Esercizi sulle distribuzioni binoiale e poissoniana Esercizio n. Una coppia ha tre figli. Calcolare la probabilità che abbia non più di un aschio se la probabilità di avere un aschio od una feina è sepre del 0% (non dipende dai figli precedenti). La probabilità di avere non più di un aschio, significa la probabilità di averne 0 o : ( 0) ( ) + Averne 0, significa avere tre feine: la probabilità di questo evento è -. Avere un solo aschio è un evento che può presentarsi in tre ordini diversi: MFF, FMF, FFM, ognuno dei quali ha probabilità -. Quindi: ( 0) + ( ) + Allo stesso risultato si arriva procedendo brutalente, dando un noe ai figli, quindi distinguendoli, e considerando tutti i casi possibili e quelli favorevoli. Quindi: Casi possibili: FFF in! odi, FFM in odi, FMF in odi, MFF in odi, FMM in odi, MFM in odi, MMF in due, MMM in! odi: totale, casi. Casi favorevoli: FFF in! odi, FFM in odi, FMF in odi, MFF in odi: totale, casi. Allo stesso risultato si arriva pensando che è un problea di prove ripetute: su N prove (figli), voglio la probabilità di avere al assio k risultati che i aspetto (aschio):! 0!! N 0 ( k 0) + ( k ) +!!! N 0 p q + p q 0 + p q 0 0 + Esercizio n. Un ponte levatoio si solleva ogni ore per 0 inuti. Se lo si attraversa due volte al giorno, qual è la probabilità di trovarlo abbassato aleno volte in giorni consecutivi? Si hanno due soli eventi: ponte alzato, ponte abbassato, le cui probabilità sono rispettivaente: 0in 6 q p 0 + 0 in ( ) In giorni il ponte viene attraversato 0 volte. La probabilità richiesta, essendoci un aleno, è dunque: 0 0 9 0 p q + p q + p 9 0 0 9 6 ( + 60 + 6) 0... Esercizio n. Un ponte levatoio si solleva ogni ore per 0 inuti. Se lo si attraversa due volte al giorno, qual è la probabilità di trovarlo alzato aleno volta al giorno in giorni consecutivi? Si hanno due soli eventi: ponte alzato, ponte abbassato, le cui rispettive probabilità q6/ e p-q sono state già calcolate nel problea precedente. In giorni il ponte viene attraversato coplessivaente 0 volte. La probabilità richiesta, però, si riferisce ad eventi che accadono in cinque giorni aleno una volta al giorno. Quindi uno degli eventi favorevoli sarebbe, in 0 passaggi, trovare il ponte alzato volte non distribuite a caso (ad esepio il prio giorno, due il secondo, una il terzo), a una volta al giorno. L evento favorevole è infatti aleno una volta al giorno. Si calcoli allora la probabilità di questo evento, di trovare aleno una volta al giorno il ponte alzato, ossia aleno una volta in due passaggi giornalieri:
0 p ' q p + q p + 9 9 9 Questa diventerà la probabilità p per prove di due passaggi l una. Dunque, la probabilità richiesta è: ~ ' p p ( ') 0 9 Esercizio n. bis Quali sono le probabilità che le situazioni degli esercizi e si verifichino due volte in aprile? Aprile è un ese di 0 giorni, dunque di 6 gruppi da giorni consecutivi. Le precedenti situazioni si presenteranno dunque con probabilità: ) 6 p ( p) ~ dove p per l esercizio, e p per il. Esercizio n. In una scatola sono contenute palline, rosse e bianche. Si estrae una pallina alla volta e la si riette poi dentro. Qual è la probabilità di estrarre bianche su estrazioni? Si possono estrarre solo due tipi di pallina: o. Tali eventi hanno probabilità rispettivaente pari a: p q la probabilità richiesta è quindi: p q 0... Esercizio n. In una scatola sono contenute palline, rosse, bianche e. Si estrae una pallina alla volta e la si riette poi dentro. Qual è la probabilità di estrarre bianche su estrazioni? Si possono estrarre solo due tipi di pallina: o non, ossia o ( o ). Tali eventi hanno probabilità rispettivaente pari a: p q rosse a allora la probabilità richiesta è pari a quella calcolata nel problea precedente. Esercizio n. bis In una scatola sono contenute palline, rosse, bianche e 0. Si estrae una pallina alla volta e la si riette poi dentro. Qual è la probabilità di estrarre: A) bianche su estrazioni, B) su 0 estrazioni C) una una e una in tre estrazioni consecutive. A) si possono estrarre solo palline bianche o non bianche, con probabilità rispettivaente pari a: la probabilità richiesta è quindi: p bianche q rosse + + 0 A p q B) si possono estrarre solo palline o non con probabilità rispettivaente pari a:
la probabilità richiesta è quindi: 0 rosse + bianche p ' q' B 0 0 p' q' C) non conviene considerare il problea usando la binoiale: basta utilizzare i già noti concetti di probabilità. Se conta l ordine di estrazione dei colori e le palline estratte vengono reinserite, allora: C 0 Se invece l ordine di estrazione non conta, e le palline vengono sepre reinserite: C (!) perutazioni colori 0 Se le palline non vengono reinserite una volta estratte, e conta l ordine, allora: c 0 Se le palline non vengono reinserite una volta estratte, e non conta l ordine, allora: c (!) perutazioni colori 0 risultato che si ottiene anche pensando di prendere le palline assiee a tre a tre, senza guardare: c 0 (! ) perutazioni colori 0 Esercizio n. 6 In una scatola sono contenute 0 palline, 0 rosse, 9 bianche e. Si estrae una pallina alla volta e la si riette poi dentro. Qual è la probabilità di estrarre: A) bianche su estrazioni, B) su 0 estrazioni? In entrabi i casi, si può utilizzare una poissoniana? A) seguendo la traccia del problea precedente si calcola iediataente: p 9 0. q 0. q A p 0.90... 0 0 Si può utilizzare una poissoniana? Be, di fatto no: la probabilità p è alta ed N piccolo. Infatti: Np il che dà un errore relativo del: B) dal problea : 9 0.66 ( ) e 0.9...! 0.9... 0.9... 6% 0.9... 0 p 0.0 q 0.9 B 0.9... 0 0 0 0 0 Si può utilizzare una poissoniana? Ancora no: p è piccola, a N anche: Np 0 0 0. () e... 0! 6 6
il che dà un errore relativo del: 0.9...... 00% 0.9... Si vede quindi che B è sì così piccola da far pensare che l evento sia raro, a non lo è in realtà nel senso di oisson, secondo il quale un evento è raro a seconda della sua piccola probabilità, a anche a seconda del nuero delle prove. In questi casi il problea è risolvibile con una Bernoulliana. Esercizio n. 6bis In una scatola sono contenute 0 palline, rosse e. Si estrae una pallina alla volta e la si riette poi dentro. Qual è la probabilità di estrarre su 00 estrazioni? Si può utilizzare una poissoniana? E se sì, che errore si avrà? Dal problea 6 si calcola iediataente la probabilità richiesta: 9 00 p q 0... 00 0 0 0 Si può utilizzare una poissoniana? Si faccia direttaente la prova: Np 00 0 () e 0.69...! risultato ottio se si accetta una probabilità al: 0... 0.69... 0.000... % 0... La buona approssiazione è legata al fatto che ha senso porsi il problea dell approssiazione poissoniana: le prove sono olte e la p piccola. Si noti tuttavia che se le prove fossero state 00: p 0 Np 00 00 q 0 0 0 0 () e 00 9 0.0069... 0.0...! entre: 0.0... % risultato peggiore del precedente. Questo ancora perché quello che possiao definire raro in uno schea bernoulliano, guardando solo quanto è piccolo p, non è detto che sia raro in una poissoniana, in cui conta il prodotto Np: nell approssiare l una con l altra questo può dar problei In generale, un criterio di idoneità dell approssiazione poissoniana è: p << 0. Np ( ) ( ) dove il è di riferiento. Esercizio n. Un arciere olto poco esperto lancia frecce contro un bersaglio. La probabilità che lo colpisca è del 0%. Qual è la probabilità che lo colpisca 0 volte in lanci? Applicazione pedissequa della forula di Bernoulli: 0 p 0 { p %}
Esercizio n. bis Un arciere lancia frecce contro un bersaglio. Essendo alle prie ari e olto distratto la probabilità che lo colpisca è del 0%. Il bersaglio è coposto da quattro cerchi concentrici di raggi, rispettivaente, c, c, 6 c, 0 c, ossia da un cerchio centrale e settori circolari, cui vengono assegnati, rispettivaente, 00, 0, e 0 punti. Non colpire il bersaglio porta 0 punti. Qual è la probabilità che in quattro lanci l arciere totalizzi esattaente: A) 00 punti, B) 00 punti, C) 60 punti. A) C é un solo odo per ottenere esattaente 00 punti: fare quattro centri con quattro tiri. Se la probabilità di fare 00 punti con un tiro è p, la probabilità richiesta sarà quindi (Bernoulli): 0 A p q Il problea è che non è dato p, che può tuttavia ricavarsi dagli altri dati nel seguente odo. L arciere è stato definito poco esperto e distratto, e soprattutto in grado di colpire il bersaglio, in qualunque punto, nel 0% dei tiri. Tali inforazioni significano che di fatto la sua ira è in grado di risolvere gli eventi bersaglio colpito e bersaglio non colpito, a non in grado di risolvere gli eventi 00 punti, 0 punti In altri terini, se la doanda fosse stata, qual è la probabilità che su tiri colpisca il bersaglio volte, si sarebbe riconosciuto uno schea di prove ripetute con pq0%/, e la risposta sarebbe stata: p q a non si sarebbe potuto dire il suo punteggio. Adesso, invece, lo si richiede. Ebbene: dire, coe fatto, che la sua ira è in grado di risolvere gli eventi bersaglio colpito e bersaglio non colpito, a non gli eventi 00 punti, 0 punti vuol dire che le frecce che colpiscono il bersaglio non sono influenzate dalla ira dell arciere. Si può quindi assuere che le zone del bersaglio con area aggiore avranno probabilità aggiore di essere colpite, ossia che la probabilità di colpire una certa area sia proporzionale al suo valore. Si ricorda ora che l area del cerchio (vero?) si esprie in funzione del suo raggio r (vero?) coe (vero?): A πr e quindi quella di una corona circolare di raggio interno r ed esterno R sarà: A π ( R r ) Ne segue che le aree delle zone, che si contrassegneranno con il relativo punteggio, allontanandosi dal centro del bersaglio saranno: ( ) c A00 A π ( 6 ) c A00 A0 ( 0 6 ) c A00 A 00 π c A0 π π 6 da cui: A A 00 π c A0 A00 A A00 A0 6 quindi, ad esepio, in un solo tiro è volte più probabile fare 0 che 00. Ne segue che, se p è la probabilità di colpire il centro del bersaglio, e la probabilità di colpire un area sarà a questa proporzionale, allora, le probabilità di colpire le zone cui copetono 0,, 0 punti sono rispettivaente: p p p p p 6 p 0 0 Ora, dato che l arciere o colpisce o non colpisce il bersaglio, ossia, la soa delle probabilità di colpire una qualunque zona o di non colpire affatto il bersaglio deve essere pari ad, si ha: p + p + p + p + q e quindi: 0 0 p + p + p + 6 p + q Inoltre, è noto che l arciere colpisce il bersaglio una volta su due, ossia: 00
q p + p + p + 6 p + p( + + + 6) p 00 da cui quanto si cercava: 0 A p q B) er totalizzare esattaente 00 punti con lanci l arciere può colpire volte l area con punteggio, volte quella con punteggio 0 e volte non colpire il bersaglio, in qualunque ordine, volta quella con 00 punti e volte ancare il bersaglio, in qualunque ordine, volte quella con punteggio, volta il 0 ed una non colpire il bersaglio, in qualunque ordine: B 00,0,0,0 + 0,0,0,0 +,,, +,,0,0 00 ( ) ( ) ( ) ( ) quindi, dalla probabilità dell intersezione di eventi e considerando le perutazioni con ripetizione dei punteggi detti (non conta l ordine con cui sono ottenuti a la loro soa):!!!! B p00qqq + p0 p0qq + p + p p 0 q!!!!! ossia: B 00 6 6! + + + 00 00! 00 00 dove, si noti, la probabilità di ottenere quattro tiri con risultato poteva calcolarsi con la distribuzione bernoulliana coe: A conti fatti, dunque: B p 00 00 0 ( p ) 96 + + + 00 00 00 C) er totalizzare esattaente 60 punti con lanci l arciere può colpire volta ciascuna le aree con punteggio 0 e 0, e volte non colpire il bersaglio, in qualunque ordine, o volte quella con punti e poi realizzare un 0 ed uno zero ancando il bersaglio, in qualunque ordine : C 0,0,0,0 +,,0,0 ( ) ( ) quindi, dalla probabilità dell intersezione di eventi e considerando le perutazioni con ripetizione:!! C p 0 p 0 qq + p p p 0 q!! ossia: 6 6 6 6 C + 0.09 00 00 00 Esercizio n. ter Qual è la probabilità che in quattro lanci l arciere dell esercizio 9 totalizzi aleno 00 punti? er totalizzare aleno 00 punti l arciere in tiri può, ) colpire aleno una volta il 00, ) colpire aleno due volte il 0; ) colpire (aleno) volte il ; ) colpire (aleno) volte il ed una il 0. er calcolare le probabilità dei prii due eventi conviene passare agli eventi copleentari: ) non colpire neanche una volta su il cento, ) una o nessuna volta su il 0. er il terzo ed quarto si calcolerà il tutto direttaente. Si coinci con ) neanche una volta su il 00: basta pensare ad uno schea di Bernoulli con: 00 6
da cui: ) una o nessuna volta su il 0: stavolta: p 00 q 00 p q 00 0 0 no 00 p q 9 00 no volte0 00 99 00 0 p q 0 99 00 + pq 9 00 + 00 9 00 ) Visto che i tiri sono, alla probabilità di avere aleno 00 punti contribuisce l evento colpire volte su il. La sua probabilità è: volte 00 ) se si deve colpire due volte il e una il 0, la quarta freccia può far quel che vuole: due un0&!! p p0 p0 + p0 + p + p0 + p!!! dove i fattoriali tengono conto delle ripetizioni. assando allora agli eventi opposti per i prii due casi e soando gli altri due: + ( ) + ( ) no00 novolte0 + volte + dueun0& 00 00 99 + 00 00 Facendo tutti i (lunghi) calcoli: 9 + 00 99 0 00 9 + 00 00 9 + 0 00 00 + + 00 00 00 00 9 + + 00 ( ) + ( ) + + 0.909 no00 novolte0 volte dueun0& Esercizio n. Il % di elettrodoestici prodotti da una fabbrica sono difettosi. Deterinare che su un capione di 00, A) più di, B) tra e, C) o eno di lo siano. La probabilità che un elettrodoestico sia difettoso è: p 00 quindi a tutte le doande potrebbe rispondersi con una binoiale: ad esepio: A) 00 0 00 00 99 00 9 00 9 00 96 00 p q + p q + p q + p q + p q + p q 0 Tuttavia, ) si vede che: Np quindi, invece di utilizzare la binoiale è lecito utilizzare una poissoniana per salvarsi dai lunghi calcoli; ne viene: e B A e + + 0.9... 9.%!!! 0 + + + + + 0.09....% 0!!!!!! 0 e + + 0....% 0!!! ] C Coe ulteriore esercizio è utile controllare l errore relativo sulle probabilità calcolate con la poissonana rispetto a quelle calcolate con una distribuzione bernoulliana. Buon lavoro. 9
Esercizio n. bis La percentuale di portatori sani di una caratteristica genetica in una popolazione è lo 0.%. Su 0000 individui, qual è la probabilità che aleno siano portatori? Il problea, ancora, potrebbe risolversi con una binoiale. Tuttavia la natura dell osservabile, una caratteristica genetica, fa pensare che l inforazione 0. % sia da pensarsi coe inforazione edia ricavata un nuero grandissio di prove. Si noti che solo in base a ciò si utilizza una poissonina, in quanto si ha: Np 0 0. 00 0 000 0 che però è olto lontano dal riferiento. Ne segue, calcolando la probabilità coe quella dell evento opposto che solo 0 od siano portatori: e 0 0 0 0! 0 +! Esercizio n. 9 É noto al % il nuero edio di incidenti in un ese dopo esi di osservazioni. er quanti esi si devono registrare dati per avere una stia all %? ossono descriversi con una distribuzione poissoniana fenoeni che sono caratterizzati da un flusso costante di eventi, con il che si intende il nuero edio di eventi in un certo intervallo di tepo: nuero di conteggi al secondo, nuero di particelle al inuto, in questo caso nuero di incidenti in un ese. Il flusso è costante nel senso che contando il nuero di eventi su intervalli di tepo differenti, e rapportandolo al tepo, si ha: N( t) N( t' ) f t t' Il paraetro della poissoniana, suo valor edio e varianza, è poi legato al flusso da: N () t ft var( x) σ per la definizione stessa di flusso coe nuero edio di eventi () per unità di tepo. Ne segue: N var N σ N N Applicando ciò al problea, ediante il flusso f di incidenti al ese si ha: N 0 % 0.0 f N f ese da cui quindi il flusso, costante del fenoeno incidenti osservati. Quindi: N 00 00 % 0.0 x esi esi N xf f 0 Esercizio n. 9bis Una sorgente eette un flusso di 0. particelle al inuto. Quanti inuti si deve attendere per conoscere il nuero all %? Il problea è espresso in una fora classica olto scarna. Si potrebbe riforularlo così: A detta del costruttore, una sorgente eette in edia 0. particelle al inuto. Il costruttore avrà certaente isurato il nuero di particelle eesse in un lungo lasso di tepo, calcolando poi la edia al inuto. Si vorrebbe sapere quanto si deve attendere per ottenere nel nostro laboratorio un nuero di particelle affetto da un errore relativo dell %.
Sappiao che un tale evento, eissione di particelle, segue una distribuzione di oisson. L errore relativo sul nuero edio si esprie quindi coe, in varie notazioni: N var N σ N N Ora, se in un inuto vengono eesse 0. particelle, in n inuti verranno eesse 0.n particelle: N 0000 % n in in 00 N 0.n 0. Esercizio n. 9ter Se su 0 inuti si conosce il nuero di particelle eesse al %, qual è il flusso della sorgente? Variazione pedissequa del problea precedente: 0.0 0 in f 0 f in ( ) in 0 si riottene infatti 0. particelle al inuto sostituendo i dati precedenti. Esercizio n. 0 In un processo vengono eessi 0 ioni al icrosecondo. Coe posso igliorare la stia del nuero di particelle eesse fino a portarla allo 0.%? Ancora, dal problea precedente, definendo con n il tepo di isura in icrosecondi: N N.00 n nf f 0.00 0 s 0 0 6 s 0.s ossia, attendendo 0. s si ha la stia alla precisione richiesta. Esercizio n. 0bis In un call-center, si fanno 0 telefonate al inuto per pubblicizzare un certo evento. Si hanno in edia adesioni su 000. Qual è la probabilità che in un ora si abbiano A) adesioni; B) 0 adesioni; C) un nuero di adesioni pari al nuero aspettato? D) un nuero di adesioni pari al nuero aspettato su quaranta inuti? Il flusso fornito si riferisce alle telefonate, non alle adesioni. Il flusso di adesioni sarà: adesioni f ' fp 0 000 in che significa, in un ora, un nuero edio di adesioni pari a: 0 adesioni f ' 60in 60in adesioni 000 in Quindi: 0 A e 0... B e 0.000...! 0! Ora, che significa pari al nuero aspettato? Significa pari al valor edio, noto il flusso, nell intervallo di tepo considerato. Nei due casi delle doande C e D: f '0 in ora / ora Quindi, il prio caso è stato già affrontato, entre il secondo dà: e D 0.060...! 9