Analisi della varianza

Analisi della varianza

L analisi della varianza (ANOVA, Analysis of Variance), è una tecnica di analisi dei dati che consente di verificare ipotesi relative alle differenze tra le medie di due o più popolazioni. VD: scala a intervalli o a rapporti equivalenti VI: almeno categoriale

Diversi modelli sulla base del numero delle VI e delle VD 1 VI: disegni ad una via 2 o più VI: disegni fattoriali 1 VD: analisi della varianza univariata 2 o più VD: analisi della varianza multivariata (MANOVA)

ANALISI DELLA VARIANZA UNIVARIATA: DISEGNI TRA I SOGGETTI Vengono definiti anche disegni per gruppi indipendenti. Ad ogni trattamento o condizione che rappresenta le modalità della VI, corrisponde un diverso gruppo di soggetti. La VI (chiamata FATTORE) è una variabile che il ricercatore impiega come variabile sperimentale. La VD è una variabile il cui valore si suppone sia determinato da FATTORI (VI) che il ricercatore ritiene determinanti per lo studio degli effetti dovuti ai livelli prescelti per quei fattori

Quando si usa Quando i disegni di ricerca sono più complessi rispetto a quelli in cui si usa il test t di Student; Quando si devono confrontare più di due gruppi; Quando si vuole testare l ipotesi di uguaglianza tra medie di più fattori (VI);

Anche in questo caso la presenza di una VI definisce il disegno ad una via, mentre la presenza di almeno due VI definisce il disegno fattoriale! Il modello di base dell ANOVA è un modello lineare che fornisce indicazioni rispetto agli effetti dovuti ai fattori sperimentali. Se vi è una sola VI si esprime attraverso l espressione:

Media generale dei punteggi sul campione totale Componente residuo o errore casuale specifico per ogni soggetto all interno del livello di trattamento Effetto dovuto al trattamento e costante all interno di esso Il valore dell errore dipende da: - differenze individuali tra i soggetti -Errore di specificazione del modello -Non attendibilità delle misure

Assunzioni Gli errori devono distribuirsi con forma normale, avere media uguale a zero e varianza stimabile a partire dai dati; La varianza degli errori deve essere uguale in ogni gruppo; Il test statistico utilizzato per la verifica delle ipotesi fa riferimento alla distribuzione F Gli errori devono essere indipendenti, ciò accade se i punteggi di ciascun soggetto non sono condizionati da quelli di altri soggetti. Quando l assegnazione dei soggetti alle diverse condizioni viene fatta in modo casuale e gli individui ricevono individualmente il trattamento, le misure oggetto di osservazioni non sono soggette a condizionamento probabilistico. L indipendenza viene meno se il trattamento implica interazione tra le persone.

Dividendo le devianze (SS) per i rispettivi gradi di libertà si ottengono le stime delle varianze (MS) che si distinguono in: VARIABILITA TOTALE VARIABILITA TRA I GRUPPI VARIABILITA ENTRO I GRUPPI Trattamento Differenze individuali Errore casuale Differenze individuali Errore casuale

Il modello si basa sulle stime campionarie dei parametri della popolazione Dato osservato stima Media generale del campione Differenza tra la media dei gruppi e la media generale del campione. Esprime quanto il punteggio del soggetto i è determinato dall appartenenza alla condizione j. Differenza tra il punteggio del soggetto e la media del gruppo in cui si trova. Esprime la variabilità dei punteggi del soggetto i all interno di ogni gruppo J

La devianza È rappresentata dalla somma dei quadrati degli scostamenti di ciascun punteggio dalla media. SCOMPOSIZIONE DELLA DEVIANZA: Somma dei quadrati degli scarti dei punteggi (Yij) rispetto alla media generale Devianza tra i gruppi O Dev. BETWEEN Devianza entro i gruppi o Dev. WITHIN Sommatoria dei quadrati degli scarti dei punteggi medi del gruppo di appartenenza, alla media generale Sommatoria dei quadrati degli scarti dei punteggi di ciascun singolo soggetto dalla media del gruppo di appartenenza.

Il calcolo della devianza DEVIANZA TOTALE DEVIANZA BETWEEN DEVIANZA WITHIN

Dalla Devianza alla Varianza Le varianze si ottengono dividendo le devianze per i rispettivi gradi di libertà: Varianza totale: Varianza Between Riflette l effetto del trattamento sperimentale, delle differenze individuali e dell errore Varianza Within Riflette l effetto delle differenze individuali e dell errore casuale n è il numero di osservazioni, K è il numero di livelli del fattore between.

ipotesi del disegno sperimentale Le medie sono da considerarsi statisticamente identiche tra loro e quindi appartenenti ad una medesima distribuzione campionaria delle medie Almeno una delle medie è statisticamente diversa dalle altre e quindi non appartengono tutte ad una medesima distribuzione campionaria delle medie

Se non è rigettabile l ipotesi nulla (H0) allora non deve risultare nessuna differenza statisticamente significativa tra tutte le medie delle sotto-popolazioni prese in esame; Pertanto i punteggi dei soggetti appartenenti ad uno dei gruppi sono distribuiti in modo identico rispetto ai punteggi dei soggetti appartenenti a qualsiasi altro; In base all ipotesi nulla, le sotto collezioni di dati sottoposte a verifica provengono dalla stessa popolazione per cui risultano avere tutte gli stessi parametri; Se è vera l ipotesi alternativa (H1) allora c è una differenza statisticamente significativa tra almeno due medie tra i livelli del fattore sperimentale; Se è vera l ipotesi alternativa le sotto-collezioni di dati sottoposti a verifica possono provenire da distribuzioni probabilistiche con parametri differenti, per cui possono risultare non tutte tra loro omogenee; almeno uno dei livelli del fattore sperimentale si differenzia parametricamente dagli altri.

F= varianza tra i soggetti /varianza entro i soggetti Se la probabilità associata (p-value) al valore di F osservato è minore di un valore critico fissato a priori (ad esempio 0.05), rifiuta H0. In questo caso si può concludere che per il fattore between, almeno uno dei livelli di esso non risulta omogeneamente distribuito rispetto agli altri in base ai parametri ritenuti comuni (o identici con uguale media e varianza campionaria). Se la VI ha più di due livelli, il rifiuto dell ipotesi nulla implica che almeno due tra i gruppi identificati dalla variabile presentano medie significativamente diverse tra loro (contrasto diverso da 0). Per sapere quali sono questi gruppi è necessario effettuare: Confronti pianificati Confronti post-hoc

COME PROCEDERE NELL ANALISI DELLA VARIANZA UNIVARIATA 1.Identificazione della variabile dipendente e del fattore between (o dei fattori between); 2.Definizione del modello di analisi; 3.Analisi descrittiva dei dati; 4.Verifica delle assunzioni teoriche; 5.Adattamento del modello ai dati; 6.Verifica della significatività degli effetti; 7.Eventuale analisi post-hoc.

Un ricercatore vuole verificare l efficacia di programmi di formazione che prevedono: a)l assegnazione di obiettivi (condizione A); b) l assegnazione di obiettivi e un feedback sui risultati (condizione B); c) una condizione di controllo in cui non si danno né obiettivi né risultati (condizione C). Tre gruppi di soggetti vengono sottoposti ognuno ad una condizione diversa ottenendo i risultati che vengono presentati nel data file.

Case: numero d ordine assegnato ai soggetti Condizio: è la VI i cui livelli rappresentano le condizioni 1: condizione A 2: condizione B 3: condizione C Risolti: numero di problemi risolti dai soggetti. E la nostra VD 5 soggetti per condizione. Il disegno della varianza è omogeneo Ipotesi nulla: le tre medie dei tre gruppi che corrispondono alle 3 condizioni della variabile sono relative a campioni che provengono dalla stessa popolazione Ipotesi alternativa: almeno due medie sono diverse (almeno due medie sono relative a campioni che provengono da popolazioni diverse).

Analizza-Modello Lineare generalizzato-univariata

Il rifiuto di H0 ci dice che almeno 2 gruppi sono diversi tra loro, Ma non ci dicono quali sono questi gruppi. Se il ricercatore non ha ipotesi specifiche sceglie i Contrasti. HELMERT (ogni categoria del fattore, tranne l ultima, viene confrontata con le medie delle categorie successive. Es: media gruppo 1vs media gruppo 2 e gruppo 3 aggregati; media gruppo 2 vs media gruppo 3

Altri tipi di comandi per diversi contrasti Ripetuto: ogni categoria del fattore (tranne la prima) viene confrontata con la categoria che la precede Polinomiale: analizza la significatività delle diverse componenti polinomiali: lineare, quadratica, cubica Deviazione: ogni categoria del fattore (tranne quella di riferimento che può essere quella iniziale o finale) viene confrontata con la media totale Semplice: ogni categoria del fattore viene confrontata con quella di riferimento Differenza: ogni categoria del fattore viene confrontata con la media delle categorie precedenti

I test di Bonferroni o di Tukey HSD (Honestly Significant Difference Opzione Tukey) sono i test di confronto multiplo più comunemente utilizzati che comportano un inflazione della probabilità di commettere un errore di I tipo (rifiutare l ipotesi nulla quando è vera) Se il ricercatore non ha ipotesi rispetto a quali gruppi confrontare può utilizzare i confronti post hoc per individuare quali coppie di medie differiscono in modo significativo.

grafico

Medie marginali stimate relative ad ogni livello di ogni fattore indicato o ad ogni cella di interazione tra fattori Confronta gli intervalli di confidenza e la significatività delle medie confrontate Grandezza dell effetto: porzione di variabilità totale attribuibile all effetto (eta quadrato parziale) per ogni effetto e ogni parametro stimato..06 basso; da.06 a.14 moderato; da.14 elevato Potenza osservata: Stima della potenza della verifica del test (probabilità di rifiutare l ipotesi nulla quando è falsa). Dipende dal numero di sg, livello di alpha e grandezza dell effetto. I valori accettabili sono pari a.80

a Levene's Test of Equality of Error Variances Dependent Variable: risolt i F df 1 df 2 Sig. 2. 626 2 12.113 Tests the null hy pothesis that the error v ariance of the dependent v ariable is equal across groups. a. Des ign: Intercept+condizio Verifichiamo se le varianze della VD sono omegenee nei diversi livelli della VI. Il test di Levene non è significativo, l assunzione di omoschedasticità è dunque rispettata Dependent Variable: risolti condizio condizione A condizione B condizione C Total Descriptive Statistics Mean Std. Dev iation N Statistiche descrittive: Le condizioni 6. 8000 2. 38747 5 7. 0000 2. 54951 5 sperimentali presentano medie maggiori 2. 2000.83666 5 rispetto a quella di controllo. 5. 3333 2. 99205 15

Dependent Variable: risolti Source Correc ted Model Intercept condizio Error Total Corrected Total Tests of Between-Subj ects Effects Ty pe III Sum Partial Eta Noncent. Observ ed of Squares df Mean Square F Sig. Squared Paramet er Power a 73.733 b 2 36.867 8.574.005.588 17.147.911 a. Computed using alpha =.05 426.667 1 426.667 99. 225.000.892 99. 225 1. 000 73. 733 2 36. 867 8. 574.005.588 17. 147.911 51. 600 12 4. 300 552.000 15 125.333 14 b. R Squared =.588 (Adjusted R Squared =.520) Test degli effetti tra i soggetti Modello Corretto: Effetto attribuibile alla regressione della VD sulle VI Intercetta:effetto della media generale Condizio: effetto del fattore, ovvero della VI che viene manipolata dal ricercatore Errore: casuale Totale corretto: senza quindi considerare l intercetta

Dependent Variable: risolti Source Corrected Model Intercept condizio Error Total Corrected Total SQ Devianza Tests of Between-Subjects Effects Ty pe III Sum Partial Eta Noncent. Observ ed of Squares df Mean Square F Sig. Squared Parameter Power a 73.733 b 2 36.867 8.574.005.588 17.147.911 a. Computed using alpha =.05 426.667 1 426.667 99.225.000.892 99.225 1.000 73.733 2 36.867 8.574.005.588 17.147.911 51.600 12 4.300 552.000 15 125.333 14 b. R Squared =.588 (Adjusted R Squared =.520) Gradi di libertà per ciascuna componente Varianza La potenza statistica è >.80 Effect size (Grandezza dell effetto): % di variabilità totale attribuibile all effetto N.B. >.14 elevato

Dependent Variable: risolti condizio condizione A condizione B condizione C Stime Estimates 95% Conf idence Interval Mean Std. Error Lower Bound Upper Bound 6.800.927 4.779 8.821 7.000.927 4.979 9.021 2.200.927.179 4.221 Gli intervalli di confidenza per le medie dei primi due gruppi si sovrappongono, quindi non c è differenza tra i due gruppi, mentre il limite superiore del gruppo di controllo è inferiore dei gruppi precedenti

CONFRONTI POST HOC Confronti multipli Multi ple C omparisons Dependent Variable: risolti Tukey HSD (I) condizio condizione A condizione B condizione C (J) condizio condizione B condizione C condizione A condizione C condizione A condizione B Based on observ ed means. *. The mean dif ference is signif icant at the.05 level. Mean Dif f erence 95% Conf idence Interval (I-J) Std. Error Sig. Lower Bound Upper Bound -. 2000 1. 31149.987-3.6989 3. 2989 4. 6000* 1. 31149.011 1. 1011 8. 0989.2000 1. 31149.987-3.2989 3. 6989 4. 8000* 1. 31149.008 1. 3011 8. 2989-4.6000* 1. 31149.011-8.0989-1.1011-4.8000* 1. 31149.008-8.2989-1.3011 Confronti tra tutte le possibili coppie Se la significatività è inferiore a.05 ovvero l intervallo di confidenza non comprende lo zero, la differenza tra le medie confrontate è statisticamente diversa da 0, quindi le due medie confrontate sono statisticamente diverse. In questo caso la media del gruppo C è statisticamente diversa dalla media del gruppo A e del gruppo B

Tukey HSD a,b condizio condizione C condizione A condizione B Sig. riso lti Subset N 1 2 5 2. 2000 5 6. 8000 5 7. 0000 1. 000.987 Means for groups in homogeneous subsets are displayed. Based on Ty pe III Sum of Squares The error term is Mean Square(Error) = 4.300. a. Uses Harmonic Mean Sample Size = 5.000. b. Alpha =.05. Sottoinsiemi omogenei I gruppi che non differiscono statisticamente vengono inseriti nello stesso sottoinsieme (es A e B sottoinsieme 2) e viene riportato il livello di significatività

CONTRASTI Risultato del contrasto (matrice k) Contrast Results (K Matrix) condizio Dif f erence Contras t Lev el 2 v s. Lev el 1 Lev el 3 v s. Prev ious Contrast Estimate Hy pot hesized Value Dif f erence (Estimate - Hy pothesized) Std. Error Sig. 95% Conf idence Interval f or Diff erence Lower Bound Upper Bound Contrast Estimate Hy pot hesized Value Dif f erence (Estimate - Hy pothesized) Std. Error Sig. 95% Conf idence Interval f or Diff erence Lower Bound Upper Bound Depende nt Variable risolti.200 0.200 1.311.881-2.657 3.057-4.700 0-4.700 1.136.001-7.175-2.225 Utilizzo Differenza o Contrasto inverso di Helmert al fine di confrontare la condizione di controllo C vs le due condizioni sperimentali A e B aggregate Nei contrasti si confrontano solo 2 medie. In questo caso il primo contrasto livello 2 vs livello 1 confronta le condizioni A e B e non risulta statisticamente significativo. Il secondo contrasto livello 3 vs livello precedente confronta il livello precedente con la condizione C e risulta statisticamente significativo. Possiamo concludere che le condizioni A e B favoriscono una migliore performance, rispetto alla condizione di controllo che non sembra avere efficacia

DISEGNO FATTORIALE TRA I SOGGETTI (2VI) Abbiamo almeno 2 VI e sempre una VD. Questo presuppone che andremo a valutare due tipi di effetti: Effetto principale che rappresenta l effetto medio di una VI sulla VD senza considerare i valori delle altre VI Interazione: 2 variabili interagiscono se l effetto di una VI sulla VD si verifica solo a determinati livelli dell altra VI Due variabili interagiscono se l effetto di una VI sulla VD non è lo stesso per tutti i livelli dell altra VI.

Vogliamo verificare quale tipo di psicoterapia (di gruppo o individuale) sia particolarmente efficace considerando i livelli di ostilità dei pazienti (alta o bassa), sulla base della quantità di sintomi riportati alla fine del percorso terapeutico. VD: sintomi VI1: psicoterapia (gruppo o individuale) VI2: ostilità (alta o bassa)

Effetto principale del Fattore 1 Effetto principale del Fattore 2 Effetto interazione (parte della media di una cella ji che non dipende dall errore che non viene spiegata dalla media generale né dagli effetti principali) Termine residuale (errore)

IPOTESI Effetti principali H0: μ Gruppo = μ Individuale indipendentemente dal livello di ostilità H1: μ Gruppo μ Individuale indipendentemente dal livello di ostilità H0: μbassa = μalta indipendentemente dal tipo di psicoterapia, H1: μ Bassa μ Alta indipendentemente dal tipo di psicoterapia,

IPOTESI INTERAZIONI H0: (μ Gruppo μ Individuale) Bassa = (μ Gruppo μ Alta) Individuale oppure (μ Bassa μ Alta)Gruppo = (μbassa μalta) Individuale. Nella popolazione di pazienti con bassa ostilità la differenza fra le medie delle sottopopolazioni dei pazienti in psicoterapia individuale e di gruppo è uguale alla differenza fra le medie delle sottopopolazioni dei pazienti in psicoterapia individuale e di gruppo nella popolazione di pazienti con alta ostilità H1: Almeno una differenza è significativa: nella popolazione di pazienti con bassa ostilità la differenza fra le medie delle sottopopolazioni dei pazienti in psicoterapia individuale e di gruppo è diversa rispetto alla differenza fra le medie delle sottopopolazioni dei pazienti in psicoterapia individuale e di gruppo nella popolazione di pazienti con alta ostilità, oppure nella popolazione di pazienti che seguono una psicoterapia individuale la differenza fra le medie delle sottopopolazioni dei pazienti con alta e bassa ostilità è diversa rispetto alla differenza fra le medie delle sottopopolazioni dei pazienti con alta e bassa ostilità nella popolazione di pazienti in psicoterapia di gruppo

Between-Subjects Factors psicot ostilità.00 1.00.00 1.00 Value Label N indiv iduale 10 di gruppo 10 bassa 10 alta 10 Levene's Test of Equality of Error Variances a Dependent Variable: nsint omi F df 1 df 2 Sig..623 3 16.611 Tests the null hy pothesis that the error v ariance of the dependent v ariable is equal across groups. a. Des ign: Intercept+ps icot * ostilità Descriptive Statistics Dependent Variable: nsint omi psic ot indiv iduale di gruppo Total ostilità bassa alta Total bassa alta Total bassa alta Total Mean Std. Dev iation N 7. 0000 1. 58114 5 7. 4000 2. 40832 5 7. 2000 1. 93218 10 10. 0000 1. 58114 5 14. 8000 1. 92354 5 12. 4000 3. 02581 10 8. 5000 2. 17307 10 11. 1000 4. 40833 10 9. 8000 3. 63608 20 Media di ciascun livello, quella totale, la deviazione standard e il numero di soggetti sui quali sono state calcolate le statistiche.

Effetti principali interazione Variabilità totale con escluso l effetto dell intercetta Variabilità totale con incluso l effetto dell intercetta % di variabilità totale attribuibile all effetto Valori>.14 possiamo rifiutare l ipotesi nulla per tutti e tre gli effetti e dunque possiamo concludere che c è un effetto principale del tipo di psicoterapia, un effetto principale del livello di ostilità, e un effetto di interazione tipo di psicoterapia livello di ostilità.

Per comprendere la direzione degli effetti, di solito si può far riferimento al grafico di interazione Numero di sintomi simile per i gruppi di ostilità in caso di psicoterapia individuale, ma molto diverso in caso di psicoterapia di gruppo, Numero medio di sintomi maggiore in caso di alto livello di ostilità

In caso di psicoterapia individuale il numero di sintomi è comunque minore rispetto al caso della psicoterapia di gruppo, all interno della quale, ad ogni modo, vi è un numero medio di sintomi maggiore in caso di alto livello di ostilità

Costruire i post hoc con la sintassi!

Tipo di Psicoterapia e del Livello di Ostilità i confronti dei livelli di Tipo di Psicoterapia sui singoli livelli di Livello di Ostilità mostrano come il numero medio di sintomi di chi segue una psicoterapia di gruppo sia comunque maggiore di quello di chi segue una psicoterapia individuale

Non c è differenza significativa fra le medie di Basso e Alto livello di Ostilità in caso di psicoterapia individuale, mentre c è una differenza significativa fra le medie dei livelli di Ostilità in caso di psicoterapia di gruppo, con alti livelli di ostilità associati ad un numero medio di sintomi maggiore

IL MODELLO UNIVARIATO ENTRO I SOGGETTI I disegni entro i soggetti sono disegni in cui si utilizzano gli stessi soggetti per le diverse condizioni sperimentali (ovvero nei livelli della VI). In questi casi l analisi della varianza viene anche detta per prove (o misure) ripetute Mentre le differenze tra Gruppo Sperimentale e Gruppo di controllo possono dipendere sia dall effetto del trattamento sia dalla diversa composizione dei due gruppi. In un disegno a misure ripetute sono invece gli stessi soggetti a fungere da controllo di se stessi.

Rappresenta la variazione sistematica esistente tra i punteggi totali ottenuti dai singoli soggetti variazione dovuta ai singoli trattamenti cui sono stati sottoposti i soggetti, l effetto di interazione tra il fattore π ed il fattore τ attraverso tutti i soggetti. Il termine d errore εij è già stimato all interno dell effetto d interazione, pertanto esso va considerato nullo.

Le misure sono rilevate più volte sugli stessi soggetti. Gli effetti del trattamento dipendono dalle differenze osservate fra le prove di ogni soggetto.

Assunzioni Gli errori devono essere indipendenti (il punteggio di un soggetto non influenza quello di altri soggetti). Gli errori devono seguire la distribuzione normale multivariata e devono avere media uguale a 0. La varianza delle differenze tra tutte le coppie delle misure ripetute deve essere uguale «Sfericità». Se le varianze tra le diverse rilevazioni dovessero essere differenti, il modello a misure ripetute potrebbe produrre un stima distorta della significatività dell effetto nel tempo.

se osservo la crescita in peso di un gruppo di bambini nelle prime tre settimane: fattore entro i soggetti tempo in tre settimane = 3 livelli, VD peso, l ipotesi di sfericità presuppone che le varianze degli aumenti tra la 3^ e la 4^ settimana e quelli tra la 4^ e la 5^ (e anche quella tra la 3^ e 5^) siano uguali Il modello di ANOVA a misure ripetute potrebbe produrre un stima distorta della significatività dell effetto del tempo. test di Mauchly

Esempio: Vogliamo studiare se in un piccolo gruppo di studenti il tipo di rinforzo (lode, silenzio o critica) possa influire sul numero di problemi da risolvere in un compito, si da per una settimana un determinato rinforzo, nella seconda un altro rinforzo e nella terza l ultimo rinforzo a tutti i soggetti e alla fine delle 3 settimane si registra il numero di problemi risolti. Determinare, per un valore Alpha=0,05, quale tipo di rinforzo influenzi maggiormente, rispetto agli altri, il rendimento degli studenti.

Ognuna delle 3 colonne corrisponde ad un livello del fattore within. L ipotesi H0 presume che non vi siano, in media, differenze statisticamente significative riguardo il numero di problemi risolti nelle tre differenti condizioni sperimentali. L ipotesi H1 presume che vi siano almeno due medie che differiscono tra loro, riguardo il numero di problemi risolti nelle tre differenti condizioni sperimentali.

ANALIZZA-MODELLO LINEARE GENRALIZZATO-MISURE RIPETUTE

Il fattore ha 3 livelli in tale finestra si da un etichetta al (ai) fattore/i within e si indica il numero di livelli per ciascun fattore

Nei disegni entro i soggetti SPSS non permette di effettuare i confronti post hoc. Questi possono essere effettuati tramite la finestra opzioni scegli e do il confronto tra le medie marginali effettuato con il metodo di correzione di Sidak o Bonferroni. I contrasti consentono di verificare il grado di differenza tra i livelli di un fattore. È possibile specificare un contrasto per ciascun fattore del modello (in un modello a misure ripetute, un contrasto per ciascun fattore tra soggetti).

Within-Subj ects Factors Measure: MEASURE_1 f actor1 1 2 3 Dependent Variable rinf orzo silenzio critica rinf orzo silenzio critica Descriptive Statistics Mean Std. Dev iation N 20.0000 1.87083 5 17.0000 2.12132 5 14.0000 2.34521 5 Mauchly's Test of Sphericity b Measure: MEASURE_1 Epsilon a Within Subjects Ef f ect Mauchly 's W Approx. Chi-Square df Sig. Greenhous e-geisser Huy nh-feldt Lower-bound f actor1.188 5. 022 2.081.552.607.500 Tests the null hypothesis that the error cov ariance matrix of the orthonormalized transf ormed dependent v ariables is proportional to an identit y matrix. a. May be used to adjust the degrees of freedom for the averaged tests of signif icance. Corrected tests are displayed in the Tests of Within-Subjects Ef f ects table. b. Design: Intercept Within Subjects Design: f actor1 Il test non è significativo, i dati soddisfano l assunzione di sfericità. La stima degli effetti non è distorta. Le varianze tra le diverse rilevazioni sono uguali.

Sommatoria quadrati trattamento media quadrati trattamento Test degli effetti entro i soggetti Tests of Within-Subjects Effects Significatività: l effetto delle misure risulta significativo (vedi anche medie) Measure: MEASU RE_1 Source f actor1 Error(f actor1) Sphericity Assumed Greenhouse-Geisser Huy nh-feldt Lower-bound Sphericity Assumed Greenhouse-Geisser Huy nh-feldt Lower-bound a. Computed using alpha =.05 Ty pe III Sum Partial Eta Noncent. Observ ed of Squares df Mean Square F Sig. Squared Parameter Power a 90. 000 2 45. 000 67. 500.000.944 135.000 1. 000 90. 000 1. 103 81. 563 67. 500.001.944 74. 483 1. 000 90. 000 1. 214 74. 118 67. 500.000.944 81. 964 1. 000 90. 000 1. 000 90. 000 67. 500.001.944 67. 500 1. 000 5. 333 8.667 5.333 4.414 1.208 5.333 4.857 1.098 5.333 4.000 1.333 Statistiche che correggono i gdl se la sfericità non è rispettata. Dato che in questo caso è rispettata, leggiamo solo i valori «Assumendo la sfericità»

Visualizzo i confronti a coppie per verificare se tra i livelli della variabile within vi siano differenze statisticamente rilevanti. Measure: MEASURE_1 (I) f actor1 1 2 3 (J) f actor1 2 3 1 3 1 2 Mean Dif f erence Confronti a coppie Pairwi se C omparisons (I-J) Std. Error Sig. a Lower Bound Upper Bound 3. 000*.316.002 1. 747 4. 253 Based on estimated marginal means *. The mean dif ference is signif icant at the.05 lev el. a. Adjust ment f or multiple comparisons: Bonf erroni. 95% Conf idence Interval f or Dif f erence a 6. 000*.707.003 3. 199 8. 801-3.000*.316.002-4.253-1.747 3. 000*.447.008 1. 229 4. 771-6.000*.707.003-8.801-3.199-3.000*.447.008-4.771-1.229 Tutti i confronti sono statisticamente diversi da 0

CONTRASTI Measure: MEASURE_1 Tests of Within-Subjects Contrasts Source f actor1 Ty pe III Sum of Squares df Mean Square F Sig. Partial Eta Squared Noncent. Parameter Observ ed Power a f actor1 Lev el 2 v s. Lev el 1 45.000 1 45.000 90.000.001.957 90.000 1.000 Lev el 3 v s. Prev ious 101.250 1 101.250 62.308.001.940 62.308 1.000 Error(f actor1) Lev el 2 v s. Lev el 1 2.000 4.500 Lev el 3 v s. Prev ious 6.500 4 1.625 a. Computed using alpha =.05 La differenza è significative per tutti i confronti

A seconda del tipo di rinforzo cambia il numero di problemi risolti dagli studenti (minimo di 14 con la critica, a una massimo di 20 con la lode e 17 con il silenzio). Pertanto il numero medio di problemi risolti è differente in base al tipo di rinforzo dato.

Modello fattoriale Misto Nei disegni fattoriali misti almeno un fattore è entro i soggetti e almeno un altro fattore è tra i soggetti. La struttura è simile a quella del modello fattoriale tra i soggetti con l'eccezione che in questo modello tutti i soggetti vengono testati in tutti i trattamenti(variabile entro)e soltanto ad un livello della variabile tra; nel modello fattoriale tra i soggetti, invece, i soggetti appartenenti ai diversi gruppi vengono assegnati a trattamenti differenti.

In questi disegni misti la variabilità totale viene divisa in due parti: entro e tra i soggetti. All interno vi è un ulteriore divisione legata alla variabilità sistematica e variabilità d errore. Abbiamo una varianza residua per: Effetto principale del fattore tra i soggetti Effetto principale del fattore entro i soggetti Interazione tra il fattore entro e fattore tra

A 6 soggetti vengono somministrati 10 stimoli insalienti e 10 stimoli non-insalienti (fattore W), però 3 soggetti sono sottoposti ad uno stimolo di «priming» che annuncia le caratteristiche dello stimolo, mentre altri 3 no (fattore B). La somma dei ricordi corretti è la VD

VD: ricordi corretti Fattore within a 2 livelli (stimolo insaliente e non-insaliente) Fattore between a 2 livelli (priming e assenza di priming)

Il fattore priming è tra i soggetti

Within-Subj ects Factors Measure: MEASURE_1 f actor1 1 2 Dependent Variable non_ins insalien Between-Subjects Factors Value Label N priming 1.00 si 3 2.00 no 3 non_ins insalien priming si no Total si no Total Descriptive Statistics Mean Std. Dev iation N 4.3333.57735 3 3.0000 1.00000 3 3.6667 1.03280 6 8.6667 1.52753 3 5.6667.57735 3 7.1667 1.94079 6

Solo l effetto principale dello stimolo risulta significativo Effetti entro i soggetti Tests of Within-Subjects Effects Measure: MEASURE_1 Source f actor1 f actor1 * priming Error(f actor1) Sphericity Assumed Greenhouse-Geisser Huy nh-feldt Lower-bound Sphericity Assumed Greenhouse-Geisser Huy nh-feldt Lower-bound Sphericity Assumed Greenhouse-Geisser Huy nh-feldt Lower-bound a. Computed using alpha =.05 Ty pe III Sum Partial Eta Noncent. Observ ed of Squares df Mean Square F Sig. Squared Parameter Power a 36.750 1 36.750 55.125.002.932 55.125 1.000 36.750 1.000 36.750 55.125.002.932 55.125 1.000 36.750 1.000 36.750 55.125.002.932 55.125 1.000 36.750 1.000 36.750 55.125.002.932 55.125 1.000 2.083 1 2.083 3.125.152.439 3.125.276 2.083 1.000 2.083 3.125.152.439 3.125.276 2.083 1.000 2.083 3.125.152.439 3.125.276 2.083 1.000 2.083 3.125.152.439 3.125.276 2.667 4.667 2.667 4.000.667 2.667 4.000.667 2.667 4.000.667 Dal momento che abbiamo solo 2 livelli non è possibile verificare la condizione di sfericità, dunque non compare nessuna correzione per la sua mancata verifica

Medie marginali attese per i fattori entro i soggetti Measure: MEASURE_1 f actor1 1 2 Estimates 95% Conf idence Interval Mean Std. Error Lower Bound Upper Bound 3.667.333 2.741 4.592 7.167.471 5.858 8.475 Gli stimoli insalienti (2) danno un maggior ricordo di risposte esatte rispetto agli stimoli non-insalienti (1) non_ins insalien Levene's Test of Equality of Error Vari ances a F df 1 df 2 Sig..400 1 4.561 2. 571 1 4.184 Tests the null hypothesis that the error variance of the dependent variable is equal across groups. a. Design: Intercept+priming Within Subjects Design: f actor1 Verifica l ipotesi nulla che la varianze d errore della VD è uguale tra i gruppi

Medie marginali attese per i fattori tra soggetti Measure: MEASURE_1 priming si no Estimates 95% Conf idence Interv al Mean Std. Error Lower Bound Upper Bound 6.500.471 5.191 7.809 4.333.471 3.025 5.642 Gli effetti tra i soggetti esaminano le differenze tra i gruppi (primng vs non priming) effettuando una media delle misure della variabile entro (insalinte vs non-saliente/2). Dalla prima tabella vediamo che la presenza del priming facilita il ricordo degli stimoli Effetti tra i soggetti Questo fattore è significativo