RETI DI TELECOMUNICAZIONE

RETI DI TELECOMUNICAZIONE SISTEMI M/G/1 e M/D/1 Sistemi M/G/1 Nei sistemi M/G/1: i clienti arrivano secondo un processo di Poisson con parametro λ i tempi di servizio hanno una distribuzione generale della quale si conosce il valore medio e la varianza abbiamo la presenza di un unico servente indichiamo con X i il tempo di servizio del generico cliente i-esimo sarà SISTEMI M/G/1 e M/D/1 2 1

Formula di Pollaczek-Khinchin Per un sistema M/G/1 il tempo medio di attesa in cosa è dato dalla relazione Dimostrazione Siano W i il tempo di attesa in coda dell i-esimo cliente; R i il tempo di servizio residuo visto dall i-esimo cliente (corrisponde al tempo addizionale che trascorre nel servente il cliente che vi si trova quando arriva l i-esimo cliente: in altre parole il tempo che intercorre da quando arriva l i-esimo cliente a quando esce il primo cliente dal sistema dopo l arrivo dell i-esimo cliente); X i tempo di servizio dell i-esimo cliente; N i numero di clienti trovati in attesa in coda dall i-esimo cliente al suo arrivo; SISTEMI M/G/1 e M/D/1 3 Formula di Pollaczek-Khinchin Dimostrazione Il tempo di attesa in coda dell i-esimo cliente sarà dato dalla somma del tempo di servizio residuo e dei tempi di servizio di tutti i clienti già accodati Possiamo calcolare il valore atteso del tempo di attesa in coda SISTEMI M/G/1 e M/D/1 4 2

Formula di Pollaczek-Khinchin Dimostrazione nell ultima relazione si è sfruttata la linearità dell operatore E{ } e la relazione Il valore atteso del tempo di attesa in coda sarà quindi dato dalla somma del valore atteso del tempo di servizio residuo e del valore atteso del numero di clienti in coda moltiplicato il valore atteso del tempo di servizio Posto possiamo scrivere SISTEMI M/G/1 e M/D/1 5 Formula di Pollaczek-Khinchin Dimostrazione e sfruttando la legge di Little per il numero di utenti in coda si ottiene Per calcolare R consideriamo il processo tempo di servizio residuo r(τ) Se l i-esimo cliente arriva all istante t osserverà un tempo di servizio residuo r(t) SISTEMI M/G/1 e M/D/1 6 3

Formula di Pollaczek-Khinchin Dimostrazione Possiamo graficare un tipico andamento del processo r(τ) posto M(t) pari al numero di completamenti di servizio nell intervallo [0, t], sarà SISTEMI M/G/1 e M/D/1 7 Formula di Pollaczek-Khinchin Dimostrazione Al tendere di t ad infinito M(t) tende al numero di clienti arrivati, quindi: ed inoltre il secondo termine tende al valore quadratico medio (stiamo considerando il sistema ergodico) Sarà allora e quindi la dimostrazione della formula SISTEMI M/G/1 e M/D/1 8 4

Sistemi M/G/1 Il tempo di attesa nel sistema sarà dato da applicando la legge di Little possiamo calcolare il numero di utenti medio in coda e il numero di utenti medio nel sistema SISTEMI M/G/1 e M/D/1 9 Relazione fra sistemi M/M/1 e M/G/1 I sistemi M/M/1 sono un caso speciale dei sistemi M/G/1 Per un sistema M/M/1 sarà da cui Tempo medio di attesa in coda Tempo medio di attesa nel sistema SISTEMI M/G/1 e M/D/1 10 5

Relazione fra sistemi M/M/1 e M/G/1 e utilizzando la legge di Little, numero medio di clienti in coda numero medio di clienti nel sistema Tutte i valori medi trovati coincidono con quelli già ricavati per i sistemi M/M/1 SISTEMI M/G/1 e M/D/1 11 Sistemi M/D/1 Nei sistemi M/D/1 il tempo di servizio è costante (le unità informative hanno tutte la stessa lunghezza) Sarà Anche i sistemi M/D/1 sono un caso speciale di sistemi M/G/1 per cui vale la formula di Pollaczek-Khinchin Possiamo ricavare Tempo medio di attesa in coda SISTEMI M/G/1 e M/D/1 12 6

Sistemi M/D/1 Tempo medio di attesa nel sistema e utilizzando la legge di Little, numero medio di clienti in coda numero medio di clienti nel sistema SISTEMI M/G/1 e M/D/1 13 Sistemi M/M/1, M/G/1 e M/D/1 I sistemi M/M/1 e M/D/1 costituiscono i due casi estremi del comportamento di un sistema generico M/G/1 In particolare i valori trovati per il tempo medio di attesa in coda W, per il tempo medio di attesa nel sistema T, per il numero medio di clienti in coda N q, e per il numero medio di clienti nel sistema N saranno minimi per un sistema M/D/1 e massimi per un sistema M/M/1 L ipotesi di sistema M/M/1 è quindi sempre quella più pessimistica e quindi, progettando un sistema utilizzando queste ipotesi, in qualunque caso, il comportamento reale avrà delle prestazioni migliori rispetto a quelle teorizzate SISTEMI M/G/1 e M/D/1 14 7

Analisi di un sistema con protocollo Automatic Repeat request (ARQ) Sia dato un sistema ARQ go-back-n nel quale la ritrasmissione delle trame avviene solo sui frame informativi (non sugli ack) Assumiamo: Arrivi secondo Poisson Probabilità che una trama sia rifiutata pari a p Assumiamo le trame di lunghezza costante e sia 1 (un unità di tempo) il tempo di trasmissione di una trama La probabilità che il tempo di servizio sia pari a 1+kn a causa di k ritrasmissioni è Il tempo medio di servizio sarà SISTEMI M/G/1 e M/D/1 15 Analisi di un sistema con protocollo Automatic Repeat request (ARQ) Il valore quadratico medio del tempo di servizio sarà ricordando che sarà SISTEMI M/G/1 e M/D/1 16 8

Analisi di un sistema con protocollo Automatic Repeat request (ARQ) Applicando la formula di P-K si trova supponendo λ = 0.95 ρ = 0.95 n = 8 p=0 Tempo medio di attesa in coda: W = 9.5 Tempo medio di attesa nel sistema: T = 10.5 p=10-3 Tempo medio di attesa in coda: W = 12.1 Tempo medio di attesa nel sistema: T = 13.1 p=5 10-3 Tempo medio di attesa in coda: W = 56.52 Tempo medio di attesa nel sistema: T = 57.56 SISTEMI M/G/1 e M/D/1 17 Sistemi M/G/1 con periodi di vacanza Il servizio non è di tipo continuativo Periodicamente il servente viene staccato da una coda ad esempio perché inserito in un altra Il periodo in cui il servente è staccato viene detto busy o di vacanza Se indichiamo con V 1, V 2, le durate delle singole vacanze supponiamo che Le durate siano indipendenti tra loro Le durate siano identicamente distribuite Le durate siano indipendenti sia dai tempi di servizio che dai tempi di arrivo dei clienti In generale vale ancora la relazione dove R deve però tenere conto della presenza delle vacanze SISTEMI M/G/1 e M/D/1 18 9

Sistemi M/G/1 con periodi di vacanza Sarà dove M(t) è il numero di clienti serviti in [0, t] L(t) è il numero di vacanze avute in [0, t] SISTEMI M/G/1 e M/D/1 19 Sistemi M/G/1 con periodi di vacanza Moltiplicando e dividendo il primo addendo per M(t) e il secondo addendo per L(t) Come già ricavato sarà al tendere di t ad infinito Se ρ è la frazione di tempo in cui il sistema è occupato, sarà (1-ρ) la frazione di tempo in cui il sistema è in vacanza Al tendere di t ad infinito la durata media di un periodo di vacanza può essere calcolata come SISTEMI M/G/1 e M/D/1 20 10

Sarà allora Sistemi M/G/1 con periodi di vacanza ed ancora, per t che tende ad infinito Quindi in definitiva il tempo medio di attesa in coda sarà SISTEMI M/G/1 e M/D/1 21 FDM Classico Siano dati m flussi di frame a lunghezza fissa Ogni flusso sia caratterizzato da un processo degli arrivi di Poisson con frequenza λ i = λ / m Ogni frame ha una lunghezza pari a m unità temporali µ i =1/m Adottiamo una multiplazione FDM classica suddividendo la banda del canale in m sottocanali di banda costante Ciascun sottocanale è un sistema M/D/1 con Essendo m il tempo medio di servizio sarà il tempo di attesa nel sistema SISTEMI M/G/1 e M/D/1 22 11

FDM a Slot Ammettiamo che la trasmissione possa iniziare solo in prefissati istanti di tempo corrispondenti all inizio di uno slot di durata m Ciascun sottocanale sarà un sistema M/D/1 con periodi di vacanza La vacanza è dovuta all arrivo di un frame con la coda vuota quando è già iniziato un periodo di trasmissione; in questo caso la trasmissione del frame deve attendere l inizio di un nuovo ciclo Sarà Essendo m il tempo medio di servizio sarà il tempo di attesa nel sistema SISTEMI M/G/1 e M/D/1 23 TDM a Slot L asse temporale viene suddiviso in slot di lunghezza pari ad 1 unità temporale La multiplazione dei vari flussi avviene interlacciando ciclicamente le m parti di cui è costituita ogni trama nel tempo Sarà ancora Ogni flusso caratterizzato da un processo degli arrivi di Poisson con frequenza λ i = λ / m Ogni frame di lunghezza pari a m unità temporali µ i =1/m Ciascun sottocanale è un sistema M/D/1 con periodi di vacanza Essendo 1 il tempo medio di servizio sarà il tempo di attesa nel sistema Il canale dopo la trasmissione di uno slot ritorna comunque disponibile SISTEMI M/G/1 e M/D/1 24 12

Sistemi M/G/1 con priorità Alla stessa coda arrivano clienti appartenenti a diverse classi di priorità La classe di priorità è individuata da un indice numerico maggiore o uguale a 1 Ad un indice più basso corrisponde una priorità più alta L indice 1 ha quindi priorità massima Non si ammette pre-emption L arrivo in coda di un cliente a priorità più alta non interrompe comunque il servizio di un cliente già nel servente anche se a priorità più bassa Indichiamo con SISTEMI M/G/1 e M/D/1 25 Sistemi M/G/1 con priorità Per la classe di priorità 1 il tempo di attesa in coda sarà dato dalla somma del tempo di servizio residuo del cliente attualmente in servizio e dal tempo di servizio atteso da tutti i clienti in coda sempre di priorità 1 La priorità 1 può essere analizzata come un semplice sistema M/G/1 Numero medio di clienti in coda di priorità 1 (dalla legge di Little) sostituendo quindi SISTEMI M/G/1 e M/D/1 26 13

Sistemi M/G/1 con priorità Per i clienti di priorità 2 si deve considerare: a) Il tempo residuo R del cliente attualmente in servizio b) Il tempo di servizio di tutti i clienti di priorità 1 già accodati c) Il tempo di servizio di tutti i clienti di priorità 2 già accodati d) Il tempo di servizio di tutti i clienti di priorità 1 che possono arrivare durante l attesa in coda di un cliente di priorità 2 a b c d SISTEMI M/G/1 e M/D/1 27 Si trova quindi che Sistemi M/G/1 con priorità dalla quale il tempo medio di attesa in coda per i clienti di classe 2 In generale il tempo medio di attesa in coda per i clienti di classe k sarà SISTEMI M/G/1 e M/D/1 28 14

Sistemi M/G/1 con priorità Per ricavare il tempo medio residuo R del cliente attualmente in servizio bisogna considerare le diverse priorità Data la funzione r(τ) sarà dove con X ij abbiamo indicato il tempo di servizio del j-esimo cliente di priorità i SISTEMI M/G/1 e M/D/1 29 Sistemi M/G/1 con priorità Scambiando la posizione delle sommatorie rispetto al limite e moltiplicando e dividendo ogni termine della sommatoria interna per M i (t) Facendo tendere t ad infinito (sistema stazionario ed ergodico), M i (t) tende al numero di clienti arrivati e serviti nel tempo [0, t] SISTEMI M/G/1 e M/D/1 30 15

Sistemi M/G/1 con priorità Il tempo di servizio residuo sarà quindi Si trova quindi in definitiva che il tempo medio di attesa in coda per un cliente di classe k sarà Il ritardo medio per cliente viene minimizzato attribuendo priorità più alta ai clienti con tempo di servizio più bassi SISTEMI M/G/1 e M/D/1 31 Esempio Sia dato un collegamento a 9600bps nel quale viaggiano Frame dati di lunghezza fissa pari a 48bit Frame informativi di lunghezza media pari a 960bit Sia inoltre e SISTEMI M/G/1 e M/D/1 32 16

Esempio Non utilizzando un sistema a priorità si trova che il valore quadratico medio del tempo di servizio sarà da cui il tempo medio di attesa in coda Utilizzando le priorità sarà Abbiamo quindi dimezzato il tempo di attesa in coda per i frame di priorità 1 con un lievissimo incremento del tempo di attesa in coda dei frame di priorità 2 SISTEMI M/G/1 e M/D/1 33 17