Modello di Ising 2D Simulazione mediante tecniche Monte Carlo

Modello di Ising 2D Simulazione mediante tecniche Monte Carlo Lorenzo De Angelis A.A. 22/23 Indice Introduzione: Il modello di Ising 2. Il metodo Monte Carlo nel modello di Ising 3.. Catene di Markov................................ 3.2. Condizione del bilancio dettagliato: algoritmo di Metropolis........ 4 2. Simulazione del modello di Ising 5 2.. Configurazione iniziale............................. 5 2.2. Scelta e accettazione della mossa....................... 5 2.3. Calcolo delle osservabili e riconoscimento della convergenza........ 6 2.3.. Una prima simulazione......................... 7 3. Ottimizzazione della simulazione 3.. Aggiornamento casuale e aggiornamento sequenziale............ 3... Confronto delle prestazioni...................... 3..2. Tempi di convergenza......................... 2 4. Risultati delle simulazioni 4 4.. Simulazioni a diverse temperature...................... 4 4.2. Andamento delle osservabili in funzione della temperatura......... 6 Conclusioni ed ulteriori sviluppi 2 A. Risultati attesi per il modello di Ising 2D 2 B. Dipendenza dalla configurazione iniziale 22

Introduzione: Il modello di Ising Lo scopo di questo lavoro è quello di studiare un insieme di variabili binarie (spin) disposte su un reticolo quadrato, caratterizzate da un interazione H{σ} = (i,j) J ij σ i σ j in cui σ i è la variabile di spin associata al sito i, e può valere ±, e J ij è un parametro che quantifica l interazione tra lo spin del sito i e quello del sito j. Figura : Schema del reticolo bidimensionale utilizzato nel modello di Ising. In questa trattazione ci si limiterà, per semplicità, a considerare solo l interazione tra spin situati su siti primi vicini, e si assumerà J ij = J > indipendente da i e j. L Hamiltoniana di interazione può essere riscritta come H{σ} = J (i,j) σ i σ j ; (i, j) primi vicini. Le unità di misura saranno, in tutto il lavoro, quelle in cui l energia si misura in unità di J, che non simboleggia il ben più noto Joule, ma è il parametro di interazione appena descritto. Si vedrà come studiare il comportamento di quantità macroscopiche medie del sistema, come la magnetizzazione (m) e l energia (e), mediante tecniche di simulazione Monte Carlo, e si capirà come ottimizzare la simulazione con alcuni importanti accorgimenti. 2

. Il metodo Monte Carlo nel modello di Ising In linea con quanto previsto nell ensamble canonico, il valore di aspettazione di una qualsiasi osservabile A può essere espresso come A = {σ} A{σ}e H{σ}/T {σ} e H{σ}/T Dato un sistema con un numero discreto di stati (come quello in questione), usando un computer si può calcolare A{σ} per ogni possibile configurazione, che andrà pesata con la distribuazione di Boltzmann per ottenere il valore atteso cercato. Già considerando un reticolo quadrato di lato L = 2, il numero di stati possibili sarebbe 2 4 2. Ad oggi non è possibile, in tempi confrontabili con quelli della vita umana, analizzarli tutti. La soluzione è offerta dai metodi Monte Carlo, basati sul concetto di campionamento per importanza: non potendo esplorare tutto lo spazio degli stati possibili, ci si vuole concentrare a campionare la sua parte più interessante (in cui N = e H{σ}/T è grande) 2 Fondamentalmente si vuole compiere il passaggio logico AN = A Boltz. A N ρ trials in cui trials è una media effettuata su stati {σ} generati con distribuzione ρ. Più AN /ρ è liscia, più la convergenza del calcolo dei valori medi è veloce []. Le espressioni di A, sono spesso di per sé funzioni lisce, senza particolari problemi, quindi una scelta ottimale sarebbe campionare con distribuzione di probabilità ρ = N. Per riuscire a mettere in pratica ciò occorre introdurre il concetto di catena di Markov... Catene di Markov Una catena di Markov è un processo stocastico con le seguenti proprietà:. x n S, con S finito o numerabile; 2. x n+ dipende solo da x n. Nel limite in cui n mi aspetto ρ n+ ρ n ρ: quello che mi occorre è quindi una catena di Markov in cui la distribuzione di equilibrio sia quella di Boltzmann, con cui campionare il sistema in studio. Il parametro da definire è la probabilità di transizione π nm da uno stato n ad uno stato m: ρ m = ρ n π nm all equilibrio ρ = ρπ () n L ultima relazione è detta condizione del bilancio, ed è una condizione necessaria e sufficiente per determinare la matrice π che porta alla distribuzione asintotica ρ. Per semplicità di calcolo si considera K B = : le temperature saranno così espresse in K B/J. 2 Ciò risulta fondamentale in problemi come quello che si vuole studiare, in quanto le distribuzioni di probabilità N sono spesso funzioni fortemente piccate in zone ristrette dello spazio degli stati possibili, ed in tutto il restante spazio valgono circa zero. 3

.2. Condizione del bilancio dettagliato: algoritmo di Metropolis Si può facilmente dimostrare che una particolare π che soddisfa la condizione del bilancio (), è quella che soddisfa la condizione del bilancio dettagliato, espressa dalla (2): Infatti, se vale la (2), si ha che: ρ o π on = ρ n π no (2) ρ (t+) n = ρ (t) n + k n ρ(t) k π kn k n ρ(t) n π nk = ρ (t) n ovvero, ρ è la distribuzione asintotica. Arrivati a questo punto non resta che trovare una strategia per determinare π che verifichi la condizione del bilancio dettagliato. Quella proposta da Metropolis è una π della forma seguente: π on = α(o n)acc(o n) in cui α(o n) è un generico modo per tentare transizioni da o ad n, e acc(o n) è la probabilità di accettare queste transizioni. Scegliendo α(o n) simmetrico 3, la condizione da porre per soddisfare il bilancio dettagliato è: acc(o n) acc(n o) = ρ n ρ o che, nel caso in cui la distribuzione asintotica a cui si vuole arrivare è quella di Boltzmann, si scrive come: acc(o n) acc(n o) = e E/T in cui E = E[n] E[o]. Si può facilmente verificare che una scelta di acc(o n) che soddisfi questa equazione è la seguente: acc(o n) = min{, e E/T } (3) Con la definizione data dalla (3), e con molta libertà nella scelta di α, si hanno tutti gli ingredienti per effettuare una simulazione Monte Carlo. Nelle sezioni seguenti si vedrà come mettere in pratica quanto visto sinora. 3 Ad esempio questo può essere ottenuto proponendo transizioni o n in maniera casuale, con distribuzione di probabilità uniforme. 4

2. Simulazione del modello di Ising Lo schema d azione della simulazione che si intende effettuare è il seguente:. Il primo passo è creare una configurazione di partenza: va definito ogni spin σ i ; 2. Si deve selezionare una possibile transizione; nel caso del modello di Ising questa può essere identificata come uno spin flip: si seleziona lo spin σ i corrispondente al sito i, e si propone la sostituzione con σ i ; 3. Dopo aver definito l eventuale transizione bisogna decidere se effettuarla o meno, e per fare ciò si deve calcolare la variazione di energia E corrispondente alla mossa che si vuole fare: si accetterà la transizione proposta con probabilità p = min{, e E/T }; 4. È a questo punto che vanno calcolate le osservabili di interesse, che faranno capire l avvenuta convergenza dell algoritmo; 5. I punti 2. 3. e 4. andranno ripetuti fino al raggiungimento dell equilibrio. Ci si trova in una situazione di equilibrio quando tutte le osservabili del sistema sono in media costanti nel tempo: molto pragmaticamente si considererà raggiunto l equilibrio quanto tutte le osservabili sotto esame saranno arrivate a convergenza 4. Si parlerà meglio della questione nella sezione 2.3. 2.. Configurazione iniziale La configurazione ideale da cui partire sarebbe quella di equilibrio. Ovviamente se già si conoscesse la configurazione di equilbrio, non ci si chiederebbe quale essa fosse. La scelta della configurazione di partenza è quindi completamente libera: a questo livello non si sa niente sul sistema, si può solo tentare, ed osservare i risultati di quanto fatto. Alcune semplici idee possono essere la configurazione random, in cui tutti gli spin vengono definiti in maniera casuale, e la configurazione a spin allineati, in cui si definiscono tutti gli spin uguali a (oppure -). Il reticolo oggetto dello studio sarà sempre un reticolo quadrato di lato L = (N = 6 spin), con condizioni periodiche al contorno, che permetteranno di affievolire leggermente la natura limitata del reticolo. Si utilizzerà sempre una configurazione iniziale con spin allineati σ i = i. Le differenze che potrebbero seguire ad una diversa scelta della configurazione iniziale sono discusse nell appendice B. 2.2. Scelta e accettazione della mossa Il modo più semplice di verificare la condizione del bilancio dettagliato è proporre transizioni in maniera casuale: estraendo un numero random si seleziona uno degli N spin e si decide se cambiarlo di segno. 4 In linea di principio ci potrebbero essere osservabili, che non sto considerando, ancora lontane dalla convergenza. 5

Il calcolo di E, necessario ai fini di quest ultima decisione, potrebbe essere molto dispendioso dal punto di vista delle risorse computazionali: se tutti e N gli spin interagissero tra di loro dovrei compiere uno operazione o(n) per ogni spin flip. Nel caso di interazione tra soli primi vicini, ci si può invece limitare a controllare la situazione dei 2D siti (4 in dimensione D = 2) vicini a quello selezionato.??? σ????? σ4 σ σ2????? σ3??? Figura 2: Gli spin evidenziati in figura sono gli unici interessanti per il calcolo della variazione di energia in seguito ad uno spin flip. Si può fare ancora di più, infatti ci si può facilmente rendere conto che E = 2σ i j i σ j e quindi i valori che può assumere E sono solo 9, e solo 4 di questi sono maggiori di zero. Per cui si possono salvare in un array i valori di e E/T corrispondenti, in modo da evitare il calcolo della funzione esponenziale (operazione non banale per un computer) ad ogni iterazione del programma. 2.3. Calcolo delle osservabili e riconoscimento della convergenza Due delle osservabili oggetto di studio in questa simulazione sono: la densità di magnetizzazione m = σ i N e la densità di energia e = σ i σ j N in cui (da ora in avanti si sottointenderà) la somma è ristretta a coppie di (i, j) primi vicini. In particolare si studierà la magnetizzazione m, osservabile di grande importanza in questo sistema. Anche il calcolo delle osservabili è un operazione importante ai fini delle prestazioni della simulazione (potenzialmente è un operazione o(n)), ma anche in questo caso ci i (i,j) 6

sono delle vie di fuga che rendono molto più leggera la simulazione: infatti, se in seguito ad ogni passo della simulazione ci si ricorda del valore delle osservabili al passo precedente, si può osservare che, in caso di accettazione dello spinf lip m t+ = m t + 2 N σ(new) i ed e t+ = e t + N E e sia σ (new) i che E sono omrai ben noti. Ovviamente in caso di rifiuto della mossa sia m che e restano invariati. Un altro particolare importante a cui fare caso, è che è inutile esportare ad ogni step i valori di tutte le osservabili, in quanto varieranno di o(/n); conviene dunque aggiornare l output soltanto ogni N step; si parlerà d ora in avanti di Monte Carlo Sweep (), riferendosi ad N tentativi di aggiornamento delle variabili. Altre due importanti osservabili, sono il calore specifico c v e la suscettività magnetica χ. Queste non sono facilmente desumibili dallo stato del sistema come m ed e, ma sono legate a queste dalle relazioni che seguono. Ad esempio, per quanto riguarda c v, si può dimostrare che c v = e T = [ e 2 T 2 e 2] ed, analogamente, per χ vale χ = m h = T [ m 2 m 2] Dato che nella simulazione si farà uno studio in funzione della temperatura, risulta comunque comoda la relazione tra c v e la derivata di e rispetto alla temperatura, mentre è essenziale l espressione di χ indipendente dall utilizzo di un campo magnetico. 2.3.. Una prima simulazione Come primo test per cominciare a capire il funzionamento della simulazione ci si pone ad una temperatura T = 3 e si osserva il comportamento della magnetizzazione m in funzione del numero di step Monte Carlo effettuati. In questo caso si effettuano Monte Carlo Sweep ( = 3 ); ricordando che ciascuno di essi è composto da N singoli passi Metropolis, le mosse complessivamente tentate sono 9. In figura 3 si può osservare l evoluzione della magnetizzazione m: dall andamento si può intuire che per M CS il sistema ha raggiunto l equilibrio termodinamico. È tuttavia importante notare che, su brevi scale di tempo, saranno comunque presenti fluttuazioni intorno alla posizione di equilibrio. Per questo motivo risulta non banale la definizione di un criterio oggettivo per stabilire l avvenuta convergenza. Per superare questo inconveniente si è pensato di non esportare dal programma tutti i valori della mangetizzazione osservati, ma delle medie effettuate su finestre temporali di lunghezza esponenzialmente crescente con 5. Il risultato è riportato in figura 4; l incertezza associata ad ogni media è stata stimata attraverso deviazione standard. 5 Questa scelta permette di avere punti equispaziati in scala logaritmica. 7

.8 T = 3..6 m.4.2 Figura 3: Comportamento della magnetizzazione durante una simulazione Monte Carlo..8 T = 3..6 m.4.2 Figura 4: Magnetizzazione durante una simulazione Monte Carlo. Sono riportate medie su finestre temporali crescenti circa come (.2). Le incertezze sono stimate attraverso deviazione standard; i primi punti, senza incertezza, si riferiscono ad una singola osservazione, per la quale non è possibile stimare la σ. 8

Alla luce di ciò, il criterio di convergenza adottato è il seguente: si ritiene raggiunto l equilibrio quando per tale che m() disti meno di 2σ(m f m) dall ultima misura di m (m f ). La condizione deve essere simultaneamente verificata anche per quanto riguarda l energia e, altra grandezza sotto osservazione, il cui andamento è riportato in figura 5. -.8 - e -.2 -.4 -.6 T = 3. Figura 5: Energia durante una simulazione Monte Carlo. In questo caso, il criterio adottato definisce raggiunto l equilibrio termodinamico per 7, un valore che si può ritenere ragionevole da una semplice osservazione delle figure 4 e 5. Stabilito un criterio di convergenza si hanno tutte le carte in regola per poter svolgere uno studio del sistema. In questo lavoro si effettuerà un analisi in funzione della temeperatura: definita una temperatura T si possono calcolare le osservabili di interesse A(T ) come media dei valori osservati a partire dall avvenuta convergenza. 9

3. Ottimizzazione della simulazione Così come è stata definita, la simulazione è piuttosto pesante dal punto di vista delle risorse computazionali: 9 operazioni (tali sono quelle richieste nell esempio della sez. 2.3.) sono già un numero non indifferente, se si tiene conto che per ognuna di esse è prevista la generazione di almeno un numero pseudo-aleatorio. In questa simulazione lo sforzo maggiore richiesto al computer ad ogni iterazione è proprio quello di generare numeri aleatori: uno per selezionare il sito su cui effettuare lo spin flip, ed, eventualmente, un altro per decidere se effettuare la mossa o meno. In questa sezione si vedrà come fare a meno della generazione del primo numero random, migliorando le prestazioni della simulazione. 3.. Aggiornamento casuale e aggiornamento sequenziale La tattica usata sinora per eseguire un Monte Carlo Sweep è stata quella di selezionare in maniera casuale N siti appartenenti al reticolo sui quali tentare lo spin flip. Un idea potrebbe essere quella di tentare l aggiornamento dei siti in modo sequenziale, risparmiando così la generazione di N numeri random per ogni M CS. Inoltre con un aggiornamento di questo tipo, applicato al caso in questione di un reticolo regolare, si ottimizza il trasferimento di dati dalla memoria RAM ai registri della CPU, poiché le variabili da utilizzare sono sempre vicine (anche sulla memoria del computer) a quelle appena utilizzate. Ci si aspetta dunque un apprezzabile miglioramento delle prestazioni della simulazione. A ragione possono sorgere dei dubbi riguardo il soddisfacimento della condizione del bilancio dettagliato, ma come visto nella sezione.2 questa è una condizione più restringente rispetto a quella del bilancio (unica condizione necessaria e sufficiente), e si può dimostrare che un aggiornamento sequenziale soddisfa l equazione del bilancio [3]. 3... Confronto delle prestazioni Per verificare quanto ipotizzato nella sezione 3., sono stati effettuati dei test di efficienza, misurando la durata di una simulazione con aggiornamento sequenziale, e confrontandola con quella di un analoga simulazione che attua aggiornamenti in maniera casuale 6. Il tutto è stato fatto per diversi valori di. I risultati di questo studio sono riportati nella tabella, mentre nel grafico in figura 6 è riportato l andamento di η, definito come: η Durata simulazione random Durata simulazione sequenziale T [S r] T [S s ] (4) Per piccoli valori di si nota una tendenza lineare di η vs, poi, già da = 5, il valore di η si stabilizza intorno a 4.5. 6 Per misurare i tempi di simulazione è stato fatto un opportuno uso della funzione clock() presente nella libreria C time.h.

T [S r ] (s) σ(t [S r ]) [s] T [S s ] (s) σ(t [S s ]) [s] η σ(η) 2 2.68.3.986.3 2.72.6 5 5.72.6.66.55 3.45.5.96.29 2.8.2 3.9.2 2 2.98.2 5.24. 4.. 5 52.5.4.82.3 4.44.3 3.5.9 23.4.64 4.42.5 2 27.8 2.5 46..4 4.57.68 5 58 3 3.58.86 4.56.2 56 48 236.3 6.5 4.47.24 Tabella : Studio del tempo di esecuzione della simulazione nel caso di aggiornamento casuale (S r ), ed in quello di aggiornamento sequenziale (S s ). I valori di T sono delle medie effettuate su un set di 5 misure, e l incertezza associata è la deviazione standard. 5 4.5 4 η 3.5 3 2.5 Figura 6: Coefficiente di efficienza η, definito dalla (4).

Il guadagno che si ha, da questo punto di vista, è evidente: una simulazione effettuata con aggiornamento sequenziale (S s ) è, per valori ragionevoli di, quasi 5 volte più breve della corrispettiva random (S r ). 3..2. Tempi di convergenza Quello analizzato nella sezione precedente non è l unico punto di vista dal quale si deve osservare il problema: infatti bisogna tener conto di quanto rapidamente una, o l altra, simulazione arrivi a convergenza, secondo il criterio discusso nella sezione 2.3; è infatti solo dall avvenuta convergenza in poi che si possono cominciare a misurare effettivamente le osservabili del sistema. Per analizzare ciò si osserva il comportamento della magnetizzazione e dell energia durante una simulazione S s, effettuata con gli stessi parametri utilizzati per la simulazione S r vista nella sezione 2.3. a -.8 b.8 T = 3..6 - m.4 e.2 -.2 T = 3. -.4 Figura 7: Comportamento di magnetizzazione (a) ed energia (b) durante una simulazione Monte Carlo effettuata con aggiornamento sequenziale (S s ). Per M CS 5 il criterio di convergenza stabilisce l avvenuta equilibratura, e ci si può rendere conto di ciò anche da una semplice osservazione dei grafici in figura 7. Il tempo di convergenza per una S s è quasi 5 volte più piccolo rispetto al caso della S r. Dato che la durata di una simulazione scala linearmente con 7, una simulazione effettuata mediante aggiornamento sequenziale offre prestazioni circa di 2 volte superiori a quelle offerte da una simulazione con aggiornamento casuale. Se fin da subito era chiaro che la simulazione S s sarebbe durata meno rispetto alla corrispondente S r, non è, a primo impatto, così chiaro il motivo del tempo di convergenza sensibilmente minore. La ragione di ciò può essere imputata al fatto che, in una S s, ad ogni viene tentato uno spin flip su ogni sito del reticolo. Invece in una S r alcuni spin potrebbero rimanere bloccati per diversi M CS [4]. 7 Per rendersi conto di ciò basta osservare i dati riportati in tabella. 2

Dal canto suo l aggiornamento in ordine casuale offre il vantaggio di non permettere l instaurarsi di nessun regime asintotico periodico [4]. Un guadagno di un fattore 2 può essere importante. Se si considera, infatti, che alcune simulazioni S s (effettuate nelle sezioni successive) hanno avuto una durata che si aggira intorno alle 6 h, per le corrispondenti S r sarebbero state necessarie circa 2 h (5 giorni): un tempo d attesa non troppo lungo rispetto alla vita umana, ma, ad esempio, la probabilità di incorrere in un black out, in un periodo ricco di temporali come quello in cui sono state effettuate le simulazioni, sarebbe stata molto maggiore. Probabilmente ci si sarebbe dovuti accontentare di simulare un reticolo più piccolo. 3

4. Risultati delle simulazioni In questa sezione verrà svolto uno studio accurato delle osservabili descritte al punto 2.3 in funzione della temperatura, per osservare la transizione di fase del secondo ordine del sistema, che passa da una fase ferromagnetica (T < T c ) ad una paramagnetica (T > T c ) 8. Alla luce di quanto visto nella sezione 3., tutte le simulazioni sono state svolte con l algoritmo che prevede l aggiornamento sequenziale. 4.. Simulazioni a diverse temperature In figura 8 sono riportati alcuni andamenti significativi della magnetizzazione durante la simulazione Monte Carlo. Si può osservare che vicino alla temperatura critica (T c 2.27) il sistema impiega molto più tempo a raggiungere l equilibrio termodinamico rispetto ai casi in cui T T c o T T c. Per T = (fig. 8.a), il sistema è all equilibrio già dopo pochi a partire dalla configurazione iniziale (in cui è caratterizzato da m = ); Per T = 2.2 e T = 2.5 (figg. 8.b e 8.d) ci si trova in una situazione standard, come quella analizzata nelle sezioni 2 e 3: in un tempo ben definito il sistema si porta in una situazione d equilibrio facilmente identificabile; Per T = 2.27 (fig. 8.c) si è nei pressi della temperatura critica : il sistema impiega molto di più a raggiungere l equilibrio rispetto ai casi precedenti, e quando lo raggiunge presenta grosse fluttuazioni, tipiche della transizione di fase; Per T = 3.5 (fig. 8.e), molto similmente a quanto accade per basse temperature, il sistema impiega pochissimo a raggiungere l equilibrio termodinamico, anche se esso è lontano dalla configurazione iniziale; fluttuazioni impercettibili rendono la convergenza molto ben determinata. Oltre a quelle rappresentate in figura 8 sono state effettuate molte altre simulazioni nell intervallo di temperatura [ ; 3.5 ], concentrandosi in particolar modo nel punto critico del sistema (T T c ), con lo scopo di ottenere un set di valori medi A(T ), per ogni osservabile A in esame, sufficiente a descrivere l andamento di queste in funzione della temperatura. 8 Per maggiori informazioni a riguardo si veda l appendice A. 4

m.8.6.4.2 a.8.6 T =. m.4.2 b T = 2.2 c.8.6 m.4.2 T = 2.27.8 d T = 2.5.8 e T = 3.5.6.6 m.4 m.4.2.2 Figura 8: Comportamento della magnetizzazione in simulazioni effettuate per diversi valori della temperatura T. 5

4.2. Andamento delle osservabili in funzione della temperatura In tutta la simulazione ci si è concentrati particolarmente sullo studio della magnetizzazione m; in questa sezione si analizzeranno i risultati ottenuti per tutte le osservabili in esame, ma, coerentemente, particolare attenzione sarà rivolta alla magnetizzazione. In figura sono riportati i risultati ottenuti per quanto riguarda magnetizzazione ed energia, ed in figura 2 quelli per calore specifico e suscettività magnetica. Tutti gli andamenti osservati sono qualitativamente in linea con quanto previsto dalla teoria 9 ; per quanto riguarda la magnetizzazione si vuole verificare l accordo quantitativamente, e per fare ciò si effettua un fit sui dati, partendo dalla soluzione esatta: m t (T ) = [ ( sinh αt ) ] 4 8 c T in cui α = log( + 2).88. Il fit è stato effettuato lasciando libera di variare la temperatura critica T c, che si vorrebbe osservare essere in accordo con quella prevista..8.6 m.4.2 -.2 T.5 2 2.5 3 3.5 Figura 9: Fit effettuato su m(t) a partire dalla soluzione esatta. I risultati fel fit (riportato in figura 9) sono i seguenti: T c = 2.27 ±. χ 2 = 32 / 5 GdL non solo l andamento previsto è ben rispettato, ma la temperatura critica che si ottiene da questa stima è compatibile con quella attesa. 9 Per ogni rimando alla teoria esatta si veda l appendice A 6

.8.6 m.4.2 -.2.5 2 2.5 3 3.5 T -.6 -.8 - -.2 e -.4 -.6 -.8-2.5 2 2.5 3 3.5 Figura : Magnetizzazione ed energia del sistema in funzione della temperatura. T 7

7 6 5 4 C v 3 2 2.5 2 2.5 3 3.5 T 8 6 Χ m 4 2-2.5 2 2.5 3 3.5 Figura : Calore specifico e suscettività magnetica in funzione della temperatura. T 8

C v...5 2 2.5 3 3.5 T X m.. e-6.5 2 2.5 3 3.5 Figura 2: Come in figura 2, ma con una rappresentazione in scala semilogaritmica. T 9

Conclusioni ed ulteriori sviluppi L esito complessivo della simulazione del modello di Ising 2D si può ritenere positivo: i dati osservati sono in linea con quanto atteso. Si è inoltre visto come ottimizzare la simulazione guadagnando un fattore significativo nell efficienza dell esecuzione. Nel reticolo studiato (L= con condizioni periodiche al contorno) sono risultati, almeno ad un primo studio, trascurabili gli effetti dovuti alla taglia finita del sistema. Un interessante sviluppo ulteriore per questo progetto potrebbe essere utilizzare a proprio vantaggio una GPU nell esecuzione della simulazione. Ciò può essere fatto, ad esempio, attraverso l uso del linguaggio CUDA. Questo permetterebbe di portare avanti in parallelo N/2 singoli passi Metropolis in ogni M CS: infatti, considerando il reticolo come una scacchiera, e limitandoci a considerare interazione a primi vicini, tutti i siti bianchi possono essere aggiornati in parallelo, perché il loro spin flip è legato solo all informazione presente sui siti neri, e viceversa. Figura 3: Schema a scacchiera del reticolo del modello di Ising 2D: i siti bianchi (o neri) possono potenzialmente essere aggiornati contemporaneamente. Ciò porterebbe ad un guadagno di una frazione significativa di N nell efficienza di calcolo: sarebbe possibile simulare per tempi più lunghi vicino ai punti critici, con conseguente miglior stima delle osservabili, oppure, si potrebbero provare a studiare sistemi di taglia più grande. 2

A. Risultati attesi per il modello di Ising 2D L andamento atteso per la magnetizzazione residua in funzione della temperatura è [2]: m(t ) = [ ( sinh 2 ) ] 4 8 T Si definisce temperatura critica T c quella per cui m si annulla: T c = 2/ log( + 2) 2.269 e si può osservare che, nei pressi di T c, la magnetizzazione va a zero secondo la legge m (T c T ) 8 Al di sotto della temperatura critica T c il sistema che si sta studiando è un ferromagnete [5]: una volta magnetizzato con l azione di un campo magnetico esterno ha la proprietà di restare magnetizzato quando il campo si annulla. Per quanto riguarda le altre osservabili oggetto di studio in questo lavoro, l energia ha un comportamento abbastanza regolare, con l unica peculiarità di avere un punto di non derivabilità in T c, che causa una divergenza logaritmica nell andamento del calore specifico c v. Anche la suscettività magnetica diverge alla temperatura critica, con un andamento: χ m (T T c ) 7 4 2

B. Dipendenza dalla configurazione iniziale Come si può osservare dalla figura 4, al di sotto della temperatura critica si arriva ad una situazione di equilibrio diversa a seconda della condizione iniziale scelta. Questa è una caratteristica tipica del ferromagnetismo [5], per cui la magnetizzazione residua dipende dalla magnetizzazione iniziale del sistema. Partendo da una configurazione con spin orientati in maniera del tutto casuale (m = ) ci si sarebbe aspettato di misurare una magnetizzazione in media nulla anche all equilibrio, sia sopra che sotto la temperatura critica. Dunque la condizione iniziale interessante in cui porsi per studiare la transizione di fase è quella per cui m =. In questo lavoro è stato scelto di porre m =. Si sarebbe potuto lavorare in maniera del tutto analoga ponendo m =, ottenendo risultati simmetrici a quelli visti. a b.5.5 m T = 2.2 m T = 2.5 -.5 -.5 - - Figura 4: Comportamento della magnetizzazione sotto (a) e sopra (b) la temperatura critica, osservato sia a partire da una configurazione iniziale con m = (+), che da una con m = ( ). 22

Riferimenti bibliografici [] D. Frenkel, B. Smit. Understanding molecular simulation. Academic Press, 2. [2] R. J. Baxter. Exactly solved models in statistical mechanics. Academic Press, 982. [3] R. Ren, G. Orkoulas. Acceleration of Markov chain Monte Carlo simultaions through sequential updating. The journal of chemical physics, 26. [4] L. M. Barone, E. Marinari, G. Organtini, F. Ricci-Tersenghi. Programmazione scientifica. Pearson Education, 26. [5] Ferromagnetismo. Wikipedia, l enciclopedia libera. Luglio 23. 23