Sommario della lezione

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1 Sommario della lezione Applicazioni del massimo flusso Università degli Studi di Salerno Corso di Progettazione di Algoritmi Prof. Ugo Vaccaro Anno Acc. 206/7 p. /39

2 Prima applicazione: Matching Supponiamo che un vi siano un certo numero di signore nubili, ed un certo numero di un certo numero di signori scapoli. Ogni signora esprime il suo interesse verso un sottoinsieme dei signori, Anna Vera Rosa Mara Mario Lucio Teo Pio Dario Problema: Determinare il maggior numero di abbinamenti signora-signore (senza conflitti, ovvio), che rispetti le preferenze delle signore (perchè? Perchè lavoriamo per un agenzia matrimoniale e vogliamo massimizzare il nostro profitto, visto che prendiamo una provvigione ad ogni abbinamento che và buon fine...) Università degli Studi di Salerno Corso di Progettazione di Algoritmi Prof. Ugo Vaccaro Anno Acc. 206/7 p. 2/39

3 Esempi Anna Vera Rosa Mara Mario Lucio Teo Pio 2 abbinamenti Dario Anna Vera Rosa Mara Mario Lucio Teo Pio 3 abbinamenti Dario Università degli Studi di Salerno Corso di Progettazione di Algoritmi Prof. Ugo Vaccaro Anno Acc. 206/7 p. 3/39

4 Formuliamo il problema in modo generale Input: Grafo G = (V, E) bipartito, ovvero per cui V = S D, con S D =, e E = {{a, b} : a S, b D} Output: Un sottoinsieme di archi M E (matching) tale che per ogni coppia {a, b}, {x, y} M vale che {a, b} {x, y} =, con M di cardinalità massima. Anna Vera Rosa Mara Mario Lucio Teo Pio Dario Gli archi rossi costituiscono nell esempio un matching di cardinalità 3. Università degli Studi di Salerno Corso di Progettazione di Algoritmi Prof. Ugo Vaccaro Anno Acc. 206/7 p. 4/39

5 Formulazione del problema in termini di flusso massimo Dato G = (V = S D, E) bipartito, introduciamo due nuovi nodi s e t, con s connesso (via un arco diretto) a ciascun nodo in S, e t connesso (via un arco diretto) a ciascun nodo in D. Gli archi in E tra nodi di S e D vengono ora direzionati da S e D. Infine, ad ogni arco viene assegnata capacità pari a. In sintesi, abbiamo creato d G una rete di flusso G = (S D {s, t}, E ), con E = E {(s, u) : u S} {(v, t) : v D}, e capacità = per ogni arco Esempio s t Università degli Studi di Salerno Corso di Progettazione di Algoritmi Prof. Ugo Vaccaro Anno Acc. 206/7 p. /39

6 Vale il seguente risultato: max M = M:M è un matching in G max v(f) f:f è un flusso in G Mostriamo innanzitutto max M maxv(f). Dato un matching M in G di cardinalità massima k, immaginiamo un assegnazione in G che manda un unità di flusso dalla sorgente s ad ogni vertice a, estremo in S dell arco (a, b) del matching M, che manda una unità di flusso sull arco (a, b) del matching M, ed una unità di flusso da b alla destinazione t. Tale assegnazione è un valido flusso di valore k in quanto rispetta tutti i vincoli sulel capacità e sulla conservazione, pertanto k = max M max v(f) s t Università degli Studi di Salerno Corso di Progettazione di Algoritmi Prof. Ugo Vaccaro Anno Acc. 206/7 p. 6/39

7 Mostriamo ora che max M maxv(f) Sia k il valore di un flusso massimo in G. Poichè e arco di G vale che c(e) {0, }, sappiamo che esiste un flusso massimo f a valori interi, ovvero f(e) {0, }, e. Sia M = {e = (a, b) : a S, b D, f(e) = } l insieme degli archi che vanno da vertici in S a vertici in D che trasportano una unità di flusso ciascheduno (rappresentati in grassetto di sotto). Dato che k unità di flusso fuoriescono da s, per il vincolo di conservazione del flusso k ne devono arrivare a t, e dato che non ci sono nel grafo archi diretti da s a t, occorrono k tali archi in grassetto per trasportare k unità di flusso da S a D. Gli archi in M formano un matching (ovvero su ogni vertice di S incide al più uno di tali archi, ed analogamente per i vertici in D). Ciò sempre per la legge di conservazione del flusso in quanto se al più una unità di flusso entra in un vertice di S al più una ne deve uscire (analogamente per i vertici di D). Quindi k = M cardinalità massima di un matching. s t S D Università degli Studi di Salerno Corso di Progettazione di Algoritmi Prof. Ugo Vaccaro Anno Acc. 206/7 p. 7/39

8 Al di là della motivazione usata per introdurre il problema del matching di cardinalità massima, tale concetto trova applicazione in molti altri ambiti: Assegnazione di job a macchine, in modo tale che ogni job sia assegnato ad al più una macchina ed ogni macchina abbia assegnato al più un job Assegnazione di clienti a servitori, in modo tale che ogni cliente sia assegnato ad al più ad un servitore ed ogni servitore abbia assegnato al più un cliente in Biologia: Predizione della struttura di RNA in Chimica: determinazione delle posizioni dei legami doppi in strutture chimiche. Università degli Studi di Salerno Corso di Progettazione di Algoritmi Prof. Ugo Vaccaro Anno Acc. 206/7 p. 8/39

9 Seconda applicazione: Cammini disgiunti in grafi Problema: Dato un grafo (diretto) G = (V, E) e due nodi s e t, determinare il massimo numero di cammini da s a t che sono arco-disgiunti. Def. Due cammini sono arco-disgiunti se non hanno alcun arco in comune. 2 s 3 6 t 4 7 Il problema è di fondamentale importanza nell ambito delle reti di comunicazione (ed in altri ambiti pure...) Università degli Studi di Salerno Corso di Progettazione di Algoritmi Prof. Ugo Vaccaro Anno Acc. 206/7 p. 9/39

10 Formulazione del problema in termini di massimo flusso Assegniamo capacità ad ogni arco s Risultato: Il massimo numero di cammini da s a t in G che sono arcodisgiunti = valore del massimo flusso in G da s a t Supponiamo che in G esistano k cammini da s a t in G che sono arco-disgiunti, assegniamo flusso ad ogni arco in tale cammino, assegniamo flusso 0 a tutti gli altri archi di G. I vincoli sulle capacità sono rispettati, i vincoli sulla conservazione del flusso sono rispettati (se c cammini entrano in un nodo altrettanto ne escono, visto che tutti i cammini devono raggiungere t, pertanto se c unità di flusso entrano in un nodo, altrettanto ne escono). Pertanto, massimo numero di cammini da s a t in G che sono arco-disgiunti valore del massimo flusso in G da s a t Università degli Studi di Salerno Corso di Progettazione di Algoritmi Prof. Ugo Vaccaro Anno Acc. 206/7 p. 0/39

11 Proviamo ora la disuguaglianza opposta ricordano che se esiste un flusso f di valore massimo in G, allora ne esiste uno a valori interi f(e) {0, }, per ogni e E. Proveremo L insieme degli archi e con f(e) = contiene un insieme di v(f) cammini arco-disgiunti da s a t. Iniziamo col seguire gli archi con flusso che partono da s. Per il vincolo sulla conservazione del flusso, ogni qualvolta un tale arco entra in un nodo v, da tale nodo ne deve uscire un altro arco con flusso. s t Prima o poi avremo trovato un cammino P da s a t. Università degli Studi di Salerno Corso di Progettazione di Algoritmi Prof. Ugo Vaccaro Anno Acc. 206/7 p. /39

12 e continuiamo... s t Azzeriamo il flusso su tale cammino, otterremo un flusso f in G, di valore v(f ) = v(f). Seguiamo gli archi con flusso di tale nuovo flusso f a partire da s e prima o poi arriveremo a t (e non intersecheremo P, in quanto gli archi di P nel nuovo flusso trasportano 0 unità di flusso), ottenendo quindi un secondo cammino P da s a t. Azzeriamo ora il flusso anche sugli archi del secondo cammino così trovato, otterremo un nuovo flusso f in G, di valore v(f ) = v(f) 2, seguiamo gli archi del grafo con flusso di tale nuovo flusso f ed otterremo un terzo cammino (arco disgiunto dai primi due) che và da s a t e così via, finquando non avremo ottenuto esattamente v(f) cammini, tutti arco disgiunti tra di loro, da s a t. Università degli Studi di Salerno Corso di Progettazione di Algoritmi Prof. Ugo Vaccaro Anno Acc. 206/7 p. 2/39

13 Un ultima osservazione: È possibile che i cammini prodotti dall algoritmo prima descritto abbiano dei cicli. Poco importa, possiamo eliminare tali cicli e se i cammini erano arco disgiunti con i cicli a maggior ragione lo saranno dopo che gli eventuali cicli che essi contengono sono stati eliminati. Conmclusione: abbiamo provato che se esiste un flusso f di valore massimo v(f) = v nel grafo G prima descritto, allora in G esistono almeno v cammini arco disgiunti in G da s a t, da cui otteniamo che max v(f) max numero di cammini arco disgiunti da s a t f:f è un flusso in G Avendo prima provato la diseguaglianza opposta, otteniamo che le due quantità di sopra sono in effetti uguali. Università degli Studi di Salerno Corso di Progettazione di Algoritmi Prof. Ugo Vaccaro Anno Acc. 206/7 p. 3/39

14 Complessità dell algoritmo per trovare i cammini arco disgiunti Innanzitutto occorre trovare il valore del massimo flusso in G = (V, E). Ciò richiede, usando l algoritmo di Ford e Fulkerson, tempo O(mC), dove m = E e C è il valore di tale massimo flusso. Ovviamente vale che C e:e uscente da c(e) che, nel nostro caso in cui c(e) = per ogni s arco e E, si riduce a C n = V. Una volta trovato il valore del massimo flusso, occorre trovare i cammini da s a t su cui viaggia flusso pari a. Ciascun tale cammino può essere trovato in tempo O(m) (seguendo gli archi con flusso = e osservando che ogni cammino è composto da O(m) archi). Ci sono al più n cammini arco disgiunti tra s e t, quindi in totale li possiamo trovare tutti in tempo O(nm). Gran totale = O(nm) + O(nm) = O(nm). Università degli Studi di Salerno Corso di Progettazione di Algoritmi Prof. Ugo Vaccaro Anno Acc. 206/7 p. 4/39

15 E se il grafo G non è diretto? Possiamo usare un trucco. Partendo da G (non diretto) rimpiazziamo ciascun arco {u, v} E con la coppia di archi (u, v), (v, u) come in figura u v = u v Sul grafo G così ottenuto possiamo applicare l algoritmo di prima per trovare i cammini arco disgiunti da s a t. Bisogna però stare attenti: non è detto che due cammini P e P 2 arco disgiunti in G lo siano anche in G. Ad es. s u v t P =s-u-v-t, P 2 =s-v-u-t disgiunti in G s u v t P =s-u-v-t, P 2 =s-v-u-t non disgiunti in G Università degli Studi di Salerno Corso di Progettazione di Algoritmi Prof. Ugo Vaccaro Anno Acc. 206/7 p. /39

16 Possiamo però mostrare che esiste un massimo flusso che usa al più uno solo degli archi (u, v), (v, u). Sia f sia un massimo flusso per cui f(u, v) 0 e f(v, u) 0. Sia δ = min{f(u, v), f(v, u)} e definiamo una nuova assegnazione f uguale a f, tranne che sugli archi (u, v) e (v, u), dove vale f (u, v) = f(u, v) δ, f (v, u) = f(v, u) δ. u f(u, v) f(v, u) v = u f(u, v) δ f(v, u) δ È chiaro che se f rispetta i vincoli sulle capacità a maggior ragione li rispetta f, e se f rispetta i vincoli sulla conservazione del flusso, così li rispetta f, visto che sia il flusso entrante che quello uscente da u e v diminuisce dello stesso δ. Di conseguenza f ha lo stesso valore di f (ovvero anche f è un flusso massimo). Per definizione di δ, in f almeno uno tra f (u, v), f (v, u) è uguale a 0, come desiderato. Usando f come punto di partenza, possiamo ottenere cammini diretti arco disgiunti da s a t che corrisponderanno anche a cammini non diretti arco disgiunti da s a t. v Università degli Studi di Salerno Corso di Progettazione di Algoritmi Prof. Ugo Vaccaro Anno Acc. 206/7 p. 6/39

17 Connettività di grafi Problema: Dato un grafo diretto G = (V, E) e due nodi s e t, trovare il minimo numero di archi che disconnette t da s. Def. Un insieme di archi F E disconnette s da t se tutti i cammini da s a t usano almeno un arco di F. 2 s 3 6 t 4 7 Il problema trova applicazione nell analisi della tolleranza ai guasti di reti di calcolatori (ed in tante altre situazioni...) Università degli Studi di Salerno Corso di Progettazione di Algoritmi Prof. Ugo Vaccaro Anno Acc. 206/7 p. 7/39

18 Il risultato Il minimo numero di archi che disconnette t da s = massimo numero di cammini arco-disgiunti da s a t. Proviamo innanzitutto il. Sia F E un insieme di cardinalità k minima di archi che disconnette t da s. Ogni cammino da s a t deve usare almeno un arco di F (altrimenti F non disconnetterebbe t da s) pertanto il massimo numero di cammini arco-disgiunti da s a t è al più k 2 2 s 3 6 t s 3 6 t Nell esempio, abbiamo 2 cammini arco disgiunti da s a t e 2 archi bastano a disconnettere t da s. Università degli Studi di Salerno Corso di Progettazione di Algoritmi Prof. Ugo Vaccaro Anno Acc. 206/7 p. 8/39

19 Proviamo ora la diseguaglianza oppposta Sia k il massimo numero di cammini arco-disgiunti da s a t. Abbiamo prima visto che tale numero corrispondeva anche al valore del massimo s-t flusso f nel grafo. Ricordiamo inoltre che la massimalità di f implicava che in G esiste un taglio (A, B) di capacità c(a, B) = v(f) = k. Gli archi che vanno da A a B (ovviamente in numero di k visto che ogni arco ha capacità pari a ) costituiscono un insieme F che disconnette t da s, per cui la minima cardinalità di un F che disconnette t da s è k. 2 2 s 3 6 t s 3 6 t A 4 7 B 4 7 Università degli Studi di Salerno Corso di Progettazione di Algoritmi Prof. Ugo Vaccaro Anno Acc. 206/7 p. 9/39

20 Ricordando il risultato prima provato: Il massimo numero di cammini da s a t in G che sono arco-disgiunti = valore del massimo flusso in G da s a t e quello appena provato: Il minimo numero di archi che disconnette t da s = massimo numero di cammini arco-disgiunti da s a t. otteniamo Risultato: Il minimo numero di archi che disconnette t da s = valore del massimo flusso in G da s a t che ci fornisce anche un algoritmo di complessità O(mn)) per risolvere il problema, dove come al solito n = V, m = E. Università degli Studi di Salerno Corso di Progettazione di Algoritmi Prof. Ugo Vaccaro Anno Acc. 206/7 p. 20/39

21 E se volessimo studiare gli stessi problemi relativamente a vertici? ovvero considerare i seguenti problemi: Problema : Determinare il massimo numero di cammini tra due vertici di un grafo in modo tale che nessuna coppia di cammini abbiano vertici in comune? (ovvero i cammini siano vertici-disgiunti) Problema 2: Determinare il minimo numero di vertici che disconnette un vertice t da s? Bisogna rifare tutto da capo? No. Università degli Studi di Salerno Corso di Progettazione di Algoritmi Prof. Ugo Vaccaro Anno Acc. 206/7 p. 2/39

22 Basta considerare grafi con capacità anche sui vertici ovvero, generalizzare il concetto di rete di flusso mediante un grafo diretto G = (V, E) con le seguenti caratteristiche: associato ad ogni arco e E vi è un numero c(e) 0, capacità dell arco e associato ad ogni nodo u V vi è un numero d(u) 0 capacità del nodo u vi è un nodo s chiamato sorgente, senza archi entranti vi è un nodo t chiamato destinazione, senza archi uscenti In tale situazione un flusso f deve soddisfare le seguenti condizioni. (Vincoli sulle capacità) e E 0 f(e) c(e) e u V e entranti in u f(e) d(u) 2. (Vincoli sulla conservazione del flusso) v V, s v t, vale e entranti in v f(e) = e uscenti da v f(e) Università degli Studi di Salerno Corso di Progettazione di Algoritmi Prof. Ugo Vaccaro Anno Acc. 206/7 p. 22/39

23 Il bello di grafi siffatti è che non sono più difficili da trattare di quelli soliti, ovvero di grafi con capacità solo sugli archi. Infatti, dato un grafo con capacità c(e) sugli archi e capacità d(u) sui nodi avremmo una situazione siffatta, in cui la somma dei flussi entranti nel nodo deve essere d(u): c 2 c c 2 c c 3 d(u) c 6 c 3 u d(u) u c 6 c c 4 c c 4 Potremmo trasformarla in una situazione come quella di destra, in cui si introduce un nodo fittizio u, connesso a u con un arco con capacità d(u). Nel grafo risultante dopo la trasformazione sopra delineata (effettuata ovviamente per ogni nodo) vi sono solo capacità su archi (che sappiamo trattare). È altresì ovvio che esiste un flusso di valore k nel grafo di partenza (con capacità anche sui nodi) se e solo se ne esiste uno dello stesso valore nel grafo modificato (con capacità solo sugli archi). Università degli Studi di Salerno Corso di Progettazione di Algoritmi Prof. Ugo Vaccaro Anno Acc. 206/7 p. 23/39

24 Riassumendo... Le tecniche di flusso introdotte permettono quindi di risolvere anche questioni che coinvolgono condizioni su nodi, ad esempio determinare il massimo numero di cammini nodo-disgiunti tra una coppia di nodo del grafo, o determinare il minimo numero di nodi necessari a disconnettere una coppia di nodi nel grafo, etc. Basterà imporre le opportune limitazioni sia alla capacità sugli archi, che sui nodi. Ad es., per determinare il massimo numero di cammini nodo-disgiunti tra due vertici s e t di un grafo G, basterà calcolare il massimo flusso da s a t in G, dove avremo imposto che la capacità di ciascun nodo è pari a, trasformare il grafo come prima descritto e risolvere il problema del massimo flusso nel grafo trasformato per ottenere la risposta. Università degli Studi di Salerno Corso di Progettazione di Algoritmi Prof. Ugo Vaccaro Anno Acc. 206/7 p. 24/39

25 Esempio: Vie di Fuga Supponiamo di avere una griglia, e dei punti in essa. Il problema è di stabilire se esistono cammini vertice-disgiunti da ciascun punto alla frontiera della griglia non ha soluzione Università degli Studi di Salerno Corso di Progettazione di Algoritmi Prof. Ugo Vaccaro Anno Acc. 206/7 p. 2/39

26 Formulazione del problema in termini di flusso Input: Grafo griglia G = (V, E), consistente di n colonne ed n righe di vertici. Il vertice generico nella riga i e colonna j può essere rappresentato dalla coppia (i, j). Ogni vertice ha quattro vicini, tranne che per i vertici sulla frontiera (che ne hanno o due o tre). In input abbiamo anche m n 2 punti (x, y ),...,(x m, y m ) per i quali vogliamo stabilire se ci sono o meno m cammini disgiunti da essi alla frontiera della griglia (non importa dove, purchè si possa raggiungere la frontiera) Definiamo un grafo di flusso G = (V, E ) nel seguente modo: V = V {s, t} E = E {archi da s ad ogni punto (x i, y i )} {archi da ogni punto della frontiera a t} Ogni arco di G ha capacità pari a, ogni nodo di G ha capacità pari a. Università degli Studi di Salerno Corso di Progettazione di Algoritmi Prof. Ugo Vaccaro Anno Acc. 206/7 p. 26/39

27 Esempio s t Università degli Studi di Salerno Corso di Progettazione di Algoritmi Prof. Ugo Vaccaro Anno Acc. 206/7 p. 27/39

28 Vale il seguente risultato Il problema delle vie di fuga ha soluzione positiva (ovvero esistono i cammini nodi-disgiunti dagli m punti in input sulla griglia alla frontiera della griglia) se e solo se nel grafo G esiste un massimo flusso di valore m. Prova: per esercizio. Università degli Studi di Salerno Corso di Progettazione di Algoritmi Prof. Ugo Vaccaro Anno Acc. 206/7 p. 28/39

29 Il Problema del Trasporto Input: Grafo diretto G = (V, E) Nodi fornitori s i con quantità di fornitura f i, i =,...,p Nodi richiedenti r i con quantità di richiesta g i, i =,...,q fi g i funzione capacità c : E R + Output: trovare dei percorsi su cui far viaggiare le cose, in modo che le richieste siano soddisfatte, ed i vincoli sulle capacità degli archi siano rispettati. s 4 r s r 2 8 Università degli Studi di Salerno Corso di Progettazione di Algoritmi Prof. Ugo Vaccaro Anno Acc. 206/7 p. 29/39

30 Risoluzione del Problema del Trasporto mediante Massimo Flusso Il Problema del Trasporto può essere risolto creando e risolvendo un problema collegato di Massimo Flusso Creiamo una supersorgente s. Per ogni nodo fornitore s i, aggiungiamo un arco da s a s i di capacità pari alla quantità di fornitura f i Creiamo una superdestinazione t. Per ogni nodo richiedente r i aggiungiamo un arco da r i a t con capacità pari alla quantità di richiesta g i Trova il massimo flusso da s a t nella rete di flusso così ottenuta Se il massimo flusso = gi alora tale massimo flusso rappresenta una soluzione al Problema del Trasporto originale, altrimenti il Problema del Trasporto non è risolubile con i parametri dati. s 4 r 7 s 2 2 t s r 2 Università degli Studi di Salerno Corso di Progettazione di Algoritmi Prof. Ugo Vaccaro Anno Acc. 206/7 p. 30/39

31 Risoluzione del Problema del Trasporto mediante Massimo Flusso Nel nostro esempio, il massimo flusso da s a t è ottenuto mediante l algoritmo di Ford e Fulkerson. Il valore del massimo flusso ottenuto è 2. I numeri in rosso rappresentano i valori del flusso su ciascun arco Poichè il valore del massimo flusso =2=7+8=somma delle richieste, otteniamo che il flusso in questione è una soluzione al problema del Trasporto s 4 4 r s r 2 8 Università degli Studi di Salerno Corso di Progettazione di Algoritmi Prof. Ugo Vaccaro Anno Acc. 206/7 p. 3/39

32 Perchè l algoritmo funziona in generale Per ogni nodo r i che richiedeva una quantità g i abbiamo creato un arco (r i, t) di tale capacità. In tale rete il flusso non può superare il valore g i, in quanto esiste ovviamente il taglio (V {t}, {t}) esattamente di tale capacità Se esiste un flusso (massimo) di valore g i, necessariamente su ogni arco (r i, t) deve viaggiare una quantità di flusso pari a g i, per la legge di conservazione di flusso, la stessa quantità deve entrare in r i il che fornisce una soluzione al Problema del Trasporto s 4 r 7 7 s 2 2 t s r 2 8 Università degli Studi di Salerno Corso di Progettazione di Algoritmi Prof. Ugo Vaccaro Anno Acc. 206/7 p. 32/39

33 Problema delle danze Una scuola vuole organizzare un ballo di fine anno. Ogni coppia di studenti composta da un ragazzo ed una ragazza che intendono danzare insieme devono registrarsi (altrimenti non possono danzare insieme). I regolamenti della scuola impongono che ogni data coppia non possa danzare insieme più di 3 volte. In più, ogni studente non può danzare più di 0 volte in totale. Problema: massimizzare il numero di danze in totale. Esercizio: formalizzare il problema come un problema di massimo flusso. Suggerimento: Definire un nodo per ogni studente ed ogni studentessa. Inserire un arco di opportuna capacità tra le coppie registrate. Definire opportune capacità associate ad ogni nodo. Indi, procedere come nel Problema del Trasporto, introducendo una sorgente connessa ad ogni studente ed una destinazione connessa ad ogni studentessa. Università degli Studi di Salerno Corso di Progettazione di Algoritmi Prof. Ugo Vaccaro Anno Acc. 206/7 p. 33/39

34 Il Problema del Baseball Il campionato americano di baseball è diviso in tornei e passano alla fase successiva le squadre che hanno avuto il maggior numero di vittorie (non vi sono pareggi nel baseball). Ad ogni istante della stagione, i tifosi sono interessati a sapere se la loro squadra può ancora teoricamente passare il torneo, o è già matematicamente eliminata. w(i) g(i) g(i, j) squadra vinte da giocare Y H C B Yale Harvard Cornell Brown 27 3 Harvard è già eliminata o può ancora arrivare prima nel girone? Università degli Studi di Salerno Corso di Progettazione di Algoritmi Prof. Ugo Vaccaro Anno Acc. 206/7 p. 34/39

35 Il Problema del Baseball: analisi preliminare Il massimo numero di vittorie cui Harvard può arrivare è W = = 33 (vincendo i 4 rimanenti incontri) Supponendo che Harvard li vinca, non sarà eliminata se e solo se: Brown ha al più u(b) = W w(b) = = 6 vittorie nei rimanenti incontri Cornell ha al più u(c) = W w(c) = = vittorie nei rimanenti incontri Yale ha al più u(y ) = W w(y ) = = 0 vittorie nei rimanenti incontri Sia P l insieme delle squadre tranne Harvard: P = {Y, C, B} Sia Q l insieme di tutte le possibili coppie di squadre in P : Q = {(Y, C), (Y, B), (C, B)} Il numero totale di incontri da effettuarsi tra squadre in P è G = = 8. Università degli Studi di Salerno Corso di Progettazione di Algoritmi Prof. Ugo Vaccaro Anno Acc. 206/7 p. 3/39

36 Soluzione del Problema del Baseball mediante Flusso Il Problema del Baseball può essere risolto creando e risolvendo un istanza collegata del problema del Massimo Flusso Crea un nodo sorgente S (tutti gli incontri partono da qui) Crea un nodo per ciascuna coppia (X, Y ) di Q; aggiungi un arco da S a ciascuna coppia (X, Y ) con capacità pari al numero di partite da giocare tra X e Y Crea un nodo per ciascuna squadra di P ; per ciascuna coppia (X, Y ) di Q aggiungi un arco da (X, Y ) alla squadra X ed alla squadra Y di P, con capacità pari al numero di partite da giocare tra X e Y Crea un nodo destinazione T (le vittorie di ciascuna squadra sono qui memorizzate ). Aggiungi un arco da ogni squadra X in P al nodo T, la capacità dell arco è pari a u(x) (il massimo numero di vittorie che la squadra X può avere nei rimanenti incontri affinchè Harvard si qualifichi) Y,C 6 Y S 6 Y,B B,C 6 C B 0 T 6 Università degli Studi di Salerno Corso di Progettazione di Algoritmi Prof. Ugo Vaccaro Anno Acc. 206/7 p. 36/39

37 Soluzione del Problema del Baseball mediante Flusso Trova il massimo flusso da S a T nella rete Se il flusso su ciascun arco da S alle squadre è proprio uguale alla capacità dello stesso arco, allora Harvard può ancora sperare di diventare prima nel girone, altrimenti è matematicamente eliminata. Infatti ciò vorrebbe dire che è possibile rispettare i vincoli che le squadre Y, C, B non vincano più di u(y ), u(c), u(b) volte, rispettivamente, giocando tutte le partite. Nel nostro esempio i valori del massimo flusso sono espressi in rosso, e poichè l arco da S a {Y, C} non è usato al massimo della sua capacità, ne segue che Harvard è matematicamente eliminata. S 6 Y,C Y,B B,C 6 6 Y C B T Università degli Studi di Salerno Corso di Progettazione di Algoritmi Prof. Ugo Vaccaro Anno Acc. 206/7 p. 37/39

38 Ritornando alla tabella... e ricordando la precedente figura, abbiamo che il valore del massimo flusso compatibile con il fatto che Brown abbia al più u(b) = W w(b) = = 6 vittorie nei rimanenti incontri, Cornell ne abbia al più u(c) = W w(c) = =, e Yale ne abbia al più u(y ) = W w(y ) = = 0, richiede che il massimo numero di partite da giocare tra Yale e Cornell sia. Poichè invece il numero di partite è 6, ne segue invece che se Yale ne vince va a 34 e Harvard non può raggiungere tale punteggio, mentre invece se le perde tutte e 6 allora Cornell necessariamente va a 34 e di nuovo Harvard non può raggiungere tale punteggio w(i) g(i) g(i, j) squadra vinte da giocare Y H C B Yale Harvard Cornell Brown 27 3 Università degli Studi di Salerno Corso di Progettazione di Algoritmi Prof. Ugo Vaccaro Anno Acc. 206/7 p. 38/39

39 Esercizio: può Detroit ancora vincere il girone? w(i) g(i) g(i, j) squadra vinte da giocare NYY BAL BOS TOR DET New York Yankees Baltimore Orioles Boston Red Sox Toronto Blue Jays Detroit Lions Università degli Studi di Salerno Corso di Progettazione di Algoritmi Prof. Ugo Vaccaro Anno Acc. 206/7 p. 39/39