10 esercizi a risposta multipla. Per gli esercizi ci sono tre risposte etichettate con le lettere A, B, C. Riportare la correspondente lettera nella griglia finale. Non sono ammesse cancellazioni o correzioni alle risposte della griglia. Non è ammesso l uso di appunti, libri e qualsiasi tipo di calcolatrice e/o pc (incluso i cellulari che devono essere spenti e riposti sopra il tavolo. Tempo: 2 ore e 30 minuti. 1 Si consideri il metodo iterativo per calcolare la radice ξ + 0.93 del polinomio di Chebyshev di grado 4, t 4 (x = 8x 4 8x 2 + 1, la cui funzione d iterazione è g(x = x 3 + 1. Il metodo è convergente? La stessa 8x funzione converge anche alla radice negativa ξ 0.93? Risposta (indicazione. Valutando il modulo di g in ξ + e ξ si verifica che il valore è maggiore di 1, contraddicendo la condizione sufficiente di convergenza che richiede che g (α < 1. 2 Quando una matrice è detta malcondizionata? Cos è il numero di condizionamento di una matrice? Fornire alcuni esempi di matrici malcondizionate e almeno uno di una matrice ben condizionata. Risposta (indicazione. Il condizionamento di una matrice (quadrata A, è quantificato dal numero di condizionamento, κ( A 1 A, con una qualsiasi norma naturale indotta da una norma vettoriale. Se κ(a 1 e anzi cresce enormemente al crescere della dimensione della matrice, allora A si dice malcondizionata. κ(a indica anche un upper bound per il rapporto tra l errore relativo sulla soluzione e quello relativo sul termine noto b nella soluzione di un sistema perturbato Ax = b + δb. Matrici molto malcondizionate sono quella di Hilbert, la matrice di Vandermonde. Ben condizonate sono ad esempio la matrice identità e le matrici diagonali non singolari. 3 Si faccia vedere che il polinomio di Taylor t n (x = f(x 0 + (x x 0 f (x 0 + + (x x 0 n f (n (x 0 n! 1
corrisponde al polinomio d interpolazione in forma di Newton di una funzione f, quando i punti d interpolazione collassano nel punto x 0. Risposta (indicazione. Essendo il polinomio d interpolazione in forma di Newton p n (x = f(x 0 + (x x0f[x o, x 1 ] + (x x 0 (x x n 1 f[x 0,..., x n ], ricordando che se tutti i punti coincidono con x 0 allora f[x 0,..., x }{{} 0 ] = f (k /k!, k = 0,..., n e i fattori monomiali diventano (x x 0 k, si conclude facilmente. k+1 4 Si consideri il metodo delle secanti per approssimare la radice di un equazione non lineare f(x = 0 in un intervallo [a, b]. Partendo da due punti iniziali x 0 e x 1, il metodo consiste nel costruire la successione per k = 1, 2,... (x k x k 1 x k+1 = x k f(x k f(x k f(x k 1 con f(x k f(x k 1 Si scriva una function Matlab per implementare il metodo che, richiedendo in ingresso la funzione f, i valori x 0, x 1, una tolleranza e un numero massimo di iterazioni, restituisca in uscita il valore della radice e il numero di iterazioni effettuate. 1. Si consideri la serie del seno sin x = x x 3 /3! + x 5 /5! x 7 /7! + per valutare sin 1, che arrotondato a 3 decimali vale 0.841. approssimare sin 1 a meno di 10 3? A 3 B 4 C 5 Quanti termini della serie sono necessari per Soluzione A. Infatti, 1 1/6 + 1/120 = 101/120 0.84167 (4 e 5 termini danno un approssimazione minore di 10 4. 2. Si consideri il polinomio cubico p 3 (x = x 3 2x 3 avente un unica radice reale α. Qual è l intervallo separatore di tale radice? Si dia anche una stima di α con una una cifra decimale usando come iterazione il metodo di Newton. A [-1,0], α 0.7 B [1,2], α 1.7 C [1,2], α 1.9. Soluzione C. Essendo p 3 (1 < 0, p 3 (2 > 0 l intervallo separatore ci dice che dobbiamo considerare B o la C. Usando Newton, con una iterazione si conclude che la risposta è la C. 3. Dato il polinomio p 4 (x = x 4 2x 2 + 1. Si dica quale tra le seguenti 3 funzioni d iterazione, per calcolare la radice ξ = 1, converge con ordine almeno quadratico A g 1 (x = x 4 2x 2 + x + 1 B g 2 (x = 4 2x 2 1 C g 3 (x = x2 + 1 2x Soluzione C. Inoltre g 3(ξ = 0 4. Si consideri, al variare del parametro a > 1, la matrice ( 1 + a 1 2 1. pagina 2 di 5
Calcolare A 1 (che dipenderà da a. A A 1 = (a + 3/(a 1 B A 1 = (a + 2/(a 1 C A 1 = (a + 1/(a 1 Soluzione A. Essendo la norma del massimo si ottiene dalla seconda riga. 5. Data la matrice A 1 = 1 ( 1 1 1 a 2 1 + a 1 0 β 0 α 0 β 0 1, α, β R. Dire, testando una condizione sufficiente, quando l associata matrice del metodo iterativo di Jacobi risulta convergente. A α < 1 B α + β < 1 C β < 1 Soluzione C. La matrice di Jacobi associata è 0 0 β 0 0 0 β 0 0 chiedendo che A < 1 si conclude. 6. Sia p 2 (x il polinomio d interpolazione di grado 2 della funzione f(x = e x 1 + 10 costruito su nodi equispaziati di [1, 2]. Si fornisca una maggiorazione dell errore d interpolazione f(x p 2 (x, x [1, 2] (il risultato sia arrotondato a 2 cifre decimali. A 0.01 B 0.05 C 0.03 Soluzione C. Basta ricordare che per nodi equispaziati f(x p n (x hn+1 4(n+1 max x [1,2] f (n+1 (x Nel caso richiesto, n = 2, h = 1/2 e f (3 (x = e x 1. Essendo e x 1 crescente, il massimo lo si ha in x = 2 che vale e 2.71. Sostituendo n, h e il valore del massimo, si ottiene la risposta indicata. 7. I polinomi ortogonali di Chebyshev di secondo tipo soddisfano la ricorrenza U 0 (x = 1, U 1 (x = 2x, U n (x = 2xU n 1 (x U n 2 (x, n 2. Qual è il coefficiente del monomio di grado massimo per n = 10 e qual è il grado del terzo monomio di U 10 (x? A 1024, 6 B 512, 8 C 1023, 7 Soluzione A. Applicando 2 volte la ricorrenza, si ha U 2 (x = 4x 2 1 U 3 (x = 8x 3 4x pertanto si comprende che il coefficiente del monomio di grado massimo sarà 2 n e che le potenze dei vari termini decrescono di 2 e sono pari per n pari, dispari per n dispari. Pertanto per n = 10, avremo 2 10 = 1024 e il terzo monomio ha grado 6. pagina 3 di 5
8. Usando la formula dell errore di quadratura per la regola dei trapezi (b a3 R 1 (f = 12N 2 f ξ trovare il valore minimo di sottointervalli N in modo da avere un errore di approssimazione minore di 10 4 per il calcolo di 2 ln xdx. 1 A 41 B 29 C 19 Soluzione B. ovvero l intero 29. 9. Si consideri la formula di quadratura (b a3 R 1 (f = 12N 2 f (ξ 1 12N 2 max f (x [1,2] f (x = 1 x, f (x = 1 x 2 max [1,2] f (x = 1 R 1 (f 1 12N 2 < 10 4 per N 2 > 104 12, N > 102 2 3 28.8 1 1 f(xdx α 1 f( 1 + α 2 f(0 + α 3 f(1/2 valutare i parametri reali α 1, α 2, α 3 in modo che la formula di quadratura abbia ordine di precisione almeno 2. A 4 9, 2 3, 8 9 B 1, 3 2, 2 9 C 2 3, 8 9, 4 9 Soluzione A. Si determinano i parametri α 1, α 2, α 3 imponendo che la formula sia esatta per i polinomi 1, x, x 2. Si ottengono allora le seguenti equazioni aventi come soluzione 10. Siano dati i seguenti nodi e valori di una funzione α 1 + α 2 + α 3 = 2 α 1 + 1 2 α 3 = 0 α 1 + 1 4 α 3 = 2 3 α 1 = 4 9, α 2 = 2 3, α 3 = 8 9. (0, 2 (1, 0 (2, 2 (3, 6 Sia r(x la retta di regressione approssimante i dati nel senso dei minimi quadrati, trovare il valore r( 1. A 2 5 B 7 5 C 1 Soluzione C. Si deve determinare la funzione polinomiale di grado n = 1, g(x = a 0 + a 1 x dove a 0 ed a 1 sono le componenti della soluzione a = (a 0, a 1 T del sistema ai minimi quadrati A T A a = A T b con 1 0 1 1 1 2 1 3, b = 2 0 2 6 pagina 4 di 5
da cui A T ( 4 6 6 14 Si ottiene pertanto il sistema lineare di ordine 2 ( 4 6 6 14 (, A T 10 b = 22 ( a0 a 1 = ( 10 22 che risolto fornisce a 0 = 2 5, a 1 = 7 5 da cui la retta r(x = 7 5 x + 2 5, e r( 1 = 1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A C C A C C A B A C pagina 5 di 5