Calcolo dell area di un cerchio con metodo statistico

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1 Calcolo dell area di un cerchio con metodo statistico Il problema Si desidera calcolare l area di un quarto di cerchio (e quindi indirettamente di un cerchio completo), tramite considerazioni di tipo statistico che permetteranno ciò, senza conoscere la ben nota formula (r x r x PI). Si suppone però che: a) Si sia in grado di calcolare l area di un quadrato (circoscritto al cerchio), dato il lato b) Si conosca il criterio con cui discernere se un punto del piano cartesiano sia interno od esterno al cerchio stesso. Analisi del problema e sua soluzione statistica Immaginiamo per focalizzare meglio le idee che tale cerchio sia centrato nell origine degli assi cartesiani. Per calcolare l intera area del cerchio supponiamo di considerarne, per semplificare il problema, una sezione di un quarto dello stesso. Si supponga di conoscere il raggio del cerchio (che potrebbe essere chiesto in input all utente). Si consideri ora il quadrato circoscritto al cerchio, o meglio la sezione di un quarto dello stesso. Secondo l ipotesi fatta nel testo supponiamo che ci sia noto il metodo per calcolare l area del quadrato anzidetto, ma ovviamente non conosciamo invece la formula per calcolare l area del cerchio di raggio r. Si constati che il lato del quadrato, ipotizzato quanto detto, è anch esso r. Quindi la sua area è nota e pari a r x r. Dovremo ovviamente tener conto, nell impostare il problema al calcolatore, che il valore di r è un numero reale, quindi un double. Si consideri ora di far cadere una pioggia di punti nel piano cartesiano coperto dal quadrato 1 di lato r. Intanto per risolvere il nostro problema si deve ipotizzare, com è di solito, che il generatore generi la posizione dei punti uniformemente su tutta la superficie e non vi siano assimmetrie nella generazione stessa 2. Si pongono alla nostra attenzione, dopo ciò, tre necessità: I. Per ogni punto dovranno essere generati due valori double (ovviamente non interdipendenti) che indicheranno le sue coordinate x e y (causali) II. Le coordinate x e y e quindi la generazione dei valori dovrà essere nel campo dei reali e non degli interi III. Il range di generazione dei numeri casuali dovrà quindi essere tra 0 e r 3. a) La prima clausola potrà essere soddisfatta, dopo aver creato un oggetto della classe Random, estraendo una prima volta un valore casuale ed assegnandolo alla coordinata x del punto e successivamente estraendo un secondo valore ed assegnandolo alla coordinata y del punto. Infatti i valori della sequenza di numeri casuali generati, sono tra loro per definizione scorrelati, o meglio si dovrebbero comportare in tale modo 4. b) La seconda comporta di risolvere un problema: o riuscire a correlare i valori interi con quelli double su un certo intervallo o in alternativa o avere a disposizione un metodo per generare direttamente valori double. In diversi casi infatti i generatori di numeri casuali generano, o sono in grado di generare, i loro valori su un intervallo dei numeri reali. c) Infine per risolvere la terza problematica una volta avuti numeri casuali di tipo double, si tratta di estendere o ridurre l intervallo di generazione dei numeri double di quanto necessario, con una semplice operazione di divisione o moltiplicazione. La soluzione al punto (a) è già prospettata nel punto stesso. 1 La metodica indicata funzionerebbe anche se i punti fossero fatti cadere in un area più ampia del quadrato stesso, ma riflettiamo sul fatto che questa estensione sarebbe del tutto inutile, ed anzi dannosa dal punto di vista dell efficienza del programma e le sue prestazioni, in quanto i punti esterni al quadrato non sarebbero comunque utilizzabili ai fini del calcolo. 2 I generatori di numeri casuali usualmente sono programmati per generare i loro numeri in modo uniforme sull intervallo previsto. 3 Anche per i già citati motivi di efficienza 4 In realtà esiste una forma di correlazione, data dalla formula per la generazione di tali valori. Pagina 1

2 Per quanto riguarda il punto (b), la soluzione più semplice è quella di utilizzare uno specifico metodo di cui gli oggetti Random di C# sono dotati. Esso si chiama NextDouble(), e genera numeri casuali di tipo double in modo uniforme su tutto l intervallo 0,1 (ossia tra 0 e 1). Dato che l intervallo di generazione è fisso il metodo non ha parametri. A questo punto per soddisfare il punto (c) basta moltiplicare per il valore di r quanto ricavato dal metodo NextDouble(), infatti una fonte di numeri in virgola mobile tra 0 e 1, moltiplicata per un certo n diviene una fonte di numeri casuali in virgola mobile tra 0 e n. Una parentesi - Generazione di un numero random double tramite numeri random interi Si può anche considerare che un modo per implementare qualcosa di analogo alle funzionalità offerte da NextDouble(), è il seguente codice: static void Main(string[] args) double cas; int n; Random rnd; rnd = new Random(); while (true) n = rnd.next(0, Int32.MaxValue); cas = (double) n / Int32.MaxValue; Console.WriteLine(cas); (qui presentato come una generazione infinita di numeri double tra 0 e 1). In pratica si amplia al massimo il range sul quale vengono generati i numeri casuali interi, e susseguentemente si divide il numero casuale ottenuto diviso il massimo valore degli interi, ossia il limite massimo del range di generazione (rappresentato in C# da Int32.MaxValue, una costante interna alla classe Int32, rappresentante i numeri interi a 32 bit 5 ). Da questa operazione risulta quasi sempre un numero con la virgola. I casi limite sono 0 / Int32.MaxValue, che renderà 0, e n pari al massimo, ossia Int32.MaxValue / Int32.MaxValue che renderà 1. Quindi i numeri generati tramite questo metodo saranno in virgola mobile nell intervallo 0 -> 1 compresi. Algoritmo risolvente Nelle parti precedenti abbiamo svolto numerose considerazioni che hanno posto le basi concettuali per la soluzione del problema, tuttavia non abbiamo definito il vero e proprio algoritmo che vada a risolverlo, soprattutto dal punto di vista dei suoi singoli passi. Tratteggiamo perciò tali passi: a) Istanza di un opportuno oggetto della classe Random b) Lettura del valore del raggio r (se si suppone e desidera che questo sia variabile) c) Lettura di npunti ossia il numero di punti che si vogliono generare (più alto -> maggiore accuratezza nel calcolo) d) Ciclo che effettua un numero di npunti iterazioni e) Generazione delle coordinate di un singolo punto e suo conseguente posizionamento f) Determinazione se il punto appena generato è interno al cerchio o no 6. g) Contare i soli punti che cadono internamente al cerchio 5 Ossia gli int 6 Il punto è invece sempre interno al quadrato, nelle ipotesi poste. Pagina 2

3 h) Finito il ciclo valutare il rapporto punti interni al cerchio / punti totali i) Moltiplicare l area del quadrato per il rapporto calcolato al precedente punto (h), ricavando quindi l area del cerchio (o nel nostro caso del quarto di cerchio). Flow chart del programma soluzione Pagina 3

4 Utilizzo delle variabili Tipo Nome Scopo Random rnd Generare valori casuali int cc Variabile di ciclo conta i cicli effettuati int npunti Numero dei punti da lanciare per svolgere il test int interni Contatore del numero di punti che cadono internamente al cerchio double r Raggio del cerchio double d Distanza dall origine degli assi di un certo punto double xp Coordinata x del punto double yp Coordinata y del punto double area Area del quarto di cerchio calcolata tramite statistica sui punti Nuove funzioni utilizzate Nello svolgimento del calcolo della distanza del punto P dall origine O, applicando il teorema di Pitagora abbiamo utilizzato delle funzioni matematiche mai usate. Si tratta di metodi (potremmo chiamarle impropriamente funzioni) della classe Math. Si noti che la classe Math non ha bisogno di essere istanziata per utilizzare questi metodi. Metodo Scopo Note Valore reso Math.Pow(, ) Calcola l elevamento a potenza Operazione disponibile in molti altri linguaggi dal C++ all Object Pascal al double Math.Sqrt(.) Calcola la radice quadrata di un numero Basic Anche questa operazione è di solito disponibile in molti linguaggi, ad esempio C++ double Listato C# del programma /* ===================================================================== A. Veneziani - Programma che calcola l'area di un quarto di cerchio tramite metodi statistici (metodo "Montecarlo") Scritto in Visual C# 2010 ===================================================================== */ using System; namespace area_cerchio_monte class Program static void Main(string[] args) Random rnd; int cc, npunti = 0, interni; double r, d, xp, yp, area; rnd = new Random(); // generazione oggetto Random // legge gli input. Raggio del cerchio (= lato quadrato) e numeri // di punti su cui svolgere il test Console.Write("Assegna il raggio r al cerchio di cui si deve trovare l'area: "); Pagina 4

5 r = double.parse(console.readline()); Console.Write("Leggi il numero di punti che deve essere 'lanciato': "); npunti = int.parse(console.readline()); cc = 0; interni = 0; while (cc < npunti) // posizionamento di un punto a caso, // tramite due coordinate generate casualmente nel range 0 <-> r xp = rnd.nextdouble() * r; yp = rnd.nextdouble() * r; interni // calcolo della distanza dall'origine (th. Pitagora) d = Math.Sqrt(Math.Pow(xp,2) + Math.Pow(yp,2)); // se cade internamente al cerchio (d < r), lo conta nella variabile if (d < r) interni++; cc++; // contatore di numero di cili // calcolo dell'area del quarto di cerchio in base // alla percentuale di punti caduti all'interno del cerchio // rispetto ai totali e al valore dell'area del quadrato area = ((double) interni / npunti) * (r * r); // output dei risultati (area del quarto di cerchio e del cerchio completo Console.WriteLine("Area del quarto di cerchio: " + area); Console.WriteLine("Area del cerchio: " + area * 4); Console.WriteLine("Premi un tasto per uscire..."); Console.ReadKey(); Pagina 5