ORIGAMI: PIEGARE LA CARTA E SPIEGARE LA GEOMETRIA CHE COSA È L'ORIGAMI L'origami è un'antichissima tecnica di origine giapponese che insegna a piegare un foglio di carta senza mai tagliarlo e incollarlo, per realizzare figure di varia natura e decorazioni. Il foglio viene piegato secondo un procedimento logico che, piega dopo piega, porta una superficie neutra (un quadrato di carta) ad assumere una forma bi o tridimensionale. Sia per forme piuttosto semplici e stilizzate, che si possono ottenere con poche piegature, sia per figure complesse e difficili da realizzare, l'origami, nei suoi aspetti più conosciuti, si presenta in forma di aeroplanino, di animale, di fiore, di altro oggetto qualsiasi Queste sono infatti le cose che di solito si trovano descritte nei libri di origami ma esiste anche un altro aspetto, molto interessante e ancora poco conosciuto: l' origami geometrico. Con questo tipo di origami, mediante piegature del foglio di carta basate su proprietà di simmetria, è possibile ottenere sia figure geometriche piane (forme poligonali, stelle, tassellazioni... ), sia figure geometriche tridimensionali (cubi, poliedri, flexagoni, forme dinamiche... ) e tutto senza usare né la matita né gli strumenti della geometria: l'unica cosa che serve è infatti la carta. Per una buona riuscita dei modelli è indispensabile scegliere le carte più adatte: riguardo al formato (fogli grandi o piccoli), alla consistenza (cartoncino o carte leggere), alla superficie (liscia o ruvida), al colore (uguale o contrastante sulle due facce del foglio). Esistono in commercio vari tipi di carta studiata appositamente per l'origami ma si possono usare anche carte alternative di più facile reperibilità quali carta da quaderno, da macchina da scrivere, da disegno, da pacco, da regalo, fogli di blocchi per appunti, di blocchi per telefono, cartoncini leggeri e così via. Se a prima vista può sembrare difficile realizzare forme geometriche solide usando soltanto la carta senza poterla tagliare o incollare, in realtà è più semplice e divertente di quanto si immagini. Ottenere cubi, poliedri, forme stellate con un unico foglio, in genere di forma quadrata, è in effetti abbastanza difficile e richiede una notevole esperienza della tecnica origami e un'ottima manualità. Esiste tuttavia un metodo abbastanza semplice e veloce da apprendere per ottenere le stesse forme; si tratta dell origami modulare. Per "modulo" si intende un elemento che di per sè non ha grande significato ma che, assemblato con altri moduli analoghi, da luogo ad una forma ben precisa e riconoscibile. Trattandosi di origami è evidente che ogni singolo modulo deve essere realizzato piegando, secondo ben precise piegature, un foglio di carta. Ma come effettuare l' assemblaggio se non si deve usare colla, graffette o cose simili? E' chiaro che anche l'assemblaggio deve avvenire tramite piegatura. Tutte queste cose sono probabilmente più semplici da realizzare che da descrivere. Nella realizzazione dei modelli dei solidi descritti di seguito è
importante seguire attentamente ogni passaggio e controllare i risultati ottenuti seguendo le indicazioni contenute nei disegni. I tratteggi e le frecce presenti nelle figure vengono commentati e spiegati con brevi didascalie. Nella tabella di fig. l si trovano elencati tutti i simboli grafici usati. Figura 1 Realizzando i modelli descritti ci si può rendere conto di quale utilità possa essere la tecnica origami per conquistare la capacità di dominare lo spazio tridimensione e conoscere le proprietà di figure geometriche.
COSTRUZIONE DI UN CUBO ORIGAMI Materiale occorrente: Sei fogli di forma quadrata; dimensione: 10-15 cm circa di lato; qualità: carta tipo quaderno o cartoncino leggero; colore: tre colori (due fogli ogni colore). Per ottenere un cubo bisogna realizzare sei moduli identici piegando i fogli come indicato in fig.2. Quando si sono ottenuti tutti e sei i moduli si controlla, sovrapponendoli, che siano piegati nello stesso verso (destri). Se infatti al passaggio 3 si piegano gli angoli A e C anzichè gli angoli B e D si ottengono dei moduli sinistri che non sono compatibili coi primi. E' evidente che si possono realizzare anche solo moduli sinistri (fig.3); l' importante è che i moduli occorrenti siano piegati tutti nello stesso verso. Figura 2
Figura 3 Per formare il cubo occorre assemblare, come indicato in fig. 4, i sei moduli incastrandoli tramite le alette e le tasche che si sono formate con le piegature. Se piegare i sei moduli tutti uguali è un po monotono, incastrarli è molto più divertente e gratificante. Figura 4 Costruito il cubo può sembrare tutto finito, invece si può procedere in altre direzioni. Infatti se fino ad ora si è considerato il modulo come elemento unità, ora lo stesso ruolo si può fare assumere al cubo che può quindi essere utilizzato come elemento base per formare altri solidi. Ad esempio, si può costruire un parallelepipedo con la base doppia dell'altezza: tolta una faccia (un modulo) a due cubi, si infilano rispettivamente le alette rimaste libere di un cubo nelle tasche dell'altro (fig. 5). Figura 5
Con lo stesso procedimento si possono realizzare altri parallelepipedi e in generale qualsiasi forma composta da più cubi. Spesso conviene piegare i moduli soltanto fino al passaggio 7, lasciandoli cioè a forma di parallelogramma; infatti le altre due pieghe sono suscettibili di mutamenti (fig.6) a seconda della forma che si vuole realizzare. Figura 6
FORME COMPOSTE DA CUBI E' piuttosto divertente sperimentare cosa si può ottenere combinando cubi fra loro. Si possono infatti costruire forme complesse, flexagoni, cubi composti da cubetti, ecc. Per stabilire quanti moduli possono occorrere per realizzare una determinata forma basta semplicemente contare le facce quadrate. Ad esempio per il cubo, che ha sei facce, occorrono 6 fogli; per un parallelepipedo 1x2 ne occorrono 10 mentre per un parallelepipedo 1x3 i fogli necessari saranno 14; per un cubo 2x2 di fogli ne occorrono 24 e così via. Il lavoro di piegatura che è piuttosto lungo e noioso può essere svolto collettivamente: più ragazzi possono collaborare alla piegatura dei moduli necessari alla realizzazione del solido scelto. Se per realizzare il cubo si sono usati foglietti abbastanza piccoli e di tre colori, in seguito si potranno usare fogli molto più grandi oppure piccolissimi e di colore uniforme. Una forma composta da 27 cubetti è il cubo soma. E' composto da 7 pezzi tutti diversi fra loro (fig.7) che devono essere ricombinati nel cubo originario o in altri vari modi. Per realizzare i pezzi in origami occorrono in tutto 122 fogli, 14 per il primo pezzo (3 cubi) e 18 per tutti gli altri (4 cubi). Figura 7 In fig. 8 sono rappresentate forme ottenute combinando insieme più cubi in modo diverso. In fig.9 è rappresentato un flexicubo: una forma molto interessante costituita da otto cubi incernierati fra loro che si possono far ribaltare quante volte si vuole. Per realizzarla occorrono 48 fogli e un po di colla o di nastro biadesivo per fissare stabilmente le linguette che fungono da cerniera (qualche trasgressione alla sola piegatura ogni tanto è ammessa).
Figura 8 Figura 9
IL MODULO DEL CUBO PER ALTRI POLIEDRI Le possibilità del modulo descritto non si esauriscono nella costruzione del cubo. Lo stesso modulo può infatti servire per realizzare altri poliedri. Ma in che modo visto che la superficie utile del modulo è un quadrato e l'unico poliedro costituito da facce quadrate è il cubo? Semplicemente piegando a metà il modulo e utilizzando come facce utili i due triangoli rettangoli che formano il quadrato centrale, come indica la fig. 10. Figura 10 Incastrando (col solito metodo) tre moduli di questo tipo si ottiene una piramide a base triangolare equilatera (fig. l l) ed è proprio questa piramide a costituire una nuova unità di base. Con essa infatti si possono ottenere poliedri piramidati: precisamente si possono piramidare i tre poliedri regolari che hanno per facce triangoli equilateri. Figura 11 Per avere un tetraedro piramidato occorrono 6 fogli e il risultato è il cubo. Per ottenere l'ottaedro e l'icosaedro piramidati occorrono rispettivamente 12 e 30 fogli (fig.12). La costruzione di questi poliedri può essere abbellita combinando logicamente i colori. Ad esempio, usando 4 colori differenti per l ottaedro e cinque per l'icosaedro in quanto in ogni vertice convergono rispettivamente 4 o 5 spigoli. Pur essendoci soltanto tre soli poliedri regolari che hanno per facce dei triangoli equilateri le possibilità di ottenere altre forme poliedriche, regolari o semi-regolari, incastrando moduli sono numerose.
Il metodo più divertente e intellettualmente più valido è quello della sperimentazione: si prepara un certo numero di moduli e si comincia a provare. Può succedere che si abbia l'intuizione di una determinata forma e si cerchi di realizzarla attraverso ipotesi e prove ma può anche succedere che forme strane e bellissime si formino quasi per caso. Oltre quello descritto, che è il più semplice, esistono origami modulari di numerosi altri tipi. Inoltre ne vengono realizzati continuamente di nuovi. Figura 12 Esistono moduli coi quali è possibile ottenere numerosi altri poliedri piramidati o anche stellati. Esistono anche moduli di struttura che permettono di mettere in evidenza la struttura interna del poliedro e che quindi sono privi di facce ossia sono «aperti». Esistono moduli per realizzare gli altri poliedri regolari oltre il cubo e moduli per poliedri concavi.
MODULI PER ALTRI POLIEDRI (a) Un esaedro con facce triangolari Di solito è il cubo che viene chiamato esaedro, tuttavia il nome si adatta bene anche a questo solido di forma insolita per la superficie formata da sei triangoli rettangoli isosceli. Per la sua realizzazione bastano tre soli moduli. In fig. 13 è messo in evidenza come i fogli quadrati devono essere piegati e incastrati per ottenere prima i moduli e poi il solido. Si può così osservare che si tratta di un modulo la cui realizzazione è molto semplice. Purtroppo questo modulo non è versatile; con esso non è dato ottenere altri solidi. Figura 13
(b) Un ottaedro «aperto» Un altro modulo molto facile da realizzare è quello descritto in fig.l4. Si ottiene piegando un foglio quadrato semplicemente secondo i suoi assi di simmetria. Figura 14 Incastrando in modo opportuno sei di questi moduli si ottiene un ottaedro «aperto» in cui sono quindi visibili gli assi di simmetria e le sezioni con i piani di simmetria. Essendo i moduli numerosi ci vuole un po di pazienza e di accortezza nel realizzare l' incastro.
(c) Un cubo da un unico foglio Un modello spiritoso di cubo si può ottenere piegando un foglietto quadrato dapprima ancora secondo gli assi mediani e gli assi diagonali, quindi effettuando altre piegature secondo le istruzioni indicate in fig. 15. Perchè la costruzione riesca bene è opportuno utilizzare inizialmente un foglietto di carta resistente ma piuttosto sottile con il lato di 12-15 centimetri. Figura 15
Con una variazione nelle piegature del foglio, indicata in fig.16, si può ottenere una piramide a base quadrata. Figura 16
ORIGAMI DA UN RETTANGOLO DI CARTA Normalmente si definisce l origami come la tecnica del piegare la carta per realizzare figure di ogni tipo. Nessuna regola dice come deve essere il foglio di partenza ma praticamente si da per scontata la forma quadrata. La maggior parte dei modelli origami infatti deriva dal quadrato anche se ci sono esempi di piegatura a partire da triangoli (isosceli, equilateri) rettangoli, pentagoni, esagoni e perfino cerchi. Il motivo dello scarso uso di queste forme è semplicemente la difficoltà di trovare già pronti questi fogli e la pigrizia di farseli da se. In commercio magari si trovano blocchi di foglietti in forma di mela o di pesce ma non di triangoli o pentagoni; la vera carta da origami poi esiste in svariati tipi, dimensioni e qualità ma tutta rigorosamente quadrata. Si pensa infatti che per fare origami sia indispensabile usare la preziosa carta giapponese: non è vero. Si piegano fogli di quaderno o da pacco altrettanto bene. E allora perché non usare la carta più comune e semplice da trovare, ad esempio la normalissima extra strong A4? Questo rettangolo che si chiama silver rectangle 1 oltre a trovarsi ovunque (quaderni, fotocopie, cataloghi, carta da lettere, ecc.) è molto interessante dal punto di vista geometrico: i suoi lati sono infatti in un rapporto 1 : 2 e cioè nel rapporto in cui sono il lato e la diagonale in un quadrato. Si definisce allora il silver come quel rettangolo il cui lato lungo è uguale alla diagonale di un quadrato che ha per lato il lato corto del rettangolo stesso. Dividendo a metà o raddoppiando un silver si ottengono nuovi silver rimanendo inalterato il rapporto fra i lati. 1 silver rectangle (rettangolo d argento): nome scelto dagli Oxford Dictionaries per distinguerlo dal più famoso rettangolo aureo.
Con procedimenti simili e/o conseguenti si ottengono il pentagono, l esagono, l ottagono e qualsiasi altro poligono. Più divertente, interessante e gratificante è piegare figure tridimensionali anche se più complesse quali i solidi platonici, archimedei e stellati, i flexagoni modulari, i prismi ad n numero di lati ecc. Alcuni modelli tridimensionali realizzati col silver. Gli schemi di piegatura saranno disponibili durante i giorni del convegno
BIBLIOGRAFIA ORIGAMI E GEOMETRIA Sull argomento Origami e Geometria poco è stato pubblicato in Italia, ecco un elenco di testi utili anche se probabilmente ormai difficili da reperire in libreria, si consiglia di provare nelle biblioteche. Bascetta Paolo Origami Ed. Sigem Modena 2010 Betti Mamino Silvana Dodecaedri e dintorni Centro Diffusione Origami 2006 Canovi Luisa Il libro dei rompicapo Sansoni Firenze 1984 Canovi Luisa Origami e geometria La Casa Verde Verona 1987 Canovi Luisa Origami e magia La Casa Verde Verona 1987 Canovi Luisa Contro Mossa (Raccolta di articoli Centro Diffusione Origami 1987 sull origami geometrico) Cecconi Donatella Libroggetto Origami modulari Il Castello Milano 1989 Dray Enrica Modulandia Centro Diffusione Origami 2011 Fietta Natale Modelli di Natale Fietta Centro Diffusione origami 1986 Fuse Tomoko Origami modulare Il Castello Milano 1988 Jackson Paul Foglio e Forma Logos Modena 2011 Macchi Pietro Nuovi origami De Vecchi Milano 1997 Macchi Pietro Variazioni sul modulo Centro Diffusione Origami 2002 Pavarin Franco Decorazioni modulari Il Castello Milano 1989 Per trovare testi internazionali si consiglia di contattare il Centro Diffusione Origami che mette a disposizione dei propri soci un vastissimo catalogo di libri, in particolare, sull argomento Origami e Geometria ecco un elenco di autori (di cui per motivi di spazio non si elencano i singoli titoli) da cercare nel catalogo del CDO. www.origami-do.it Arnstein Bennett Bascetta Paolo Brill David Canovi Luisa Dray Enrica Fietta Natale Fujimoto Shuzo Fuse Tomoko Gjerde Eric Gurkewitz Rona Hull Thomas Huzita Humiaki Jackson Paul Kasahara Kunihiko Kawamura Miyuki Kawasaki Toshikazu Lewis Simon Macchi Pietro Maekawa Jun Mitchell David Momotani Yoshihide Montroll John Neale Robert O Rourke Joseph Pedersen Mette Shen Philip Sundara Row Alcuni testi utili alla geometria della carta, anche se non espressamente origami Beutelspacher e Wagner Piega e spiega la matematica Ponte alle Grazie Milano 2009 Cundy e Rollet I modelli matematici Feltrinelli Milano 1974 Gardner Martin Enigmi e giochi matematici Sansoni Firenze 1969 Rinaldi Carini Rosa Geometria operativa Arti grafiche Stiben Urbania 1995 Scarpa Giorgio Modelli di geometria rotatoria Zanichelli Bologna 1978 Schattscheider e Walker M. C. Escher Kaleidocycles Taschen 1992