Esercizi 2. Sulla definizione di linguaggio formale

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1 Esercizi 2. Sulla definizione di linguaggio formale Def. 0.1 (Insieme induttivamente generato) Dato un numero finito di funzioni su un numero finito di argomenti h i : A... A A }{{} m i-volte su una collezione A (che non è detto sia un insieme) per i = 1,...,n e un insieme S l insieme B di A definito come il più piccolo insieme che soddisfa le seguenti condizioni S B se b 1,...b mi B allora h i (b 1,...,b mi ) B si dice induttivamente generato da S e dalle h i. Si noti che l insieme B induttivamente generato da S e dalle h i può equivalentemente essere definito come il più piccolo insieme che soddisfa la seguente equazione di punto fisso B = S { h i (b 1,...,b mi ) b j B j = 1,...,m i e i {1,...,n} } l insieme B induttivamente generato da S e dalle h i può essere costruito in tal modo B ove e n Nat B 0 = S B n+1 B n { h i (b 1,...,b mi ) b j B n per j = 1,...,n i e i {1,...,n} } e in particolare B esiste sempre nella teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel. B n Proposition 0.2 (principio di induzione di insiemi induttivamente generati) Dato un numero finito di funzioni su un numero finito di argomenti h i : A... A A }{{} m i-volte su una collezione A (che non è detto sia un insieme) per i = 1,...,n e dato un insieme S e un insieme B che soddisfa l equazione di punto fisso B = S { h i (b 1,...,b mi ) b j B j = 1,...,m i e i {1,...,n} } allora sono equivalenti le seguenti condizioni: 1. B è il più piccolo insieme che soddisfa l equazione di punto fisso B = S { h i (b 1,...,b mi ) b j B j = 1,...,m i e i {1,...,n} } 2

2 2. B gode del seguente principio di induzione: dato un predicato P(x) (x B) su B Se valgono le seguenti condizioni: (caso base) per un s S qualsiasi P(s) vale (caso induttivo) per ogni i {1,...,n} e per ogni enupla b j B con j = 1,...,m i se P(b j ) vale per ogni j = 1,...,m i allora pure P( h i (b 1,...,b mi ) ) vale allora ne segue che per ogni b B vale P(b). Esempi con esercizi I numeri naturali N formano un insieme induttivamente generato in tal modo in teoria degli insiemi: sia V l universo (non è un insieme) degli insiemi e si definisca S { } h : V V ove h(x) = X {X} Allora si verifichi l insieme induttivamente generato B da S e h sopra definiti dà proprio una rappresentazione di N ponendo 0 e n+1 n { n } = { 0,1,...,n } in quanto i vari B n costruiti sono definiti in tal modo B 0 = {0} B n+1 = { 0,...n } e che il suo principio di induzione associato è proprio il ben noto principio di induzione sui naturali. Dato un alfabeto per un linguaggio L ovvero Alf(L) = Var Const PredA {, } {,&,,,, (,) } ove si noti vi sono anche le parentesi tonde (!!!) e dati J,K,H insiemi e - V ar è una famiglia numerabile di simboli di variabile: Var { x n n Nat } - Const è una famiglia grande a piacere (anche vuota) di simboli di costante Const { c j j J } - Fun è una famiglia grande a piacere (anche vuota) di simboli di funzione Fun { f k (x 1,...,x nk ) k K } - una famiglia grande a piacere (anche vuota) di simboli di predicato atomico PredA { P h (x 1,...,x nh ) h H } 3

3 si consideri l insieme delle liste finite di simboli dell alfabeto e si definiscano le seguenti funzioni: List(Alf(L)) 1. per ogni k K f k : List( Alf(L) ) List( Alf(L) ) ove f k (,..., )(l 1,...,l nk ) = f k (l 1,...,l nk ) 2. per ogni h H P h (,..., ) : List( Alf(L) ) List( Alf(L) ) ove P h (,..., )(l 1,...,l nh ) = P h (l 1,...,l nh ) 3. ove ( )(l) = l : List( Alf(L) ) List( Alf(L) ) 4. (, ) : List( Alf(L) ) List( Alf(L) ) List( Alf(L) ) ove (, )(l 1,l 2 ) = l 1 l 2 5. &(, ) : List( Alf(L) ) List( Alf(L) ) List( Alf(L) ) ove &(, )(l 1,l 2 ) = l 1 &l 2 6. (, ) : List( Alf(L) ) List( Alf(L) ) List( Alf(L) ) ove (, )(l 1,l 2 ) = l 1 l (, ) : Var List( Alf(L) ) List( Alf(L) ) ove (, )(y,l) = y l (, ) : Var List( Alf(L) ) List( Alf(L) ) ove (, )(y,l) = y l 9. ove ( )(l) = (l) ( ) : List( Alf(L) ) List( Alf(L) ) Ora si dimostri che 4

4 1. Term(L) è l insieme induttivamente dalle funzioni f k (,..., ) e da S Var Const. Si scriva poi il corrispondente principio di induzione. 2. Frm(L) è l insieme induttivamente dalle funzioni P h (,..., ) e dalle funzioni ( ) (, ) &(, ) (, ) (, ) (, ) ( ) e da S { t = s t,s Term(L)} {, } Si scriva poi il corrispondente principio di induzione. Dato un numero finito di funzioni su un numero finito di argomenti h i : A... A }{{} A m i-volte su una collezione A (che non è detto sia un insieme) per i = 1,...,n e un insieme S l insieme C ove e soddisfa l equazione? n Nat C 0 = S C n+1 { h i (c 1,...,c mi ) c j C n per j = 1,...,n i e i { 1,...,n }} C = S { h i (b 1,...,b mi ) b j C j = 1,...,m i e i { 1,...,n } } Dato un numero finito di funzioni su un numero finito di argomenti C n h i : A... A A }{{} m i-volte su una collezione A (che non è detto sia un insieme) per i = 1,...,n e un insieme S l insieme C ove e n Nat S C 0 C n+1 C n { h i (c 1,...,c mi ) c j C n per j = 1,...,n i e i { 1,...,n }} soddisfa l equazione? C = S { h i (b 1,...,b mi ) b j C j = 1,...,m i e i { 1,...,n } } Cosa ha di diverso C dall insieme B generato induttivamente dalle S e dalle h i? C n 5

5 Provare a dare una definizione alternativa di linguaggio formale dei predicati a partire da un alfabeto di simboli per variabili, costanti, predicati atomici e funzioni, unito ai simboli per connettivi e quantificatori, per poi formare una collezione di termini e di formule. Provare a mostrare che l insieme dei numeri naturali N è induttivamente generato pensandolo come sottoinsieme degli interi Z Si stabilisca se le seguenti definizioni di termini e formule di un linguaggio L sono ben definite: dati J,K,H insiemi e - una famiglia numerabile di simboli di variabile: Var { x n n Nat } - una famiglia grande a piacere (anche vuota) di simboli di costante Const { c j j J } - una famiglia grande a piacere (anche vuota) di simboli di funzione Fun { f k (x 1,...,x nk ) k K } - una famiglia grande a piacere (anche vuota) di simboli di predicato atomico PredA { P h (x 1,...,x nh ) h H } Si definiscano i seguenti insiemi: Term(L) Var Const {f k (t 1,...,t nk ) t i Term(L)peri=1,...mef k (x 1,...x nk ) Fun} Frm(L) { t = s t,s Term(L)} {, } { P h (t 1,...,t nh ) t i Term(L) per i = 1,...n h e P h (x 1,...,x nh ) PredA } { φ ψ φ,ψ Frm(L) } { φ & ψ φ,ψ Frm(L) } { φ ψ φ,ψ Frm(L) } { φ φ Frm(L) } { x ψ ψ Frm(L) } { x ψ ψ Frm(L) } 6

6 Esercizi Provare a derivare in DNC = e in DNI = le formule valide degli esercizi Formalizzare in sequente le argomentazioni adottando la seguente convenzione: quando scriviamo intendiamo frase 1 frase 2... frase n frase Ammesso che valga sia frase 1 che frase 2, che... frase n, allora vale frase. Provare a poi a derivare in DNC = e in DNI = i sequenti ottenuti. (a) C è un unico esemplare di Panda gigante nello zoo. Kung è un esemplare di Panda gigante nello zoo. Kung è diverso Gong Gong non è un esemplare di Panda gigante nello zoo. E(x,y)= x è un esemplare di y nello zoo k= Kung, g= Gong, p= Panda gigante (b) C è uno che non ama i luoghi che tutti amano. A(x,y)= x ama y L(x)= x è un luogo (c) C è qualche esemplare di lince nello zoo. Triki è un esemplare di lince nello zoo. Triki è diverso Felix. Felix è un esemplare di lince nello zoo. Non c è un unico esemplare di lince nello zoo. E(x,y)= x è un esemplare di y nello zoo f= Felix, t= Triki, l= lince (d) C è uno che ama soltanto i luoghi che tutti amano. A(x,y)= x ama y L(x)= x è un luogo 7

7 (e) Non c è nulla che crea tutti e soli gli enti che non si creano da sè o è diverso da se stesso. C(x,y)= x crea y (f) Esiste uno che segue il corso di Logica 2 allora tutti seguono il corso di Logica 2 S(x)= x segue Logica 2. (g) Marco si diverte se piove, o nevica o c è il sole, e se è vacanza. Solo se Marco non si diverte non è vacanza. V =è vacanza, D= Marco si diverte P = piove, N=nevica S= c è il sole (h) Vado ad un esame solo se mi sento preparato e sto bene. Solo se non mi sento preparato, non vado ad un esame e non sto bene. V =vado ad un esame P = mi sento preparato B=sto bene (i) Non si dà il caso che solo se c è foschia, è autunno o fa caldo. Non è autunno ma estate se c è foschia e fa caldo. F = c è foschia I = è estate A= è autunno C= fa caldo (j) I cani sono animali domestici. I gatti sono animali domestici. Chi ha un gatto o un cane ha un animale domestico. C(x)= x è un cane G(x)= x è un gatto D(x)= x è un animale domestico H(x,y)= x ha y (k) Non esiste nulla che brilla soltanto se nessuno brilla. B(x)= x brilla (l) Non esiste nulla che brilla soltanto se tutti brillano. 8

8 B(x)= x brilla 9