17. Validità delle regole nel linguaggio predicativo

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1 17. Validità delle regole nel linguaggio predicativo La nozione di validità di una regola nel linguaggio predicativo serve per poter rispondere a questa domanda: Perchè la procedura semi-automatica per calcolo predicativo classico è corretta? La risposta è: perchè le regole del calcolo predicativo classico LC = sono tutte sicure, ovvero sono valide assieme alle loro inverse. Diamo di seguito una caratterizzazione utile della validità di una regola del calcolo dei sequenti predicativo classico. Una regola ad una premessa Γ 1 (y) 1 (y) Γ 2 (y) 2 (y) si dice vera in un modello D se e solo se y ( Γ & 1 (y) 1 (y) ) y ( Γ & 2 (y) 2 (y) ) è vera nel modello D. Una regola a due premesse Γ 1 (y) 1 (y) Γ 2 (y) 2 (y) Γ 3 (y) 3 (y) si dice vera in un modello D se e solo se y ( Γ & 1 (y) 1 (y) ) & y ( Γ & 2 (y) 2 (y) ) y ( Γ & 3 (y) 3 (y) ) è vera nel modello D. 1

2 Def. Verità in un modello di una regola ad una premessa Una regola del calcolo dei sequenti ad una premessa del tipo Γ 1 1 si dice vera in un modello D Γ 2 2 se per ogni (d 1,..., d n )εd n ( Γ & 1 (y) 1 (y) ) D (d 1,..., d n ) = 1 nel modello D nel modello D per ogni (d 1,..., d n )εd n se Γ & 2 (y)(d 1,..., d n ) = 1 2 (y)(d 1,..., d n ) = 1. Def. Verità in un modello di regola a due premesse Una regola a due premesse del tipo Γ 1 1 Γ 2 2 Γ 3 3 si dice è vera in un modello D se nel modello D per ogni (d 1,..., d n )εd n ( Γ & 1 (y) 1 (y) ) D (d 1,..., d n ) = 1 e per ogni (d 1,..., d n )εd n ( Γ & 2 (y) 2 (y) ) D (d 1,..., d n ) = 1 nel modello D per ogni (d 1,..., d n )εd n se Γ & 3 (y)(d 1,..., d n ) = 1 3 (y)(d 1,..., d n ) = 1 2

3 VALIDITÀ di una REGOLA: Una regola ad una o due premessa si dice valida rispetto alla semantica classica se e solo se è vera in ogni modello D 3

4 Esercizio 1. Si formalizzi in regola La cometa x entra nell orbita di cattura del Sole C è un scia luminosa nel cielo. Qualche cometa entra nell orbita di cattura del Sole C è una scia luminosa nel cielo. usando C(x)= x è una cometa O(x, y)= x entra nell orbita di cattura di y L= c è una scia luminosa nel cielo s= Sole e si mostri se la regola è valida, e poi se è sicura. 2. Si formalizzi in regola ove L= c è lezione D(x)= x disturba f=flavio C è lezione Flavio disturba C è lezione Qualcuno disturba e si mostri se la regola è valida, e poi se è sicura. 3. Si formalizzi in regola ove N= È notte fonda D(x)= x dorme f=flavio Flavio dorme. È notte fonda. Tutti dormono. È notte fonda. e si mostri se la regola è valida, e poi se è sicura. 4. Mostrare che la regola B A(w), C B w A(w), C D (w VL(B, wa(w), C)) w ( B A(w) C ) ( B w A(w) C ) 4

5 5. Mostrare che la regola B, A(w) C B, w A(w) C S (w VL(B, w A(w), C)) w ( B & A(w) C ) ( B & w A(w) C ) 6. Mostrare che la regola B(y) A (w, y), C(y) B(y) x A (x, y), C(y) D (w VL(B(y), xa (x, y), C(y))) w y ( B(y) A (w, y) C(y) ) y ( B(y) x A (x, y) C(y) ) 7. Mostrare che la regola B(y), A (w, y) C(y) B(y), x A (x, y) C(y) S (w VL(B(y), x A (x, y), C(y))) w y ( B(y) & A (w, y) C(y) ) y ( B(y) & x A (x, y) C(y) ) 8. le seguenti regole Γ A Γ, A, Γ Γ, Γ, Γ sono valide? sono sicure? comp sx Γ Σ, A, Σ A Σ Γ Σ, Σ, Σ comp dx 9. la regola è sicura? Γ, A(x) Γ, x A(x) S 10. è sicura? Γ A(w), Γ xa(x), D 5

6 Ancora esercizi su validità di sequenti Nel seguito usiamo l abbreviazione t s t = s. 1. Si verifichi se i sequenti che seguono sono validi o meno, soddisfacibili o meno in logica classica: (a) x x x (b) x ( x = c x = y ) 2. si formalizzi in sequente e si verifichi se il sequente è valido o meno, e soddisfacibili o meno in logica classica: (a) Ciascuno o balla o canta. Tutti ballano. si consiglia di usare: B(x)= x balla C(x)= x canta (b) (I appello 2013) Chi prende il treno o l aereo è un viaggiatore. Qualche viaggiatore prende l aereo. si consiglia di usare: A(x)= x prende l aereo T(x)= x prende il treno V(x) = x è un viaggiatore (c) Chi prende il treno o l aereo è un viaggiatore. Mario prende l aereo. Qualche viaggiatore prende l aereo. si consiglia di usare: A(x)= x prende l aereo T(x)= x prende il treno V(x) = x è un viaggiatore m= Mario 6