Linguaggio della Matematica concetti primitivi: elementi fondamentali di natura intuitiva (punto, retta, insieme, elemento di un insieme,...). assiomi: enunciati, proposizioni vere a priori (gli assiomi di Euclide in geometria...). proposizioni: frasi, affermazioni per le quali a senso chiedersi se siano vere (V) o false (F) 1. i maiali sono animali (V) 2. l opossum è un marsupiale (V) 3. la Terra è piatta (F) 4. passerò l esame di matematica? (non è una proposizione perchè non ha senso chiedersi se sia vera o falsa) 5. due è un numero giallo (non è una proposizione perchè la proprietà di essere giallo non ha senso per un numero)
Connettivi Logici Le proposizioni possone essere unite tra loro, a formarne altre più complesse, i teoremi, facendo uso dei connettivi logici: Connettivo Simbolo Inglese e and congiunzione o, oppure or disgiunzione debole non not negazione implica implicazione ESEMPI: P = andiamo a lezione, Q = andiamo sulla Luna 1. P Q = andiamo a lezione e sulla Luna (entrambe) 2. P Q = andiamo a lezione o sulla Luna (almeno una delle due) 3. Q = non andiamo sulla Luna
Implicazione e Doppia Implicazione la proposizione P Q si legge: P implica Q P è condizione sufficiente per Q Q è condizione necessaria per P ESEMPI: 1. n è divisibile per 4 n è divisibile per 2 2. prendo 28 implica passo l esame la proposizione P Q si legge: P se e solo se Q P equivale a Q P è condizione necessaria e sufficiente per Q Q è condizione necessaria e sufficiente per P ESEMPI: 1. n divisibile per 6 n divisibile per 2 e 3 2. passo l esame di Matematica se e solo se prendo almeno 18
Quantificatori introduciamo altri due simboli matematici, i quantificatori: qualunque esiste ESEMPI: 1. x tale che x 2 1 (V) 2. x si ha che x 2 1 (F) 3. x si ha che x 2 0 (V) 4. x tale che x 2 < 0 (F) NEGAZIONE DI UNA PROPOSIZIONE: come si nega una frase contenente dei quantificatori? x tale che P si nega con x si ha che nonp x si ha che P si nega con x tale che nonp ESEMPIO: la (4) è la negazione della (3)
Insiemi 1 - Definizione potremmo pensare a un insieme una collezione di oggetti di natura qualsiasi detti elementi dell insieme stesso. ESEMPI: 1. V = {a, e, i, o, u} = {vocali} 2. A = {a, b, c, d, } = {lettere dell alfabeto} 3. È = {2,4,6,8, } = {numeri pari} 4. Æ = {0,1,2,3,4, } = {numeri naturali} 5. = {0,1, 1,2, 2,3, 3 } = {numeri relativi} 6. É = {numeri razionali} 7. Ê = {numeri reali}
Insiemi 2 - simbolo di appartenenza l elemento a appartiene all insieme A si scrive in simboli: a A l elemento a non appartiene all insieme A si scrive in simboli: a / A ESEMPI: 1. a V, 2 È, 2. b / V, 9 / È, 3 5, 3 Ê 2 / É É, 1 / Ê
Insiemi 3 - Come si descrivono? rappresentazione estensiva: elencandone tutti gli elementi per gli insiemi finiti V = {a, e, i, o, u}, A = {1,2,3,4}, Y = {1,2, a, b, c} per gli insiemi infiniti: dall elenco si deve dedurre in maniera non ambigua la regola induttiva che consente di stabilire se un elemento appartiene o non appartiene all insieme È = {2,4,6,8,10,12,14, } è chiaro che rappresenta l insieme dei numeri pari. P = {2,3,5,7,11,13,17, } non è evidente che rappresenta l insieme dei numeri primi.
Insiemi 4 - Come si descrivono? rappresentazione intensiva: caratterizzandone gli elementi tramite una proprietà X= { x U tali che x gode della proprietà P } ( / tale che ) È = {n Æ / n divisibile per 2} = {n Æ / n = 2k, k Æ, k 0} X = {x Ê / x 2 = 1} = { 1, + 1} A = {x Ê / x 2 = 0} = {0} ATTENZIONE: non confondere un insieme con un elemento 0 {0} = {x Ê / x 2 = 0} 0 elemento, {0} insieme
Insiemi 5 - Conclusioni 1. un insieme è ben determinato quando è chiaro se un elemento vi appartiene oppure no. 2. non importa l ordine degli elementi A = {1,2,3,4} B = {3,1,2,4} sono lo stesso insieme 3. non ci sono ripetizioni: A = {1,2,3} SI, B = {1,1,2,3} NO 4. esiste un unico insieme vuoto privo di elementi Ø INSIEME VUOTO: A = {x Ê / x 2 + 1 = 0} B = {x Ê / x 2 + x + 5 = 0} C = {(x, y) / x, y Ê e y = 3x e y = 3x + 5} D = {q É / q 2 = 2} (proprietà mai verificate)
Insiemi 6 - Rappresentazione Grafica DIAGRAMMI DI EULERO VENN l insieme viene rappresentato come una regione di piano delimitata da una curva. V u a i e o
Insiemi 7 - Uguaglianza, Sottoinsiemi UGUAGLIANZA DI INSIEMI: A e B sono uguali se contengono gli stessi elementi. A = B ( x A x B) A = { 1,+1} ; B = {x Ê / x 2 = 1} A = B SOTTOINSIEMI: A è contenuto in B A è sottoinsieme di B A è incluso in B se gli elementi di A sono anche elementi di B A B x A x B V = {a, e, i, o, u} {lettere dell È alfabeto}, É Æ, Ê
Ø A per qualunque insieme A. Si dice che A è incluso strettamente in B oppure che A è un sottoinsieme proprio di B e si scrive A B se e solo se A B e A B.
UNIONE: A B = {x / x A o x B} Insiemi 8 - Operazioni esempio: {1,2,3} {4,5} = {1,2,3,4,5} INTERSEZIONE: A B = {x / x A e x B} esempio: {1,2,3,4} {2,4,6,8} = {2,4} PRODOTTO CARTESIANO: A B = {(x, y) / x A e y B} = {insieme delle coppie ordinate} esempio: {a, b} {1,2,3} = {(a,1), (b,1), (a,2), (b,2), (a,3), (b,3)} Ê 2 = Ê Ê, Ê 3 = Ê Ê Ê, Ê n
Insiemi 9 - Operazioni, Diagrammi di Venn A A U B A A U B B B
Insiemi 10 - Proprietà delle Operazioni PROPRIETÀ COMMUTATIVA: A B = B A x + y = y + x A B = B A x y = y x PROPRIETÀ ASSOCIATIVA: (A B) C = A (B C) (x + y) + z = x + (y + z) (A B) C = A (B C) (x y) z = x (y z) PROPRIETÀ DISTRIBUTIVA: A (B C) = (A B) (A C) x (y + z) = x y + x z A (B C) = (A B) (A C) INSIEME VUOTO: A Ø = A, A Ø = Ø, A x + 0 = x, x 0 = 0
Insiemi 11 - Esercizi ESERCIZI 1. dati gli insiemi A = {1,2,3,4,5,6,7} B = {a, b, c} C = {1,8,9, a, b, d, e} determinare A B, A C, B C A B C A B, A C, B C A B C 2. dati gli insiemi A = {x Ê /x 2} B = {x Ê /x < 5} determinare A B 3. dati gli insiemi X = {x Ê /x 2 1 < 0} Y = {x Ê /x 2 + x 6 0} determinare X Y, X Y
Insiemi 12 - Esercizi di riepilogo 1 1. dati gli insiemi A = {x Ê / 2 x 5} = [ 2,5 ] B = {x Ê / 2 < x 11 2 } =] 2, 11 2 ] determinare A B, A B 2. risolvere il sistema di disequazioni: { 3x 6 0 x 2 9 < 0
Insiemi 13 - Esercizi di riepilogo 2 3. negare la proposizione: qualunque gatto è bianco 4. determinare il campo di esistenza della funzione: y = f(x) = 2 x log(x + 5) 5. negare la proposizione: x A si ha che x B
Numeri Reali 7 - Intervalli INTERVALLI LIMITATI a, b Ê intervallo chiuso [a, b] = {x Ê / a x b} intervallo aperto ]a, b[= {x Ê / a < x < b} intervallo chiuso a sinistra e aperto a destra [a, b[= {x Ê / a x < b} intervallo chiuso a destra e aperto a sinistra ]a, b] = {x Ê / a < x b} INTERVALLI ILLIMITATI a, b Ê [a,+ [= {x Ê / x a} ], b] = {x Ê / x b} ]a,+ [= {x Ê / x > a} ], b[= {x Ê / x < b} ],+ [= Ê INTORNI x 0 Ê, δ > 0 si dice sl intorno del punto x 0 di raggio δ l insieme: I δ (x 0 ) = {x Ê / x 0 δ < x < x 0 + δ} =]x 0 δ, x 0 + δ[
Rappresentazione Decimale numeri naturali m Æ, m = a k 10 k + a k 1 10 k 1 + + a 1 10 + a 0 i coefficienti a i, interi fra 0 e 9, sono le cifre del numero m esempio: 1527 = 1 10 3 + 5 10 2 + 2 10 + 7 numeri razionali q É, q = ±m + a 1 10 1 + a 2 10 2 + + a k 10 k m è un numero naturale, a i sono le cifre decimali di q esempi: = 1.5 = 1 + 5 10 1 1. 3 2 1 2. 16 = 0.0625 = 0 10 1 + 6 10 2 + 2 10 3 + 5 10 4 3. 1 6 = 0.166666... = 0.16, 5 = 0.454545... = 0.45 11 la rappresentazione decimale di un numero razionale è sempre periodica. numeri reali r Ê, q = ±m + a 1 10 1 + a 2 10 2 + + a k 10 k + esempio: 2 = 1.4142135623730950...