Metodi di analisi dei dati in MINITAB 73 Metodi di analisi dei dati in MINITAB 4.1 Introduzione ai metodi di analisi dei dati con MINITAB MINITAB dispone di diverse tipologie di comandi per l analisi grafica e statistica dei dati. Tra queste le principali sono: - Basic Statistics (statistica di base) - Regression (regressione) - ANOVA (analisi della varianza) - Multivariate (analisi multivariata) - Time Series (serie temporali) - Tables (tabelle di contingenza o correlazione) - Nonparametrics (analisi non parametrica) - EDA (analisi grafica dei dati sperimentali) - Power and Sample Size (test di ipotesi) - Quality Tools (controllo statistico di Qualità) - Control Charts (carte di controllo) - Reliability/Survival (analisi di affidabilità) - DOE (progettazione degli esperimenti) Nelle presenti dispense saranno trattati in modo specifico alcuni di questi argomenti, per eventuali approfondimenti su tutti i comandi di analisi statistica a disposizione in MINITAB si rimanda il lettore alle guide in linea del software. In questo capitolo saranno descritti alcuni comandi riguardanti la statistica di base, le tabelle di contingenza e la regressione. 4.2 Statistica descrittiva MINITAB dispone di due comandi, Display Descriptive Statistics e Store Descriptive Statistics, che permettono di effettuare diversi tipi di analisi statistica sui dati disposti nelle colonne o in parti di queste. I risultati di queste analisi possono essere esposti o nella finestra sessione o, opzionalmente, in opportuni grafici. Per utilizzare il comando Display Descriptive Statistics è necessario eseguire i seguenti passaggi: 1) Scegliere Stat Basic Statistics Display Descriptive Statistics. 2) Alla voce Variables, inserire il nome (o i nomi) della colonna (o delle colonne) di cui si vogliono analizzare i dati. 3) Cliccare su OK. Secondo le opzioni disponibili è possibile: Ottenere un analisi statistica separata per ogni valore che compare in una apposita colonna da inserire alla voce By variable. Generare un istogramma, un istogramma con la corrispondente distribuzione normale teorica, un dotplot o un boxplot, oppure un unica finestra grafica che riassuma tutti i risultati dell analisi statistica. Ciò può essere fatto cliccando sulla voce Graphs, e poi scegliendo le varie opzioni.
74 Metodi di analisi dei dati in MINITAB 4.2.1 Esempio di applicazione del comando Display Descriptive Statistics In una produzione di profilati metallici si supponga di voler esaminare il valore di durezza Rockwell C (unità di misura HRC) in base alla provenienza del materiale di fusione da due lotti diversi (lotto 1 e lotto 2), sapendo che su 50 profilati prodotti, si sono ottenuti i valori riportati in Tab. 1. Durezza HRC lotto Durezza HRC lotto 65 1 64 1 65 2 69 2 64 2 68 2 67 1 65 1 67 1 67 1 65 1 69 2 63 2 70 2 65 1 67 1 64 2 67 1 68 1 66 2 69 2 66 1 65 1 65 2 64 2 61 1 63 1 66 2 67 2 67 2 65 1 65 2 62 1 65 1 69 1 66 2 67 2 67 2 67 1 65 2 Tab. 1 Dati corrispondenti alle misure di durezza effettuate sui 50 profilati metallici. Per effettuare tale analisi con MINITAB è necessario eseguire i seguenti passaggi: 1) Inserire i dati relativi alle misurazioni nella colonna C1. 2) Inserire i valori indicanti l appartenenza al lotto 1 o al lotto 2 in colonna C2. 3) Nominare la colonna C1 con Durezza HRC, la C2 con lotto. 4) Scegliere Stat Basic Statistics Display Descriptive Statistics. 5) Alla voce Variables, scegliere Durezza HRC. 6) Selezionare l opzione By variable e, nella riga che compare, inserire lotto. 7) Cliccare sul comando Graphs. 8) Selezionare la voce Graphical summary. 9) Cliccare su OK. 10) Cliccare su OK. Compariranno i due grafici riportati in Fig. 1.a e Fig. 1.b (rispettivamente per i dati corrispondenti al lotto 1 ed al lotto 2) e nella finestra sessione comparirà la seguente tabella:
Metodi di analisi dei dati in MINITAB 75 Descriptive Statistics: Durezza HRC by lotto Variable lotto N Mean Median TrMean StDev Durezza 1 25 65,760 66,000 65,826 1,964 2 25 66,200 66,000 66,174 1,893 Variable lotto SE Mean Minimum Maximum Q1 Q3 Durezza 1 0,393 61,000 69,000 65,000 67,000 2 0,379 63,000 70,000 65,000 67,500 MINITAB riporta i risultati della statistica descrittiva per la variabile Durezza HRC nella finestra sessione. In particolare, per ogni lotto, sono riportati i seguenti parametri: N numero di misure; Mean media dei valori; Median mediana dei valori; TrMean media calcolata eliminando il 5% dei valori a partire dal più piccolo ed il 5% di quelli a partire dal più grande; StDev devizione standard (o scarto tipo); SE Mean deviazione standard (o scarto tipo) della media; Minimum valore minimo; Maximum valore massimo; Q1 primo quartile; Q3 terzo quartile. Fig. 1.a Grafico riassuntivo per l analisi statistica dei dati riportati in Tab.1 (valori per il lotto 1).
76 Metodi di analisi dei dati in MINITAB Fig. 1.a Grafico riassuntivo per l analisi statistica dei dati riportati in Tab.1 (valori per il lotto 2). All interno di ogni grafico, oltre ai parametri già riportati nella finestra sessione, sono riportati: Anderson-Darling Normality Test il test di normalità di Anderson-Darling; Variance varianza; Skewness indice che misura l asimmetria; Kurtosis indice che misura la curtosi; 95% Confidence Interval for Mu intervallo di fiducia al 95% della media; 95% Confidence Interval for Sigma intervallo di fiducia al 95% della deviazione standard (o scarto tipo); 95% Confidence Interval for Median intervallo di fiducia al 95% della mediana. Dai valori ottenuti per l esempio si può concludere che non vi è significativa differenza tra i due lotti. Tale conclusione può essere raggiunta in maniera più rigorosa effettuando un test d ipotesi sulla differenza delle medie ottenute per i due lotti. 4.3 Intervalli di fiducia e test della media MINITAB permette di calcolare gli intervalli di fiducia ed effettuare i test della media per uno o due campioni, inclusi i seguenti test d ipotesi: Z-test, one-sample t-test, two-sample t-test e paired t-test. Inoltre è possibile calcolare intervalli di confidenza ed effettuare test d ipotesi per la mediana anche nel caso in cui non si possa assumere che i dati siano distribuiti in maniera normale.
Metodi di analisi dei dati in MINITAB 77 Ad esempio per calcolare un intervallo di fiducia del tipo one-sample t-confidence interval ed effettuare un test d ipotesi per la media, è necessario effettuare i seguenti passaggi: 1) Scegliere Stat Basic Statistics 1-Sample t. 2) Alla voce Variables, inserire il nome (o i nomi) della colonna (o delle colonne) contenente il campione (o contenti i campioni). MINITAB effettua un analisi separata per i dati in ogni colonna. 3) Per effettuare un test d ipotesi, alla voce Test mean inserire il valore per cui si vuole fare il test (ciò equivale ad inserire il valore della media per cui verificare l ipotesi nulla). 4) Cliccare su OK. Secondo le opzioni disponibili è possibile: Specificare il livello di fiducia (quello di default è 95%). Ciò può essere fatto cliccando sul tasto Options e inserendo il valore desiderato alla voce Confidence level. Definire l ipotesi alternativa scegliendo, dopo aver cliccato sul tasto Options, le opzioni less than (minore di), not equal (diversa da) o greater than (maggiore di). Ottenere un istogramma, un dotplot o un boxplot per ogni soluzione. Ciò può essere fatto cliccando sul tasto Graphs e selezionando la voce desiderata. 4.3.1 Esempio di applicazione del comando t-confidence interval Si supponga di voler ottenere un intervallo di confidenza del tipo t-confidence interval al 95% sul valore medio della resistenza elettrica (misurata in Ω) di un determinato componente elettronico, basandosi su una serie di misurazioni effettuate sulla produzione giornaliera di tale componente. I valori misurati sono riportati in Tab 2. Lotto 1 [Ω] Lotto 2 [Ω] Lotto 3 [Ω] Lotto 4 [Ω] Lotto 5 [Ω] 135 134 133 133 135 136 134 133 134 135 132 134 135 135 134 138 137 137 135 134 138 133 138 135 133 135 132 138 133 136 134 137 135 138 137 135 137 135 137 133 137 135 133 135 132 137 135 132 139 139 Tab. 2 Dati corrispondenti alle misure di resistenza effettuate sulla produzione giornaliera di 50 componenti elettrici. Per effettuare tale analisi con MINITAB è necessario eseguire i seguenti passaggi: 1) Inserire i dati relativi alle misurazioni nella colonna C1. 2) Nominare la colonna C1 con Resistenza Ohm. 3) Scegliere Stat Basic Statistics 1-Sample t. 4) Alla voce Variables, scegliere Resistenza Ohm. 5) Cliccare su OK.
78 Metodi di analisi dei dati in MINITAB Se, inoltre, si vuole effettuare un test d ipotesi, imponendo l ipotesi nulla che il valore della media sia maggiore di 135 Ω, ed avere un istogramma dei valori misurati, è necessario variare la procedura nel modo seguente: 1) Inserire i dati relativi alle misurazioni nella colonna C1. 2) Nominare la colonna C1 con Resistenza Ohm. 3) Scegliere Stat Basic Statistics 1-Sample t. 4) Alla voce Variables, scegliere Resistenza Ohm. 5) Alla voce Test mean inserire il valore 135. 6) Cliccare su Options. 7) Alla voce Alternative, scegliere greater than. 8) Cliccare su OK. 9) Cliccare su Graphs. 10) Selezionare Hystogram of data. 11) Cliccare su OK. 12) Cliccare su OK. Compariranno il grafico riportato in Fig. 2 e nella finestra sessione comparirà la seguente tabella: One-Sample T: Resistenza Ohm Test of mu = 135 vs mu > 135 Variable N Mean StDev SE Mean Resistenza O 50 135,120 1,945 0,275 Variable 95,0% Lower Bound T P Resistenza O 134,659 0,44 0,332 Fig. 2 Istogramma riassuntivo per l analisi statistica dei dati riportati in Tab.2.
Metodi di analisi dei dati in MINITAB 79 In questo caso (trattandosi di un test unilaterale) il valore minimo riportato per l intervallo di fiducia è Lower Bound = 134,659 Ω. Inoltre si ottiene che il livello di rischio con cui può essere rifiutata l ipotesi nulla risulta pari al 33,2%. 4.4 Tabelle di contingenza Con MINITAB è possibile impostare diversi tipi di analisi sulla distribuzione dei dati sperimentali tramite l uso delle tabelle di contingenza. In particolare sono previste cinque differenti procedure per l analisi dei dati raccolti in forma tabellare: Cross Tabulation, Tally, Chi-Square Test, Simple Correspondence Analysis e Multiple Correspondance Analysis. La procedura di Cross Tabulation (riportata di seguito a titolo d esempio) consente di costruire tavole di contingenza a una, due o più entrate. L operazione fornisce come dati di output i conteggi dei dati, le percentuali ed altre statistiche riassuntive quali medie, deviazioni standard, massimi e minimi delle variabili considerate. Di seguito sono riportati i passaggi per effettuare un analisi con la procedura Cross Tabulation, alcune delle altre procedure saranno introdotte di volta in volta negli esempi riportati nei capitoli successivi: 1) Scegliere Stat Tables Cross Tabulation. 2) Nella finestra che compare, alla voce Classification variables, inserire dalle due alle dieci colonne contenenti: - o i dati bruti, nel caso in cui si stiano analizzando direttamente i dati bruti; - o le classi di dati, in questo caso è necessario selezionare anche la voce Frequencies are in ed inserire nello spazio che compare la colonna contenente le frequenze corrispondenti alle varie classi. 3) Cliccare su OK Secondo le opzioni disponibili è possibile (si vedano gli esempi applicativi del Cap. 5): Ottenere in output i conteggi o le percentuali relativi ad ogni cella di una tabella a due entrate. Effettuare un test del χ 2 per ogni tabella a due entrate. Per ogni variabile è possibile ottenere i seguenti output: - la media, la mediana, il minimo, il massimo, la somma e la deviazione standard; - i dati, il numero di dati non mancanti ed il numero di dati mancanti; - la proporzione di osservazioni uguali ad uno specifico valore e la proporzione di osservazioni all interno di uno specifico intervallo delle variabili congiunte. Ottenere in input le frequenze marginali per le variabili selezionate. Modificare la disposizione della tavola. 4.4.1 Esempio di tabelle di contingenza Si supponga di voler riassumere i dati riportati in Tab. 3 (relativi ai componenti per l assemblaggio di un determinato prodotto meccanico) in modo da ottenere il numero e la percentuale di componenti difettosi per ogni fornitore. Per effettuare tale analisi con MINITAB è necessario eseguire i seguenti passaggi: 1) Inserire i dati identificativi del componente nella colonna C1. 2) Inserire i dati relativi alla difettosità nella colonna C2. 3) Inserire i dati identificativi del fornitore nella colonna C3. 4) Nominare la colonna C1 con Componente.
80 Metodi di analisi dei dati in MINITAB 5) Nominare la colonna C2 con Difettoso. 6) Nominare la colonna C3 con Fornitore. 7) Scegliere Stat Tables Cross Tabulation. 8) Alla voce Classification variables, scegliere Difettoso e Fornitore. 9) Selezionare le voci Counts e Column percents. 10) Cliccare su OK. Compon. Difettoso Fornitore Compon. Difettoso Fornitore Compon. Difettoso Fornitore 1 si A 18 si B 35 no C 2 si A 19 no C 36 no A 3 no A 20 si C 37 no C 4 no A 21 no C 38 si A 5 no B 22 si A 39 no B 6 no B 23 no A 40 no A 7 no B 24 no A 41 no A 8 no C 25 no B 42 no A 9 si C 26 no B 43 si C 10 si A 27 si B 44 si C 11 no B 28 no C 45 no C 12 no C 29 si B 46 no C 13 no A 30 si C 47 si C 14 no A 31 si B 48 no B 15 si A 32 no C 49 si B 16 si B 33 no B 50 no B 17 no B 34 no A 51 no B Tab. 3 Identificazione dei componenti difettosi per l assemblaggio di un dato prodotto meccanico. Nella finestra sessione comparirà la seguente tabella: Tabulated Statistics: Difettoso; Fornitore Rows: Difettos Columns: Fornitor A B C All no 11 12 10 33 64.71 66.67 62.50 64.71 si 6 6 6 18 35.29 33.33 37.50 35.29 All 17 18 16 51 100.00 100.00 100.00 100.00 Cell Contents -- Count % of Col
Metodi di analisi dei dati in MINITAB 81 Osservando i valori di output, si vede che MINITAB fornisce il conteggio dei componenti difettosi per ogni fornitore, ed in particolare si ottiene che tutti i fornitori hanno fornito 6 componenti difettosi, corrispondenti per il fornitore A al 35.29% di tutta la sua fornitura, per il fornitore B al 33.33% e per il fornitore C al 35.29%. Inoltre la percentuale di componenti difettosi su tutta la fornitura è pari al 35.29%. Si noti che le ultime due voci che compaiono nella finestra sessione ( Count % of Col ) indicano che i risultati della tabella che compare nella finestra sessione rappresentano, per ogni casella della tabella, il numero di conteggi per ogni fornitore ( Count ) e la percentuale di conteggi per ogni fornitore ( % of Col ). 4.5 Correlazione MINITAB permette di calcolare il coefficiente di correlazione per due variabili. Si ricorda che il coefficiente di correlazione lineare può assumere valori compresi nell intervallo [-1,+1]; se una variabile tende a crescere in modo lineare mentre l altra decresce, il coefficiente è negativo, viceversa, se le due variabili tendono a crescere o decrescere contemporaneamente, il coefficiente è positivo. Se le due variabili non sono correlate, il coefficiente è prossimo a zero. Ad esempio per calcolare il coefficiente di correlazione lineare tra due variabili i cui valori sperimentali sono riportati rispettivamente in due colonne, è necessario compiere i seguenti passaggi: 1) Scegliere Stat Basic Statistics Correlation. 2) Alla voce Variables, inserire il nome delle due colonne contenenti i dati misurati (se si inseriscono più colonne MINITAB calcola il coefficiente di correlazione tra tutte le coppie di colonne e presenta in output il triangolo inferiore delle matrice di correlazione risultante). 3) Cliccare su OK. Secondo le opzioni disponibili è possibile: Visualizzare il livello di fiducia per i test di ipotesi individuali (tale opzione avviene per default). Salvare la matrice di correlazione selezionando la voce Store matrix (display nothing). In questo caso per visualizzare la matrice è necessario scegliere Manip Display Data, oppure guardare nella cartella matrici della finestra gestione progetto. Calcolare il coefficiente di correlazione di Spearman ed il coefficiente di correlazione corretto (adjusted correlation coefficient). Per tali operazioni si rimanda all Help in linea di MINITAB. 4.5.1 Esempio di correlazione Si supponga di voler analizzare la correlazione esistente tra la tensione meccanica applicata longitudinalmente ad una sbarra metallica e la corrispondente deformazione longitudinale (valori riportati in Tab. 4). Per effettuare tale analisi con MINITAB è necessario eseguire i seguenti passaggi: 1) Inserire i dati relativi alle misurazioni della deformazione nella colonna C1. 2) Inserire i dati relativi alle misurazioni dello sforzo nella colonna C2. 3) Nominare la colonna C1 con Deformazione. 4) Nominare la colonna C2 con. 5) Scegliere Stat Basic Statistics Correlation. 6) Alla voce Variables, scegliere Deformazione e. 7) Cliccare su OK.
82 Metodi di analisi dei dati in MINITAB Def. [mε] Def. [mε] Def. [mε] Def. [mε] Def. [mε] 0,10 20,245 0,50 98,924 0,90 182,090 1,30 265,453 1,70 342,533 0,15 31,174 0,55 110,051 0,95 184,438 1,35 271,751 1,75 352,360 0,20 37,796 0,60 117,409 1,00 200,374 1,40 277,778 1,80 354,420 0,25 53,574 0,65 127,545 1,05 209,994 1,45 292,539 1,85 363,960 0,30 65,132 0,70 136,934 1,10 222,213 1,50 306,590 1,90 384,110 0,35 74,037 0,75 158,453 1,15 231,034 1,55 306,781 1,95 394,475 0,40 74,108 0,80 150,393 1,20 243,951 1,60 318,969 2,00 403,494 0,45 97,715 0,85 172,783 1,25 238,596 1,65 327,895 Tab. 4 Dati corrispondenti alle misure di resistenza meccanica effettuate su una sbarra metallica. Nella finestra sessione comparirà la seguente tabella: Correlations: Deformazione; Pearson correlation of Deformazione and = 0,999 P-Value = 0,000 Tale risultato evidenzia, come atteso, una forte correlazione positiva tra le due variabili. Ulteriori test possono spiegare meglio il significato di questa correlazione. Inoltre con l operazione di regressione (descritta nel paragrafo successivo) è possibile individuare i parametri della relazione funzionale esistente tra le due variabili analizzate. 4.6 Regressione La regressione è un analisi statistica che permette di stimare i parametri di un modello del primo ordine lineare che si assume possa descrivere la relazione tra una o più variabili d ingresso (predictors) ed una variabile d uscita (response). MINITAB permette di utilizzare diverse procedure per effettuare la regressione con il metodo dei minimi quadrati o del tipo logistic regression. Tali procedure, che si basano sul metodo dei minimi quadrati, includono: simple-regression, multipleregression, stepwise-regression e best-subset-regression. Inoltre è possibile riportare su di un grafico la curva ottenuta con i risultati della regressione (fit) e generare diversi grafici per l'analisi dei residui. Per ciò che riguarda le logistic-regression, MINITAB fornisce diversi metodi per i seguenti tipi di variabile d'uscita: binary (binaria), ordinal (ordinale) e nominal (nominale). In queste dispense non sarà trattata la logistic-regression, per un approfondimento su tale argomento si rimanda all'help in linea di MINITAB. A titolo d'esempio, di seguito sono riportati i passaggi per effettuare una regressione su un modello lineare tramite l'utilizzo del metodo dei minimi quadrati: 1) Scegliere Stat Regression Regression. 2) Alla voce Response, scegliere la colonna che contiene la variabile d'uscita (variabile dipendente). 3) Alla voce Predictors, scegliere la colonna che contiene la variabile (o le variabili) d'ingresso (variabile indipendente). 4) Cliccare su OK Secondo le opzioni disponibili è possibile: Costruire 5 tipologie diverse di grafico dei residui: Histogram of residuals (istogramma dei residui), Normal plot of residuals (grafico di probabilità normale dei residui), Residuals versus
Metodi di analisi dei dati in MINITAB 83 fit (grafico dei residui in funzione del fit), Residuals versus order (grafico dei residui in funzione dell ordine dei dati) e Residuals versus the variables (grafico dei residui in funzione di una serie di variabili a scelta). Effettuare una regressione pesata, cliccando sul comando Options e inserendo la colonna dei pesi alla voce Weights. Escludere il temine costante (intercetta) dalla regressione, cliccando sul comando Options e deselezionando la voce Fit intercept (selezionata per default). Selezionare le opzioni di output riguardanti le statistiche di risposta (VIF, Durbin-Watson, PRESS). Effettuare diversi tipi di test di lack-of-fit, tramite il comando Options. Effettuare delle previsioni su nuove osservazioni, cliccando sul comando Options e inserendo l intervallo opportuno alla voce Prediction intervals for new observations (con tale opzione è possibile ottenere automaticamente il calcolo sia della Prediction Band sia della Confidence Band). Salvare diversi dati di output per l analisi del modello o per ulteriori analisi dei dati, tramite il comando Storage. Selezionare diverse opzioni di output, tramite il comando Results. 4.6.1 Esempio di regressione Si supponga di voler analizzare se la relazione esistente tra la tensione di frattura di un particolare elastomero e la temperatura di vulcanizzazione utilizzata per la sua produzione possa essere lineare del primo ordine. I dati rilevati sperimentalmente sono riportati in Tab. 5. Temp. [ C] Temp. [ C] Temp. [ C] Temp. [ C] Temp. [ C] 125,2 35,1023 127,2 35,9699 129,2 37,0357 131,2 38,0221 133,2 38,9975 125,4 35,0484 127,4 36,0249 129,4 37,1200 131,4 37,9438 133,4 39,0973 125,6 35,1312 127,6 36,0320 129,6 37,2191 131,6 38,1547 133,6 39,2336 125,8 35,2201 127,8 36,3332 129,8 37,2921 131,8 38,1941 133,8 39,3358 126,0 35,3017 128,0 36,3291 130,0 37,3712 132,0 38,4436 134,0 39,5335 126,2 35,3346 128,2 36,6287 130,2 37,3080 132,2 38,5961 134,2 39,4919 126,4 35,3959 128,4 36,7136 130,4 37,5877 132,4 38,6567 134,4 39,5878 126,6 35,7251 128,6 36,7463 130,6 37,7072 132,6 38,7064 134,6 39,8956 126,8 35,7789 128,8 36,8455 130,8 37,5864 132,8 39,0021 134,8 39,7274 127,0 35,7445 129,0 36,9942 131,0 37,7103 133,0 38,7475 135,0 39,8301 Tab. 5 Dati corrispondenti alle misure di resistenza a frattura effettuate su diversi campioni di un particolare elastomero, ottenuti a temperature di vulcanizzazione crescenti. Per effettuare tale analisi con MINITAB è necessario eseguire i seguenti passaggi: 1) Inserire i dati relativi alle misurazioni della temperatura nella colonna C1. 2) Inserire i dati relativi alle misurazioni tensione di frattura nella colonna C2. 3) Nominare la colonna C1 con Temperatura. 4) Nominare la colonna C2 con Tensione. 5) Scegliere Stat Regression Regression. 6) Alla voce Response, scegliere Tensione. 7) Alla voce Predictors, scegliere Temperatura. 8) Cliccare sul comando Graphs.
84 Metodi di analisi dei dati in MINITAB 9) Selezionare la voce Normal plot of residuals. 10) Cliccare su OK. 11) Cliccare su OK. Compariranno il grafico riportato in Fig. 3 e nella finestra sessione comparirà la seguente tabella: Regression Analysis: Tensione versus Temperatura The regression equation is Tensione = - 28,7 + 0,508 Temperatura Predictor Coef SE Coef T P Constant -28,6678 0,6331-45,28 0,000 Temperat 0,508060 0,004865 104,44 0,000 S = 0,09928 R-Sq = 99,6% R-Sq(adj) = 99,6% Analysis of Variance Source DF SS MS F P Regression 1 107,51 107,51 10906,91 0,000 Residual Error 48 0,47 0,01 Total 49 107,98 Unusual Observations Obs Temperat Tensione Fit SE Fit Residual St Resid 29 131 37,5864 37,7863 0,0144-0,2000-2,04R 39 133 39,0021 38,8025 0,0192 0,1996 2,05R R denotes an observation with a large standardized residual Fig. 3 Grafico di probabilità normale dei residui ottenuti dalla regressione lineare su un modello di primo grado dei dati riportati in Tab.5.
Metodi di analisi dei dati in MINITAB 85 Analizzando il risultato riportato nella finestra sessione si vede che MINITAB fornisce come output: - l equazione della retta di regressione; - le stime dei parametri con i corrispondenti scarti quadratici ed il corrispondente test di significatività di Student (nel caso in esame tutti e due i parametri calcolati sono significativi); - le diverse statistiche sulla regressione; - i risultati dell ANOVA (per l interpretazione dei quali si rimanda all Help di MINITAB); - e l elenco di alcune osservazioni (dati sperimentali) giudicate eccessivamente distanti dai valori previsti dal fit. Inoltre, dall analisi visiva dei punti riportati sul Grafico di Probabilità Normale dei residui, non si evidenziano scostamenti sistematici dall assunzione di normalità per gli errori. 4.7 Operazioni con le matrici in MINITAB Con MINITAB è possibile creare delle matrici ed effettuare con esse diversi tipi di operazioni algebriche. Di seguito sono riportate le procedure per effettuare alcune delle principali azioni di costruzione e manipolazione eseguibili con MINITAB. 4.7.1 Costruzione di una matrice in MINITAB La costruzione di una matrice con MINITAB può essere effettuata in diversi modi: Creazione di una matrice usando il comando Read e inserendo i dati con la tastiera In questo modo si può creare una matrice che verrà salvata nel progetto nella casella matrici, con il proprio identificativo d ordine definito da MINITAB (M1, M1,, Mn) e con il nome che si decide di attribuire alla matrice. 1) Selezionare la finestra sessione. 2) Scegliere Editor Enable commands (accertarsi che sia selezionata questa opzione). 3) Nella finestra sessione comparirà il prompt: MTB >. 4) Scegliere Calc Matrices Read. 5) Selezionare la voce Read from keyboard. 6) Alla voce Number of rows, digitare il numero di righe. 7) Alla voce Number of columns, digitare il numero di colonne. 8) Alla voce Read into matrix, digitare il nome che si vuole assegnare alla matrice. 9) Cliccare su OK. 10) Nella finestra sessione comparirà il prompt: DATA >. 11) Inserire i dati della prima riga della matrice (separati da uno spazio) e poi premere il tasto [Invio]. 12) Inserire i dati della seconda riga e premere [Invio]. 13) Completare tutte le righe della matrice agendo in maniera iterativa nel modo descritto. 14) Quando la matrice sarà completata MINITAB segnalerà di aver letto il numero di righe prestabilito. Creazione di una matrice usando il comando Read e inserendo i dati da un file In questo modo si può creare una matrice che verrà salvata nel progetto nella casella matrici, con il proprio identificativo d ordine definito da MINITAB (M1, M1,, Mn) e con il nome che si decide di attribuire alla matrice. 1) Scegliere Calc Matrices Read. 2) Selezionare la voce Read from file.
86 Metodi di analisi dei dati in MINITAB 3) Alla voce Number of rows, digitare il numero di righe. 4) Alla voce Number of columns, digitare il numero di colonne. 5) Alla voce Read into matrix, digitare il nome che si vuole assegnare alla matrice. 6) Cliccare su OK. 7) Comparirà la finestra per la selezione del file. 8) Selezionare il file da cui estrarre la matrice (si noti che il file deve contenere i dati esattamente disposti secondo le righe e le colonne stabilite e separati da uno spazio). 9) Cliccare su Open. Creazione di una matrice copiandola da una serie di colonne In questo modo si può creare una matrice che verrà salvata nel progetto o nella casella matrici con il proprio identificativo d ordine definito da MINITAB (M1, M1,, Mn) e con il nome che si decide di attribuire alla matrice, o in un altra serie di colonne. 1) Scegliere Calc Matrices Copy. 2) Alla voce Copy from column(s) or matrix, selezionare le colonne da cui copiare. 3) Selezionare la voce Copy into matrix e digitare il nome con cui si vuole chiamare la nuova matrice, oppure selezionare la voce Copy into columns, in questo caso è necessario specificare le colonne in cui si vuole copiare la matrice. 4) E possibile specificare alcune condizioni nella scelta delle righe e colonne da copiare, utilizzando i tasti Use Rows e Omit Rows. 5) Cliccare su OK. Creazione di una matrice copiandola da un altra matrice di MINITAB In questo modo si può creare un altra matrice che verrà salvata nel progetto o nella casella matrici con il proprio identificativo d ordine definito da MINITAB (M1, M1,, Mn) e con il nome che si decide di attribuire alla matrice, o in una serie di colonne. 1) Scegliere Calc Matrices Copy. 2) Alla voce Copy from column(s) or matrix, selezionare la matrice da cui copiare. 3) Selezionare la voce Copy into matrix e digitare il nome con cui si vuole chiamare la nuova matrice, oppure selezionare la voce Copy into columns, in questo caso è necessario specificare le colonne in cui si vuole copiare la matrice. 4) E possibile specificare alcune condizioni nella scelta delle righe e colonne da copiare, utilizzando i tasti Use Rows e Omit Rows. 5) Cliccare su OK. Creazione di una matrice di valori tutti uguali In questo modo si può creare una matrice di valori tutti uguali che verrà salvata nel progetto o nella casella matrici con il proprio identificativo d ordine definito da MINITAB (M1, M1,, Mn) e con il nome che si decide di attribuire alla matrice. 1) Scegliere Calc Matrices Define Costant. 2) Alla voce Value, digitare il valore che si vuole riportare in tutte le celle. 3) Alla voce Number of rows, digitare il numero di righe. 4) Alla voce Number of columns, digitare il numero di colonne. 5) Alla voce Store result in, digitare il nome della matrice che si vuole creare. 6) Cliccare su OK. Creazione di una matrice diagonale In questo modo si può creare una matrice diagonale che verrà salvata nel progetto o nella casella matrici con il proprio identificativo d ordine definito da MINITAB (M1, M1,, Mn) e con il nome che si decide di attribuire alla matrice. 1) Scegliere Calc Matrices Diagonal.
Metodi di analisi dei dati in MINITAB 87 2) Selezionare la voce Make diagonal matrix. 3) Alla voce Using column, selezionare la colonna da cui copiare i valori. 4) Alla voce Store result in, digitare il nome della matrice che si vuole creare. 5) Cliccare su OK. Creazione di una colonna che contiene la diagonale di una matrice esistente in MINITAB 1) Scegliere Calc Matrices Diagonal. 2) Selezionare la voce Copy diagonal: 3) Alla voce From matrix, selezionare la matrice da cui copiare la diagonale. 4) Alla voce Store result in, digitare il nome della colonna in cui si vogliono salvare i valori. 5) Cliccare su OK. 4.7.2 Visualizzazione di una matrice in MINITAB Per visualizzare una matrice esistente in un progetto di MINITAB è sufficiente eseguire i seguenti passaggi: 1) Scegliere Manip Display Data. 2) Selezionare la variabile che si vuole visualizzare (in questo caso una matrice). 3) Cliccare su OK. La matrice sarà visualizzabile nella finestra sessione. 4.7.3 Operazioni algebriche e calcolo dei parametri di una matrice in MINITAB Le varie informazioni relative al numero di righe, al numero di colonne, al nome ed alla descrizione della matrice, sono disponibili nella cartella matrici. Con MINITAB è, inoltre, possibile effettuare una serie di operazioni con le matrici. La maggior parte di queste si trovano nel menu che compare eseguendo i comandi: Calc Matrices. In tal modo, data una matrice, è possibile calcolarne la trasposta, invertirla, analizzarne gli autovalori e gli autovettori, sommarla, sottrarla o moltiplicarla con un altra matrice. Per effettuare dei calcoli sulle colonne o sulle righe separatamente, invece, conviene copiare la matrice in un foglio di lavoro ed eseguire i calcoli sulle colonne e le righe del foglio di lavoro stesso.
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