CODICI SEGRETI: UN VIAGGIO NELLA CRITTOGRAFIA
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- Viviana Bertolini
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1 CODICI SEGRETI: UN VIAGGIO NELLA CRITTOGRAFIA Agostino Dovier Dip di Scienze Matematiche, Informatiche e Fisiche CLP Lab Univ. di Udine Aprile/Maggio 2017 AGOSTINO DOVIER (UNIV. DI UDINE) CODICI SEGRETI APRILE/MAGGIO / 25
2 P REISTORIA E STORIA AGOSTINO D OVIER (U NIV. DI U DINE ) C ODICI S EGRETI A PRILE /M AGGIO / 25
3 P REISTORIA E STORIA AGOSTINO D OVIER (U NIV. DI U DINE ) C ODICI S EGRETI A PRILE /M AGGIO / 25
4 PREISTORIA E STORIA AGOSTINO DOVIER (UNIV. DI UDINE) CODICI SEGRETI APRILE/MAGGIO / 25
5 CRITTOGRAFIA INFORMATICA AGOSTINO DOVIER (UNIV. DI UDINE) CODICI SEGRETI APRILE/MAGGIO / 25
6 CRITTOGRAFIA INFORMATICA L informazione è digitalizzata Il codice è un algoritmo Cos è un algoritmo? Il primo a darne la definizione rigorosa fu Turing, nel famoso articolo del 1936 Ci sono differenze tra algoritmo e programma? Un sistema operativo è un algoritmo?... AGOSTINO DOVIER (UNIV. DI UDINE) CODICI SEGRETI APRILE/MAGGIO / 25
7 CRITTOGRAFIA INFORMATICA L informazione è digitalizzata Il codice è un algoritmo Cos è un algoritmo? Il primo a darne la definizione rigorosa fu Turing, nel famoso articolo del 1936 Ci sono differenze tra algoritmo e programma? Un sistema operativo è un algoritmo?... AGOSTINO DOVIER (UNIV. DI UDINE) CODICI SEGRETI APRILE/MAGGIO / 25
8 CRITTOGRAFIA INFORMATICA L informazione è digitalizzata Il codice è un algoritmo Cos è un algoritmo? Il primo a darne la definizione rigorosa fu Turing, nel famoso articolo del 1936 Ci sono differenze tra algoritmo e programma? Un sistema operativo è un algoritmo?... AGOSTINO DOVIER (UNIV. DI UDINE) CODICI SEGRETI APRILE/MAGGIO / 25
9 CRITTOGRAFIA INFORMATICA L informazione è digitalizzata Il codice è un algoritmo Cos è un algoritmo? Il primo a darne la definizione rigorosa fu Turing, nel famoso articolo del 1936 Ci sono differenze tra algoritmo e programma? Un sistema operativo è un algoritmo?... AGOSTINO DOVIER (UNIV. DI UDINE) CODICI SEGRETI APRILE/MAGGIO / 25
10 CRITTOGRAFIA INFORMATICA Si deve assumere il principio dikerckhoffs nella sua forma più stringente: l algoritmo per la cifrazione/decifrazione dev essere pubblico. In pratica, è a disposizione di chiunque (in rete) un codice sorgente (p.es., un programma C) che implementa la codifica (e uno per la decodifica, eventualmente lo stesso) La chiave (meglio se non troppo lunga) va tenuta invece segreta. Il codice dev essere attaccabile solo dalla forza bruta (= niente scorciatoie intelligenti come quelle viste la scorsa lezione. Dobbiamo provare tutte le chiavi) e anche mettendo assieme tutti i calcolatori del mondo il tempo necessario ad applicare la forza bruta dev essere disarmante! Dev essere veloce (comunicazioni riservate anche telefoniche)! AGOSTINO DOVIER (UNIV. DI UDINE) CODICI SEGRETI APRILE/MAGGIO / 25
11 DATA ENCRYPTION STANDARD 1973 il National Bureau of Standards (ora NIST) richiede un algoritmo standard di cifratura 1975 IBM (Horst Feistel et al) definisce il codice che nel 1976/77 diventa DES (Data Encryption Standard) Il funzionamento del DES è pubblico (soddisfa il principio di Kerckhoffs). Del DES tutto è noto tranne la chiave, costituita da 8 bytes, ove un bit per byte è un bit di controllo (desumibile dalla chiave). Dunque la vera lunghezza della chiave è 56 bits (spazio di ). AGOSTINO DOVIER (UNIV. DI UDINE) CODICI SEGRETI APRILE/MAGGIO / 25
12 DATA ENCRYPTION STANDARD QUALCHE NUMERO E LA FINE DEL DES Malgrado anni e anni di studi non si arrivò mai a metodi più intelligenti della forza bruta Supponiamo di saper testare una chiave in 1µs Dunque sapremmo verificare = chiavi al giorno. Farebbero circa giorni (2285 anni) Ma se avessimo calcolatori, basterebbero 8 giorni! In seguito a una competizione, Rocke Verser preparò un programma in grado di distribuire il lavoro su PC vari collegati in Internet. Nel 1997 furono necessari 5 mesi (ovviamente con carico piuttosto irregolare) a forzare il DES. Nel 1998 bastarono 39 giorni. AGOSTINO DOVIER (UNIV. DI UDINE) CODICI SEGRETI APRILE/MAGGIO / 25
13 DATA ENCRYPTION STANDARD QUALCHE NUMERO E LA FINE DEL DES Malgrado anni e anni di studi non si arrivò mai a metodi più intelligenti della forza bruta Supponiamo di saper testare una chiave in 1µs Dunque sapremmo verificare = chiavi al giorno. Farebbero circa giorni (2285 anni) Ma se avessimo calcolatori, basterebbero 8 giorni! In seguito a una competizione, Rocke Verser preparò un programma in grado di distribuire il lavoro su PC vari collegati in Internet. Nel 1997 furono necessari 5 mesi (ovviamente con carico piuttosto irregolare) a forzare il DES. Nel 1998 bastarono 39 giorni. AGOSTINO DOVIER (UNIV. DI UDINE) CODICI SEGRETI APRILE/MAGGIO / 25
14 DATA ENCRYPTION STANDARD QUALCHE NUMERO E LA FINE DEL DES Malgrado anni e anni di studi non si arrivò mai a metodi più intelligenti della forza bruta Supponiamo di saper testare una chiave in 1µs Dunque sapremmo verificare = chiavi al giorno. Farebbero circa giorni (2285 anni) Ma se avessimo calcolatori, basterebbero 8 giorni! In seguito a una competizione, Rocke Verser preparò un programma in grado di distribuire il lavoro su PC vari collegati in Internet. Nel 1997 furono necessari 5 mesi (ovviamente con carico piuttosto irregolare) a forzare il DES. Nel 1998 bastarono 39 giorni. AGOSTINO DOVIER (UNIV. DI UDINE) CODICI SEGRETI APRILE/MAGGIO / 25
15 A DVANCED E NCRYPTION S TANDARD L algoritmo Rijndael di Joan Daemen and Vincent Rijmen fu annunciato dalla NIST come standard (AES) nel 2002 Come per il DES, il funzionamento e totalmente pubblico. AES e in tre versioni differenziate dalla lunghezza della chiave: AES-128, AES-192 e AES-256. Ha ancora il problema dello scambio delle chiavi, pero! AGOSTINO D OVIER (U NIV. DI U DINE ) C ODICI S EGRETI A PRILE /M AGGIO / 25
16 CRITTOGRAFIA A CHIAVE PUBBLICA Idea astratta di Whitfield Diffie e Martin Hellman nel 1976 Turing award nel 2016 (prima di loro M.J. Williamson, J.H. Ellis, C.C. Cocks 70 del Government Communications Head Quarter (GB)) Realizzazione concreta (algoritmo difficile ) nel 1978 di Ronald Rivest, Adi Shamir e Leonard Adleman (RSA) Turing award nel 2002 AGOSTINO DOVIER (UNIV. DI UDINE) CODICI SEGRETI APRILE/MAGGIO / 25
17 CRITTOGRAFIA A CHIAVE PUBBLICA IDEE GENERALI Alice Bob Charlie (la spia) Alice e Bob (e tutti) pubblicano (in un elenco telefonico, negli anni 70, in rete oggi) una volta per sempre la loro chiave pubblica (K A quella di Alice, K B quella di Bob, etc.), nota a tutti. Alice vuole inviare il messaggio m a Bob. Alice codifica il messaggio m per Bob con la chiave pubblica di Bob (K B ) e invia il messaggio cifrato COD(m, K B ). Bob riceve il messaggio COD(m, K B ) e usa la sua chiave privata H B per decodificare il messaggio. AGOSTINO DOVIER (UNIV. DI UDINE) CODICI SEGRETI APRILE/MAGGIO / 25
18 CRITTOGRAFIA A CHIAVE PUBBLICA IDEE GENERALI Le chiavi pubblica e privata sono progettate in modo tale che DEC(COD(m, K B ), H B ) = m L operazione di decifrazione, sapendo la chiave privata dev essere algoritmicamente facile L operazione di decrittazione (per Charlie) deve essere algoritmicamente impraticabile. Anche se l impresa è possibile: conoscendo K B e c = COD(m, K B ) si possono generare uno ad uno i messaggi di lunghezza opportuna, m 1, m 2,..., m l. Dunque si codificano uno ad uno con la chiave K B e si vede se COD(m i, K B ) = c. AGOSTINO DOVIER (UNIV. DI UDINE) CODICI SEGRETI APRILE/MAGGIO / 25
19 CRITTOGRAFIA A CHIAVE PUBBLICA PEPPA SPEDISCE UN MESSAGGIO A GEORGE PUBBLICA PRIVATA AGOSTINO DOVIER (UNIV. DI UDINE) CODICI SEGRETI APRILE/MAGGIO / 25
20 CRITTOGRAFIA A CHIAVE PUBBLICA PEPPA SPEDISCE UN MESSAGGIO A GEORGE PUBBLICA PRIVATA CIAO AGOSTINO DOVIER (UNIV. DI UDINE) CODICI SEGRETI APRILE/MAGGIO / 25
21 CRITTOGRAFIA A CHIAVE PUBBLICA PEPPA SPEDISCE UN MESSAGGIO A GEORGE PUBBLICA PRIVATA CIAO OINK AGOSTINO DOVIER (UNIV. DI UDINE) CODICI SEGRETI APRILE/MAGGIO / 25
22 CRITTOGRAFIA A CHIAVE PUBBLICA PEPPA SPEDISCE UN MESSAGGIO A GEORGE PUBBLICA PRIVATA CIAO OINK CIAO AGOSTINO DOVIER (UNIV. DI UDINE) CODICI SEGRETI APRILE/MAGGIO / 25
23 CRITTOGRAFIA A CHIAVE PUBBLICA IDEE GENERALI L operazione di decifrazione, sapendo la chiave privata dev essere algoritmicamente facile L operazione di decrittazione (per la spia) deve essere algoritmicamente impraticabile. Anche se l impresa è possibile, avendo tempo a sufficienza: un modo è quello di provare tutti i messaggi di una data lunghezza, codificarli con la chiave pubblica di George, quando inseriamo CIAO, troveremo OINK: abbiamo capito che Peppa ha scritto CIAO. Così si scopre il messaggio ma non la chiave privata. AGOSTINO DOVIER (UNIV. DI UDINE) CODICI SEGRETI APRILE/MAGGIO / 25
24 CRITTOGRAFIA A CHIAVE PUBBLICA IDEE GENERALI Bell idea, ma come si realizza in pratica??? AGOSTINO DOVIER (UNIV. DI UDINE) CODICI SEGRETI APRILE/MAGGIO / 25
25 CRITTOGRAFIA A CHIAVE PUBBLICA RSA IDEE PRINCIPALI 1 Bob sceglie due numeri primi p e q. 2 Verificare se un numero è primo (o meno) è algoritmicamente facile (pertanto, Bob prende un numero dispari delle dimensioni desiderate,... ) 3 Bob calcola n = pq (e altre cose che omettiamo qui per semplicità) e rende n pubblico. 4 Alice vuole inviare un messaggio a Bob, conoscendo la chiave pubblica di Bob n. Lo spezza in blocchi di dimensione opportuna. Sia m un blocco: calcola c = COD(m, n) (algoritmicamente facile). 5 Bob conoscendo p e q è in grado di calcolare m = DEC(c, p, q) (algoritmicamente facile). 6 Charlie intercetta c sa che Alice l ha inviato a Bob e conosce n pubblicati da Bob. 7 Al solito, in principio, può generare tutti i messaggi m 1, m 2,..., m t di lunghezza opportuna (sono in numero finito, dato n), effettuare la codifica e vedere se trova c (forza bruta). È impraticabile. AGOSTINO DOVIER (UNIV. DI UDINE) CODICI SEGRETI APRILE/MAGGIO / 25
26 PROBLEMA: CHARLIE VORREBBE CALCOLARE p E q SAPENDO n = pq. trova un fattore di n: prova i da 2 a n se n diviso i ha resto 0 allora stampa i e finisci (altrimenti aumenta i) Nel caso peggiore compie un numero di passi pari a n. Possiamo togliere i pari, i multipli di 3, i multipli di 5, ma la sostanza non cambia. Se n è un numero di 100 cifre, ogni divisione mi costa s, e dispongo di 10 9 processori, mi serve tempo = ANNI AGOSTINO DOVIER (UNIV. DI UDINE) CODICI SEGRETI APRILE/MAGGIO / 25
27 PROBLEMA: CHARLIE VORREBBE CALCOLARE p E q SAPENDO n = pq. trova un fattore di n: prova i da 2 a n se n diviso i ha resto 0 allora stampa i e finisci (altrimenti aumenta i) Nel caso peggiore compie un numero di passi pari a n. Possiamo togliere i pari, i multipli di 3, i multipli di 5, ma la sostanza non cambia. Se n è un numero di 100 cifre, ogni divisione mi costa s, e dispongo di 10 9 processori, mi serve tempo = ANNI AGOSTINO DOVIER (UNIV. DI UDINE) CODICI SEGRETI APRILE/MAGGIO / 25
28 PROBLEMA: CHARLIE VORREBBE CALCOLARE p E q SAPENDO n = pq. trova un fattore di n: prova i da 2 a n se n diviso i ha resto 0 allora stampa i e finisci (altrimenti aumenta i) Nel caso peggiore compie un numero di passi pari a n. Possiamo togliere i pari, i multipli di 3, i multipli di 5, ma la sostanza non cambia. Se n è un numero di 100 cifre, ogni divisione mi costa s, e dispongo di 10 9 processori, mi serve tempo = ANNI AGOSTINO DOVIER (UNIV. DI UDINE) CODICI SEGRETI APRILE/MAGGIO / 25
29 PROBLEMA: CHARLIE VORREBBE CALCOLARE p E q SAPENDO n = pq. trova un fattore di n: prova i da 2 a n se n diviso i ha resto 0 allora stampa i e finisci (altrimenti aumenta i) Nel caso peggiore compie un numero di passi pari a n. Possiamo togliere i pari, i multipli di 3, i multipli di 5, ma la sostanza non cambia. Se n è un numero di 100 cifre, ogni divisione mi costa s, e dispongo di 10 9 processori, mi serve tempo = ANNI AGOSTINO DOVIER (UNIV. DI UDINE) CODICI SEGRETI APRILE/MAGGIO / 25
30 ELGAMAL E IL LOGARITMO DISCRETO Nel 1985 Taher Elgamal architetta un altro sistema di cifratura a chiave pubblica. La forza del sistema di cifratura è basata sulla difficoltà computazionale di calcolare il logaritmo in un campo finito (in breve logaritmo discreto). Ometto i dettagli tecnici di codifica e decodifica AGOSTINO DOVIER (UNIV. DI UDINE) CODICI SEGRETI APRILE/MAGGIO / 25
31 ELGAMAL E IL LOGARITMO DISCRETO UNA NUOVA SCOMMESSA Consideriamo l insieme Z p = {0, 1,..., p 1} in cui usiamo l aritmetica modulo p. Ovvero, se il risultato a di una operazione esce dall insieme prendiamo il resto della divisione tra a e p. Ad esempio, in Z 7, Si noti che ogni numero ha un opposto: ad esempio, poiché = 0, si ha che 4 = -3 e 3 = -4. AGOSTINO DOVIER (UNIV. DI UDINE) CODICI SEGRETI APRILE/MAGGIO / 25
32 ELGAMAL E IL LOGARITMO DISCRETO UNA NUOVA SCOMMESSA Sempre in Z 7, Si noti che ogni numero ha (esattamente) un inverso: ad esempio, poiché 3 5 = 1, si ha che 3 = 5 1 e 5 = 3 1. AGOSTINO DOVIER (UNIV. DI UDINE) CODICI SEGRETI APRILE/MAGGIO / 25
33 ELGAMAL E IL LOGARITMO DISCRETO UNA NUOVA SCOMMESSA Le proprietà accennate (ovvero, essere un campo finito) valgono per Z p quando p è un numero primo. Possiamo dunque definire l elevamento a potenza 3 1 = = 9 7 2, 3 3 = , 3 4 = = = Cosideriamo ora due numeri α e x (numeri tra 1 e p 1, α meglio se radice primitiva come 3 nell esempio sopra). Calcoliamo β = α x modulo p (non è difficile farlo in modo efficiente). Dati α, β e p, trovare x è possibile ma, ancora, computazionalmente impraticabile (se p è un numero di 200 cifre o più). x = log α β in Z p. AGOSTINO DOVIER (UNIV. DI UDINE) CODICI SEGRETI APRILE/MAGGIO / 25
34 RIASSUNTO Abbiamo visto il punto di arrivo della crittografia tradizionale, a chiave segreta scambiata privatamente: AES. Pros: Cifratura e decifratura velocissima. Cons: Scambio della chiave. Abbiamo visto l idea dei cifrari a chiave pubblica e due implementazioni RSA fattorizzazione ElGamal Logaritmo Discreto (ce ne sono altre che elaborano ancora le idee come i codici ellittici) Pros: diffuzione pubblica della chiave. Cons: cifratura e decifratura lentina (specie pensando a invio di audio/video etc) Possiamo combinare gli effetti positivi e annullare quelli negativi? AGOSTINO DOVIER (UNIV. DI UDINE) CODICI SEGRETI APRILE/MAGGIO / 25
35 UN ULTERIORE PASSO AVANTI PGP E LA SICUREZZA DELLE Nel 1991Phil R. Zimmerman sviluppa PGP (Pretty Good Privacy) Cifrari a chiave privata (AES, DES) e Chiave Pubblica (RSA, ElGamal) vengono usati in combinazione. Usando RSA ci si passa la chiave (corta) per l AES, e si usa AES (più veloce) per cifrare il messaggio (lungo). Zimmeman ebbe una grande idea, senza secondi fini. Fu sottoposto a diversi processi negli USA. AGOSTINO DOVIER (UNIV. DI UDINE) CODICI SEGRETI APRILE/MAGGIO / 25
36 CONCLUSIONI LA SICUREZZA... QUOTIDIANA Siamo immersi in un mondo connesso e con molti malintenzionati. La crittografia a chiave pubblica ci permette di comunicare in sicurezza. Sempre che non si sappia fattorizzare n in p e q o calcolare log α β in Z p. AGOSTINO DOVIER (UNIV. DI UDINE) CODICI SEGRETI APRILE/MAGGIO / 25
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