Nel mondo dei numeri e delle operazioni

Carla Alberti, Maria Elisabetta Bracchi e Stefania Portieri Nel mondo dei numeri e delle operazioni I numeri fi no a 100 Addizione e sottrazione Guida

Editing e progettazione Nicoletta Rivelli Sviluppo software Daniele De Martin Collaborazione Michele Linardi Walter Eccher Coordinamento tecnico Matteo Adami Grafica, illustrazioni e animazioni Riccardo Beatrici Elaborazione grafica Riccardo Beatrici Testing Aron Verga Elena Marchesoni Milena Pellizzari Manuela Paolino Audio Jinglebell Communication Musiche Simone Bordin Immagine di copertina Riccardo Beatrici Fotocomposizione e packaging Tania Osele 2008 Edizioni Centro Studi Erickson via Praga 5, settore E 38100 Gardolo (TN) tel. 0461 950690 fax 0461 950698 www.erickson.it info@erickson.it Tutti i diritti riservati. Vietata la riproduzione con qualsiasi mezzo effettuata, se non previa autorizzazione dell Editore.

INDICE Installazione e avvio del CD-ROM p. 4 Introduzione a cura degli autori p. 5 Guida alla navigazione p. 6 Login p. 6 Menu p. 7 Tasti di scelta rapida p. 8 Sezione 1 Numeri naturali p. 9 Sezione 2 Addizione p. 16 Sezione 3 Sottrazione p. 21 Sezione 4 Giochi aritmetici p. 24 Guida al gestionale p. 29 Menu p. 29 Statistiche p. 30 Opzioni p. 31

Installazione e avvio del CD-ROM Per usare il CD-ROM su computer Windows, assicurarsi che la propria macchina soddisfi i requisiti di sistema riportati in copertina. Avvio automatico 1. Inserite il CD-ROM nell apposito lettore. 2. Non premete nessun tasto. Il programma partirà automaticamente (il tempo medio è di 25 secondi). Avvio manuale 1. Inserite il CD-ROM nell apposito lettore. 2. Cliccate su Start/Avvio. 3. Cliccate su Esegui. 4. Digitate D:\AVVIOCD.EXE (dove D indica la lettera dell unità CD- ROM) e premete «Ok». In alternativa, premete il pulsante «Sfoglia», scegliete l unità CD-ROM nel campo «Cerca in» e fate doppio clic sul file «Setup». 5. Passate alle voce «Installazione del programma». Installazione del programma L installazione del programma può essere di due tipi: installazione automatica, ovvero il programma si autoinstalla; installazione personalizzata, in cui l utente può scegliere la cartella in cui installare il programma. Quando l installazione è stata completata, appare un messaggio «Installazione completata. Avviare ora l applicazione?». Cliccate «Sì» per avviare. Attenzione, se possedete un sistema operativo Windows XP o Windows Vista è possibile installare l applicazione in due modalità: 1. Per essere utilizzata da un solo utente. 2. Per essere utilizzata da tutti gli utenti che accedono al computer. Per poter fare questo tipo di installazione, l utente deve avere i diritti di amministratore. Con Windows Vista all inserimento del CD-ROM potrebbe comparire una finestra denominata «Controllo dell account utente» che chiede conferma prima di installare il programma. Selezionare l opzione «consenti». A questo punto partirà l installazione Erickson. Se non disponete di un account utente con privilegi di amministratore prima di proseguire verrà chiesto di inserire la password di amministratore. Se non disponete di questa password non sarà possibile proseguire con l installazione. Leggimi Per ulteriori informazioni, consultare il file «Leggimi». Per visualizzarlo, cliccate su «Risorse del computer», selezionate con un clic l icona CD- ROM, dal menu «File», selezionate la voce «Esplora», fate doppio clic sul file «Leggimi». 4 2008, Nel mondo dei numeri e delle operazioni 1, Erickson

Introduzione a cura degli autori Questo software è il primo di una serie pensata per supportare le proposte didattiche presenti in forma di approfondimenti concettuali, itinerari didattici e schede fotocopiabili nei sei volumi della collana Ricostruiamo la matematica Nel mondo dei numeri e delle operazioni (a cura di Colombo Bozzolo C., Costa A. e Alberti C. pubblicata presso le Edizioni Erickson). Esso, quindi, è stato elaborato in coerenza con la visione della matematica, del suo insegnamento e del suo apprendimento esplicitata nei suddetti volumi e riconducibile agli studi di Freudenthal (1994). Questi sottolinea come la matematica sia prima di tutto un fatto culturale, in quanto è un attività mentale che, a partire da contesti ricchi, come quelli reali, porta a indagare ragioni, a cercare e creare certezze logiche, strumenti linguistici e logici per leggere, interpretare e rappresentare la realtà. Un apprendimento della matematica che voglia essere in sintonia con la natura stessa della disciplina e, al medesimo tempo, rispettoso della libertà del soggetto di tale apprendimento e del suo mondo cognitivo, deve essere inteso come re-invenzione, ossia ricostruzione attiva del sapere matematico da parte del soggetto. Tale ricostruzione deve essere guidata dall insegnante, per cui l insegnamento viene inteso come regia, predisposizione accurata di situazioni, contesti, materiali atti a sollecitare la reinvenzione, guida consapevole dei concetti da reinventare, dei loro legami, della loro complessità e attenta ai processi, non solo ai prodotti. In particolare, il software qui presentato integra con esercizi che sfruttano le potenzialità del mezzo informatico le proposte didattiche dei volumi 1 e 2 di Nel mondo dei numeri e delle operazioni: I numeri fino a 100 e Addizione e sottrazione. Bibliografia Freudenthal H. (1994), Ripensando l educazione matematica, Brescia, La Scuola. 2008, Nel mondo dei numeri e delle operazioni 1, Erickson 5

Guida alla navigazione Login Per accedere al programma è necessario scrivere il proprio nome nel riquadro o selezionarlo dalla lista dei nomi. Per scorrerla si possono usare le due frecce poste alla base del cartellone. Quindi si deve cliccare il cartello «Vai» per iniziare le attività. Per attivare i fumetti contenenti le istruzioni scritte, basta cliccare il pulsante «Attiva istruzioni scritte» e per disattivarli è sufficiente ricliccarlo. Per continuare la lettura dei testi, si clicca sui fumetti. Per accedere alla parte gestionale contenente le statistiche e le opzioni del programma si deve clicca il pulsante con l ingranaggio o i tasti «Ctrl+o» sulla tastiera. Login: registrazione di un nuovo utente Clicca qui per vedere le istruzioni scritte Digita il tuo nome o selezionalo dalla lista Clicca «Vai» per entrare nel menu 6 2008, Nel mondo dei numeri e delle operazioni 1, Erickson

Menu Dopo aver inserito il nome nel login e cliccato «Vai», si accede al menu principale, dove sono presenti gli elementi di accesso alle varie sezioni: a) 4 sezioni corrispondenti ai diversi argomenti Sezione 1: Numeri naturali Sezione 2: Addizione tra numeri naturali Sezione 3: Sottrazione tra numeri naturali Sezione 4: Giochi aritmetici b) Ultimo svolto Al clic sulla freccia a spirale l alunno può riprendere l attività dall ultimo esercizio svolto nella sessione di lavoro precedente. c) Lampada a olio Al clic sulla lampada a olio l alunno può visualizzare le funzioni dei pulsanti usati nel programma. La videata è stampabile. Menu: scelta delle attività Attestato Spiega pulsanti Sezioni Ultimo svolto 2008, Nel mondo dei numeri e delle operazioni 1, Erickson 7

d) Attestato Il rotolo di pergamena viene sbloccato al superamento del 100% degli esercizi. Nella parte gestionale è possibile selezionare l opzione che lo rende liberamente accessibile in qualunque momento della navigazione. L attestato è personalizzato per ogni utente e può essere stampato. e) Pulsante «X» Al clic sul pulsante «X» in alto a destra si ritorna alla videata del login. Tasti di scelta rapida Il programma consente agli utenti di utilizzare una combinazione di tasti in alternativa al clic del mouse sui pulsanti presenti nelle videate. FUNZIONI DEL PROGRAMMA/PULSANTI Generali Audio istruzioni Esci/Chiudi Stampa Guida/informazioni utili Attiva/disattiva istruzioni scritte Gestione volumi Login Entra Esci dal software sì/no Seleziona utente Gestionale Menu Scorri menu Ultimo svolto Attestato Lista esercizi Scrolla lista su/giù Esercizi Ho fi nito Scorri videata Annulla Ok COMBINAZIONE DI TASTI Ctrl + Barra spaziatrice Ctrl + x F10 F1 Ctrl + i Ctrl + v Invio s/n Frecce alto/basso Ctrl + o Frecce avanti/indietro Ctrl + u Ctrl + a Frecce alto/basso Ctrl + invio Ctrl + Frecce avanti/indietro Ctrl + a Tab 8 2008, Nel mondo dei numeri e delle operazioni 1, Erickson

FUNZIONI DEL PROGRAMMA/PULSANTI Gestionale Stampa Guida/informazioni utili Esci/chiudi Scrolla testo su/giù Esporta file excel Aumenta/diminuisci carattere Ok/sì Annulla/no COMBINAZIONE DI TASTI F10 F1 Ctrl + x Frecce alto/basso Ctrl + e Ctrl + +/- Invio Ctrl + x Sezione 1 Numeri naturali Le concetto di numero naturale è complesso sia perché assume diversi significati (espressione di una quantità o di una posizione, misura, contrassegno, ) sia perché comporta la questione della sua scrittura simbolica e della relativa denominazione. Parlare di numero naturale significa, dunque, fare riferimento congiuntamente a un contenuto e a una forma verbale e simbolica necessaria per esprimere il contenuto. Inoltre, nell insieme dei numeri naturali possono essere definite relazioni tra numeri, relazioni le quali permettono di attribuire a tale insieme diverse strutture. Tra tali relazioni, sono fondamentali quella di uguaglianza e quella d ordine. Nei paragrafi che seguono si danno alcune indicazioni essenziali in merito agli aspetti dei numeri naturali sui quali sono proposte le attività della sezione 1 del software. 1. Leggere e scrivere i numeri e 2. Comporre e scomporre i numeri Per esprimere in modo verbale e simbolico un numero naturale è necessario adottare un sistema di numerazione, ossia si devono scegliere alcuni simboli (detti cifre), ognuno dei quali viene considerato la scrittura di un certo numero, e stabilire regole di combinazione di questi simboli al fine di ottenere la scrittura di tutti gli altri numeri. In particolare, il sistema di numerazione universalmente diffuso e utilizzato è il cosiddetto sistema di numerazione posizionale decimale. In esso, è fissata come base il numero dieci e sono state scelte dieci cifre (di origine indo-araba) ognuna delle quali corrisponde a un numero naturale da zero a nove: la cifra 0 per il numero zero, la cifra 1 per il numero uno,, la cifra 9 per il numero nove. È stato poi stabilito che ogni potenza di dieci definisca una nuova unità di ordine superiore. Con queste premesse, si dimostra che ogni numero naturale può essere 2008, Nel mondo dei numeri e delle operazioni 1, Erickson 9

scritto come somma di potenze di dieci, in modo che tali potenze abbiano esponente decrescente fino a zero e che i loro coefficienti siano minori della base. Ad ogni coefficiente si può, dunque, sostituire una cifra; se, poi, si trascurano le potenze della base e si accostano i soli coefficienti si ottiene la scrittura in cifre del numero. Tale scrittura, quindi, è una successione ordinata di cifre, le quali hanno un proprio valore e un valore relativo alla posizione occupata nella successione. Sul piano didattico, invece di esprimersi in termini di potenze, si parla di gruppi di unità: dieci unità raggruppate formano una nuova unità di ordine superiore. In particolare, dieci unità semplici raggruppate formano una decina (1da), dieci decine raggruppate formano un centinaio (1h), Per esempio, la successione di cifre 348 è la scrittura compatta e sintetica del numero formato da tre centinaia, quattro decine e otto unità, che in forma polinomiale è 3 10 2 + 4 10 1 + 8 10 0. Nella scrittura di un numero come successione di cifre ha un ruolo importante la cifra 0, utilizzata per segnare il posto del tipo di unità mancante nella scrittura del numero come somma di potenze di dieci. Per esempio, nella scrittura 80 la cifra 0 indica che, dopo avere raggruppato per dieci le unità semplici e avere ottenuto otto decine, non sono rimaste unità semplici non raggruppate. Non vengono indicate le unità mancanti oltre la potenza massima della base presente nel numero, per cui non si scrive la cifra 0 a sinistra di quella relativa all unità di valore posizionale maggiore. Accanto alla costruzione della scrittura simbolica si deve porre attenzione al nome verbale dei numeri, nome che non deriva semplicemente dall accostamento dei nomi delle cifre poste in successione: nel nostro sistema di numerazione, il numero in cifre 34 non ha come nome trequattro, ma trentaquattro, in quanto nel nome si esprime anche il valore relativo che ogni cifra assume all interno della successione. Particolare è la denominazione dei numeri da dieci a diciannove, in quanto la presenza della decina viene espressa in modi diversi (dici, dicia) e in posizione diversa rispetto al nome delle unità (per esempio, undici, diciotto, diciassette, ). Si rileva che nella denominazione verbale si esprime lo zero anche quando esso non è presente nella scrittura in cifre: dicendo trentaquattro si indicano esplicitamente due numeri (trenta e quattro), ma la scrittura in cifre non presenta lo zero del numero trenta. Nella pratica didattica, si può fare sperimentare ai bambini il concetto di raggruppamento e cambio in un unità di ordine superiore attraverso materiali appositi. Negli esercizi del presente software si ricorre al cosiddetto materiale multibase e all abaco. Nel materiale multibase le unità semplici sono materializzate con cubetti; se si lavora con il materiale relativo a base dieci, il raggrup- 10 2008, Nel mondo dei numeri e delle operazioni 1, Erickson

Componi tutti i nomi dei numeri pamento di dieci unità semplici, ossia la decina, è rappresentato da dieci cubetti unitari incolonnati, a formare un parallelepipedo con base quadrata con lato unitario e altezza dieci, detto «lungo». Il raggruppamento di dieci decine, ossia il centinaio, è rappresentato da dieci lunghi accostati lungo lo spigolo maggiore, a formare un parallelepipedo detto «piatto». Nella rappresentazione piana del materiale multibase utilizzata nel software, il cubetto unitario è un quadrato e il lungo è un rettangolo con un lato di misura 1 e l altro di misura 10 rispetto al lato del quadrato. rappresenta 1u rappresenta 1da L abaco può avere diversa struttura; quello rappresentato nelle attività del presente CD-ROM è a due asticelle verticali: nell asticella di destra si collocano le palline corrispondenti alle unità semplici, nell asticella di sinistra le palline corrispondenti alle decine. Per rafforzare il ruolo diverso delle due asticelle, quindi il valore diverso delle palline su di 2008, Nel mondo dei numeri e delle operazioni 1, Erickson 11

esse presenti, si è soliti attribuire un colore distinto per le palline unità (blu) e per le palline decine (rosso). Inoltre, per suscitare la necessità del cambio di posizione, ossia la formazione di unità di ordine superiore, su ogni asticella possono trovare posto al massimo nove palline: non trovando posto alla decima pallina sull asticella delle unità, si sostituiscono le dieci palline-unità con una sola pallina-decina posta sull asticella a sinistra. L abaco 3. Confrontare i numeri La prima relazione considerata nell insieme dei numeri naturali è quella di uguaglianza, che può essere interpretata in modi diversi, a seconda dell accezione con cui i numeri vengono interpretati. La relazione «è uguale a» ha come scrittura simbolica «=» e possiede la proprietà simmetrica, ossia se un numero a è uguale a un numero b, allora anche b è uguale ad a. Questo comporta che il simbolo di uguaglianza possa essere indifferentemente letto da sinistra verso destra oppure da destra verso sinistra. La negazione dell uguaglianza è espressa dal predicato «non essere uguale a», che ha simbolo. L insieme dei numeri naturali è, inoltre, ordinabile, in quanto tra due numeri che non sono tra loro uguali è possibile definire una relazione d ordine, così da stabilire quale dei due è maggiore (o minore). La relazione d ordine «è maggiore di» è tradotta simbolicamente 12 2008, Nel mondo dei numeri e delle operazioni 1, Erickson

da «>» e non è simmetrica, in quanto scambiando di posto i due numeri confrontati si ha la relazione inversa «è minore di», che in simboli si scrive «<». Le due relazioni d ordine «è maggiore di» e «è minore di» hanno la proprietà transitiva, secondo la quale se un numero a è maggiore (minore) di un numero b e b è maggiore (minore) di un numero c, allora anche a è maggiore (minore) di c. Questa proprietà permette di estendere il confronto da due a più numeri, ossia di passare all ordinamento, che può essere crescente (dedotto dalla relazione d ordine «è minore di») o decrescente (dedotto dalla relazione d ordine «è maggiore di»). Ordinare in modo crescente, per esempio, almeno tre numeri comporta di effettuare più confronti a due a due tra i numeri dati, al fine di elencare: come primo numero quello, sia a, che rende vera la disuguaglianza a <, qualunque altro numero si metta a destra del simbolo; come secondo numero quello, sia b, che rende vera la disuguaglianza b <, qualunque altro numero, escluso a, si metta a destra del simbolo, e così via, fino ad esaurire tutti i numeri assegnati. Per stabilire una delle suddette relazioni di uguaglianza o di disuguaglianza non è necessario dare ogni volta un interpretazione ai numeri confrontati, in quanto l adozione di un sistema di numerazione posizionale permette di dedurre l uguaglianza o la disuguaglianza confrontando le scritture simboliche dei numeri stessi. Il lavoro sulla «forma», dunque, equivale a quello sul «contenuto»; infatti, se un numero a è scritto con una successione di cifre «più lunga» di quella che Clicca sul simbolo esatto 2008, Nel mondo dei numeri e delle operazioni 1, Erickson 13

esprime un altro numero b, allora a non è uguale a b, più precisamente a è maggiore di b, in quanto a presenta unità di ordine (potenze della base dieci) superiore a quelle presenti in b. Se a e b sono rappresentati da due successioni di cifre di uguale «lunghezza», allora per stabilire l uguaglianza o la disuguaglianza è sufficiente confrontare le cifre di uguale posto (uguale valore posizionale) nelle due successioni, procedendo in ordine da sinistra verso destra, ossia dalle unità di ordine superiore a quelle di ordine inferiore. Dal confronto globale dei due numeri si passa così al confronto cifra a cifra. A questa strategia fanno rimando gli esercizi proposti che talvolta sono veri e propri problemi privi di soluzioni o a più soluzioni. Inoltre, i numeri sono assegnati sia in forma ridotta come successione di cifre, sia in forma additiva, ossia scritti con addizioni o sottrazioni, in modo da offrire stimoli per applicare alcune proprietà di tali operazioni (come la commutatività dell addizione o l invariantiva della sottrazione) o strategie di calcolo mentale o di approssimazione dei risultati. 4. Numeri in linea La cosiddetta linea dei numeri viene generata costruendo una corrispondenza tra i numeri naturali e i punti di una linea non intrecciata, sulla quale sia stato scelto un verso di percorrenza e un unità di lunghezza. Si fa corrispondere a un punto della linea il numero zero, poi al punto che, nel verso fissato, dista un unità di misura dallo zero si associa il numero uno e così via. In particolare, se si sceglie come linea una semiretta, si è soliti associare il numero zero all origine di tale semiretta. Ogni numero così posto in corrispondenza di un punto della linea esprime la misura, rispetto all unità fissata, del segmento avente il primo estremo nel punto associato a zero e il secondo estremo nel punto considerato. La linea dei numeri naturali rimanda non solo al significato di numero come misura, ma anche al numero come espressione di quantità, alla regola per generare la successione dei numeri, ossia l applicazione dell operatore +1, all ordinamento, ai numeri stessi come operatori additivi. È possibile mettere in evidenza solo alcuni punti della linea dei numeri naturali, corrispondenti ad una successione ottenuta applicando, a partire da un numero non necessariamente uguale a zero, un operatore diverso da +1. Ciò significa che negli esercizi di completamento dei tratti di linea dei numeri si deve prima di tutto individuare il «valore» del passo che separa un punto dal suo successivo. 5. Numeri in tabella La tabella dei numeri naturali da 0 a 99, disposti su dieci righe e dieci colonne, permette di porre l attenzione sulle regolarità nella scrittura in 14 2008, Nel mondo dei numeri e delle operazioni 1, Erickson

base dieci dei primi cento numeri. In particolare, il passaggio da una casella a una confinante tramite un lato corrisponde all applicazione di alcuni operatori fissi che agiscono sulla cifra delle unità (spostamento in una stessa riga) o sulla cifra delle decine (spostamento in una stessa colonna) (fig. 1). L applicazione successiva di due operatori fondamentali permette di ottenere altri operatori che portano alle caselle confinanti per un vertice a quella iniziale (fig. 2). -10-11 -9-1 +1 +10 fig. 1 fig. 2 +9 +11 Scrivi i numeri nella casella che si illumina 2008, Nel mondo dei numeri e delle operazioni 1, Erickson 15

Sezione 2 Addizione L addizione è un operazione che a ogni coppia ordinata di numeri naturali (a, b) associa un numero naturale c; questa associazione viene indicata con la scrittura simbolica a + b = c. L addizione, dunque, è un operazione che è definita su tutte le coppie ordinate di numeri naturali, per cui nell insieme dei numeri naturali esiste sempre un numero che completa, rendendola vera, la scrittura a + b = Molteplici sono gli aspetti connessi all addizione; tra essi: il significato, ossia l interpretazione che può avere l operazione quando i numeri esprimono quantità, trasformazioni, ecc.; il calcolo, inteso come il procedimento per individuare il numero c corrispondente alla coppia (a, b); le proprietà che sono possedute dall operazione considerata come «ente» matematico e in quanto tale oggetto di studio, indipendentemente dal suo significato e dai procedimenti di calcolo. Gli esercizi proposti nella presente sezione del software sono relativi al calcolo, proposto secondo diverse modalità: per conteggio, mediante strumenti, con strategie basate sulla memorizzazione di casi particolari (come le coppie di numeri associate dall addizione al numero 10 e quelle associate al numero 5) e sull applicazione, seppure implicita, delle proprietà dell addizione. Per tale operazione, infatti, valgono: a) la proprietà associativa: date due addizioni consecutive, il risultato non dipende dall ordine in cui esse vengono svolte; se si segnala con le parentesi tonde la precedenza nello svolgimento e si indicano con a, b, c tre generici numeri naturali, la proprietà associativa può essere così formulata (a + b) + c = a + (b + c). Essa permette di estendere l addizione da due a più numeri, senza alcuna ambiguità nell interpretazione e nel risultato finale, per cui ha senso scrivere a + b + c; b) la proprietà commutativa: se in un addizione si scambiano di posto gli addendi, la somma non cambia; in simboli a + b = b + a; c) l esistenza dell elemento neutro, ossia di un numero naturale che sommato a un altro numero non lo modifica; il numero in questione è lo zero, il quale è tale che a + 0 = a e 0 + a = a. Il calcolo scritto ha nell algoritmo in colonna la sua procedura più economica ed efficace, che non viene però proposta negli esercizi della 16 2008, Nel mondo dei numeri e delle operazioni 1, Erickson

sezione, in quanto si ritiene che il calcolo in colonna sia da eseguire con «carta e penna». Si richiama l attenzione sul fatto che nella sezione del software sull addizione, le operazioni sono scritte con la somma talvolta a sinistra del simbolo di uguaglianza e talvolta a destra, per evitare di favorire la lettura dell uguaglianza con un verso privilegiato (da sinistra verso destra) e la sua identificazione con un simbolo orientato come una freccia ; si intende, invece, far sperimentare la simmetria dell uguaglianza, quindi l indipendenza dal verso di scrittura e di lettura. 1. Addizionare punteggi Negli esercizi proposti si fa riferimento all addizione di punteggi visualizzati attraverso quantità di punti nel caso dei dadi, di semi nel caso delle carte da gioco e di palline con diverso valore nel caso dei bersagli. La somma può, quindi, essere determinata tramite conteggio, che può essere effettuato a partire da 1 fino a esaurire gli elementi raffigurati, oppure dalla percezione globale di una delle due quantità e procedendo progressivamente da essa. La distribuzione spaziale dei pallini sulle facce dei dadi e dei semi sulle carte mira a favorire il riconoscimento complessivo di una quantità, a fornirne un immagine mentale che aiuti il calcolo a mente per gruppi e alla memorizzazione di addizioni particolari, come, per esempio, quelle aventi per somma dieci o cinque. Scrivi il numero e trascina la carta 2008, Nel mondo dei numeri e delle operazioni 1, Erickson 17

Il contesto dei bersagli permette di introdurre in modo significativo il numero zero nell addizione e di far sperimentare il ruolo di elemento neutro. Le addizioni a tre addendi presuppongono che sia stata constatata l indipendenza della somma dall ordine di svolgimento delle operazioni, ossia la validità della proprietà associativa per l addizione. Completa le addizioni 2. Addizioni in linea La linea dei numeri costituisce un supporto comodo per il calcolo della somma di numeri naturali. Nelle consegne di lavoro, si presuppone che un addendo sia interpretato come posizione iniziale e l altro come «numero di passi» da compiere nel verso della linea, ossia come trasformazione, come operatore. La proprietà commutativa dell addizione fa sì che sia indifferente l attribuzione dei due ruoli ai due addendi; tale attribuzione, dunque, indica una scelta strategica da parte dell utente. 3. Addizioni sulla tabella La tabella dei numeri da 0 a 99 può essere utilizzata come strumento per il calcolo di una somma, in quanto gli spostamenti di righe e di colonne corrispondono all applicazione di operatori additivi. Per supportare il calcolo con la tabella è necessario collocarsi come posizione 18 2008, Nel mondo dei numeri e delle operazioni 1, Erickson

Scrivi la somma di partenza nella casella contrassegnata da uno dei due addendi e scomporre l altro addendo nell applicazione successiva degli operatori che permettono di muoversi sulla tabella. Per esempio, per eseguire 22 + 45 ci si può collocare sulla casella contenente il numero 45 e vedere il 22 come applicazione successiva degli operatori +10, +10, +1, +1 (con due spostamenti in colonna verso il basso e due spostamenti in riga verso destra), oppure degli operatori +11, +11 (con due spostamenti in diagonale verso basso-destra); in ogni caso si giunge alla casella con il numero 67, che è la somma. 4. Tabelle di addizione Le tabelle a doppia entrata mettono in evidenza il fatto che l addizione è un operazione binaria, cioè un operazione definita tra due numeri naturali. La compilazione di una tabella richiede che si sappiano individuare le caselle ottenute dall intersezione delle righe e delle colonne di intestazione e che in ogni casella si collochi la somma dei numeri che intestano la relativa riga e la relativa colonna. In genere, una tabella viene letta da sinistra verso destra, quindi si considera come primo addendo ogni numero della colonna iniziale e come secondo addendo ogni numero della riga di testa. La constatazione della validità della proprietà commutativa dell addizione rende superflua l indicazione esplicita del verso di lettura della tabella. 2008, Nel mondo dei numeri e delle operazioni 1, Erickson 19

5. Addizioni in catena L addizione può essere intesa anche come operazione unaria, quando uno dei due addendi viene interpretato come trasformazione, aggiunta. Porta la lumachina all arrivo Scegli i numeri che danno per somma il numero centrale 20 2008, Nel mondo dei numeri e delle operazioni 1, Erickson

Con tale accezione, è possibile costruire catene di addizioni, in cui a un numero ottenuto come somma per l applicazione di un operatore viene poi applicato l operatore successivo. 6. Ricostruire addizioni Il ricostruire addizioni può essere sia un esercizio (per esempio, quando è dato un addendo e la somma e si deve determinare, anche per semplice conteggio progressivo a partire dall addendo noto, l addendo mancante) sia come problema che può avere nessuna soluzione, una soluzione o più soluzioni in relazioni alle informazioni assegnate. Sezione 3 Sottrazione La sottrazione è un operazione che a una coppia ordinata di numeri naturali (a, b), con a maggiore o uguale a b, associa un numero naturale c; questa associazione è indicata con la scrittura simbolica a b = c, che equivale a b + c = a. La sottrazione, dunque, è un operazione che non è definita su tutte le coppie ordinate di numeri naturali, per cui non è detto che nell insieme dei numeri naturali esista un numero che completi, rendendola vera, la scrittura a b = Molteplici sono gli aspetti connessi alla sottrazione; tra essi: il significato, ossia l interpretazione che può avere l operazione quando i numeri esprimono quantità, trasformazioni, ecc.; il calcolo, inteso come il procedimento per individuare il numero c corrispondente alla coppia (a, b); le proprietà che sono possedute dall operazione considerata come «ente» matematico e in quanto tale oggetto di studio, indipendentemente dal suo significato e dai procedimenti di calcolo. Gli esercizi proposti nella presente sezione del software sono relativi al calcolo, proposto secondo diverse modalità: per conteggio, mediante strumenti, con strategie basate sulla memorizzazione di casi particolari (come le coppie di numeri associate dalla sottrazione al numero 5) e sull applicazione di alcune proprietà della sottrazione. In tali proprietà si afferma che: a) data una sottrazione, se si aggiunge o si sottrae ad entrambi gli operandi uno stesso numero, la nuova sottrazione ottenuta ha lo stesso risultato di quella assegnata; se si segnala con le parentesi tonde la precedenza nello svolgimento e si indicano con a, b, c tre generici numeri naturali, la proprietà, detta invariantiva, può essere così formulata a b = (a + c) (b + c) e a b = (a c) (b c); b) la sottrazione di un numero con se stesso dà come risultato zero a a = 0; 2008, Nel mondo dei numeri e delle operazioni 1, Erickson 21

c) il numero zero sottratto a un altro numero non lo altera a 0 = a. Il calcolo scritto ha nell algoritmo in colonna la sua procedura più economica ed efficace, che non viene però proposta negli esercizi della sezione, in quanto si ritiene che il calcolo in colonna sia da eseguire con «carta e penna». Si richiama l attenzione sul fatto che nella sezione del software sulla sottrazione, le operazioni sono scritte con il risultato talvolta a sinistra del simbolo di uguaglianza e talvolta a destra, per evitare di favorire la lettura dell uguaglianza con un verso privilegiato (da sinistra verso destra) e la sua identificazione con un simbolo orientato come una freccia ; si intende, invece, far sperimentare la simmetria dell uguaglianza, quindi l indipendenza dal verso di scrittura e di lettura. 1. Confrontare punteggi Negli esercizi proposti si fa riferimento alla sottrazione per stabilire la differenza di punteggi visualizzati attraverso quantità di punti nel caso dei dadi, di semi nel caso delle carte da gioco e di palline con diverso valore nel caso dei bersagli; la differenza può, quindi, essere determinata tramite conteggio. La distribuzione spaziale dei pallini sulle facce dei dadi e dei semi sulle carte mira a favorire il riconoscimento complessivo di una quantità, a fornirne un immagine mentale che aiuti il calcolo a mente per gruppi e alla memorizzazione di differenze particolari. Il contesto dei bersagli permette di introdurre in modo significativo il ruolo del numero zero nella sottrazione. 2. Sottrazioni in linea La linea dei numeri costituisce un supporto comodo per il calcolo della differenza di numeri naturali. Nelle consegne di lavoro, si presuppone che il minuendo (ossia il numero a sinistra del segno ) sia interpretato come posizione iniziale e il sottraendo (ossia il numero a destra del segno ) come «numero di passi» da compiere nel verso opposto a quello della linea, ossia come trasformazione, come operatore. 3. Sottrazioni sulla tabella La tabella dei numeri da 0 a 99 può essere utilizzata come strumento per il calcolo di una differenza, in quanto gli spostamenti di righe e di colonne corrispondono all applicazione di operatori additivi. Per supportare il calcolo con la tabella è necessario collocarsi come posizione di partenza nella casella contrassegnata dal minuendo e scomporre il sottraendo nell applicazione successiva degli operatori che permettono di muoversi sulla tabella. Per esempio, per eseguire 56 22 ci 22 2008, Nel mondo dei numeri e delle operazioni 1, Erickson

si colloca sulla casella contenente il numero 56 e si può vedere 22 come applicazione successiva degli operatori 10, 10, 1, 1 (con due spostamenti in colonna verso l alto e due spostamenti in riga verso sinistra), oppure degli operatori 11, 11 (con due spostamenti in diagonale verso alto-sinistra); in ogni caso si giunge alla casella con il numero 34, che è la differenza. Scrivi la sottrazione 4. Tabelle di sottrazione Le tabelle a doppia entrata mettono in evidenza il fatto che la sottrazione è un operazione binaria, cioè un operazione definita tra due numeri naturali. La compilazione di una tabella richiede che si sappiano individuare le caselle ottenute dall intersezione delle righe e delle colonne di intestazione e che in ogni casella si collochi la differenza, se esiste, dei numeri che intestano la relativa riga e la relativa colonna. Dato che la sottrazione non ha la proprietà commutativa, una tabella viene letta da sinistra verso destra, quindi si considera come minuendo ogni numero della colonna iniziale e come sottraendo ogni numero della riga di testa. 5. Sottrazioni in catena La sottrazione può essere intesa anche come operazione unitaria, quando il sottraendo viene interpretato come trasformazione, diminuzione. Con tale accezione, è possibile costruire catene di sottrazioni, in cui a 2008, Nel mondo dei numeri e delle operazioni 1, Erickson 23

un numero ottenuto come differenza per l applicazione di un operatore viene poi applicato l operatore successivo. Completa la tabella 6. Ricostruire sottrazioni Il ricostruire sottrazioni può essere sia un esercizio (per esempio, quando è dato il minuendo e la differenza e si deve determinare, anche per semplice conteggio progressivo a partire dal risultato, il sottraendo) sia come problema che può avere nessuna soluzione, una soluzione o più soluzioni in relazioni alle informazioni assegnate. Sezione 4 Giochi aritmetici I giochi proposti hanno lo scopo di far mettere in campo le conoscenze e le abilità consolidate nelle sezioni precedenti con attività di tipo ludico. Il carattere della ludicità è connesso alla casualità dei dati (siano essi tessere da abbinare, regole di abbinamento, ), alla componente di sfida (del personaggio guida o di se stessi) e al procedere strategico richiesto dalla maggior parte delle proposte. In coerenza con tale carattere, è previsto che le partite possano chiudersi in parità o con un vincitore, per il quale è premio la stessa soddisfazione della vittoria. I giochi presenti nella sezione sono per lo più adattamenti in chiave aritmetica di giochi termine inteso sia rispetto ai materiali sia rispetto alle azioni mentali e alle dinamiche tradizionali. 24 2008, Nel mondo dei numeri e delle operazioni 1, Erickson

Indice dei giochi Tombola La struttura del gioco è quella della tombola classica: ciascun giocatore ha una cartella suddivisa in sei caselle ognuna delle quali è contrassegnata da un numero o da un operazione (addizione o sottrazione). In base all estrazione, effettuata in modo casuale, il giocatore deve controllare se la propria cartella contiene un elemento (numero od operazione) uguale per valore a quello estratto; in caso di risposta affermativa, egli contrassegna la casella individuata. Il gioco termina quando uno dei due giocatori ha contrassegnato tutte le caselle della propria cartella (fa tombola) e vince chi per primo ottiene il completamento. Se dopo quindici estrazioni nessuno dei due giocatori ha fatto tombola, la partita finisce in parità. La tombola con i numeri mette in gioco le diverse scritture e rappresentazioni che un numero può avere: in cifre, a parole, con il materiale multibase e con l abaco, con il valore delle cifre. La tombola con l addizione e quella con la sottrazione mettono in gioco il calcolo mentale, i risultati particolari memorizzati e le proprietà delle operazioni considerate (come la commutativa dell addizione e l invariantiva della sottrazione). Solitario Il gioco del solitario consiste nell abbinare a una carta pescata una delle carte in possesso del giocatore, nel rispetto della regola di 2008, Nel mondo dei numeri e delle operazioni 1, Erickson 25

abbinamento che di volta in volta appare in modo causale. Dal punto di vista aritmetico, il gioco ha come contenuti i numeri naturali fino a cento nel loro aspetto formale (scrittura in cifre, valore posizionale delle cifre, denominazione) e alcune relazioni fondamentali (precedente, successivo). Solitario Domino I domino proposti hanno la stessa struttura del domino classico: ogni giocatore ha un certo numero di tessere, ognuna delle quali è suddivisa in due quadrati contenenti un numero, rappresentato in cifre o con il valore posizionale delle sue cifre o con scomposizione additiva, oppure un addizione o una sottrazione. Il gioco comincia con una tessera già collocata sul piano di gioco e richiede che, a turno, ogni giocatore accosti una propria tessera a una di quelle che sono agli estremi della successione costruita, in modo da rendere confinanti lungo un lato due riquadri con lo stesso numero, pur se diversamente assegnato. Vince chi per primo finisce le proprie tessere, oppure, chi ne ha il numero minore, qualora non siano più possibili accostamenti. Solitario triangolare e solitario quadrato Si tratta di una sorta di puzzle, in cui con le tessere assegnate, tutte di uguale forma, si deve ricoprire una forma simile a quella delle tessere, ma più grande, in modo che due tessere accostate tramite un lato 26 2008, Nel mondo dei numeri e delle operazioni 1, Erickson

rispettino una regola data. Tale regola fissa la somma o la differenza tra i numeri disposti sui lati comuni. Con le tessere assegnate, che possono anche essere ruotate, è possibile almeno un ricoprimento dello schema. Ogni numero è scritto con le cifre orientate facendo riferimento al lato della tessera su cui è collocato; è quindi necessario riconoscere i numeri anche se scritti in posizione diversa rispetto a quella usuale. Dal punto di vista aritmetico, i solitari sono costruiti sulle cosiddette coppie di numeri amici di un numero dato rispetto all addizione o alla sottrazione, ossia sulle coppie di numeri la cui somma o la cui differenza è un numero fissato. Prova tutte le combinazioni Numeri crociati e crucinumeri Si tratta dell applicazione dello schema e delle regole dei cruciverba a contenuti aritmetici relativi o ai numeri (scrittura, ordinamento, relazioni di precedente/successivo, valore posizionale delle cifre, ) e alle operazioni di addizione e sottrazione. In ogni casella va scritta una sola cifra. Investiganumero Si tratta di giochi logici, nel senso che in un insieme dato, si deve individuare il numero che corrisponde agli indizi assegnati; si mettono, dunque, in atto processi di tipo deduttivo, a partire da informazioni 2008, Nel mondo dei numeri e delle operazioni 1, Erickson 27

relative ad aspetti dei numeri naturali come relazioni d ordine, valore posizionale delle cifre, tipi particolari di numeri (pari/dispari). Attento agli indizi Non tutti contano!, Il numero che conta, Saliscendi Si tratta di giochi che sollecitano le strategie di calcolo mentale, pur avendo componente aleatoria connessa, per esempio, al lancio di dadi. 28 2008, Nel mondo dei numeri e delle operazioni 1, Erickson

Guida al gestionale Vi si può accedere dal pulsante nel login o digitando contemporaneamente la combinazione di tasti «Ctrl + o» (nel login). Menu Comprende l elenco degli utenti e i pulsanti per accedere alla videata delle statistiche, delle opzioni, dell assegnazione e della creazione degli esercizi personalizzati. Utenti: viene visualizzato l elenco degli utenti, che si può scorrere con la barra o le frecce verticali a lato. Per aggiungere un nuovo utente alla lista, si clicca il tasto «+» e si digita il nuovo nome. Per cancellarlo, si seleziona il nome e si clicca il tasto «-», confermando poi l eliminazione. Archivia: questo pulsante permette di fare il backup del database utenti, ovvero di salvare tutti i dati (punteggi, statistiche, personalizzati) relativi agli utenti, nella cartella di installazione del programma (normalmente C:\Programmi\Erickson\). Ripristina: questo pulsante permette di recuperare i dati relativi agli utenti salvati precedentemente tramite il pulsante «Archivia». I dati del database ripristinato sostituiranno quelli presenti nel programma. La cartella viene proposta automaticamente dal programma, ma è possibile anche selezionare una cartella qualsiasi. Password: per proteggere l accesso ai dati è opportuno inserire una password cliccando sul pulsante «Inserisci password». Dopo aver digitato una password, viene richiesto di riscriverla per confermarla. Al successivo rientro nella parte gestionale, il programma chiederà automaticamente di inserire la password. Dopo 3 tentativi sbagliati, la videata si chiude e si ritorna al login. Si consiglia di scrivere la password su un foglio per non rischiare di dimenticarla. Per cambiare password bisogna cliccare sul pulsante «Cambia password» e scriverne una nuova. Statistiche, Opzioni: per visualizzare le statistiche relative a ogni singolo utente, scegliere le opzioni si deve selezionare il nome dell utente e cliccare il rispettivo pulsante («Statistiche», «Opzioni»). Crea esercizi: per accedere alla sezione in cui è possibile creare degli esercizi personalizzati, si deve cliccare il pulsante «Crea esercizi». Pulsante X: cliccare la «X» in alto a destra per uscire dalla parte gestionale e tornare al login. 2008, Nel mondo dei numeri e delle operazioni 1, Erickson 29

Menu principale del gestionale Statistiche La parte relativa alle statistiche contiene: il nome dello studente selezionato; l elenco delle 4 sezioni presenti nel CD-ROM. Per ciascuna unità vengono visualizzati: i titoli degli esercizi svolti; la data di svolgimento; il numero delle videate svolte sul totale; la percentuale delle risposte corrette; il dettaglio (risultati nelle singole videate); le registrazioni fino alle 5 prove precedenti partendo dalla più recente. Esportazione dei dati in formato Excel: è possibile esportare i dati relativi alle statistiche dell utente cliccando sul pulsante con il simbolo del foglio excel e la freccia. Al clic il file verrà esportato di default nella cartella con il titolo del CD-ROM contenuta in «Documenti Erickson_Statistiche» del PC. Stampa: il pulsante nella barra in alto permette di stampare la videata delle statistiche per ogni sezione selezionata in cui siano stati svolti degli esercizi. 30 2008, Nel mondo dei numeri e delle operazioni 1, Erickson

Opzioni Nella parte relativa alle opzioni sono disponibili le seguenti funzioni (clic con il mouse sul quadratino corrispondente): Mostra attestato: per mostrare l attestato indipendentemente dal totale svolgimento degli esercizi (l attestato risulterà pertanto sempre cliccabile e stampabile). Risposta corretta automatica dopo 5 tentativi: già attiva di default, può essere deselezionata cliccando sul quadratino con la crocetta. Attiva istruzioni scritte: consente di attivare, in particolare per gli utenti con problemi di ipoacusia o sordità, le vignette con le istruzioni e i feedback scritti, pur mantenendo l audio di default; per iniziare e procedere in ogni attività, la nuvoletta presente nella videata deve essere fatta scomparire cliccandoci sopra; per proseguire la lettura del testo nelle nuvolette si deve cliccare con il mouse sulle stesse; per richiamare la nuvoletta basta cliccare sul personaggio. Abilita audio istruzioni generiche: attivo di default, al clic viene disattivato l audio delle istruzioni che vengono date nel menu, nello spiega pulsanti, ecc. Abilita audio istruzioni esercizi: attivo di default, al clic viene disattivato l audio delle istruzioni che vengono date negli esercizi. Abilita audio feedback: attivo di default, al clic viene disattivato l audio dei feedback positivi e negativi. È possibile disattivare tutti gli audio deselezionando tutti i quadratini. Scarica l immagine che trovi all interno del CD-ROM e impostala come sfondo del tuo computer! 2008, Nel mondo dei numeri e delle operazioni 1, Erickson 31

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