Lezioni 22-4 (26, 29 novembre 2018)

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1 Lezioni 22-4 (26, 29 novembre 2018) (Una parentesi sulle parentesi: un altra convenzione tipografica (come virgolette e punto interrogativo) che risale al Rinascimento, con l invenzione della stampa Erasmo di Rotterdam le chiama lunula per la loro somiglianza alla crescente della Luna usate nelle lingue naturali per segnalare incisi (anziché subordinazioni grammaticali) nel formalismo di S2, sono una convenzione per indicare il raggio di azione di una funzione Non sono variabili perché non hanno valore di verità Non sono costanti perché non sono funzioni di verità si applicano per eliminare ambiguità: (P) Aldo è venuto e Bernardo è rimasto o Carlo è andato via può essere resa o (Pa) p & (q r) o (Pb) (p & q) r mentre (Pa) implica (Pb), il contrario non vale (Con la notazione polacca, si fa a meno delle parentesi: (Pa) KpAqr e (Pb) AKpqr ; ma anche leggere da sinistra è una convenzione (non condivisa dagli arabi o dai cinesi ))) Abbiamo definito la semantica del Sistema S2 prima di aver completato la sintassi mancano gli assiomi/regole di inferenza le opzioni sono molteplici: possiamo scegliere su quali operatori puntare per definire gli altri ma, qualunque scelta facciamo, le varie versioni di S2 saranno equivalenti (perché tenute ferrme dalla tabella a 16 colonne tre desiderata: (a) che le inferenze conservino la verità di premesse vere (siano tautologie); (b) che corrispondano a manipolazioni intuitive (facilmente esprimibili in una lingua naturale come l italiano); e (c) che non siano troppo numerosi né di troppo difficile lettura (as es. non troppo ripetitive dello stesso operatore, come in un sistema con solo e & ) Che cosa è una tautologia? letteralmente, dire la stessa cosa anche nel senso di dire la stessa cosa due volte ma soprattutto nel senso di dire la stessa cosa in modi diversi Una definizione verofunzionale di tautologia: aver solo V nella colonna della funzione come colonna 15 della tabella sistematica (20A) esempio semplice di tautologia: p o non-p o sta piovendo o non sta piovendo non ci dice niente di informativo sul tempo che fa verifica sulla tabella: p p p p V F V F V V (Torneremo alla questione della cosiddetta Legge del Terzo Escluso) Utilizziamo per indicare un inferenza valida (tautologica/conservativa della verità) in S2, e da leggere quindi, e per se, allora (colonne 7 e 9) questo in barba alle scelte dei manuali di usare per colonne 7 e 9

2 mancanza nel font Symbol del simbolo per marcare un inferenza valida (il tornello ) passiamo in rassegna i dodici assiomi/regole di inferenza più gettonati (e portatori di nomi consolidati), con abbreviazione, forma basilare e qualche commento (1) Regola di assunzione (A): P. Ogni inferenza deve iniziare da qualche parte, deve cioè avere delle premesse che non derivano da altro. Questa regola indica che qualsiasi proposizione può essere introdotta in qualsiasi momento di una deduzione. Se una proposizione viene introdotta senza a sua volta essere giustificata, la giustificazione della conclusione sarà manchevole; ma, formalmente, la regola è ineccepibile e indispensabile. (2) Negazione doppia (ND): P P e P P Già incontrato nel S1: la ripetuta applicazione di non fa altro che alternare tra V e F, quindi un numero pari di applicazioni ci ritorna al punto di partenza. A differenza di molti usi di non e altre particelle negative in italiano, si applica all intera proposizione su cui opera. (3) &-introduzione (&I): P, Q P & Q Da P e Q possiamo desumere P & Q : una serie di affermazioni, costituisce essa stessa un affermazione congiunta il cui valore di verità dipende dai valori di verità da attribuire ai suoi componenti. Un altro modo di esprimere questa regola è che P & Q dipende dagli stessi assunti da cui dipendono P e Q presi separatamente. (4) &-eliminazione, (&E): P & Q P e P & Q Q Altrimenti nota come semplificazione, questa regola dice che, da P & Q, possiamo desumere P e possiamo anche desumere Q. Facendo riferimento alla colonna 1 della tavola della verità a due variabili, si vede la sicurezza di questa mossa nel fatto che non c è possibilità che P & Q risulti V mentre P o Q risultino F. (5) -introduzione, ( I): P (P Q) Altrimenti nota come addizione, questa regola permette di dedurre da una data proposzione la sua disgiunzione con qualsiasi altra proposizione. La disgiunzione è vera in ogni circostanza in cui la proposizione di partenza è vera. (6) -eliminazione ( E): (P Q), (P R), (Q R) R. Forse questa regola non soddisfa appieno il nostro desideratum (b) (di essere intuitiva ), perché chiama in causa tre variabili. Ma se (&E) è il converso di (&I), questa è il converso di ( I). Un caso concreto: Giovanni ha appena fatto una battuta sul nuovo vestito di Maria; se parlava sul serio, allora criticava la scelta di Maria, il che non è gentile; se invece stava scherzando, ha messo Maria in imbarazzo, il che non è gentile comunque. Quindi, che parlasse sul serio o scherzasse, Giovanni non è stato gentile. Non è necessario sapere se Giovanni parlasse sul serio o meno per sapere che non è stato gentile. Possiamo eliminare o scaricare la disgiunzione come premessa nel ragionamento, perché non aggiunge niente che non sia contenuto nei disgiunti. All interno di una deduzione, la regola ( E) dipende da cinque fasi precedenti nel ragionamento: (i) quella in cui la disgiunzione appare, (ii) quella in cui si assume il primo dei congiunti (P); (iii) quella in cui si deriva la conclusione da P: (P R); (iv) quella in cu si assume il secondo congiunti (Q); e (v) quella in cui si deriva la conclusione da Q: (Q R). (7) Dimostrazione condizionale, (DC) o Introduzione della condizionale ( I): ((P & R) Q), R (P Q)

3 Si può dedurre (P Q) da una dimostrazione che parte da P e conclude con Q. Se P implica Q, allora, se P allora Q è sempre vero (è una tautologia). Non si dà il caso che l implicazione tenga e la condizionale sia falsa, perché l implicazione si definisce come tautologia: (P Q). La terza variabile R rappresenta la dimostrazione del raporto di implicazione tra P e Q. Ad esempio, se è vero che tutti gli uomini sono mortali, possiamo dedurre che, se Socrate è un uomo, Socrate è mortale (8) Eliminazione della condizionale ( E) o (MPP): P, (P Q) Q L etichetta (MPP) deriva dal latino modus ponendo ponens (affermando la cosa affermata) e viene spesso abbreviata (in modo forse fuorviante) a modus ponens. La regola, che molti logici trovano più intuitiva delle altre mettendola tra le prime in ordine di esposizione, è quella secondo cui, a partire da P e (P Q), si può desumere Q. La verità di P è una condizione sufficiente per la verità di Q. (9) Modus tollendo tollens (MTT): (P Q), Q P Questa regola, che è nota quasi unicamente per il suo nome latino (negando la cosa negata), sfrutta il fatto che una frase condizionale è falsa solo nel caso in cui l antecedente è vera e la conseguente è falsa (cfr. le colonne 7 e 9 della tavola della verità a due variabili). ad esempio, se si nega che Plutone catturi gli oggetti vicini alla sua orbita e si afferma che, se Plutone è un pianeta, Plutone cattura gli oggetti vicini alla sua orbita, si arriva a negare che Plutone sia un pianeta: catturare gli oggetti è condizione necessaria per essere un pianeta e Plutone non la soddisfa. In molti dibattiti filosofici, due posizioni opposte tra loro si presentano come il ponendo ponens e il tollendo tollens di un unica condizionale (10) Modus ponendo tollens (MPT): (P & Q), P Q Questa regola forse non soddisfa appieno il desideratum (b) sulle manipolazioni intuitive, ma fa parte della famiglia delle regole con nomi latini (e sembra priva di un altro). Se la negazione di una congiunzione è vera e lo è pure uno dei congiunti, allora l altro congiunto deve essere falso. Se la congiunzione fosse vera, allora entrambi i congiunti dovrebbero esserlo pure loro, ma la negazione di una congiunzione è vera se e solo se la congiunzione è falsa. Si nota che la prima premessa ha la forma del segno di Sheffer: non bere e guidare, ma bere; quindi non guidare (colonna 2 della tabella) (11) Modus tollendo ponens (MTP), o Sillogismo disgiuntivo: (P Q), P Q La parola sillogismo nel nome forse più comunemente usato non si riferisce alla sillogistica aristotelica, bensì la regola secondo cui, da una disgiunzione vera con un disgiunto falso, possiamo desumere la verità dell altro disgiunto. Questo si vede nella colonna 5 della tavola a due variabili: la disgiunzione è falsa solo nel caso in cui entrambi i disgiunti lo sono; quindi, se un disgiunto è falso ma l insieme è vero, allora deve darsi il caso che si verifica o la seconda riga (con proposizioni atomiche FV) o la terza (con proposizioni atomiche VF). Nell antichità, diversi filosofi vegetariani, come Teofrasto di Ereso, Plutarco di Cheronea e Porfirio di Tiro, attribuivano ai cani che seguivano una traccia la capacità di fare l inferenza: o la preda è andata a destra o è andata a sinistra; non è andata a destra; quindi, è andata a sinistra. Questa capacità pur non richiedendo la formazione di un concetto universale, che si pensava specifica all intelletto umano era per loro motivo per dire che questi animali sono in qualche misura razionali o logici. (12) Reductio ad absurdum (RAA), o Dimostrazione indiretta: P (Q & Q) P. Questo è un principio di grandissima importanza in matematica, e talvolta si chiama dimostrazione indiretta perché l idea è di prendere come assunzione una tesi da cui poi si deriva una contraddizione. Visto che una contraddizione è sempre falsa, si può desumere (anche per MTT) che l assunzione è falsa. A differenza delle formule degli avvocati per amore di discussione o

4 ammesso e non concesso, la messa in atto di una reductio ad absurdum è una tattica che inizia postulando l opposto di quello che si vuole dimostrare, per poi cercare di stabilire l impossibilità della negazione della tesi da difendere. La strada più breve per arrivare a una reductio ad absurdum si ha quando l assunzione stessa implica la propria falsità. I casi più interessanti si hanno quando l assunzione di P genera una contraddizione non più interna, bensì rispetto a qualche altra proposizione. Se, cioè, si può dedurre da P sia un altra proposizione, Q, che la sua negazione, Q, si può desumere che P sia falso; viceversa, per stabilire che P, si può assumere che P, e dedurre che Q & Q. La sicurezza intuitiva di (MPP) sulla tabella di verità p q p q (p, p q) q V V V V F V V V V F F V F F V V Dato che la formula condizionale ( (p, p q) q ) corrispondente alla regola (MPP) è una tautologia, la regola non porta da una verità a una falsità: risponde appieno al desideratum (a) La sicurezza semantica di -eliminazione ( E) dimostrata con l ausilio delle regole più intuitive presentazione in formato di deduzione naturale (G. Gentzen e il manuale di Lemmon): 1 (1) ((p q) & (p r) & (q r)) r (A) 2 (2) r (A) 1 (3) (p r) 1 (&E) 1, 2 (4) p 2, 3 (MTT) 1 (5) (p q) 1 (&E) 1, 2 (6) q 4, 5 (MTP) 1 (7) (q r) 1 (&E) 1, 2 (8) r 6, 7 (MPP) 1, 2 (9) r & r 2, 8 (&I) Se si deriva una contraddizione dalla congiunzione della formula di partenza della regola ( ((p q) & (p r) & (q r)) ) e il contradditorio della formula di arrivo ( r ), allora la regola è semanticamente sicura per (RAA), un eventuale decima tappa sarebbe la ripetizione dell assunto (1), ossia la formula condizionale corrispondente alla regola ( E) Che cosa non va con le contraddizioni? risposta (A) pignola : sono false in ogni circostanza risposta (B) estetica : sono noiose risposta (C) tecnica : sono solo per vegetali (Arist., Metaph., IV, iv, 1006a15, nella dispensa p. 38) (A) Verifica della falsità delle contraddizioni p p p & p V F F

5 F V F (B) Dimostrazione della noia delle contraddizioni: 1 (1) p & p (A) 1 (2) p 1 (&E) 2 (3) (p q) 2 ( I) 1 (4) p 1 (&E) 1 (5) q 3, 4 (MTP) Una contraddizione implica qualsiasi proposizione ( ex absurdo quodlibet ) non si discrimina tra il vero e il falso non si discrimina tra il pertinente e il non-pertinente non si discrimina tra l interessante e il noioso (C) Le contraddizioni sono solo per i vegetali (brano dalla Metafisica di Aristotele nella dispensa pp. 37-8) da leggere per la lezione del 3 dicembre