IL CALCOLO COMBKNATORIO Nella vita quotidiana può capitare dì dover rispondere a domande come quelle qui riportate. - Quante parole diverse dì 4 lettere si possono formare avendo a disposizione 10 lettere? Quanti ambi si possono formare con Ì 90 numeri del gioco del Lotto? - Nel gioco del Totocalcio quante colonne bisognerebbe giocare per realizzare il «13"? - Quante squadre diverse di 5 ragazzi si possono formare in un gruppo di 30 ragazzi? A queste domande possiamo rispondere con il calcolo combinato rio, che è un modo di manipolazione dei numeri naturali importante dal punto di vista operativo e indispensabile per affrontare il calcolo delle probabilirà in situazioni complesse. Nei quesitì precedenti si tratta di comporre in diversi modi un gruppo di elementi prendendone sempre una quantità determinata. Il fine del calcolo combinatorio è quello di costruire e contare Ì raggruppamenti distinti che si possono formare con una data quantità di elementi di un insieme. I possibili tipi di raggruppamento di cui tratta il calcolo combinatorio sono: - disposizioni; permutazioni; - combinazioni. Le disposizioni semplici Introduciamo il concetto di disposizione con degli esempi. Esempi 1. Cinque amici si recano al Luna Park e decidono dì andare sull'autoscontro. Solo una macchinina delfautoscontro è a loro disposizione e poiché ognuno di loro vuole stare alla guida e la macchinìna ha solo due posti, si chiedono quanti giri devono fare per soddisfare ciascuno di loro e per accompagnarsi tutti a due a due. Per risolvere questo quesito bisogna innanzitutto stabilire l'insieme in esame; tale insieme è costituito dai 5 amici che indichiamo, per semplicità, con le lettere A, B, C, D, E. Per determinare quanti giri i 5 amici devono fare, fissiamo alla guida della macchìnlna uno di loro e lo accoppiamo con Ì rimanenti 4 determinando, cosi, tutte le possibili coppie che si possono formare. Per visualizzare questo procedimento possiamo utilizzare dei diagrammi ad albero. C Le coppie che si possono formare sono: 5 4 = 20. Le coppie ottenute si chiamano disposizioni semplici dei cinque elementi presi a due a due e il numero di tali disposizioni si indica con D=,2'- pertanto D=,_2 20.
2. Dato l'insieme costituito dalle quattro cifre {1, 2, 3, 4j, vogliamo sapere quanti numeri di due cifre sì possono formare. Risulta subito evidente che in questo quesito è importante l'ordine in cui vengono prese le due cifre costituenti il numero; pertanto per risolvere il quesito procediamo come nell'esempio precedente, cioè fissiamo una cifra e la accoppiamo con le rimanenti tre, determinando tutte le possibili coppie che si possono formare. 12 Jj I21 T] [^ TI [24 32_ 41 134" LLJ \H I42 [il ^3 Le coppie che si possono formare sono: 4 3 12, quindi le disposizioni semplici dì quattro elementi presi a due a due sono: Z\ =12. 3. Dato l'insieme costituito dalle cinque cifre {1, 2, 3, 4, 5}, vogliamo sapere quanti numeri di tre cifre si possono formare. Come negli esempi precedenti, l'ordine con cui vengono prese le cifre è importante, la schematizzazione risulta invece un po' più complicata; infatti, per rappresentare il problema graficamente bisogna costruire un albero con una radice e due livelli di rami così, come segue: 1 M 2 U AJ I123 T] fl24 TI PÌ251 2] 132 TI [134] 2] [152] T 153 ~ 1 231 4 214 5 215 4] [234 5 235 r1 241 [243] - 12451 Prova a completare la schematìzzazione per le cifre rimanenti. Le terne che si possono formare sono: 5 4 3 = 60, quindi le disposizioni semplici di cinque elementi presi a tre a tre sono: /\ = 60.
Gli esempi precedenti ci permettono dì generalizzare i risultati ottenuti al caso di n elementi distinti da raccogliere in gruppi di k elementi, definendo così le disposizioni di n elementi presi a k a k ( ) >). Dati n elementi distinti, si dicono disposizioni semplici di classe k, o presi a k a k, tutti i possibili raggruppamenti formati da k elementi, scelti fra gli n elementi dati. f I raggruppamenti distinti che si possono formare devono soddisfare le seguenti proprietà: il numero naturale k deve essere minore o uguale a n (k ^ M); uno stesso elemento non può figurare più volte in uno stesso raggruppamento; due qualsiasi raggruppamenti si considerano distinti se la loro composizione differisce per almeno un elemento oppure se gli elementi di un raggruppamento sono gli stessi dell'altro ma è diverso l'ordine con cui essi sono disposti. II numero dei raggruppamenti, che si indica con il simbolo > < si calcola nel seguente modo: A,,* =«(»- 1) ' («~ 2) (n - 3) - («-*+!) cioè è il prodotto dì k numeri naturali consecutivi decrescenti a partire da n. Tornando agli esempi precedenti e applicando questa formula si ottiene: a) nel primo esempio: n 5, k 2, n~ k + 1 5 2+1 4, quindi D^2 = 5 4 = 20; b) nel secondo esempio: «= 4, k 2, n k + 1=4 2+1 = 3, quindi >42 = 4 3 = 12; e) nel terzo esempio: n 5, = 3, n k + 1 5 3 + 1=3, quindi Z\ = 5 4 3 60. Concludiamo con un altro esempio. Esempio In una classe di 18 alunni, in quanti modi diversi si possono scegliere tre alunni per la carica di capoclasse, aprifila e chiudifìla da comunicare al responsabile della sicurezza in caso di emergenza? Poiché le cariche hanno mansioni diverse non si possono sommare, quindi per trovare la risposta al quesito bisogna usare le disposizioni semplici di 18 elementi presi a tre a tre. Pertanto sì ha che: n = 18, =3, «- +1 = 18-3+1 = 16, da cui >18,3 = 18-17- 16-4896. Le permutazioni semplici Un caso particolare di disposizioni si ha quando si vogliono determinare raggruppamenti in cui il numero degli elementi da raggruppare coincide con il numero degli elementi a disposizione, cioè k = n. A questo caso particolare di disposizione si da il nome di permutazione semplice. Le permutazioni semplici di classe k di n elementi distinti, con n - k, sono le disposizioni semplici degli n elementi presi a n a n. Si deduce che due qualsiasi permutazioni semplici differiscono solo per l'ordine con cui sono disposti gli n elementi distinti in esse contenuti. Il numero dì permutazioni semplici di n elementi è pertanto D,,,, =» {«1} (w 2) 2 1; se indichiamo con PH il numero delle permutazioni semplici si ha: /> = «(»-!} («-2)- -2-1 Dato un numero naturale n, si definisce fattoriale di n e si indica con w! (si legge «enne fattoriale») il prodotto di tutti Ì numeri naturali consecutivi decrescenti a partire da n fino al numero 1: quindi possiamo scrivere: Pn ni»! = «(«-!)-(«- 2)- -2-1
Vediamo con un esempio quando si possono usare le permutazioni semplici. Esemplo Dato l'insieme delle lettere [a, m, /'}, vogliamo determinare tutte le possibili parole, anche prive di significato, che si possono formare utilizzando tutte e tre le lettere. Sfruttando la schematizzazìone vista negli esempi precedenti, costruiamo i diagrammi ad albero per aiutarci nella determinazione delle parole possibili. Il numero delle parole, anche prive di significato, che si possono formare è 6. Usando la formula delle permutazioni, sì ha infatti che: />3 = 3! = 3 2 1 = 6 Abbiamo visto che: OSSERVAZIONE In particolare, per definizione: se n = O, si pone O! = 1; se n = 1, si pone 1! = 1. Per altri valori di n si ha che:»! = «(»-!) («- 2)- -2-1 Valori di n n! 2 3 4 5 6 2! = 2 3! = 3 4! = 4 5! = 5 6! = 6 1 = 2 2 1=6 3-2 - 1 = 24 4 3 2 1 = 120 5 4 3 2 1 = 720 Per calcolare 7! basta prendere il valore di 6! e moltipllcarlo per 7 e così via; risulta quindi evidente che il fattoriale può essere calcolato moltiplicando il valore ottenuto ad un certo passo (n 1) per il successivo intero n, cioè n\ n- (n 1)! Le combinazioni semplici Abbiamo visto che nelle disposizioni e nelle permutazioni semplici è importante l'ordine in cui vengono presi gli elementi; in questo paragrafo ci proponiamo di studiare dei raggruppamenti in cui l'ordine degli elementi non ha alcuna importanza: tali raggruppamenti si dicono combinazioni semplici.
Consideriamo i seguenti esempi. Esempi 1. Dato l'insieme {a, e, i], le disposizioni semplici dei tre elementi dell'insieme presi a due a due sono: ae ea ai ìa ei ie; se supponiamo che l'ordine non abbia più importanza, allora si ha che: ae = ea ai = ia ei ie e quindi i raggruppamenti distinti si riducono a 3: ae, ai, ie; pertanto le combinazioni semplici dei tre elementi presi a due a due sono 3. 2. Dato l'insieme delle vocali [a, e, i, o, u], vogliamo determinare il numero di combinazioni semplici di questi 5 elementi presi a tre a tte e che indichiamo con Q 3. Consideriamo una qualsiasi combinazione semplice degli elementi dell'insieme prendendoli a tre a tre, per esempio a e i\, quindi, le permutazioni di questi tre elementi che, per quanto visto nel paragrafo precedente, sono 3! e sono date da: ae i e a i aie i a e eia i e a Per ogni combinazione semplice di 3 elementi esistono 3! disposizioni semplici di classe 3, quindi da queste considerazioni sì deduce che: da cui si ha che: Analizzando gli esempi precedenti si deduce che: Q.3 3! = A,3 A3 5-4-3 C - = 10 3! 3-2-1 dati n elementi distinti, si dicono combinazioni semplici di classe k tutti i possibili raggruppamenti formati da k elementi, scelti fra gli n elementi dati, senza tener conto dell'ordine in cui si presentano. i I raggruppamenti distinti che si possono formare devono soddisfare le seguenti proprietà: Ìl numero naturale k deve essere minore o uguale a n (k =S n); un elemento non può figurare più volte in uno stesso raggruppamento; due raggruppamenti sì considerano distinti se differiscono per almeno un elemento. Segue, pertanto, che due raggruppamenti che differiscono solo per l'ordine con cui in essi sono disposti gli elementi sono da ritenersi identici. II numero delle combinazioni semplici di n elementi distìnti di classe k si indica con il simbolo Cntk. La formula che permette di calcolare le combinazioni semplici di n elementi distìnti di classe k è data da: Dnj!» (»-!) (il-2)- («-*+!) ' * M k-(k-\)'(k-2)- -2-1 Questa formula è giustificata dal fatto che, come abbiamo visto nell'esempio 2, da ogni combinazione semplice sì possono ottenere, permutando in tutti ì modi possibili i k elementi che la compongono, k\i semp in\i numero C. A si indica anche con il simbolo ' ' ne n e di classe k. Tale denominazione dipende dal fatto che questi numeri compaiono come coefficienti nello sviluppo della potenza «-esima di un binomio. Infatti, consideriamo il seguente quadrato di binomio (a + b}2\l suo sviluppo sappiamo essere a2 + 2ab + b~, quindi i coefficienti che compaio- che vien
no nello sviluppo sono 1,2, 1. Se consideriamo le combinazioni semplici di 2 elementi presi rispettivamente a O a O, 3 1 a 1, a 2 a 2, si ha: -12\- -( 2\- _/2\1 Qo ~ \ J ~ Cil ~ ^ 1 j ~: 1! ~ 2 Q'2 ~ ( 2 j ~ 2! ' da cui risulta che possiamo scrivere lo sviluppo del quadrato del binomio nel seguente modo: /2\ 2\a a determinare lo sviluppo del cubo di un binomi La probabilità e il calcolo combinatorio Vediamo, mediante degli esempi, come il calcolo combinatorio sia uno strumento utile per calcolare il numero dei casi possibili e il numero dei casi favorevoli quando si debba calcolare la probabilità dì un evento. Esempi 1. Si estraggono a caso tre carte da un mazzo di 52 carte; calcoliamo la probabilità che le tre carte siano di cuori. E le tre carte estratte sono di cuori Poiché l'ordine con cui vengono estratte non ha importanza, tutti i possibili modi diversi di estrarre tre carte da un mazzo di 52 sono le combinazioni semplici di 52 elementi di classe 3, quindi: 52-53 -50 CP combinazioni semplici di 52 elementi di classe 3: C^., r r = 22 100 Nel mazzo ci sono 13 carte di cuori, quindi ci sono C]33 = 13-12-11 286 modi diversi di estrarre 3 delle 13 carte di cuori presenti nel mazzo, da cui: CP = C52,3 = 22 100 CF = C13,3-286 _CF C13.3 286 11 p(e)- - - - 22100 - -g^q- 2. Determiniamo la probabilità che nel gioco del Lotto sulla ruota dì Napoli venga estratto un terno prefissato. E sulla ruota di Napoli viene estratto un terno prefissato I numeri del gioco del Lotto sono tutti i numeri naturali da 1 a 90 e su ogni ruota vengono estratti 5 numeri il cui ordine non ha importanza, quindi: CP tutti i modi diversi di estrarre 5 numeri da 90, cioè: 90 89-88 87 86 CP = Q0>5 = 5.4.3.2 ~ = 43 949268 Per calcolare il numero di casi favorevoli, supponiamo che dai 90 numeri del gioco vengano tolti i tre prefissati e che, con gli 87 rimanenti, si costruiscano tutte le combinazioni semplici di classe 2: in questo modo, aggiungendo a ciascuna combinazione i tre numeri prefìssati, si ottengono tutte le possibili cinquine contenenti il terno cercato. Si ha quindi: 87-86 CF= C87>2 = - - 3 741 da cui: CF C 3741 1 p(e} = CP C90,5 43949268 11748 1 La probabilità che venga estratto un terno prefissato sulla ruota di Napoli è,, _, 11 748 \*J
Esercizi 1. Quanti numeri di 5 cifre si possono formare con le cifre {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}? [15120] 2. Letizia ha 10 bìglie tutte di colore diverso. In quanti gruppi diversi le può disporre prendendone 2 per volta? [90] 3. Quante sono le diverse colonne della schedina del Totocalcio che si possono giocare? [1 594 323] 4. Un codice segreto è formato da 6 lettere diverse dell'alfabeto italiano. Quanti codici diversi sì possono formare? [143 640] 5. Quanti numeri di 4 cifre distinte si possono formare con le cifre dell'insieme {.re rwx < 8]? [840] 6. Quanti sono gli anagrammi, anche privi di significato, che si possono formare dalla parola CAR- TONE? (L'anagramma è un gioco enigmistico che consiste nella permutazione delle lettere componenti una parola o una frase in modo da ottenere altre parole o frasi di significato diverso). [5 040] 7. Quanti sono gli anagrammi, anche privi di significato, che si possono formare dalla parola CASE? [24] 8. Quanti numeri di 3 cifre distinte si possono formare con le cifre 3> 6, 9}? [6] 9. Nel gioco del Lotto quanti sono gli ambi che possono essere estratti sulla ruota di Milano? [4005] 10. Analizza e completa le combinazioni semplici seguendo l'esempio proposto: n~ 1 n = 3 n = 4 1 1 1 2 1 1331 14641 n - 6 =» La figura che sì forma a lato ti ricorda qualcosa di già noto? 11. Un pittore dispone di 15 colori diversi. Quante tele diverse può colorare, utilizzando su ogni tela solo 4 colori? [1 365] 12. In quanti modi un allenatore può comporre una squadra di pallavolo avendo a disposizione 10 giocatori? [210] RG&C S.R.I.. SOLUZIONI PER ^EDITORIA CHE HA CURATO PER L'EDITORE PROGETTO GRAFICO E 1MPAGINAZIONE, REALIZZAZIONE EDITORIALE, RKDAZIONE DISEGNI E ILLUSTRA- ZIONI, PROGETTO GRAFICO DELLA COPERTINA. REALIZZAZIONE LASTRE CTP: FOTOINCISA EFFEGI - SA VIGLIANO STAMPA; EDIZIONI n CAPITFLLO - TORINO L'opera è il risultato del lavoro comune di Ezia Nìcoletti, Nicola Papa, Lia Risposi, Gabrielli! Somaschi. PROPRIETÀ LI-TIERAKIA RISERVATA L'Editore, nell'ambito delle leggi internazionali sul copyright, è a disposizione degli aventi diritto non potuti rintracciare. 1 diritti di traduzione, di riproduzione e di adattamento, totale b parziale, con qualsiasi mezzo, compresi microfilm e copie fotostatiche, sono riservati per tutti i Paesi. Si ritengono contraffatte le copie non firmate o non munite del contrassegno S.I.A.E. 1J edizione: febbraio 2008 Ristampa: 5 4 3 2 1 2012 2011 2010 2009 2008 EDIZIONI il capitello Via Sansovino, 243/22/R 10151 Torino tei. 0114513611 - fax 0114513612 II presente testo è stato redatto secondo le norme e avvertenze tecniche adottate dal M.RI. con D.M. n. 547/99 del 7/12/1999. I controlli di qualità ai quali è stata sottoposta questa prima edizione sono stali effettuati da: S.T.A.N.i.M.U.C. - Torino (certificato n.207l016)