Lezione n.9 ANALISI DI RETI COMPLESSE

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1 Lezione n.9 ANALISI DI RETI COMPLESSE Materiale Didattico Van Steen, GRAPH THEORY ANDCOMPLEX NETWORKS Cap 7 23/3/2010 1

2 SMALL WORLD NETWORKS Small World: concetto introdotto nel 1967 da Stanley Milgram, professore di sociologia ad Harvald. Scopo della ricerca di Milgram: quale è la probabilità che due persone scelte in modo casuale si conoscano quanto sono 'distanti' due persone scelte casualmente? distanza espressa in termini di catene di conoscenze 'A conosce B, che conosce C, che conosce D...' che grado di separazione esiste tra le due persone? calcolo della distanza media tra due persone scelte casulamente Esperimento: Alice deve consegnare una lettera a Bob, Alice non conosce Bob Strategia di Alice: sceglie Mary che pensa possa avere una probabilità maggiore di raggiungere Bon Six Degree of Separation: occorrono 5.5 passi affinchè la lettera arrivi a destinazione 2

3 SMALL WORLD NETWORKS Osservazione generale: molte reti reali presentano una lunghezza media del cammino minimo tra due nodi molto bassa I grafi random di Erdos Reny presentano una lunghezza media dei cammini minimi bassa, ma non presentano un alto coefficente di clusterizzazione In molte reti sociali si osserva in realtà che gli individui tendono a raggrupparsi in clusters: le reti sociali presentano un alto coefficente di clusterizzazione Problema: è possibile costruire modelli più realistici di reti reali? Modello si Watts Strogatz: modello per reti small words 3

4 IL MODELLO DI WATTS-STROGATZ Watts-Strogatz considerano due caratteristiche fondamentali delle reti complesse: il coefficente di clusterizzazione: misura la regolarità e la località della rete. Se tale coefficente è alto, gli archi collegano principalmente nodi vicini, piuttosto che vertici lontani. la distanza tra i vertici. Se il coefficente di clusterizzazione è alto, la distanza media tra due nodi dovrebbe essere alta, perchè gli archi non sono casuali ma locali Ma... la maggior parte delle reti osservate presenta un valore alto del coefficente di clusterizzazione ( ) e un valore basso della distanza tra nodi 4

5 Le idee fondamentali. AL CONFINE TRA ORDINE E CAOS una rete regolare (ad esempio una griglia) presenta una forte aggregazione, ma non è una rete small world un random graph è uno small world, ma non presenta aggregazione Si vuole definire un modello di rete che riunisca le due caratteristiche sufficientemente regolare = alto coefficiente di clustering) sufficientemente caotico per poter mantenere basso il grado di separazione tra i nodi = small worlds) Un modello che sia un compromesso tra ordine e caos... 5

6 IL MODELLO DI WATTS-STROGATZ Questo fenomeno non può essere spiegatone mediante un modello grid-like, ne mediante un grafo random una rete grid-like è caratterizzata da regolarità e località, ma da alto valore della distanza media i grafi random hanno un coefficiente di clusterizzazione proporzionale a p. Watts-Strogatz propongono un modello ibrido si parte da un anello di n vertici si connette ogni vertice con i suoi k vicini sull anello si 'riavvolge ogni vertice con probabilità uguale a p, si mantiene fisso uno dei vertici e si sceglie un nuovo target come altro vertice, tra tutti i vertici,in maniera casuale 6

7 IL MODELLO DI WATTS E STROGATZ Algoritmo (Watts-Strogatz): Siano V={v 1,v 2,...,v n } i vertici del grafo. Sia k un valore pari. Sia n >> k >> ln(n) >> 1 si ordinano i vertici in un anello si connette ogni vertice ai suoi primo k/2 vicini a sinistra sull'anello (in senso orario) e ai suoi k/2 vicini sulla destra (in senso antiorario). Si definisce così un grafo G. con probabilità p, si sostituisce un arco u,v con un arco u,w, dove w u è scelto in modo casuale tra i vertici del grafo modificato, tale che u,w E(G). G via via NOTA: n deve essere molto maggiore di k, cioè il numero di vertici deve essere molto maggiora rispetto al numero di links con i vicini, altrimenti i links con i vicini coprono tutti i vertici del grafo Notazione: WS(n,k,p) denota un grafo di Watts e Strogatz con n vertici, kvicini, probabilità p di riavvolgere un arco 7

8 IL MODELLO DI WATTS STROGATZ Procedura di costruzione del grafo Si parte da un anello di n vertici e si connette ogni vertice con i suoi k vicini sull anello (in figura k=4) Si riavvolge un arco (v,w) con probabilità uguale a p: si mantiene fisso v e si sceglie un nuovo vertice w, scelto tra tutti i vertici, in modo casuale come destinazione dell'arco 8

9 IL MODELLO DI WATTS STROGATZ La rete risultante modella bene una rete sociale: molti vertici legati dai links con vicini alcuni vertici hanno un link verso un vertice lontano nelle rete sociali questi links corrispondono a links che collegano comunità diverse Reti peer to peer basate su overlay semantici: i links rappresentano collegamenti tra peer che hanno interessi comuni 9

10 IL MODELLO DI WATTS E STROGATZ N= 20, k= 8 Per p=0, la rete risultante è completamente regolare, con un coefficente di clusterizzazione di circa ¾ per valori grandi di k ed un diametro è O(n) Per p=1, la rete risultante si può considerare un grafo random con un coefficente di clusterizzazione basso ed un diametro O(log n) Casi interessanti: valori intermedi di p 10

11 CLUSTERIZZAZIONE: RICHIAMI Clique: sottografo completo Archi tra i vicini del nodo i Coefficiente di Clusterizzazione: misura quanto le connessioni tra i vicini di un nodo sono simili ad una clique k vicini possono avere al massimo connessioni solo alcune di queste connessioni sono presenti Nella figura k= 4, ed il coefficente è il seguente 11

12 WS(n,k,0): COEFFICENTE DI CLUSTERIZZAZIONE Teorema: Per ogni grafo G W(n,K,0), il coefficente di clusterizzazione CC(G) vale Consideriamo il nodo x e l'insieme D dei k/2 nodi presenti a destra di x Presi due nodi D, esiste tra di loro un link, poichè essi distano meno di k, al massimo distano k/2 (in figura k=4) Il numero totale di link tra nodi D è (k/2) *((k/2)-1))/2 (Nell'esempio (2*1)/2 = 1) Ragionamento analogo per i nodi a sinistra di x, per cui il numero totale di links tra i vicini a destra + quelli tra i vicini di a sinistra è = 2* ((k/2) *((k/2)-1))/2 12

13 WS(n,k,0): COEFFICENTE DI CLUSTERIZZAZIONE Teorema: Per ogni grafo G W(n,K,0), il coefficente di clusterizzazione CC(G) vale inoltre ci sono i collegamenti tra i nodi a destra di X con quelli a sinistra di X questi collegamenti sono 0 per il nodo più distante da X, 1 per quello successivo, 2,...,k/2 per il nodo più vicino ad X. In totale quindi (k/2)= (k/2) *((k/2)-1))/2 Nell'esempio (2*1)/2 = 1) 13

14 WS(n,k,0): COEFFICENTE DI CLUSTERIZZAZIONE Teorema: Per ogni grafo G W(n,K,0), il coefficente di clusterizzazione CC(G) vale in totale tra i vicini di X ci sono 3k/2((k/2)-1)/2 links il numero totale di collegamenti possibili tra i vicini di X è k(k-1)/2 da cui si ottiene 3k/2(k/2-1)/2 / k(k-1)/2 = 3(k-2)/4(k-1) 14

15 WS(n,k,0): LUNGHEZZA MEDIA DEI CAMMINI Il coefficente di clusterizzazione di una rete WS(n.k.0) è alto anche per valori di k relativamente piccoli, ma... Consideriamo la lunghezza media dei cammini tra due nodi. Teorema: G WS(n,k,0), la lunghezza media dei cammini minimi tra un nodo u ed un qualsiasi altro nodo della rete può essere approssimata come Un grafo WS(n,k,0) pure presentando un alto coefficente di clusterizzazione non può però essere considerato uno small world, perchè la lunghezza media dei cammini rimane alta Ma...per valori bassi di p (probabilità di riavvolgimanto) la lunghezza media dei cammini scende rapidamente, mentre il coefficente di clusterizzazione rimane alto (vedi lucido successivo) 15

16 WS(n,k,p) E' UNA SMALL WORLD Il diagramma mostra il coefficente di clusterizzazione e la distanza media in funzione della probabilità p. I valori sono normalizzati dividendo per il valore corrispondente calcolato per p=0 WS(n,k,p): il coefficente di clusterizzazione è alto per valori piccoli di p ma la lunghezza media della distanza decresce rapidamente Conclusione: WS(n.k.p) per valori bassi di p è una small world 16

17 WATTS-STROGATZ: LUNGHEZZA DEI CAMMINI 17

18 WATTS TROGATZ: LUNGHEZZA DEI CAMMINI 18

19 WATTS STROGATZ: LUNGHEZZA DEI CAMMINI 19

20 WATT STROGATZ: LUNGHEZZA DEI CAMMINI 20

21 CONCLUSIONI Random Networks posseggono diametro limitato la lunghezza media dei cammini è O(log(n)), dove n è il numero di nodi della rete adatte a modellare le small world networks caratterizzate da un basso coefficiente di clusterizzazione 1/n: la probabilità che i vicini di un nodo siano essi stessi vicini è bassa situazione reale: i vicini dei miei amici sono i miei amici.. 21

22 CONCLUSIONI Watts e Strogatz definisce di una rete regolare griglia anello con collegamenti con i nodi a distanza minore o uguale a k. sovrappone a questa struttura regolare un insieme limitato di collegamenti generati in modo casuale pochi link generati in modo casuale in un grafo clusterizzato producono dei cammini in media paragonabili a quelli di un grafo random la struttura regolare definisce un buon grado di clusterizzazione i collegamenti casuali garantiscono la proprietà di small world 22

23 GRAFI REGOLARI VS. GRAFI RANDOM Grafi Regolari: alto coefficiente di clusterizzazione, alto diametro Grafi Random: basso coefficiente di clusterizzazione, basso diametro 23

24 MODELLO DI WATTS STROGATZ Una rete generata secondo il modello di Watts Strogatz unisce le proprietà dei grafi regolari e di quelli random alto coefficiente di clusterizzazione bassa lunghezza dei cammini 24

25 SMALL WORLD: ROUTING Caratteristiche rilevate empiricamente dall esperimento di Milgram esistono cammini di lunghezza limitata che connettono una qualsiasi coppia di individui gli individui sono in grado di scoprire questi cammini mediante una conoscenza parziale (locale) della rete perchè una qualsiasi coppia di individui è in grado di individuare in modo decentralizzato la catena limitata di conoscenza che li connettono? Quali caratteristiche della rete garantiscono l esistenza di tale algoritmo di routing decentralizzato? 25

26 SMALL WORLD: ROUTING Algoritmo di routing eseguito da ogni individuo: supponiamo che l individuo sia posizionato nel vertice v di posizione Pos (v) all interno di una griglia in uno spazio d-dimensionale Pos(v) = (x 1, x 2,, x d ) dove tutti gli x i sono interi. x i (v) è la posizione di v nella dimensione i. ogni individuo conosce la propria posizione, quella delle conoscenze dirette e quella del destinatario t (routing distribuito) il messaggio (la lettera) viene consegnata al conoscente w che è più vicino al destinatario. La misura della distanza d M (w,t) è la somma delle differenze in valore assoluto x i (w)-x i (t) (Manhattan Distance). Gli individui sono in grado di utilizzare un routing distribuito per instradare il messaggio verso la destinazione 26

27 SMALL WORLD: ROUTING L esperimento di Milgram suggerisce che la rete incorpori una conoscenza che consente di guidare il messaggio dalla sorgente alla destinazione, utilizzando ad ogni passo un insieme di conoscenze limitate. Milgram Il messaggio si avvicina dal Nebraska al Massachussets in modo progressivo. Ogni volta che una persona si aggiunge alla catena, il messaggio si avvicina (geograficamente) al target. Il modello di Watts Strogatz garantisce la presenza di cammini brevi tra coppie di nodi, ma non garantisce l esistenza di un algoritmo di routing decentralizzato che individui tali cammini la rete generata da Watts Strogatz non incorpora la conoscenza necessaria per definire il routing decentralizzato Modello di Kleinberg: rappresenta un'evoluzione del modello di Watts- Strogatz 27

28 SCALE FREE NETWORKS Watts e Strogatz modellano in modo appropriato il modello small world Tuttavia questo modello non cattura bene altre proprietà importanti di alcune reti reali In molte reti reali esistono pochi nodi con grado alto ed il numero di nodi di grado alto decresce esponenzialmente Struttura dei web links Topologia di Internet Reti P2P: Gnutella Collaboration Networks Una rete con queste caratteristiche viene detta scale free network Una scale free network se la distribuzione dei gradi dei nodi segue una legge power law 28

29 SCALE FREE NETWORKS Power Law : è una funzione y=f(x) in cui il valore y è proporzionale ad una potenza del valore in ingresso x con α > 1, α scaling exponent f(x) ~ x -α Power Law Distribution: una distribuzione di probabilità che può essere descritta con una power law Perchè le reti power law vengono dette scale free? Una funzione F è scale free sse f(bx) = C(b) f(x) dove C(b) è una costante dipendente solo da b idea di base: la 'forma' della funzione f non cambia quando si considerano valori di x che sono moltiplicati per un fattore b Le power law soddisfano al precedente proprietà, infatti f(bx) = (bx) -α = b -α x -α = b -α f(x) 29

30 SCALE FREE NETWORKS A sinistra: distribuzione dei gradi per nodi con rank tra 10 e 100 A destra: distribuzione dei gradi per nodi con rank tra 100 e 1000 La forma della funzione non cambia, la forma è indipendente dall'intervallo considerato Questa proprietà caratteristica le funzioni scale free 30

31 POWER LAW La probabilità diminuisce al crescere del valore di x, ma rimane diversa da 0 per valori molto grandi di x. Proprietà di una distribuzione power law possiede una 'lunga coda': right skew, heavy tail asimmetria alto rapporto tra valore massimo e valore minimo Scala lineare per x ed y Scala log log 31

32 POWER LAW SU SCALA LOGARITMICA Una power law viene rappresentata come una retta se si utilizza un grafico con scala logaritmica per entrambi gli assi (log-log graph) Consideriamo la seguente power law se si passa ai logaritmi si ottiene y=k * x α log(y) = α log(x) + log(k) per m=α e q=log(k) possiamo ricondurci alla retta y = mx + q m, il coefficente angolare della retta, dipende da α 32

33 POWER LAW VS. POISSON DISTRIBUTION Poisson Distribution: la probabilità dei valori presenti nella coda si avvicina a 0 in maniera esponenziale la probabilità di trovare un valore molto grande diventa rapidamente 0 Power Law Distribution: esempio Distribuzione di Pareto presenta una lunga coda (heavy tail, right skew) la probabilità di trovare un valore molto alto è bassa, ma non nulla 33

34 POWER LAWS: HEAVY TAILED DISTRIBUTION Esempio: distribuzione delle dimensioni delle città degli Stati Uniti New York, 8 milioni di persone Duffield, 52 abitanti Right Skew la maggior parte delle città ha un basso numero di abitanti. La distribuzione si concentra su valori bassi di x. ma...esiste un basso numero di città con una popolazione molto alta la distribuzione mostra una 'lunga coda' a destra Alto rapporto tra valore massimo e valore minimo NYC: 8 milioni, Duffield, Virginia 52, rapporto:

35 SCALE FREE NETWORKS esempio di rete scale free: sistema aereo statunitense contiene alcuni nodi (hubs, rappresentati in rosso) e caratterizzati da un alto numero di links la distribuzione dei nodi, rappresentata in scala log-log è rappresentata da una retta 35

36 GRAFI RANDOM VS. SCALE FREE NETWORKS Random Graphs (Erdos-Renyi): i link tra i nodi vengono stabiliti in modo casuale, utilizzando una distribuzione binomiale La maggior parte dei nodi possiedono lo stesso numero di links Distribuzione gaussiana dei links dei nodi Esempio di grafo random: sistema autostradale americano 36

37 SCALE FREE NETWORKS:TOPOLOGIA Random Graph Scale Free Network le reti rappresentate hanno lo stesso numero di nodi e di archi in rosso i nodi con il maggior numero di links, in verde i loro vicini tutti i nodi hanno approssimamente lo stesso numero di vicini solo il 27% dei nodi della rete sono raggiunti direttamente dai nodi rossi molti nodi con pochi vicini, pochi nodi con un alto numero di vicini il 60% dei nodi della rete possono essere raggiunti direttamente dai nodi rossi 37

38 WEB TOPOLOGY Esperimento di Barabasi: obiettivo: esaminare una parte del web utilizza un crawler che memorizza in un database, tutte le URL individuate in un documento e poi, ricorsivamente, segue queste URL per reperire i documenti puntati costruisce la rete corrispondente, in cui i nodi corrispondono alle pagine, gli archi ai links (URLs) tra pagine. ipotesi iniziale di Barabasi: il web può essere descritto mediante un grafo random, perchè ogni persona: sceglie in modo indipendente, secondo i propri interessi, i links da inserire nella propria pagina ha, in genere, interessi diversi può scegliere tra un altissimo numero di pagine da linkare 38

39 SCALE FREE NETWORKS: IL WEB l'esperimento contraddice l'ipotesi iniziale di Barabasi: più dell'80% delle pagine ha meno di 4 links, ma lo 0.01 per cento delle pagine include più di 1000 links esistono alcuni hubs (es: Yahoo o Google), che 'dominano' la rete P out (k) e P in (k), probabilità che un documento abbia, k archi rispettivamente in uscita ed in ingresso possono essere descritte come delle power law P(k) k -γ con valori tipici di γ compresi tra 2 e 3. Esperimento dei fratelli Faloutsos: Esamina la rete definita dai routers e dalle connessioni esistenti tra di loro Anche in questo caso si rileva una distribuzione di tipo power law 39

40 COSTRUZIONE DI SCALE FREE NETWORKS Le reti ER (Erdos Renyi) e WS (Watts e Strogatz) possono essere costruite a partire da un insieme di vertici dato Le reti scale free sono il risultato di due processi un processo dinamico di crescita Un processo denominato preferential attachment Procedura per la costruzione di una scale free networl proposta per la prima volta da Barabasi ed Albert, nel 1999 La procedura combina la crescita dinamica di una rete con il fatto che i nuovi nodi si collegano ai nodi già esistenti secondo certe preferenze Watts e Strogatz: riavvolgimento di archi Barabasi ed Albert: crescita + preferential attachment 40

41 COSTRUZIONE DI SCALE FREE NETWORKS Si considera un grafo G o ER(n o,p), con V 0 = V(G 0 ), n 0 piccolo Ad ogni passo s > 0: 1. si aggiunge un nuovo vertice v s a Vs-1 ottenendo così: V s V s-1 {v s } 2. si aggiungono m n 0 archi. Ogni arco è incidente in v s ed in un vertice u V s-1, dove u scelto con probabilità u non deve essere stato scelto precedentemente durante lo stesso passo dell'algoritmo. La probabilità di scegliere u è proporzionale al suo grado. 3. Si ripetono i passi precedenti fino a che non sono stati aggiunti n vertici BA(n,n 0,m) è il grafo risultante applicando il processo precedente 41

42 SCALE FREE NETWORKS: COSTRUZIONE Caratteristiche delle scale free networks che favoriscono il formarsi di nodi caratterizzati da alto grado Crescita dinamica della rete il numero di nodi cresce con il tempo. Ad esempio il web cresce continuamente i nodi 'più vecchi' hanno maggior opportunità di acquisire nuovi links al contrario, nella costruzione di un Grafo Random si suppone che tutti i nodi siano disponibili quando comincia la generazione casuale degli archi tra i ndi della rete Preferential Attachment i links non vengono generati in modo random, alcuni nodi vengono scelti più di frequente Esempio: in internet nuovi hosts tendono a connettersi a routers che hanno già molte connessioni, perchè dispongono di una maggior banda 42

43 Growth + Preferential Attachment SCALE FREE NETWORKS Il tempo è discretizzato: la rete cresce nel tempo, ad ogni passo un nuovo nodo entra nella rete la generazione di un arco tra un nuovo nodo w ed uno vecchio v non avviene in modo casuale, ma segue il seguente principio più alto è il grado di v, più alta è la probabilità che w stabilisca un collegamento con v Con una metafora...the rich get richer Preferential Attachment: La probabilità Π(v) che si stabilisca un collegamento tra il vertice v ed il nuovo vertice w è definita come 43

44 GENERAZIONE DI UNA SCALE FREE NETWORK 44

45 SCALE FREE NETWORKS: PROPRIETA' Distribuzione dei nodi del grafo. Per ogni grafo G BA(n,n o,m), u V(G) Coefficente di clusterizzazione. Poiché il processo di costruzione di una rete scale free è dinamico, si deve calcolare il coefficente di clusterizzazione di un vertice v s dopo t passi effettuati nella costruzione del grafo BA(t,n 0,m), v s è stato aggiunto al grafo al passo s t 45

46 SCALE FREE NETWORKS: CLUSTERIZZAZIONE si considera BA(100000, n 0, 8) si varia s basso coefficente di clusterizzazione 46

47 SCALE FREE NETWORKS CLUSTERIZZATE Si considera un grafo G o ER(n o,p), con V 0 = V(G 0 ), n 0 piccolo Per ogni passo s>0 1. si aggiunge un nuovo vertice v s a V s-1 ottenendo così: V s V s-1 {v s } 2. si seleziona un vertice u da V s-1 con una probabilità proporzionale al grado del vertice δ(u). Si aggiunge l'arco v s,u. I rimanenti m-1 archi si aggiungono come segue a) con probabilità q si seleziona un vertice w adiacente ad u. Se tale vertice esiste si aggiunge l'arco v s,w e si esegue c) atrimenti si esegue b) b) si seleziona un vertice u' da V s-1 con una probabilità proporzionale al grado del vertice δ(u') e si aggiunge l'arco vs, u e si pone u= u' c) se sono stati aggiunti m archi si va a 3. altriemnti si torna ad a), 3. Se non sono stati ancora aggiunti n vertici si ritorna al passo

48 SCALE FREE NETWORKS: CLUSTERIZZAZIONE La procedura precedente costruisce eplicitamente, con probabilità uguale a p un triangolo contenente il nuovo vertice v s, il vertice u a cui il nuovo vertice v s è stato connesso un vicino w di u Ad esempio se q=1 (probabilità di formare un triangolo =1) e supponendo che u abbia k m vicini, w 1,... w k, sllors si crea una connessione tra v s ed ognuno di questi vicini 48

49 SCALE FREE NETWORKS: CLUSTERIZZAZIONE Un altro modello proposto recentemente prevede di definire una rete scale free gerarchica Ad ogni livello della gerarchia si creano molti triangoli Un rappresentante per ogni livello della gerarchia connesso con un hub del livello superiore 49

50 SCALE FREE NETWORKS: DIAMETRO Lunghezza media dei cammini per BA(n,n 0,m) γ costante di Eulero Confronto tra grafi ER e BA con lo stesso grado medio dei nodi uguale a 10 50

51 SCALE FREE NETWORKS: DIAMETRO I grafi BA tendono a presentare una lunghezza media dei cammini minimi tra due nodi inferiore a quella dei grafi ER La lunghezza media dei cammini per un grafo random è già molto bassa Questo è dovuto alla presenza di hubs con grado molto alto un hub è vicino ad ogni vertice della rete l'eccentricità di un hub è bassa gli hub si comportano come connettori per i nodi di grado basso Da un qualsiasi vertice si raggiunge un qualsiasi altro vertice della rete mediante un cammino che contiene almeno un hub Per questa ragione una rete scale free viene spesso definita una rete Super Small World 51

52 SCALE FREE NETWORKS: VANTAGGI Vantaggio : robustezza rispetto a guasti. se si rimuove in modo casuale (distribuzione uniforme) un nodo v da una rete scale-free, con alta probabilità, tale vertice è un vertice di grado basso la rimozione di un vertice di grado basso non costituisce un evento disastroso le scale-free networks presentano buone caratteristiche di tolleranza ai guasti fino all'80% dei routers in Internet può essere soggetta a crash senza pregiudicare la connettività della rete esiste un cammino tra due host qualsiasi anche se l'80% dei routers si rende indisponibile Scale free networks sono caratterizzate da una notevole robustezza che deriva dalla loro disomogeneità. 52

53 SCALE FREE NETWORKS: SVANTAGGI Svantaggio: vulnerabilità verso gli attacchi un attacco può colpire i vertici di grado più alto La rimozione di un numero limitato di hubs può provocare il frazionamento della rete evento disastroso: provoca il frazionamento della rete in tante componenti di piccola dimensione Attacco coordinato: rimuove prima l'hub di dimensione maggiore, poi quello successivo e così via...dopo l'eliminaione di pochi habs la rete si frazione 53

54 SCALE FREE NETWORKS: VULNERABILITA' Scale free Network: si rimuovono vertici dagli hub Random Network: si rimuovono i vertici di grado maggiore da una rete random Scale free network Random Removal: si rimuovono vertici dalla rete scale free in modo casuale 54

55 RANDOM NETWORKS: FALLIMENTO ACCIDENTALE 55

56 SCALE FREE NETWORKS: FALLIMENTO ACCIDENTALE 56

57 SCALE FREE NETWORKS: ATTACCO AGLI HUBS 57

58 CONCLUSIONI La struttura di una rete peer-to-peer system influenza la lunghezza media dei cammini, la possibilità di definire algoritmi di routing greedy, decentralizzati la stabilità della rete verso guasti la sensibiltà della rete verso gli attacchi Caratteristiche importanti di una rete P2P :... la lunghezza media dei cammini il coefficente di clusterizzazione la distribuzione del grado dei nodi E importante stabilire le regole per la generazione degli archi della overlay network in modo tale che la struttura della rete definita garantisca le proprietà desiderate 58