Variabili aleatorie. Richiami e uso del Matlab T T T. ω 2. ω 1. ω 3. ω 4. ω 5. ω 6. ω 7. ω 8

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1 ω Variabili aleatorie Richiami e uso del Matlab X ( ω) x R S In molte situazioni, si vuole assegnare un valore numerico ad ogni possibile risultato di un esperimento. Tale assegnamento viene chiamato variabile aleatoria o casuale (random variable). S ω ω 2 T T T T T X ( ω) ω 3 T T ω 4 T T ω 5 T ω 6 T ω 7 T ω In molte situazioni, si vuole assegnare un valore numerico ad ogni possibile risultato di un esperimento. Tale assegnamento viene chiamato variabile aleatoria o casuale (random variable). ω ω 2 ω 3 ω 4 ω 5 ω 6 ω 7 ω S T T T T T T T T T T T T P( { ω } ) = P( { ω 2} ) = P( { ω 3} ) = P( { ω 4} ) = P( { ω 5} ) = P( { ω 6} ) = P( { ω 7} ) = P( { ω } ) = X ( ω) P( X = 2 ) =?

2 P( X = 2 ) =? ( X = 2 ) = { T T, T T, T T } ( = 2) = P{ T T, T T, T T } P X 3 = PDF = probability density function DF=distribution function Variabile aleatoria di Bernoulli In Matlab 2

3 Funzione di ripartizione (DF=cumulative distribution function) Nel caso di v.a. discrete ( ) F( x) = P X x x R Proprietà (mean/expectation) (variance) (standard deviation) >>c=[,2,3,4,5,6]; dat=unidpdf(c,6); bar(c,dat) 3

4 Distribuzione uniforme discreta (funzione ripartizione) >>dat=unidcdf(c,6); >>stairs(c,dat) La v.a. binomiale X restituisce il numero di successi ottenuti in n prove bernoulliane (indipendenti e dicotomiche) >> x=0:0; >> y=binopdf(x,0,0.5); >> bar(x,y) Distribuzione binomiale >> x=0:0; >> y=binopdf(x,0,0.0); >> bar(x,y) [ ] = np [ ] = ( ) E X Var X np p Binocdf Binoinv Binornd Binostat >> [media, var] = binostat(0,0.0); >> media=0.0; var=0.0990; 4

5 Distribuzione binomiale (funzione di ripartizione) >> x=0:0; >> y=binocdf(x,0,0.5); >> y=binocdf(x,0,0.); >> stairs(x,y, r ); hold on; stairs(x,y, g ) >> legend( 0.5, 0. ) P( X n + m X n) = P( X > m) p p p [ ] = Var[ X ] = 2 E X Distribuzione geometrica >> x=:0; >> y=geopdf(x,0.5); >> bar(x,y) 5

6 Distribuzione geometrica >> x=:0; >> y=geocdf(x,0.5); >> y=geocdf(x,0.); >> stairs(x,y, r ); hold on; stairs(x,y, g ) >> legend( 0.5, 0. ) Attenzione!! x parte da 0 >> [media,var]=geostat(0.5) >> media=,var=2; Distribuzione di Pascal Definizione In una successione di prove di Bernoulli, con probabilità di successo p, sia W r la v.a. che conta il numero di prove necessarie per avere l' r-esimo successo. Tale v.a. ha distribuzione di Pascal di parametri p e r e massa di probabilità data da: x r x r f ( x) = p ( p), x = r, r +,... x r Distribuzione di Pascal Domanda : Sia T = W W k k k la v.a. che restituisce il numero di prove tra il ( k -)-esimo successo e il k-esimo successo. Qual è la distribuzione di T? In MATLAB va opportunamente costruita. r p E [ X ] = Var [ X ] = r 2 p p k 6

7 Distribuzione binomiale negativa Definizione In una successione di prove di Bernoulli, con probabilità di successo p, sia W k la v.a. che conta il numero di prove necessarie per avere il k-esimo successo. La v.a. W - k ha distribuzione binomiale negativa di parametri p e k e massa di probabilità data da: x + k k x f ( x) = p ( p), x = 0,,... x k >> x=0:0; >> y=nbinpdf(x,,0.5); >> bar(x,y) >> y=nbinpdf(x,3,0.5); >> y=nbinpdf(x,5,0.5); Shift di k >>x=:; >>y=nbinpdf(x,,0.5) >>bar(x,y) Pascal(,0.5) >>x=3:3; >>y=nbinpdf(x,3,0.5) >>bar(x,y) Pascal(,0.5)

8 [ ] λ Var [ X ] E X = = λ Distribuzione Poisson >> x=0:20; >> y=poisspdf(x,2); >> bar(x,y) >> x=0:20; >> y=poisspdf(x,5); >> bar(x,y) >> [media,var]=poisstat(2) >> media=2, var=2; >> [media,var]=poisstat(5) >> x=0:20; >> y=poisspdf(x,0); >> bar(x,y) >>x=0:20; >> y=binopdf(x,50,/5); >> bar(x,y)

9 >> x=0:00; >> y=poisspdf(x,50); >> bar(x,y) >>x=0:00; >> y=binopdf(x,500,/0); >> bar(x,y) [media,var]=binostat(500,0.) media=50, var=45? 9

10 Distribuzione Ipergeometrica p = hygepdf(0:0,00,20,0) Taglia popolazione successi Taglia campione >> bar(0:0,p) (,, ) X H N K n p = hygepdf(0:0,00,20,0) Taglia popolazione successi Taglia campione Ipergeometrica Binomiale >>y=binopdf(0:0,0,2/0) >>bar(0:0,0,2/0) 0

11 . Due squadre di basket si sfidano a una serie di incontri. Il primo team che vince 4 partite è dichiarato vincitore della sfida. Supponiamo che una delle due squadre sia più forte dell altra e che vinca ogni singola partita con probabilità 0.6, indipendentemente dagli altri incontri. Si trovi la probabilità che il team più forte vinca la sfida in esattamente i incontri, con i=5,6,7. 2. Si lancia 4 volte una moneta equilibrata. Sia X il numero totale di teste ottenute. alcolare la distribuzione di probabilità di X Un certo tipo di missile ha probabilità di fallimento alcolare la distribuzione della variabile aleatoria che conta il numero di lanci prima di avere il primo fallimento. Variabili aleatorie continue? 0.=(/)/ =(/5)/ =(/50)/ =(/500)/0.00

12 ( i ) ( i ) F x = f ( x) F x = f ( x) dx x xi xi X variabile aleatoria continua 2

13 a= b=6 [media,var]=binostat(500,0.) media=50, var=45? >> x=0:0.:00; >> y=normpdf(x,50,sqrt(45)); >> plot(x,y) 3

14 >> x=0:0.:00; >> y=normpdf(x,50,sqrt(45)); >> plot(x,y) >> norminv(0.95,0,) ans =.6449 >> norminv(0.35,0,) ans =

15 . Determinare la probabilità che una variabile aleatoria normale standard assuma un valore compreso tra 0.7 e.2 e tra e 0.62, maggiore di Determinare z 0.0, ossia quel valore tale che P ( Z > z ) = In un processo fotografico il tempo di sviluppo delle stampe può essere considerato una variabile casuale avente distribuzione normale con una media di 6.2 sec e una deviazione standard di 0.2 sec. Determinare la probabilità che assuma un valore compreso tra 6.00 e 6.50 secondi; almeno 6.20 secondi; al massimo 6.35 >> x = 0:0.:0; >> y = exppdf(x,2); >> plot(x,y, r ) >> hold on >> y = exppdf(x,4); >> plot(x,y, b ) Attenzione al parametro!! 5

16 . Una popolazione di bambini di una scuola romana è stata sottoposta a un test con una batteria di domande. L andamento della distribuzione dei punteggi conseguiti è risultato di tipo normale, con varianza pari a 0. La percentuale di bambini che ha riportato un punteggio inferiore a 2 è risultata pari al 9,92%. alcolare la media della distribuzione. 2. Il tempo in ore necessario alla riparazione di un macchinario è una variabile aleatoria esponenziale di parametro. Determinare la probabilità che la riparazione superi le 2 ore di tempo. 3. Arrivi alla fermata dell autobus alle 0 e sei certo che l autobus passerà in un momento qualsiasi uniformente distribuito tra le 0 e le Qual è la probabilità che tu debba aspettare più di 0 minuti? Se alle 0.5 l autobus non è ancora arrivato, qual è la probabilità che tu debba aspettare almeno altri 0 minuti? 6