Scuola di Specializzazione in Fisica Sanitaria a.a. 2005/2006. Corso di Informatica e Statistica Medica. Crittografia

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1 Scuola di Specializzazione in Fisica Sanitaria a.a. 2005/2006 Corso di Informatica e Statistica Medica Crittografia 8/3/2006

2 Scritture segrete Steganografia occultamento del messaggio Crittografia alterazionedel messaggio trasposizione cambiare la disposizione delle parole codice sostituzione a livello di parole sostituzione cifratura sostituzione a livello di lettere

3 Tutto risale a Cesare! a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z a b c Spostamento di ogni lettera dell alfabeto di tre posti Veni, vidi, vici! Yhql, ylgl, ylfl! Venticinque cifrature diverse (anche se l alfabeto latino non aveva j,k,w,x,y!)

4 Codice testo in chiaro chiave algoritmo testo cifrato trasmissione chiave algoritmo testo in chiaro

5 Legge di Kerckhoffs 1883: La sicurezza di un crittosistema non deve dipendere dal tener celato il crittoalgoritmo. La sicurezza dipenderà solo dal tener celata la chiave Chiave: Julius Caesar a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z j u l i s c a e r t v w x y z b d f g h k m n o p q Tu Brute! Hk Ufkhs!

6 Crittoanalisti arabi Esame delle frequenze Lettera freq. Lettera freq. Lettera freq. A 11,24 H 1,54 Q 0,51 B 0,92 I 11,28 R 6,37 C 4,50 L 6,51 S 4,98 D 3,73 M 2,51 T 5,62 E 11,79 N 6,88 U 3,01 F 0,95 O 9,83 V 2,10 G 1,64 P 3,05 Z 0,49 valida solo per la lingua italiana!

7 Decrittazione Qual è la lingua utilizzata? se fosse l italiano con quattro vocali il 43% dei caratteri q e z sono le consonanti più rare q è sempre seguita da u (3,01%) quali sono le consonanti che raddoppiano? vi possono essere tre consonanti assieme (consecutive)?

8 Blaise de Vinegre (1523) a b c d e f g h i l m n o p q r s t u v z b c d e f g h i l m n o p q r s t u v z a c d e f g h i l m n o p q r s t u v z a b d e f g h i l m n o p q r s t u v z a b c e f g h i l m n o p q r s t u v z a b c d f g h i l m n o p q r s t u v z a b c d e g h i l m n o p q r s t u v z a b c d e f occorre avere una parola chiave (dage) stop diviene quindi ptgl ambiguo?

9 Codice confederato Utilizzo di uno scambiatore definito un numero ogni lettera risulta differente dalla precedente

10 Enigma Prima macchina meccanica utilizzato dall esercito tedesco durante la seconda guerra mondiale dotato di scambiatori (rotori) = di unità scambiatrici (6 posizioni diverse di 1,2,3) pannelli a prese multiple

11 Ogni lettera diversa dalla precedente Il messaggio non è in chiaro nemmeno per il mittente Occorre però definire l ordine e la sequenza degli scambiatori Scambiatori

12 Combinazioni Le combinazioni del pannello a prese multiple sono le combinazioni totali sono , circa 10 milioni di miliardi

13 La barriera del linguaggio Il linguaggio Navajo era conosciuto soltanto da meno di 30 bianchi e da nessun tedesco! Linguaggio Navajo è senza nessuna testimonianza scritta ha solo suoni gutturali non ha parole moderne indecifrabile durante tutta la guerra non c è necessità di una chiave!

14 Il problema di Alice e Bob Trasferire un messaggio sapendo che il postino è scorretto (legge i messaggi!) Alice chiude il messaggio in una cassetta, la chiude con lucchetto e conserva la chiave spedisce la cassetta a Bob Bob riceve la cassetta, mette un altro lucchetto e ne conserva la chiave spedisce la cassetta ad Alice

15 e poi. Alice riceve la cassetta e toglie il proprio lucchetto rispedisce la cassetta a Bob Bob riceve la cassetta, apre il proprio lucchetto, apre la cassetta e (infine!!!) legge il messaggio Problema La soluzione è Alice Bob Alice - Bob ma non funziona in crittografia: FIFO!

16 Utilizzo calcolatori Tutti i caratteri sono in codice (ASCII) Possono decifrare messaggi provando in tempi brevissimi milioni di chiavi Occorre in ogni caso far conoscere al mittente ed al ricevente la chiave che viene utilizzato per la (de)codifica Difficile e costoso cambiare le chiavi ed inviarle ai partner E possibile non inviare la chiave?

17 RSA Rivest, Shamir, Adleman (1977) utilizzo di funzioni monodirezionali Se 3 y = 81 allora ricavo che y = 4! funzione bidirezionale ed inoltre 3 4 < 3 5 < 3 6 e così via se una chiave è errata perché il numero trovato è troppo grande occorre diminuire l esponente!

18 Matematica dei moduli Funzione dell orologio: dalle 8 alle 15 automaticamente facciamo modulo 12 x x mod funzione non continua! se si sceglie una funzione unidirezionale (ad esempio 7 x mod 11) si ha una sorpresa:

19 Sorpresa?! Alice sceglie A=3 Bob sceglie B=6 calcolo 7 x (mod 11), α = 7 3 = 343/11 = 2 β = 7 6 = /11 = 4 sia Alice che Bob si scambiano i risultati calcolo β A (mod 11) e α B (mod 11) β A = 4 3 = 64/11 = 9 α B = 2 6 = 64/11 = 9 Alice e Bob hanno ottenuto lo stesso numero questa è la chiave!!!

20 Utilizzo dei numeri primi Alice sceglie tre numeri primi p = 17, q = 11, (chiave privata) ed r = 7 N = = 187 Alice comunica a tutti sia N che r chiave pubblica Chi vuole comunicare con Alice deve originare un crittogramma indicando ciascun numero M secondo la formula C = M r (mod N)

21 e Se Bob invia X = = C = 88 7 (mod 187) = ( ) mod (mod 187) = (mod 187) = (mod 187) = 7744 (mod 187) = (mod 187) = 88 (mod 187) = 88 C = (mod 187) = = (mod 187) = 11 questo è il messaggio inviato ad Alice!

22 e Carlo? E praticamente impossibile ricavare il messaggio iniziale anche se intercetta M Alice invece calcola facilmente r d = 1 [mod(p-1)(q-1)] 7 d = 1 mod(16 10) = 1 mod(160) con l algoritmo di Euclide d = 23 M = C d (mod 187) = (mod 187) = 88 ossia X in codice ASCII (messaggio inviato)

23 Inviolabile? Basta scegliere numeri primi p e q grandi! dell ordine di ossia N = Un Pentium a 1 GHz impiegherebbe circa 5 anni per trovare p e q Ma 10 9 Pentium a 1 GHz troverebbero i fattori primi p e q in circa 0.15 secondi Per transizioni bancarie si usa N Pentium a 1 GHz impiegherebbero più di dieci anni per la decrittazione!

24 Futuro? Sarà possibile trovare un algoritmo per ricavare in modo rapido il prodotto di due numeri primi p e q? forse. ma i matematici ci stanno provando da più di duemila anni senza riuscirci!