Principi di Ottica Fisica

Principi di Ottica Fisica Abbiamo visto che l' ottica classica si può tradizionalmente dividere in due capitoli: Ottica geometrica: λ<<d L ottica geometrica definisce le leggi della riflessione e della rifrazione assumendo che la propagazione della luce in un mezzo omogeneo avvenga in linea retta. Ottica fisica: λ~d Studia i fenomeni per i quali non sono valide le ipotesi semplificative dell ottica geometrica, ma per i quali è necessario a ricorrere alla descrizione ondulatoria della radiazione elettromagnetica tipo: interferenza, diffrazione,

Esempio: che succede se la luce incontra oggetti di dimensione confrontabile con la sua lungezza d onda? Diffrazione delle onde oceaniche Onde oceanica che passano una fenditura, Tel Aviv, Israel λ~5m; d~10m (dimensioni dell apertura tra gli scogli) sono confrontabili L onda non si propaga più in maniera rettilinea! Non valgono più le approssimazioni dell ottica geometrica

STUDIARE J. S. Walker: Fondamenti di Fisica Ottica Fisica e onde elettromagnetiche cap. 1 (tutto), 9 (tutto) Compresi esercizi!!!!!!!

Le onde elettromagnetiche Nell onda elettromagnetica la perturbazione che si propaga è la variazione di campo magnetico e di campo elettrico. In fisica, il campo elettrico è un campo di forze generato nello spazio dalla presenza di carica elettrica o di un campo magnetico variabile nel tempo. Il campo magnetico è un campo di forze generato nello spazio dal moto di una carica elettrica o da un campo elettrico variabile nel tempo. I due campi insieme costituiscono il campo elettromagnetico Il campo elettrico e il campo magnetico oscillano in direzione ortogonale alla direzione di propagazione Nel vuoto tutte le onde elettromagnetiche si propagano con la stessa velocità c La velocità della luce c è la velocità massima che può essere raggiunta nell universo c= 300 000 km / s In un mezzo (vetro, acqua ) di indice di rifrazione n la velocità di propagazione dell onda e.m è nell aria n~1 v~c v= c/n

Onda e.m. armonica: perturbazione (campo elettrico E o magnetico B) sinusoidale che si propaga con velocità v E v x Facciamo una foto in un certo istante t 0 : misuriamo la perturbazione nei vari punti x E(N/C) Y(m) λ Seguiamo la variazione nel tempo della perturbazione in un certo punto x 0 Ay(m) E(N/C) T 0. 0.4 0.6 0.8 1 1. 1.4 1.6 x(m) (s) t(ns) Lunghezza d onda λ: distanza tra due punti che in un certo istante hanno lo stesso valore della perturbazione Periodo T: tempo nel quale la perturbazione in un certo punto fa un oscillazione completa Frequenza f=1/t: numero di oscillazioni al secondo

vt E(N/C) Y(m) vt=λ 0. 0.4 0.6 0.8 1 1. 1.4 1.6 x(m) v λ t=0 t=t La perturbazione si sposta di un tratto vt in un certo intervallo di tempo t. x In un periodo di tempo T (intervallo di tempo in cui la perturbazione in un certo punto dello spazio fa una oscillazione completa) la perturbazione si sposta di una distanza λ. Lunghezza d onda e periodo sono legate tra loro attraverso la velocità di propagazione v λ = v T = v f v = λ T

Come variano T, f, λ e v delle onde e.m. nei diversi mezzi Il periodo T dell'onda e.m. (e quindi la frequenza f=1/t) e' lo stesso della sorgente, esso non cambia durante la propagazione in mezzi diversi La velocità v dell onda e.m. dipende dal mezzo in cui si propaga v = c n Poichè cambia la velocità cambia anche la lunghezza d onda λ : c λ v = = λ 0 f nf n λ 0 = = lunghezza d onda nel vuoto La lunghezza d onda è minore nel mezzo in cui la luce viaggia più lentamente cioè in cui n è maggiore c f n >n 1

Spettro delle onde elettromagnetiche Lo spettro elettromagnetico nelle scale di: Lunghezze d onda, λ o Frequenza, f=c/λ 0 =1/T Energia, E=hν (energia fotoni) dove l energia è espressa in electronvolt (ev) 1 ev = 1.6 10-19 J

Onda armonica=perturbazione sinusoidale: descrizione matematica Lunghezza d onda =λ Velocità onda =v Vogliamo ricavare l espressione matematica che descrive y in funzione del tempo t e della posizione x.

Osserviamo che l onda armonica varia in maniera sinusoidale in funzione della posizione a un istante fissato, per esempio t=0 Y(m) Y(x,t=0) A λ y( x,0) Rappresentazione spaziale π = Acos x λ xx(m) Notiamo che se cambiamo il valore di x di λ il valore della funzione rimane lo stesso. Infatti: π π y( x + λ, t = 0) = Acos x + π = Acos x = y( x, t = 0) λ λ λ è il periodo spaziale della perturbazione armonica

Onda armonica=perturbazione sinusoidale: descrizione matematica Lunghezza d onda =λ Velocità onda =v Dobbiamo ora descrivere come l onda varia nel tempo. Tenendo conto che: l onda si propaga con velocità v in un certo punto x fissato per esempio x=0, la perturbazione varia in maniera sinusoidale con un periodo T=λ/v. Ay(m) E(N/C) T y( x π = 0, t) = Acos t T (s) t(ns)

Nella figura vediamo un onda armonica fotografata negli istanti t=0, t=t/4, t=t/, t=3/4t, t=t. Osserviamo che la cresta dell onda che è in x=0 nell istante t=0, si muove in x=λ/4, x=λ/, x= 3/ λ, x=λ negli istanti considerati. La posizione della cresta può essere scritta come x c ( t) = vt λ = t T In generale se la posizione di un dato punto su un onda nell istante t=0 è x(0) la posizione all istante t sarà x(t) dove la relazione tra le due posizioni è: Per tenere conto della dipendenza dal tempo dell onda dobbiamo quindi sostituire in y( x,0) π = Acos x λ x ( t) λ t = x(0) T λ x x t T π λ π π π y( x, t) = Acos ( x t) = Acos x t = Acos ( x vt) λ T λ T λ

Fase dell onda L argomento della funzione coseno (seno) che caratterizza l onda armonica in un certo punto x a un certo tempo t si chiama fase dell onda Φ in x, t. π π y( x, t) = Acos x t + ϕ0 λ T Φ In generale l onda armonica è caratterizzata da: A, λ, T, ϕ 0 Φ( x, t) = arccos y( x, t) A ϕ 0 0 ϕ 0 =π ϕ 0 = fase iniziale (x=0, t=0) π y ( x, t = 0) = A cos( x + ϕ0) λ ϕ 0 =0 x Poiché il coseno (seno) è una funzione periodica con periodo π, la fase ϕ 0 = ϕ 0 +mπ è equivalente a ϕ 0. La fase ϕ 0 che conta è compresa tra 0 e π Al variare di ϕ 0, fissato il tempo t=t 0, la funzione trasla lungo lasse x

) cos( 0), ( x A t x y λ π = = x ϕ 0= π/ ϕ 0-0 = + = = + = = t T x A t T x A t x y x A x A t x y π λ π π π λ π λ π π λ π sin cos ), ( ) sin( ) cos( 0), ( + = 0 cos ), ( ϕ π λ π t T x A t x y L onda armonica si può esprimere matematicamente sia attraverso la funzione coseno che la funzione seno, che hanno lo stesso andamento soltanto traslato di cambia la fase iniziale ϕ 0, che fissa l argomento della funzione al tempo t=0. nella posizione x=0.

Rappresentazione spaziale: campo elettrico Grafico del valore del campo elettrico in funzione della coordinata x (lungo la direzione di propagazione) ad un tempo fissato t=t 0 =costante Y(m) E(N/C) E 0 E y λ π π ( x, t) = E0 cos x t0 + ϕ0 λ T λ λ = 3x10-7 -7 m=100 nm Rappresentazione spaziale x(10 x(m) -7 m) Ε 00 = N/C E E possibile possibile misurare misurare la la lunghezza lunghezza d onda, d onda, distanza distanza fra fra qualsiasi qualsiasi coppia coppia di di punti punti omologhi omologhi successivi successivi E l ampiezza, l ampiezza, distanza distanza tra tra il il campo campo medio medio di di equilibrio equilibrio e e una una cresta cresta o o un un ventre ventre

Rappresentazione temporale:campo elettrico Grafico del valore del campo elettrico in un punto fissato in funzione del tempo x=x 0 =costante Ey(N/C) Ay(m) E y π π ( x, t) = E0 cos x0 t + ϕ0 λ T T E E possibile possibile misurare misurare il il periodo, periodo, intervallo intervallo di di tempo tempo in in cui cui il il campo campo compie compie un oscillazione un oscillazione completa. completa. Τ = 1x10-15 -15 s E 0 f f =1/T= 1015 15 s -1-1 O la la frequenza, frequenza, numero numero di di t(10(s) -15 s) oscillazioni oscillazioni che che avvengono avvengono in in un un secondo secondo Tra Tra frequenza frequenzae e periodo periodo esiste esiste una una relazione relazione di di proporzionalità proporzionalitàinversa inversa λ = 3x10-7 -7 m=300 nm v=λ/t=3x10 8 m/s

Onde elettromagnetiche armoniche Dalle equazioni di Maxwell si ricava: 0 0 0 v z z y B n c B E = = T f 1 = λ π = k T f π π ω = = frequenza frequenza angolare vettore d onda k T ω λ = = v velocità onda ( ) 0 0 0 0 cos cos ϕ ω ϕ π λ π + = + = t kx E t T x E E y y y ( ) 0 0 0 0 cos cos ϕ ω ϕ π λ π + = + = t kx B t T x B B z z z Unità di misura di E : N/C o V/m Unità di misura di B=E/v: T (Tesla)

Fase dell onda e fronti d onda π π y( x, t) = Acos x t + ϕ0 λ T Il fronte d'onda e' il luogo geometrico dei punti in cui la fase dell'onda allo stesso tempo t 0 ha lo stesso valore; sullo stesso fronte d onda la perturbazione sinusoidale y ha lo stesso valore. (creste, ventri, etc..). Φ

onda elettromagnetica piana armonica y z B x = t T x E E y y π λ π cos 0 = t T x B B z z π λ π cos 0

onde elettromagnetiche armoniche sferiche ) cos( ) cos( ), ( 0 t kr r A t T r r E t r E ω π λ π = = r ) cos( ) cos( ), ( 0 t kr r A t T r r B t r B ω π λ π = = r

Esercizi Esercizio 1 Data l onda descritta dalla funzione: y(x,t)=0cos(1.046 10 7 x-3.14 10 15 t) trovare la frequenza, la lunghezza d onda e la velocità di propagazione (unità di misura di x: metri di t: sec.) Esercizio Al tempo t=0 il campo elettrico di un onda elettromagnetica ha la forma πx y( x,0) = 190 cos N/C 3 Se l onda si muove verso valori di x positivi (x è espresso in metri) con velocità v=3x10 8 m/s, scrivere l equazione dell onda al generico tempo t. Disegnare la forma dell onda al tempo t=0 e al tempo t=1x10-8 s. Quale è il valore dell ampiezza del campo magnetico? Come è diretto tale campo?

INTENSITA DI ENERGIA TRASPORTATA DA UN ONDA

Tutte le onde trasportano energia: l onda elettromagnetica trasporta l energia legata al campo elettrico e il campo magnetico che si propagano. Dalle equazioni di Maxwell si ricava: E 0 0 1 y = v Bz = B εµ 0 z = ε c r µ r B 0 z U u E = = V densità di energia (energia per unità di volume) dovuta alla presenza del campo elettrico ol 1 εe U u B = = V 1 µ B densità di energia dovuta alla presenza del campo magnetico

La densità di energia in un campo elettromagnetico è data da: u = 1 ε E + 1 B µ Nelle onde elettromagnetiche valgono le relazioni: B= 1 v E v = 1 εµ la densità di energia elettrica è uguale a quella magnetica u ε E = 1 B µ B = ε E = = µ L energia presente in un volume V è data da: 1 U=u V=(u E +u B ) V 1 µ v EB (E,B costanti in V ) B = εµe

INTENSITA DELL ONDA ELETTROMAGNETICA La quantità di energia trasportata da un onda per unità di superficie nell unità di tempo è detta intensità di un'onda elettromagnetica. Poiché la potenza è energia nell unità di tempo, l intensità dell onda può essere espressa come potenza per unità di superficie. Si misura in W/m. I= u/a t dove u è la quantità di energia che passa attraverso la superficie A perpendicolare alla direzione di propagazione dell onda, in un tempo t. c E 0 y L' energia che arriva su una superficie A in un tempo t sarà quella contenuta nel volume V= ca t Se il volume V=cA t è piccolo, possiamo assumere che i campi siano costanti in tale volume, u=ε 0 E V= ε 0 ce Α t I= u/a t= ε 0 ce

INTENSITA DELL ONDA ELETTROMAGNETICA Poiché il campo elettrico varia sinusoidalmente : Dobbiamo fare la media temporale di E su un periodo I =< dw ds > T = ε = (in aria o nel vuoto) (nel visibile T 10-15 s << tempo percezione umana) 1 ce 0 0 c E = ε 0 ce eff ε 0 W/m E eff = 1 E 0 E 0 E (0,t) E 0 E(0,t) T 10-15 s t

INTENSITA DELL ONDA ELETTROMAGNETICA I =< dw ds > T (in aria o nel vuoto) = ε = 1 ce 0 0 c E = ε 0 ce eff ε 0 W/m T 10-15 s nel visibile Nota I, possiamo determinare le ampiezze del campo elettrico e magnetico E 0 e B 0 (in aria) E 0 0 I -1 0 I = NC B = = T 3 ε 0c c ε0c E E 0 Unità di misura Newton diviso Coulomb unità di misura Tesla B 0 ε 0 =8.85x10-1 F/m c= 3x10 8 m/s r E r B e v r sono tra loro perpendicolari

Intensità e propagazione dell energia n W P in

Esercizi Esercizio 1 Data l onda descritta dalla funzione: y(x,t)=0sin(1.046 10 7 x-3.14 10 15 t) trovare la frequenza, la lunghezza d onda e la velocità di propagazione (unità di misura di x: metri di t: sec.) Esercizio Al tempo t=0 il campo elettrico di un onda elettromagnetica ha la forma πx y( x,0) = 190sin N/C 3 Se l onda si muove verso valori di x positivi (x è espresso in metri) con velocità v=3x10 8 m/s, scrivere l equazione dell onda al generico tempo t. Disegnare la forma dell onda al tempo t=0 e al tempo t=1x10-8 s. Determinare l ampiezza del campo magnetico B e l intensità dell onda elettromagnetica

Spettro delle onde elettromagnetiche Lo spettro elettromagnetico nelle scale di: Lunghezze d onda, λ o Frequenza, f=c/λ 0 =1/T Energia, E=hν (energia fotoni) dove l energia è espressa in electronvolt (ev) 1 ev = 1.6 10-19 J

Generazione di onde e.m. Antenne

Sorgenti Termiche Ogni sistema atomico o molecolare, anche complesso, come quello di un organismo vivente, se si trova ad una temperatura superiore allo zero assoluto emette radiazione elettromagnetica. In generale una sorgente termica è un sistema termodinamico in equilibrio con il campo elettromagnetico. La sorgente termica emette radiazione a spese della propria energia interna e viene rifornita di energia in misura uguale all'energia emessa.

Il colore della luce dipende dalla temperatura del corpo che emette 000 K 1750 K 1500 K λ (µm) 150 K 33

Sorgenti di luce: transizioni negli atomi (teoria quantistica) La produzione della luce visibile avviene all interno degli atomi, che sono composti di un nucleo (di protoni e neutroni) e di elettroni che ruotano intorno ad esso con energie ben definite. ENERGIA elettrone elettrone nucleo nucleo ATOMO nello stato FONDAMENTALE ATOMO nello stato ECCITATO Se si fornisce energia all atomo, un elettrone può saltare da un orbita vicina al nucleo ad un orbita più lontana. L atomo diventa ECCITATO, ed ha più energia di prima.

Lampade a scarica di gas Si eccitano gli atomi di un gas contenuto nel bulbo di vetro con un campo elettrico. Gli elettroni degli atomi sono su orbite eccitate. elettrone elettrone nucleo nucleo fotone ATOMO nello stato ECCITATO ATOMO diseccitato Quando l elettrone torna nella sua orbita originaria, l atomo emette un fotone.

Lampade a scarica di gas La frequenza della radiazione emessa dipende dal tipo di atomi. Lo spettro è del tipo

Sorgenti coerenti e incoerenti La luce emessa dalla maggioranza delle sorgenti luminose (corpi incandescenti, gas luminosi) la radiazione emessa è la somma di tanti eventi indipendenti. La luce è quindi composta da molteplici treni d onda con fase e direzione dei campi ben definiti ma che durano nel tempo un intervallo di tempo molto piccolo, circa 10-8 s, che, tuttavia, è lungo rispetto al periodo di vibrazione (dell'ordine di 10-15 s). Queste sono sorgenti incoerenti: il colore della luce (frequenza dell onda) è ben definito ma la fase e lo stato di polarizzazione no. Le sorgenti coerenti sono invece quelle mantengono la fase in uscita costante La luce emessa da un laser è coerente 37

Polarizzazione della luce (cenni) Un onda si dice polarizzata linearmente quando il piano di vibrazione del vettore campo elettrico (o del campo magnetico), che è sempre ortogonale alla direzione di propagazione, rimane costante nel tempo. Polarizzazione lungo z Polarizzazione a 60 rispetto all asse y

Luce non polarizzata. Come già detto, la luce emessa dalla maggioranza delle sorgenti luminose (corpi incandescenti, gas luminosi) proviene da un numero molto elevato di emittenti atomici o molecolari orientati a caso tra loro. Poichè nuovi treni d onda vengono emessi in continuazione e senza nessuna correlazione tra loro, lo stato di polarizzazione dell onda risultante varia in modo rapido e disordinato nel piano ortogonale alla direzione di propagazione. La luce è non polarizzata e viene anche detta luce naturale. il vettore campo elettrico (e magnetico) vibrerà in tutte le direzioni nel piano ortogonale alla direzione di propagazione

Il vettore campo elettrico (e magnetico) vibrerà in tutte le direzioni nel piano ortogonale alla direzione di propagazione (piano di polarizzazione). In ogni istante è possibile scomporlo in due componenti lungo gli assi y e z. Se riusciamo con qualche artificio ad eliminare E y o E z il campo totale si muoverà solamente sull asse z o y rispettivamente e la radiazione sarà polarizzata linearmente.

Filtro polarizzatore E un apparecchio che è trasparente per la componente del campo che vibra in una determinata direzione, mentre assorbe quella che vibra nella direzione a questa ortogonale direzione di trasmissione

direzione di trasmissione direzione di trasmissione Polarizzazione 4

Interferenza e Diffrazione: formazione di frange di intensità luminosa Interferenza 43

Il principio di Huygens-Fresnel Ciascun punto di un fronte d onda può essere considerato come sorgente di onde secondarie emisferiche che si dipartono dal punto nella stessa direzione del fronte d onda e con la stessa velocità. Il nuovo fronte d onda è costituito dall inviluppo di tutte le onde secondarie, cioè dalla superficie tangente ad esse.

Principio di Huygens-Fresnel Consideriamo un onda sinusoidale piana che si propaga con velocità v: Consideriamo un particolare disegniamo l onda sinusoidale piana a t=0; fronte d onda Σ a t=0 e vediamo i fronti d onda sono piani ortogonali al dove si sposta al tempo t foglio Σ vt Σ Applichiamo il principio di Huygens t=0 t Il principio di Huygens permette di spiegare tanti fenomeni che si osservano quando la luce incontra degli oggetti (schermi, fenditure.) di dimensioni confrontabili alla sua lunghezza d onda

Onda piana attraverso fenditura molto piccola (puntiforme d λ) fronte d onda diaframma onda sferica onda piana onde sferiche la la luce non si si propaga semprein in linea retta!

Che succede se la luce incontra oggetti di dimensione confrontabile con la sua lungezza d onda? Diffrazione delle onde oceaniche Onde oceanica che passano una fenditura, Tel Aviv, Israel λ~5m d~10m

d>>λ d λ

Caso intermedio: d: d: 5λ-10λ fronte d onda diaframma onde sferiche previsioni dell ottica geometrica onda piana onde sferiche Il campo risultante è dato dalla sovrapposizione delle onde sferiche corrispondenti ai vari punti del foro

Sovrapposizione di onde: l interferenza

effetti di di interferenza diaframma L esperimento di Young schermo sorgente puntiforme S D frange scure fenditure luce + luce = buio!

Un aspetto caratteristico delle onde è il principio di sovrapposizione che stabilisce che la sovrapposizione di due o più onde è ancora un onda che si ottiene in ogni istante e in ciascun punto effettuando la somma algebrica degli spostamenti dall equilibrio (cioè delle perturbazioni) Entrambe >0 t 1 y(x,t)=y 1 (x,t)+y (x,t) t 3 Amplificazione: Interferenza costruttiva t t 4 Una capovolta rispetto all altra t 1 t 3 Interferenza distruttiva t t 4

Sovrapposizione di onde sinusoidali: In fase (massimi dell onda 1 corrispondono ai massimi dell onda due) In controfase (massimi dell onda 1 corrispondono ai minimi dell onda due) Cosa vediamo per effetto dell interferenza?

L intensità è proporzionale al quadrato dell ampiezza del campo elettrico Se illuminiamo una mano o uno schermo con una luce rossa, l intensità che vediamo è proporzionale al quadrato dell ampiezza del campo Nel caso della sovrapposizione di due onde elettromagnetiche quello che vediamo è l intensità dell onda risultante, una quantità proporzionale al quadrato del campo risultante. I = 1 ε 0 ce 0 ris E 0 ris

Sovrapposizione di onde sinusoidali: A A A 1 = ε I 1 0cA = 1 = ε I 0cA = I I 0 0 A=0 A A Sfasate di mezza lunghezza d onda 1 I ris = ε 0c4A = 4I0 = ( I1 + I) I ris = 0 A causa dell interferenza l intensità della radiazione può risultare modulata nello spazio frange di interferenza

effetti di di interferenza diaframma L onda risultante sullo schermo è la sovrapposizione delle onde provenienti dalle due fenditure sorgente puntiforme S D Onda Onda proveniente proveniente dalla dalla seconda prima fenditura fenditura I=I I=I 0 0 fenditure schermo Regioni dello schermo con massimo di intensità: le onde che provengono dalle due fenditure arrivano in fase I=4I 0 Regioni dello schermo con minimo di intensità: le due onde sono in controfase I=0

La presenza di interferenza costruttiva e distruttiva dipende dalla differenza di fase delle onde In fase (massimi dell onda 1 corrispondono ai massimi dell onda due) I 0 I 0 In controfase (massimi dell onda 1 corrispondono ai minimi dell onda due) I=4I 0 I=0

Sfasamento tra due onde armoniche Date due onde π π y1( x, t) = A1 cos x t + ϕ1 λ T Φ 1 Il loro sfasamento nel punto x 0 al tempo t 0 è: y π π ( x, t) = A cos x t + ϕ λ T Φ Φ( x0, t0) = Φ1 ( x0, t0) Φ ( x0, t0) differenza dell argomento delle due onde allo stesso tempo t 0 nel punto x 0. y 1( x, t = t0) y ( x, t = t0) x Poiché il coseno (seno) è una funzione periodica con periodo π, la differenza di fase che conta è compresa tra 0 e π x 0

Interferenza: intensità dell onda risultante Φ 1 = Φ +mπ, La fase dell onda allo stesso tempo t e nello stesso punto x differisce di un numero intero di periodi Nello spazio sono sfasate di un numero intero di lunghezze d onda mλ Φ = Φ 1 +(m+1), π La fase dell onda allo stesso tempo t e nello stesso punto x differisce di un numero semintero di periodi Nello spazio sono sfasate di 1/λ, 3/λ.. Ampiezza doppia Per la periodicità della funzione una differenza di fase di mπ è equivalente a una differenza di fase di 0. La differenza di fase che conta è 0 Φ<π Ampiezza nulla I 1 = ε 0c(A) = 4I0 = ( I1 + I) I = 0 Interferenza costruttiva Interferenza distruttiva

Condizioni di interferenza Per osservare interferenza la differenza di fase tra le due onde deve essere costante nel tempo: gli effetti di interferenza non ci sono più (I=I 1 +I ): dobbiamo usare due sorgenti coerenti o fare sovrapporre onde provenienti dalla stessa sorgente 1) Le sorgenti coerenti sono quelle mantengono la fase in uscita costante La luce emessa da un laser è coerente Per sorgenti di tipo termico ciò non si verifica dato che la radiazione emessa è la somma di tanti eventi indipendenti. 60

) Sovrapposizione di radiazione originata dalla stessa sorgente: Come si fa? Tramite lenti: si separa una certa sorgente in due fasci per diffrazione attraverso fenditure Tramite riflessione: si duplica l onda facendola riflettere su due superfici diverse

Interferenza: esperimento di Young In tale esperimento i raggi di una sorgente luminosa vengono convogliati (facendoli entrare nella fenditura sottilissima S 0, che diviene sorgente di onde sferiche per il principio di Huygens), nelle fenditure S 1 e S, le quali si comportano da sorgenti elementari di onde sferiche (anche qui per il principio di Huygens) coerenti. Sullo schermo si osservano una serie di massimi e minimi di luminosità alternati. Sperimentalmente, si osserva che la posizione dei massimi e dei minimi dipende dalla lunghezza d onda, dall angolo rispetto alla perpendicolare al raggio e dalla distanza tra le fenditure S 1 e S. y

Frange di di interferenza Consideriamo due sorgenti S 1 e S monocromatiche che emettono coerentemente due onde sferiche identiche (due fenditure). Si può vedere dalla figura che le due onde arrivano in fase nel punto P 0, situato sullo schermo a metà tra le due sorgenti. Infatti hanno percorso la stessa distanza ossia lo stesso numero di lunghezze d onda. In tale punto ci sarà quindi interferenza costruttiva e quindi intensità forte S 1 d P 0 LUCE S schermo in fase

Consideriamo il punto Q 1 più in alto nello schermo tale che i cammini l e l 1 differiscano di mezza lunghezza d onda. In questo caso le due onde arrivano in Q 1 in opposizione di fase (differenza di fase pari a 1/ periodo) e quindi interferiranno in maniera distruttiva: sullo schermo ci sarà una intensità nulla. in opposizione di fase P Q 1 BUIO l 1 S 1 d l S schermo

Consideriamo il punto P 1, ancora più in alto nello schermo, tale che i cammini l e l 1 differiscano di una lunghezza d onda. In questo caso le due onde arrivano in P 1 nuovamente in fase (la differenza di fase è pari a 1 periodo) e quindi interferiranno in maniera costruttiva: sullo schermo ci sarà una intensità forte. P 1 LUCE l 1 S 1 l in fase d S schermo Sullo schermo saranno presenti frange scure e luminose che si alternano tra loro

S 1 d l 1 l l 1 l Frange chiare: l=l -l 1 =mλ con m=0,±1, ± Frange scure: l=l -l 1 =(m-1/)λ con m=0,±1, ± S Sullo schermo saranno presenti frange scure e luminose che si alternano tra loro: Frange chiare: l=l -l 1 =mλ con m=0,±1, ± Frange scure: l=l -l 1 =(m-1/)λ con m=0,±1, ±

Posizione dei massimi e dei minimi Definiamo θ l angolo tra la linea che congiunge un punto P sullo schermo e il punto mediano tra le due fentiture e la linea normale allo schermo. Vogliamo trovare a quali angoli θ si hanno massimi e minimi di intensità. Per trovare l in funzione dell angolo θ assumiamo che lo schermo sia lontano. In tale approssimazione i due raggi sono praticamente paralleli come mostrato in figura. Si ha: l = d sin θ l 1 θ l Frange chiare: dsinθ = mλ con m=0,±1, ±.. Frange scure: dsinθ = (m-1/)λ con m=0,±1, ±..

L esperimento di Young: interpretazione ondulatoria Le onde sferiche emesse da S 1 e S con la stessa fase, arrivano nei diversi punti dello schermo con una differente fase perché hanno percorso distanze l e l 1 diverse. Sullo schermo saranno presenti frange scure e luminose che si alternano tra loro: Frange chiare: l=l -l 1 =mλ con m=0,±1, ±.. Frange scure: l=l -l 1 =(m-1/)λ con m=0,±1, ±..

Posizione dei massimi e dei minimi sullo schermo y Max II ordine θ Max I ordine Max centrale Max I ordine Max II ordine

Posizione dei massimi e dei minimi sullo schermo λ d sinθmax = mλ θmax = arcsin m ymax = d L tanθ 1 1 λ d sin θ min = m λ θ min = arcsin m ymin = d max L tan θ min

Posizione dei massimi e dei minimi sullo schermo (frange centrali) In un tipico esperimento L~1m, d~0.1-1mm >>λ (500 nm) Pertanto le frange sono molto fitte sullo schermo e gli angoli θ sono piccoli anche per ordini m elevati. Si ha: d y sinθ max max = L tanθ = mλ θ max y max max λ = m d Lλ = m d sin θ tan θ θ d y sinθ min min = L tanθ = m min 1 λ θ y min min = m 1 λ = m d 1 Lλ d

d y sinθ max max = L tanθ = mλ θ max y max max λ = m d Lλ = m d sin θ tan θ θ d y sinθ min min = L tanθ = m λ θ y = m con m=0,±1, ±.. con m=0,±1, ±.. Le frange intorno al massimo centrale (θ=0) sono equispaziate min 1 min min 1 λ = m d La posizione delle frange dipende dalla lunghezza d onda: con luce bianca le frange dei diversi colori si mescolano. 1 Lλ d

Interferenza di onde riflesse in film sottili Un film sottile è un materiale ottico di spessore dell ordine della lunghezza d onda della luce (per esempio bolle di sapone o strato di olio sull acqua). la luce riflessa dalla superficie frontale interferisce con la luce riflessa dalla superficie posteriore: noi vediamo i colori corrispondenti alla lunghezza d onda che interferisce costruttivamente

Interferenza costruttiva OLIO ACQUA Per questo particolare spessore del film di olio, l onda VERDE riflessa sulla superficie esterna dell olio e quella che riemerge dal film di olio dopo essere stata riflessa dalla superficie di separazione olio-acqua sono IN FASE. + = Esse danno luogo ad INTERFERENZA COSTRUTTIVA.

Interferenza distruttiva OLIO ACQUA Per lo stesso spessore del film di olio, l onda ROSSA riflessa sulla superficie esterna dell olio e quella che riemerge dal film di olio dopo essere stata riflessa dalla superficie di separazione olio-acqua sono IN CONTROFASE. + = Esse danno luogo ad INTERFERENZA DISTRUTTIVA.

Interferenza + = + = La radiazione VERDE subirà un interferenza costruttiva, e dunque all uscita del film sarà RINFORZATA, la radiazione ROSSA subirà un interferenza distruttiva e quindi all uscita del film sarà ANNULLATA. Il film riflette di più la luce verde

Interferenza OLIO ACQUA L effetto dipende dallo spessore del film e dall angolo di osservazione OLIO

Le bolle di sapone Per ciascun colore, si avrà interferenza costruttiva o distruttiva a seconda dello spessore del film e dall angolo con cui la luce lo illumina interferenza distruttiva nel verde = magenta Se il film ha spessori diversi in diverso punti, oppure se la sua superficie non è planare come in una bolla di sapone, esso appare DI MOLTI COLORI, perché in ciascun punto è un diverso colore a dare luogo a interferenza costruttiva interferenza costruttiva nel blu interferenza distruttiva nel blu = giallo

Interferenza su pellicole sottili: analisi quantitativa Se la luce incide su una pellicola di spessore t λ, i due raggi riflessi dalla prima e dalla seconda superficie della pellicola (r 1 e r ) interferiscono tra loro. La luminosità della luce che viene complessivamente riflessa dipende dalla differenza di fase tra i due raggi. 1 n 1 =1 n n 3 i i Onda incidente t 1 La differenza di fase dipenderà dalla differenza di cammino percorso dai due raggi e quindi dallo spessore del film. Inoltre, quando un raggio luminoso si riflette su una superficie di separazione con un mezzo più denso, subisce una ulteriore variazione di fase di 180 (1/ periodo), cioè di mezza lunghezza d onda i

Cambiamento di fase e lunghezza d onda nelle onde riflesse e trasmesse Poiché le onde si propagano in mezzi diversi, nel calcolare gli sfasamenti, dobbiamo tenere conto del cambiamento di fase dovuto alla riflessione e della variazione di lunghezza d onda nei diversi mezzi: λ = λ 0 n n >n 1 n <n 1 n >n 1 n <n 1

Sfasamento dei due raggi riflessi Abbiamo tre mezzi: per calcolare la differenza di fase dobbiamo considerare le varie riflessione tenendo conto dello sfasamento di π che si ha quando la riflessione avviene se il raggio incide da un mezzo meno denso su uno più denso. Fissiamo n 1 =1, possiamo avere: n >n 3 n <n 3 n 1 =1 n >n 3 n 3 n 1 =1 n <n 3 n 3 Un solo raggio subisce lo sfasamento di π Tutti e due i raggi riflessi subiscono sfasamento di π Diverso spessore t per l interferenza costruttiva e distruttiva nei due casi

Condizioni per interferenza costruttiva e distruttiva: n >n 3 (incidenza quasi normale) λ 0 λ λ = 0 n n Il raggio subisce uno sfasamento dovuto al diverso cammino percorso l=t percorso nel mezzo. Tale sfasamento è pari a: l λ n t = λ0 n nt = λ 0 periodi nt La differenza di fase tra le due onde riflesse è pari a: λ 0 1 - periodi interferenza costruttiva: differenza di fase pari a un numero intero di periodi n t 1 - = m, m = 0,1,,3 λ 0 t λ0 = (m + 1) 4n, m = 0,1,,3 interferenza distruttiva: differenza di fase pari a un numero semintero di periodi nt λ 0 1 - m+ 1 =. m = 0,1,,3 t λ0 = m n, m = 1,,3

Condizioni per interferenza costruttiva e distruttiva: n <n 3 λ 0 λ λ = 0 n n Il raggio subisce uno sfasamento di π per la riflessione sul mezzo 3 più denso e uno sfasamento dovuto al diverso cammino percorso l=t nel mezzo. Lo sfasamento totale dell onda è pari a: 1 + l λ n = 1 nt + λ 0 periodi La differenza di fase tra le due onde riflesse è pari a: n t λ 0 periodi interferenza costruttiva: sfasamento pari a un numero intero di periodi n t λ 0 = m m = 1,,3 t = m λ0, con m = 1,,3 n interferenza distruttiva: sfasamento pari a un numero semintero di periodi nt λ 0 m+ 1 =, λ0 m = 0,1,,3 t = (m + 1) 4n, m = 0,1,,3

Confronto tra condizioni di interferenza costruttiva e distruttiva nei due casi: differenza di fase tra le due onde riflesse: interferenza costruttiva: λ0 t = (m + 1) 4n n t λ 0 1 -, m = 0,1,,3 periodi differenza di fase tra le due onde riflesse: interferenza costruttiva: λ0 t = m n n t λ 0, con m = 1,,3 periodi interferenza distruttiva: λ0 t = m, m = 1,,3 n In controfase t interferenza distruttiva: λ0 = (m + 1) 4n, m = 0,1,,3 A causa del diverso sfasamento di mezzo periodo del raggio nella riflessione sul mezzo 3 nei due casi le condizioni sono invertite

Lamine o film di spessore variabile in aria : frange in funzione della posizione A seconda dello spessore del film l interferenza potrà essere costruttiva o distruttiva: incidenza quasi-normale n 1 =n 3 =1 n >n 3 Interferenza costruttiva: Interferenza distruttiva: t = (m + 1) t = m λ 0 n λ 4n 0 frangia chiara frangia scura m=0, 1,,. m= 1,,. n 1 5 4 λ0 n n n 1 3 4 λ0 n 1 4 λ0 n 0

Applicazioni: rivestimenti anti-riflesso interferenza distruttiva t n 3 > n > n 1 = λ 4n 0 ( m + 1) m = 0,1,,.. Spessore minimo del rivestimento per interferenza distruttiva: m=0 t = λ0 4n n 1 Attenzione! condizione di di Interferenza distruttiva t 1 λ0 = 4 n n 3 perché n 33 > n per obiettivi fotografici, occhiali, celle solari di silicio (n Si = 3.5) si si ottiene R < 0.1%

Trattamenti antiriflesso radiazione visibile vetro normale :Trasmissione della luce visibile oltre il 99% e quindi visione più limpida Elimina fastidiosi riflessi che disturbano la visione vetro + trattamento antiriflesso Trattamento antiriflesso per annullare la riflessione della luce visibile sul vetro

Trattamenti antiriflesso occhiali con e senza antiriflesso orologio con quadrante antiriflesso quadro con vetro con e senza antiriflesso

Finestre radiazone infrarossa (calore) interno esterno Trattamento per aumentare la riflessione della radiazione infrarossa (calore) Trattiene all interno della stanza il calore, favorendo così il risparmio energetico

Vetrine Trattamento per aumentare la trasmissione di un determinato colore più rosso più giallo Rende più belli i colori degli oggetti in vetrina

Riepilogo: l interferenza esperimento di Young ( fenditure) riflessione su lamine sottili incidenza normale I = 0 se I MAX se l = 1 dsin θ = ( m ) λ l = dsin θ = mλ ; m=0,±1, ±.. ; m=0,±1, ±.. max π max max mezzi 3 mezzi n 3 >n I min I MAX se se t = m 1 λ 0 n 1 t = (m +1) n ; m=1,.. λ 0 4 ; m=0, 1,.. min 3 mezzi n 3 >n I min se I max se 1 t = (m +1) n t = m 1 λ 0 n λ 0 4 ; m=0, 1,.. ; m= 1,..

Che succede se la luce incontra fenditure di dimensione confrontabile con la sua lungezza d onda? Diffrazione delle onde oceaniche Onde oceanica che passano una fenditura, Tel Aviv, Israel λ~5m d~10m

Diffrazione della luce a>>λ a λ Per capire la diffrazione possiamo usare il principio di Huygens-Fresnel: solo le onde sferiche secondarie corrispondenti alla parte di fronte d onda che non è oscurato dal diaframma si propagano oltre il piano del diaframma.

Il principio di Huygens-Fresnel Ciascun punto di un fronte d onda può essere considerato come sorgente di onde secondarie emisferiche che si dipartono dal punto nella stessa direzione del fronte d onda e con la stessa velocità. Il nuovo fronte d onda è costituito dall inviluppo di tutte le onde secondarie, cioè dalla superficie tangente ad esse.

Principio di Huygens-Fresnel Consideriamo un onda sinusoidale piana che si propaga con velocità v: Consideriamo un particolare disegniamo l onda sinusoidale piana a t=0; fronte d onda Σ a t=0 e vediamo i fronti d onda sono piani ortogonali al dove si sposta al tempo t foglio Σ vt Σ Applichiamo il principio di Huygens t=0 t Il principio di Huygens permette di spiegare tanti fenomeni che si osservano quando la luce incontra degli oggetti (schermi, fenditure.) di dimensioni confrontabili alla sua lunghezza d onda

Caso intermedio: a: a: 5λ-10λ fronte d onda diaframma onde sferiche previsioni dell ottica geometrica onda piana onde sferiche Il campo risultante è dato dalla sovrapposizione delle onde sferiche corrispondenti ai vari punti del foro

Un laser incide su una fenditura. Cosa si vede su uno schermo lontano? Fenditura larga 0 µm Vediamo delle frange luminose La spaziatura nel caso della fenditura larga il doppio è la metà! Fenditura larga 40 µm

Diffrazione da una singola fenditura La posizione P 1 della prima frangia scura, corrisponde alla condizione di interferenza distruttiva in cui la differenza di cammino ottico tra i due raggi (a/ sin θ) è pari a λ/. Pertanto, la posizione del primo minimo si trova a un angolo θ tale che a sin θ = λ Se lo schermo è lontano l 1 e l 1 sono ~paralleli 1 l=λ/ 1 l = se l=λ/ a sin ϑ asin ϑ = λ Le onde 1 e 1 si annullano (interferenza distruttiva)

La stessa differenza di cammino la hanno le onde sferiche emesse da punti corrispondenti nella prima e nella seconda metà della fenditura a condizione 1 minimo di intensità l=λ/ 1 frangia scura asin ϑ = λ Ciascuna onda sferica secondaria emessa da un punto nella prima metà della fenditura si annulla con una onda sferica secondaria emessa nella seconda metà della fenditura

La posizione dei minimi Per trovare la posizione del secondo minimo (frangia scura), consideriamo ora la stessa fenditura come divisa in 4 quarti (di larghezza a/4). In questo caso, la differenza di cammino ottico tra due coppie di raggi corrispondenti (1-1, - ) è a/4 sin θ. Tale differenza deve sempre essere pari a λ/. 1-1 interferiscono L distruttivamente l=a/4 sin θ - interferiscono distruttivamente l=a/4 sin θ la posizione del secondo minimo: l=a/4 sin θ = λ/ asin θ= λ

In generale, la posizione del minimo m-esimo è: diaframma L θ m=1,,3.. sin min = ±m λ a a a θ Massimo centrale a θ P Per un calcolo approssimato si può assumere che la posizione dei massimi sia intermedia tra quella dei minimi massimo centrale Posizione massimi laterali θ = 0 sin θ max = ± ( m + 1 ) λ a m=1,,3..

Posizione frange sullo schermo Diffrazione Fraunhofer: L>>a diaframma L y a a a θ θ L P λ=550nm a=5µm L=m λ sin θmin = ± m a y = Ltgθ posizione dei minimi sullo schermo min min λ λ λ se << 1 sin θmin = m << 1 θmin = m rad << 1 ymin = a a a m λ a L

L intensità dei massimi laterali è molto minore di quella del massimo centrale

Min: sinθ = m λ min m=1,,3. a λ =1 a Le frange sono sempre più fitte quanto più piccolo è il rapporto λ a λ 1 = a 5 λ 1 = a 10 Diffrazione 105

sin θ 1min = ± λ a Fenditura larga 0 µm Fenditura larga 40 µm Il massimo centrale si allarga al diminuire della larghezza della fenditura

Diffrazione attraverso un foro circolare L immagine prodotta da un foro circolare di diametro a=r produce figure di diffrazione. Le frange sono circolari e i minimi si trovano ad angoli tali che: condizione per i minimi: sin θ = 1. λ m a Il fattore 1. deriva dall integrazione delle sorgenti elementari in cui si può suddividere l apertura circolare. Il primo minimo: λ sin θ1 min = 1. λ λ θm = arcsin 1. 1. rad se λ<<a a a a

Diffrazione: effetto di una fenditura sul punto immagine diaframma Sorgente lontana onda piana λ 1. = 0.5 a -0.5 intensità S 1 sin θ 1min = ±1. λ a -0.5 sinθ In condizioni di diffrazione l immagine di una sorgente puntiforme è un cerchio (i massimi secondari di diffrazione sono molto meno intensi) che si allarga al diminuire del diametro della fenditura

A causa della diffrazione l intensità luminosa del punto immagine si distribuisce secondo la figura di diffrazione determinata dal diametro dell apertura che raccoglie la luce incidente nel sistema ottico (diaframma davanti a una lente o il diametro della lente stessa): più piccola è l apertura più è grande l effetto diffrattivo Airy disk

Interferenza 110

Interferenza 111

Potere risolutivo di una fenditura La diffrazione limita la possibilità di osservare in maniera distinta due oggetti lontani puntiformi la cui separazione angolare è piccola.

POTERE RISOLUTIVO DI UNA FENDITURA. θ Si chiama potere risolutivo angolare di una fenditura il più piccolo angolo θ tra due sorgenti che sono viste come distinte. Criterio di Rayleigh: due sorgenti si distinguono se il massimo centrale della figura di diffrazione prodotta da una delle sorgenti cade nel primo minimo di quella prodotta dall' altra. Il criterio di Rayeigh quantifica la separazione angolare minima che devono avere due sorgenti (due oggetti) per essere distinti e il potere risolutivo di una fenditura

Interferenza 114

potere risolutivo angolare diaframma per piccoli angoli (come succede normalmente), la posizione della prima frangia scura di ogni singola figura di diffrazione è a a una distanza angolare dal massimo : λ θ1min = ± 1. rad a schermo in condizioni di Rayleigh: il massimo di intensità dell immagine coincide con il minimo dell immagine 1 1.λ θ min = rad = θr a se: θ θ R = λ 1. a rad le sorgenti sono indistinguibili

diffrazione θ R = λ 1. D rad potere risolutivo angolare di di uno strumento ottico per due stelle lontane è determinante la separazione angolare: S S θ θ 1 D S 1 se: θ λ θr =1. D rad le stelle sono indistinguibili Per il telescopio di Monte Palomar (D = 5m, λ = 5.5 10-7 m) si ha θ = 1.34 10-7 rad=.6 10 - sec la minima distanza angolare di due stelle che danno immagini distinte.

La pupilla: una fenditura circolare La pupilla, che regola la quantità di luce che può entrare nell occhio senza danneggiarlo, si comporta come una fenditura circolare e ha un effetto diffrattivo su una sorgente puntiforme, trasformando un punto immagine in un cerchietto di dimensione finita (il cui diametro corrisponde alla separazione tra i primi minimi di diffrazione) diametro pupilla immagine diametro pupilla NB le immagini in figura sono in scala tra loro ma molto ingrandite rispetto all immagine che si forma sulla retina, il cui diametro varia con il diametro pupillare ma è dell ordine del micron immagine Più piccolo è il diametro della pupilla maggiore è la dimensione dell immagine

Separazione minima tra due oggetti (sorgenti) A e B che riusciamo a distinguere In base al criterio di Rayleigh, la pupilla fa sì che due sorgenti puntiformi potranno essere risolte solo se la loro separazione angolare è θ θ R = 1. λ a θ La lunghezza d onda del visibile è luce è λ=500nm~0.5µm Quando il diametro della pupilla è a= mm=000 µm, si ha: A B A B θ R λ 0.5 = 1. = 0.0005 rad = 0, 0143 a 000 pupilla

L'occhio normale ha la distanza della visione distinta (o punto prossimo) a circa 5 cm dalla cornea. Poste due sorgenti puntiformi su un piano a 5 cm dall occhio, l occhio riesce a risolverle (cioè a distinguerle come separate) finchè la loro distanza non va al di sotto di BA=θ R x5 cm= 0.0005x5=0,006 cm. 5 cm Se la distanza tra le sorgenti è minore, l occhio le due immagini sulla retina sono sovrapposte e quindi non distinguibili E' evidente che allontanando le sorgenti dall'occhio l angolo sotto cui sono viste diminuisce, per cui le loro immagini non risulteranno più risolte. Se invece le avviciniamo, l'angolo sotto il quale sono viste aumenta e, di conseguenza, si potrebbero vedere dettagli ancora più fini; senonchè sotto i 5 cm il cristallino non ce la fa più a focalizzare correttamente le immagini sulla retina, e ciò che si guadagna in angolo si perde in focalizzazione.

La struttura della retina è ottimizzata in maniera tale da tenere conto di questi effetti diffrattivi. Infatti per essere viste separate, le immagini delle due sorgenti debbono essere messe a fuoco, sulla retina, su due elementi sensibili non contigui, quindi con almeno, un elemento sensibile tra loro dove non cade luce (come accade su una macchina fotografica con sensore CCD). La struttura della retina è tale che questi elementi sensibili hanno un diametro dell'ordine dei micron. Per essere viste separate le immagini delle due sorgenti debbono distare, sulla retina, almeno 5 mm. Essendo lo spessore dell occhio pari a circa cm tale distanza corrisponde proprio alla distanza minima tra le immagini perché queste siano distinte in base al criterio di Reileigh. B A >5µm Infatti, si ha: f=cm B A =θ R xf= 0.0005x=0,0005 cm=5µm. Quindi, se anche avessimo elementi sensibili sulla retina più piccoli, non riusciremmo a vedere oggetti più vicini per l effetto diffrattivo della pupilla