Proprietá dell immagine digitale

Capitolo 5 Proprietá dell immagine digitale 5.1 Metrica delle immagini 5.1.1 Distanza Euclidea D E Per una immagine digitale, definita come una matrice bidimensionale, rappresenta una misura quantitativa significativa della distanza tra due qualunque pixel dell immagine. Siano (i, j) e (k, l) le coordinate di due pixel, si definisce distanza euclidea D E, la classica misura geometrica ottenuta dalla nota relazione: D E [(i, j), (k, l)] = (i k) + (j l) (5.1) La distanza Euclidea é una misura semplice dal punto di vista intuitivo, ma dal punto di vista computazionale risulta onerosa a causa dell operatore di radice e dei valori non interi di D E. 8 5 5 8 5 1 5 1 0 1 5 1 5 8 5 5 8 (5.) 5.1. 4-Distanza (City Block) Un approccio alternativo al calcolo della distanza tra due pixel é data dal numero minimo di movimenti da effettuare sulla griglia matriciale per passare da un pixel all altro. (a) (b) (c) Figura 5.1: Esempi di distanze tra pixel: (a) Euclidea, (b) City Block e (c) Chessboard. 1

14 CAPITOLO 5. PROPRIETÁ DELL IMMAGINE DIGITALE (a) (b) Figura 5.: Vicinanza tra pixel: (a) 4-vicinanza e (b) 8-vicinanza. Considerando movimenti orizzontali e verticali sulla griglia, si ottiene una nuova misura di distanza chiamata City Block (in analogia con la distanza tra due punti di una città immaginateli connessi mediante un grigliato come in figura 5.1a): D 4 [(i, j), (k, l)] = i k + j l 1 1 0 1 1 (5.) 5.1. 8-Distanza (chessboard). Ottenuta da: D 8 [(i, j), (k, l)] = max( i k, j l ) 1 1 1 1 0 1 1 1 1 Le distanze D 4 e D 8 sono misure convenienti rispetto alla distanza Euclidea per la loro semplicità computazionale. Un aggregato di pixel che si trova entro una distanza r (ogni pixel r) é chiamato disco di raggio r. La forma geometrica di tale disco dipende dalla metrica utilizzata per la misura della distanza. La distanza Euclidea sembra la piu vicina alla realtá (immagine continua) anche se ha l inconveniente di essere piu onerosa nel calcolo. 5.1.4 Vicinanza di pixel La geometria discreta suggerisce un altra definizione importante per definire un valore di vicinanza di un pixel rispetto ad altri punti della griglia che sono da considerare adiacenti al generico pixel. Si definisce 4-Vicinanza (4 - neighborhood) la vicinanza tra due pixel tale che la loro distanza sia D 4 = 1 come raffigurato in figura 5.a (i + 1, j)(i 1, j)(i, j + 1)(i, j 1) (5.4)

5.. REGIONE 15 Q P (a) (b) Figura 5.: Esempi di percorsi tra pixel: (a) 4-path e (b) 8-path. Si definisce 8-Vicinanza la vicinanza tra due qualunque pixel che hanno distanza D 8 = 1 (figura 5.b). Due qualunque pixel hanno distanza D 8 = 1 5.1.5 Percorso (path) Il percorso tra due pixel A e B é definito come la sequenza dei pixel S 1, S,..., S n dove S 1 = A, S n = B ed il pixel S i + 1 é vicino al pixel S i con i = 1,..., n 1. Il Percorso Semplice é un percorso con nessun pixel ripetuto (ad esclusione del primo e l ultimo) in cui nessun pixel ha piu di due vicini. Il Percorso Chiuso é un percorso semplice in cui nessun pixel e vicino all ultimo. Si possono definire allo stesso modo 4-percorso e 8-percorso che scaturiscono dal concetto di vicinanza a 4 oppure ad 8. Si verifica una certa ambiguitá della 4-vicinanza e 8-vicinanza rispetto alle nostre interpretazioni geometriche, quando in una griglia si vogliono rappresentare curve. Non sempre una curva chiusa divide l immagine in due parti. Si verifica un ambiguitá di appartenenza di pixel anche con 8- vicinanza. Infatti in figura 5.9b, P e Q a chi appartengono? La curva non divide la regione in due parti. Soluzioni per le immagini binarie: 8-vicinanza per gli oggetti, 4-vicinanza per lo sfondo (o viceversa). 5. Regione Insieme di pixel in cui é possibile definire un percorso considerando qualsiasi coppia dei pixel stessi. Esempio di Regione: una porzione dell immagine. 5..1 Connettivitá Due pixel P e Q in una immagine I sono connessi se esiste tra P e Q un percorso. La connettivitá é una relazione di equivalenza ossia definisce una decomposizione dell immagine in regioni di equivalenza. Siano P, Q ed R tre pixel dell immagine I, la relazione di connettivitá stabilisce le seguenti proprietá: Riflessivitá, il pixel P é connesso a P. Commutativitá, se P é connesso a Q poi Q é connesso a P. Transitivitá, se P é connesso a Q e Q é connesso a R consegue che anche P é connesso ad R.

16 CAPITOLO 5. PROPRIETÁ DELL IMMAGINE DIGITALE 1 1 1 1 1 (a) (b) 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 Figura 5.4: Immagine binaria (a) con le sue componenti connesse (b). 5.. Componenti Connesse o regione connessa Un insieme di pixel di una immagine in cui ciascun pixel é connesso a tutti gli altri pixel é chiamato componente connessa. 5.. Foreground S É l insieme S di tutti i pixel a 1 di una immagine binaria. 5..4 Background (sfondo) ed Holes (buchi) L insieme di tutte le componenti connesse di S (complemento di S) che comprende anche i punti sul bordo dell immagine é chiamato background. Sono invece chiamate Holes tutte le altre componenti di S. Se in una regione dell immagine non vi sono buchi si parla di regione semplice connessa. Si chiama regione multipla connessa una regione che presenta buchi. Per eliminare le ambiguitá si usano 8-connettivitá per S e 4-connettivitá per S. 5..5 Oggetto Il concetto di regione usa soltanto la proprietá di connettivitá. Per l interpretazione dell immagine conviene utilizzare alcune proprietá secondarie associate alle regioni. É usuale chiamare alcune regioni dell immagine con oggetti. La procedura che elabora una immagine per ricercare particolari regioni che corrispondono a oggetti del mondo é chiamata segmentazione. Un oggetto é rappresentato nell immagine da una componente connessa. I buchi sono pixel non appartenenti all oggetto. Esempio: Se consideriamo questo foglio come una immagine, il foglio bianco é il background, gli oggetti sono tutti i caratteri individuali in nero, i buchi sono le aree bianche che circondano le lettere (nella lettera O é l area bianca interna). 5..6 Contorni Una caratteristica importante di una regione R é il contorno che assume una importanza notevole nell analisi delle immagini. Il contorno é l insieme dei pixel R interni alla regione che hanno una o piu vicinanze esterne ad R. In altre parole il contorno delimita tutti i pixel di una regione.

5.. PROPRIETÁ TOPOLOGICHE DELL IMMAGINE 17 (a) (b) Contorno Pixel interni Pixel esterni Figura 5.5: Immagine binaria con le tre componenti: contorno, bordo e parte esterna di un oggetto. A B i (a) (b) (c) Figura 5.6: Esempi in cui il numero di Eulero vale (a) E = 0, (b) E = 1 e (c) E =. Quanto definito coincide con il contorno interno; Il contorno esterno coincide, invece, con il contorno del background ossia del complemento della regione R (figura 5.5). 5..7 Bordi (Edges) Mentre il contorno é un concetto associato globalmente ad una regione, il bordo costituisce una proprietá locale di un pixel con i suoi vicini ed é caratterizzato come un vettore definito dal modulo e dalla direzione. I bordi, normalmente individuati ai confini tra regioni omogenee di una immagine, sono fondamentali per il sistema visivo umano in quanto costituiscono le informazioni di base per la percezione del mondo. Normalmente, rappresentano le forti variazioni geometriche degli oggetti osservati e sono i pixel sui quali si concentra la massima attenzione per la ricostruzione D degli oggetti stessi. Diversi sono gli operatori locali che verranno utilizzati per l estrazione dei bordi partendo dalla funzione di livello di grigio di una immagine. 5. Proprietá topologiche dell immagine Sono quelle proprietá che non variano quando una immagine subisce una trasformazione che modifica la sua forma geometrica. Immaginare per esempio la deformazione che subisce una immagine disegnata su un pallone che gonfiato perde la sua figura sferica. Le deformazioni subite dall immagine non alterano la omogeneitá degli oggetti rappresentati dall immagine stessa, né alterano l eventuale presenza di buchi nelle regioni. 5..1 Numero di Eulero Il numero di Eulero E é usato come caratteristica dell oggetto.

18 CAPITOLO 5. PROPRIETÁ DELL IMMAGINE DIGITALE (a) (b) (c) Figura 5.7: Descrizioni topologiche di un oggetto: (a) oggetto, (b) il suo involucro convesso e (c) laghi e baie. Definito come la differenza tra le componenti connesse (regioni) C ed il numero di buchi B presenti nell immagine E = C B (5.5) La figura 5.6 ne mostra alcuni esempi. 5.. Involucro convesso (convex hull) L involucro convesso é la piú piccola regione che contiene un oggetto, tale per cui, presi due punti qualunque della regione, il segmento congiungente i due punti scelti appartiene alla regione stessa. Esempio: Sia R un oggetto che rassomiglia alla lettera R (come in figura 5.7) e supponiamo di avvolgere un elastico sottile intorno ad R. La figura rappresentata dall elastico costituisce l involucro convesso. Un oggetto con forme non regolari puó essere rappresentato da una collezione delle sue componenti topologiche. La regione intorno all involucro convesso che non appartiene all oggetto é chiamato il deficit di convessitá. Questa puó essere divisa in due sotto regioni. Le prime, chiamate lakes (laghi) sono completamente circondati dall oggetto, mentre le seconde, chiamate bays (baie) sono connesse con il contorno dell involucro convesso. L involucro convesso, lakes e bays sono talvolta usati per la descrizione dell oggetto. 5.. Area, Perimetro e Compattezza L area ed il perimetro costituiscono altri due parametri topologici che caratterizzano le componenti connesse S 1, S,..., S n presenti nell immagine. L area, per ogni componente S i é data dal numero dei pixel contenuti. Il perimetro di una componente connessa é definito come la somma dei pixel che costituiscono il contorno della componente. Esistono altre definizioni che saranno introdotte nel seguito. L area ed il perimetro sono grandezze dipendenti dalle operazioni di trasformazioni geometriche eseguite sull immagine. La compattezza é un altro parametro topologico di una figura geometrica connessa. Esprime una misura di ineguaglianza isoperimetrica di una componente connessa: C = p A 4π (5.6) dove p e A sono rispettivamente il perimetro e l area. Una regione circolare é la figura con valore di compattezza C minimo (raggiunge il valore 4π). Se un cerchio é inclinato rispetto alla posizione di un osservatore, allora esso assumerá la forma

5.4. PROPRIETÁ INDIPENDENTE DALLA POSIZIONE DEL PIXEL 19 1. Inizializza tutti gli elementi del vettore H(L).. Esamina tutti i pixel (x, y) dell immagine; per ogni pixel considerato utilizza il valore di livello di grigio I(x, y) come puntatore al vettore istogramma H I (I(x, y)) ed incrementalo di 1. Figura 5.8: Algoritmo istogramma. di un ellisse. In questo caso l area diminuisce in proporzione maggiore rispetto al perimetro che varia leggermente. Ne consegue che il valore di compattezza aumenta. Un quadrato é molto piu compatto rispetto ad un rettangolo con lo stesso perimetro. 5.4 Proprietá indipendente dalla posizione del pixel 5.4.1 Istogramma L istogramma H I (L) di una immagine I é un vettore che fornisce la frequenza dei livelli di grigio L presenti nell immagine, compresi nell intervallo L min L L max dei livelli di grigio minimo e massimo. Se l immagine é pensata come prodotta da un processo stocastico, l istogramma rappresenta una stima della distribuzione di probabilitá dei livelli di grigio. L istogramma é l unica informazione globale disponibile per l immagine. L istogramma sará utilizzato in molti algoritmi di elaborazione dell immagine: modificare i livelli di grigio, segmentare una immagine, estrarre gli oggetti dal background, ecc.. Dall istogramma si ricavano parametri statistici del primo ordine quali la media: m =< I >= L max k=0 p(k)i(k) (5.7) considerando p(k) = H(k) N M la probabilitá p(k) che compaia il valore di grigio k, N M il numero di pixel dell immagine e ricordando che 0 p(k) 1 k = 0,..., L max e L max k=0 p(k) = 1 (5.8) con L max il numero massimo di livelli di grigio. La varianza (momento di ordine ) é data invece da: i momenti di ordine n sono dati da: σ = (I < I >) M n = L max k=0 L max k=0 p(k) (I(k) m) (5.9) p(k) (I(k) m) n (5.10)

140 CAPITOLO 5. PROPRIETÁ DELL IMMAGINE DIGITALE x 10 4.5 1.5 1 0.5 0 (a) 0 50 100 150 00 50 (b) 1000 800 600 400 00 0 0 50 100 150 00 50 (c) (d) Figura 5.9: Immagini con i rispettivi istogrammi. Il momento di ordine rappresenta una misura di asimmetria della funzione di probabilitá intorno al valore della media (skewness). Viceversa se tale funzione di distribuzione é simmetrica rispetto al valore medio, i momenti di ordine e gli altri di ordine dispari maggiore, hanno valore zero. 5.5 Proprietá dipendente dalla correlazione tra pixel 5.5.1 Correlazione La statistica di primo ordine considerata con il calcolo dell istogramma, non contiene informazioni sulla relazione tra i pixel. Infatti l istogramma calcolato puó appartenere a diverse immagini e non contiene informazioni sul numero degli oggetti e la loro dimensione. Per considerare anche la disposizione spaziale dei livelli di grigio, é necessario considerare la statistica del secondo ordine. In questo caso una immagine deve essere considerata come una quantitá statistica nota come Random Field. La matrice rappresentante l immagine consisterebbe di N M variabili casuali (random). Questo implica di calcolare la funzione di probabilitá per ciascun pixel dell immagine. Le medie per ciascun pixel (i, j) sarebbero calcolate come segue: < I(i, j) >= L max k=0 p(k, i, j) I(k) (5.11) la cui stima é ottenuta dalla media integrata I T, che, nelle stesse condizioni di acquisizione sarebbe: < I T >= 1 Q Q I k (5.1) k=1

5.5. PROPRIETÁ DIPENDENTE DALLA CORRELAZIONE TRA PIXEL 141 relativa a Q osservazioni dello stesso pixel con livello di grigio I(i, j). La varianza é stimata come segue: 5.5. Misura di correlazione σ 1 = 1 Q 1 Q (I k < I >). (5.1) k=1 Per porre in relazione pixel di posizione diversa nell immagine, si utilizza la misura di correlazione dei livelli di grigio data come il prodotto dei livelli di grigio nelle due posizioni considerate. Ció é realizzato dalla funzione di autocorrelazione: R II (i, j; k, l) =< I ij, I kl >= L max 1 r=0 L max 1 s=0 I r I s p(r, s; i, j; k, l) (5.14) dove la funzione di probabilitá p ha sei parametri ed evidenzia la probabilitá che viene simultaneamente stimata per il pixel (i, j) con livello di grigio r e per il pixel (k, l) con livello di grigio s. La funzione di autocorrelazione ha 4-dimensioni e diventa complicato utilizzarla. Il problema si semplifica se si assume che la statistica non sia dipendente dalla posizione del pixel. In questo caso il campo random é detto omogeneo, ed il valore della media non dipendendo piú dalla posizione di ciascun pixel, é costante per tutta l immagine: < I >= costante (5.15) e la funzione di autocorrelazione diventa Shift Invariant, ossia invariante dalla traslazione e quindi indipendente dalla posizione dei due pixel: R II (i + n, j + m; k + n, l + m) = R II (i, j; k, l) = R II (i k, j l; 0, 0) = R II (0, 0; k i, l j) (5.16) Le ultime identitá si ottengono ponendo (n, m) = (k, l) ed (n, m) = (i, j). (5.17) In pratica la funzione di autocorrelazione R dipende solo dalla distanza dei due pixel e conseguentemente la dimensionalitá della funzione passa da 4 a. Fortunatamente diversi processi stocastici sono omogenei: R II (k, l) = 5.5. Qualitá dell Immagine M 1 i=0 N 1 j=0 I ij I i+k,j+l (5.18) Durante le varie fasi di acquisizione, di elaborazione e trasmissione, una immagine puó subire delle degradazioni. Una misura della qualitá dell immagine puó essere adottata per stimare il livello di degradazione, in relazione al campo di applicazione. Si possono pertanto distinguere due tipi di metodi: soggettivi ed oggettivi. I primi sono ampiamente utilizzati nelle tecnologie televisive. Metodi quantitativi misurano la qualitá dell immagine confrontando una immagine con quella di riferimento (immagine modello). Normalmente come immagine modello si scelgono quelle (acquisite realmente), che sono ben calibrate, di cui si conoscono

14 CAPITOLO 5. PROPRIETÁ DELL IMMAGINE DIGITALE bene sia le condizioni radiometriche, sia quelle geometriche. In alternativa, in alcune applicazioni si é costretti ad utilizzare solo immagini modello ottenute in modo sintetico. (g f) dxdy = minimo (5.19) la correlazione é un altra funzione che puó essere utilizzata. Di solito vengono utilizzate due misure distinte di qualitá: l errore quadratico medio (MSE) ed il PSNR (Peak Signal-to-Noise Ratio). Sia g(x, y) l immagine risultante di un processo di trasformazione (compressione, trasmissione ecc) a partire da una immagine originale f(x, y) priva di difetti, possiamo definire l errore MSE: e MSE = 1 MN M i=1 j=1 N [g(i, j) f(i, j)]. (5.0) L unico problema di questa misura é che dipende fortemente dalla variazione di scala dell intensitá dell immagine. Un errore quadratico medio di 100 per un immagine a 8 bit (con i pixel che variano tra 0 e 55) risulterebbe in un immagine qualitativamente scarsa, mentre con lo stesso errore una immagine a 10 bit (pixel che variano tra 0 e 10) avrebbe una qualitá migliore. Il PSNR evita questo problema scalando l errore MSE sull intervallo di variabilitá dell immagine come segue: P SNR = 10 log 10 e MSE S (5.1) con S il massimo valore di intensitá luminosa presente nell immagine. Il PSNR si misura in decibels (db), non é una misura ideale ma si usa comunemente per stimare la qualitá di un immagine. Di solito é utile per confrontare tecniche di restoration per la stessa immagine che vedremo nel capitolo 8. 5.5.4 Rumore dell Immagine Le immagini reali sono normalmente degradate da errori casuali introdotti dal processo di digitalizzazione dell immagine, durante l elaborazione e trasmissione. Tale degradazione é usualmente chiamata rumore. Tale fenomeno é consuetudine modellarlo come un processo stocastico. Un rumore ideale é chiamato white noise che ha spettro di potenza costante ossia la sua intensitá non diminuisce con l incremento delle frequenze. 5.5.5 Informazioni percettive dell Immagine Il sistema visivo umano utilizza alcuni parametri psico-fisici per la percezione degli oggetti della scena. Gli algoritmi di percezione sono sviluppati tentando di emulare alcuni dei meccanismi del sistema visivo umano. Nella percezione umana, gli oggetti sono piú localizzati ed identificati se sono ben contrastati rispetto allo sfondo. In alcuni contesti é noto che anche il sistema umano fallisce. 5.5.6 Contrasto Definisce un cambiamento locale della intensitá luminosa ed é definito come il rapporto tra la brillanza media di un oggetto e la brillanza di uno sfondo. Il sistema visivo umano é sensibile alla brillantezza logaritmica e conseguentemente per la stessa percezione, a valori di brillanza piu alti si richiedono contrasti piu alti. La brillantezza apparente dipende molto dalla brillantezza dello sfondo locale: contrasto condizionale.

5.5. PROPRIETÁ DIPENDENTE DALLA CORRELAZIONE TRA PIXEL 14 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Figura 5.10: Maschere 8-vicinanza usate per la rimozione del rumore salt-and-pepper. 5.5.7 Acutezza Esprime l abilitá di determinare i dettagli in una immagine, e dipende dall ottica del sistema e dalla distanza tra l oggetto e l osservatore. La risoluzione dell immagine deve essere appropriata rispetto alla capacitá percettiva del sistema di visione. Il sistema visivo umano ha una risoluzione di circa 0.16mm alla distanza di circa 50mm in condizione di illuminazioni di 500 lux (60W lampada a 400mn) 5.5.8 Rumore Gaussiano Rappresenta un altro modello di approssimazione del rumore. Sia x la variabile casuale che descrive il rumore, segue: p(x) = 1 σ π e (x µ) σ, (5.) dove µ rappresenta la media e σ la deviazione standard della variabile casuale x. Nell elaborazione delle immagini, il modello Gaussiano risulta una buona approssimazione del rumore per i sistemi di acquisizione tipo vidicon e CCD. Il rumore interessa qualunque livello di grigio. 5.5.9 Rumore Salt-and-Pepper Questo tipo di rumore si caratterizza per la presenza di pixel scuri in regioni chiare o viceversa. Spesso é causato dalla costruzione di un immagine binaria ottenuta con un operazione di thresholding (soglia). Salt corrisponde a pixel in una regione scura per cui l operazione di thresholding li fa passare per chiari, mentre pepper corrispondono a pixel in una regione chiara che sono sotto una certa soglia e per cui viene assegnato lo zero (nero). Questo rumore puó essere dovuto ad errori di classificazione, risultanti da: variazioni di illuminazione; da caratteristiche della superficie del materiale; oppure rumore causato dalla conversione analogico/digitale del frame grabber. Bisogna considerare, che in taluni casi la presenza di questo effetto, ossia la presenza di pixel isolati, non é da considerare un errore di classificazione, ma sono piccoli dettagli in contrasto con l intorno di pixel in cui si presenta, per esempio il bottone di una camicia o una zona libera di una foresta ecc. che puó rappresentare il dettaglio voluto nell applicazione che si sta affrontando. La figura 5.10 mostra due diverse maschere di 8-vicinanza per la rimozione di questo effetto. 5.5.10 Rumore Impulsivo Causato per l occorrenza casuale di valori di livello di grigio molto alti (bianco) a differenza del modello gaussiano che riguarda tutti i livelli di grigio.

144 CAPITOLO 5. PROPRIETÁ DELL IMMAGINE DIGITALE 5.5.11 Gestione del rumore Rumore dipendente intrinsecamente dal segnale stesso; si ha nel processo di formazione dell immagine. L immagine osservata é prodotta da una trasformazione non lineare dell immagine di origine che é degradata da rumore moltiplicativo n. I E = I + n I = I(1 + n) = I n (5.) Rumore che é indipendente dallo stesso segnale, ma si verifica nel caso di immagini che vengono trasmesse; dall errore termico dovuto ai ccd: I E (i, j) = I(i, j) + n(i, j) (5.4) dove I ed n variabili indipendenti e quest ultima rappresenta il rumore additivo.