13. Calcolo dei sequenti per logica classica predicativa

Transcript

1 13. Calcolo dei sequenti per logica classica predicativa Vogliamo qui introdurre il calcolo dei sequenti per i predicati. A tal scopo dobbiamo prima introdurre il concetto di variabile libera e variabile vincolata. Nozione di variabile LIBERA in termini e formule Una variabile x si dice libera in un termine t ter se vi compare. Ma diamo anche la definizione precisa come segue: x si dice LIBERA in t ter sse x VL(t ter ) ove VL(c) se c costante VL(x) x Poi definiamo la nozione di variabile libera di una formula come segue: x si dice LIBERA in fr sse x VL(fr) ove VL( ) VL( P k (t 1,..., t m ) VL( t 1 ) VL(t m ) VL( y fr) VL(fr) \ {y} ovvero y appare VINCOLATA in y fr VL( y fr) VL(fr) \ {y} ovvero y appare VINCOLATA in y fr VL(fr 1 & fr 2 ) VL(fr 1 ) VL(fr 2 ) VL(fr 1 fr 2 ) VL(fr 1 ) VL(fr 2 ) VL(fr 1 fr 2 ) VL(fr 1 ) VL(fr 2 ) VL( fr) VL(fr) Esercizio: descrivere le variabili libere delle seguenti formule VL( A(x) z B(z, y) ) = VL( A(x) x B(x, y) ) = VL( A(z) x A(x) ) = 1

2 Logica classica (predicativa) - LC Il calcolo dei sequenti LC include le regole sotto ove - i simboli fr 1 e fr 2 sono META-variabili che indicano formule complesse arbitrarie; - la scrittura fr[x/t] indica la formula ottenuta sostituendo TUTTE le occorrenze libere della variabile x in fr con il termine t ter ; - la scrittura Γ[x/t ter ] indica la lista di formule ottenuta dalla lista Γ sostituendo in ogni formula di tal lista la variabile x con il termine t ter ; - Il simbolo t ter è una META-variabile che indica un termine qualsiasi del linguaggio che può essere una delle variabili x, y, z,... oppure una delle costanti a, b, c,... ; - le regole di quantificazioni sotto si intendono chiuse sulla sostituzione della variabili x, w che appaiono sotto con QUALSIASI altra variabile purchè vengano rispettate le condizioni indicate. ax- Γ, fr 1, Γ, fr 1, Γ,, Γ ax-tt Γ, tt, Σ, Γ, Θ, Γ, Σ Σ, Γ, Θ, Γ, Σ sc sx Γ Σ,, Θ,, Γ Σ,, Θ,, sc dx Γ fr 1, Γ fr 2, Γ fr 1 &fr 2, & D Γ, fr 1, fr 2 Γ, fr 1 &fr 2 & S Γ fr 1, fr 2, Γ fr 1 fr 2, D Γ, fr 1 Γ, fr 2 Γ, fr 1 fr 2 S Γ, fr 1 Γ fr 1, D Γ fr 1, Γ, fr 1 S Γ, fr 1 fr 2, Γ fr 1 fr 2, D Γ fr 1, Γ, fr 2 Γ, fr 1 fr 2 S Γ fr[x/w], Γ x fr, D (w VL(Γ, x fr, )) Γ, x fr, fr[x/t ter ] Γ, x fr S Γ, fr[x/w] Γ, x fr S (w VL(Γ, x fr, )) Γ fr[x/t ter ], x fr, Γ x fr, Poi diciamo che un D sequente Γ è derivabile nel calcolo LC se tal sequente ammette una derivazione in LC, ovvero un albero costruito con regole di LC avente assiomi come foglie. 2

3 Versione alternativa del calcolo LC Qui presentiamo una versione alternativa del calcolo LC in cui le regole agiscono su quantificatori e connettivi applicati rispettivamente a predicati atomici A(x) e variabili proposizionali A e B (la differenza tra le variabili A(x) e B e le META-variabili fr 1 e fr 2 è che le prime sono i costituenti di base della grammatica delle formule per formare formule complesse, ad esempio A & ( B(x) C ) x D(x, y), mentre le seconde sono solo variabili di più alto livello per indicare una formula complessa). Ma per completezza il calcolo deve contenere anche TUTTE le applicazioni delle regole ottenute mettendo al posto delle variabili A, B e dei predicati A(x) delle formule qualsiasi e al posto di w nelle regole S e D una qualsiasi altra variabile purchè rispetti le condizioni dettate dalle regole. ax- Γ, A, Γ, A, Γ,, Γ ax-tt Γ, tt, Σ, Γ, Θ, Γ, Σ Σ, Γ, Θ, Γ, Σ sc sx Γ Σ,, Θ,, Γ Σ,, Θ,, sc dx Γ, A, B Γ, A&B &S Γ A, Γ B, Γ A&B, & D Γ, A Γ, B Γ, A B S Γ A, B, Γ A B, D Γ A, Γ, A S Γ, A Γ A, D Γ A, Γ, B Γ, A B S Γ, A B, Γ A B, D Γ, x A(x), A(t ter ) Γ, x A(x) S Γ A(w), Γ x A(x), D (w V L(Γ, x A(x), )) Γ, A(w) Γ, x A(x) S (w V L(Γ, x A(x), )) Γ A(t ter ), x A(x), Γ x A(x), D 3

4 Come usare le regole del calcolo predicativo Memo: applicare PRIMA le regole dei connettivi proposizionali e -D e -S Usare VARIABILI NUOVE (=non presenti nei sequenti) nelle regole -D e -S usare SOLO le lettere w, x, y, z come VARIABILI nelle regole -S e -D usare le lettere minuscole a, b, c, d,... come costanti le lettere u ter,v ter, t ter,s ter sono usate come METAVARIABILI per termini ovvero sono usate al posto sia di costanti che di variabili Esercizi 1. Il seguente albero è una derivazione corretta in LC?? A(z) A(z) A(z) z A(z) D z A(z) z A(z) S Il sequente radice è un sequente valido? 2. Il seguente albero è una derivazione corretta in LC?? A(z) A(z) z A(z) A(z) S z A(z) z A(z) D 3. Chi è il termine t che compare nelle regole delle quantificazioni? Il termine t una metavariabile che sta ad indicare una qualsiasi variabile, ad esempio x o y, oppure una costante qualsiasi, per esempio c. 4

5 4. Cosa vuol dire A(t)?? A(t) sta ad indicare la formula ottenuta sostituendo in un predicato A(x) al posto di x il termine t. Vedremo in seguito che il termine pr(t) è ottenuto per sostituzione in pr(x) di x con un termine t, ovvero pr(x)[x/t] = pr(t), ed è definito solo se le variabili libere di t NON passano da libere a vincolate dopo la sostituzione in pr(x). 5. Derivare in LC x ( U(x) M(x) ),U(s) M(s) 6. Formalizzare in sequente l asserzione Il conte Augusto è un antenato di Mario ed è nobile Qualche antenato di Mario è nobile ove si pone A(x, y) = x è antenato di y N(x) = x è nobile m= Mario c= Il conte Augusto Si derivi il sequente ottenuto in LC. 7. Derivare in LC y A(y) w A(w) 8. Derivare in LC y A(y) w A(w) 9. Derivare in LC x y ( C(x) A(y) ) y ( A(y) & C(y) ) 5

6 10. Derivare in LC y C(y) y C(y) 11. Tradurre l argomentazione (dal IV appello 2014) in sequente e verificarne la validità in logica classica: Nei boschi crescono i funghi. Alcuni funghi sono velenosi. Alcuni funghi velenosi crescono nei boschi. si consiglia di usare: C(x)= x cresce nei boschi F(x) = x è un fungo V(x) = x è velenoso 6