Spiegazione delle regole dei quantificatori in logica classica

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1 Spiegazione delle regole dei quantificatori in logica classica Qui spieghiamo la forma delle regole della quantificazione universale ed esistenziale. 1. La regola della quantificazione universale a sinistra Γ, x A(x),A(t ter ) Γ, x A(x) S la formula ( (Γ & & x A(x)) & A(t ter ) ) ( Γ & & x A(x) ) che è una legge logica in quanto è pure una legge logica x A(x) & A(t ter ) x A(x) Dunque nella regola la validità logica sale e scende rendendo la regola sicura e difatti è una legge logica la formula ( (Γ & & x A(x)) & A(t ter ) ) ( Γ & & x A(x) ) Esiste anche una forma NON sicura della regola che permette di abbreviare le derivazioni che è l enunciato Γ,A(t ter ) Γ, x A(x) Sv che è una legge logica. (Γ & & A(t ter ) ) (Γ & & x A(x) ) Per comprendere la sua validità logica consideriamo questo esempio di applicazione della regola di quantificazione universale a sinistra veloce N=È notte B(x)= x brilla nel cielo T= Il cielo è del tutto coperto di nubi v= Venere N,B(v) T N, x B(x) T Sv Assumendo che, se è notte e Venere brilla nel cielo allora il cielo non è del tutto coperto di nubi allora se è notte e tutto brilla nel cielo allora il cielo non è del tutto coperto di nubi. 6

2 Chiaramente la regola non è sicura e lo si vede con questo esempio A(x)= x ha la cintura allacciata P= l aereo parte m= Mario x A(x) P A(m) P inv Sv l argomentazione scorretta se tutti hanno le cinture allacciate allora l aereo parte se Mario ha la cintura allacciata allora l aereo parte. perchè la premessa richiede tutti abbiano la cintura allacciata affinchè l aereo parta mentre nella premessa sotto sappiamo solo che Mario ha la cintura allacciata e non che l abbiano anche gli altri passeggeri dell aereo. 2. La regola di quantificazione universale a destra Γ A(w), Γ x A(x), D (w VL(Γ, x A(x), )) formalizza la formula (associando a sinistra i disgiunti delle conclusioni dei sequenti) w ( Γ & A(w) ) (Γ & x A(x) ) che è una legge logica proprio perchè la variabile w NON è libera in Γ, x A(x),. Per comprendere la sua validità logica consideriamo questo esempio N S(w) B(w),C N x (S(x) B(x)),C N=È notte B(x)= x brilla nel cielo S(x)=x è una stella C= Il cielo è coperto di nubi D (w VL(N, x (S(x) B(x)),C)) qualsiasi cosa, se è notte allora o, se è una stella brilla nel cielo, oppure il cielo è coperto di nubi se è notte, allora o tutte le stelle brillano nel cielo oppure il cielo è coperto di nubi. 7

3 Si noti che la regola è sicura, ovvero la verità sale e scende nella regola, poichè è una legge logica la formula w ( Γ & A(w) ) (Γ & x A(x) ) Si osservi che la condizione a lato della regola riguardante il fatto che la variabile w non deve comparire libera nel sequente conclusione deriva dal fatto che se si ommette tale condizione si potrebbero derivare sequenti palesemente falsi ad esempio, assumendo di aver derivato in aritmetica w = 0 5+w = 5 applicando la regola senza condizioni come segue w = 0 5+w = 5 w = 0 w 5+w = 5 si vede subito che questa applicazione, se fosse valida!, permetterebbe di dedurre in aritmetica il sequente w = 0 w 5+w = 5 come conseguenza logica dalla premessa w = w = 5, e invece il sequente w = 0 w 5+w = 5 è falso in aritmetica. Si noti che l applicazione sopra NON rispetta la condizione sulle variabili della regola D in quanto la variabile w è LIBERA nel contesto a sinistra w = 0. Dunque la regola D senza condizioni NON può essere una regola valida logicamente ovvero applicabile a tutte le teorie scientifiche comprese l aritmetica!!! 3. La regola di quantificazione esistenziale a sinistra formalizza la formula Γ, A(w) Γ, x A(x) S (w VL(Γ, x A(x), )) w ( Γ & & A(w) ) ( Γ & & x A(x) ) che è una legge logica proprio perchè la variabile w NON è libera in Γ, x A(x),. Per comprendere la sua validità logica consideriamo questo esempio N,S(w) & B(w) T N, x (S(x) & B(x)) T N=È notte B(x)= x brilla nel cielo S(x)=x è una stella T= Il cielo è del tutto coperto di nubi S (w VL(N, x (S(x) & B(x)),T)) 8

4 qualsiasi cosa, se è notte ed è una stella che brilla nel cielo allora il cielo non è del tutto coperto di nubi se è notte e c è una stella che brilla nel cielo allora il cielo non è del tutto coperto di nubi. Si noti che la regola è sicura, ovvero la verità sale e scende nella regola, poichè è una legge logica la formula w ( Γ & & A(w) ) ( Γ & & x A(x) ) 4. La regola di quantificazione esistenziale a destra Γ A(t ter ), x A(x), Γ x A(x), formalizza la formula (a meno di associatività dei disgiunti delle conclusioni di entrambi i sequenti) ( Γ & (A(t ter ) x A(x)) ) ( Γ & x A(x) ) che è una legge logica in quanto è pure una legge logica x A(x) A(t ter ) x A(x) Dunque nella regola la validità logica sale e scende rendendo la regola sicura e difatti è una legge logica la formula ( Γ & (A(t ter ) x A(x)) ) ( Γ & x A(x) ) Esiste anche una forma NON sicura della regola che permette di abbreviare le derivazioni che è Γ A(t ter ), Γ x A(x), v l enunciato (associando a sinistra i disgiunti delle conclusioni dei sequenti) che è una legge logica. ( Γ & A(t ter ) ) ( Γ & x A(x) ) Per comprendere la sua validità logica consideriamo questo esempio di applicazione della regola di quantificazione esistenziale a destra veloce A(x)= x è arrivato in stazione A(v) S(m,v), P(v) A(v) x S(x,v), P(v) v 9

5 P(x)= le porte del treno x sono aperte S(x,y)= x sale su y. m= Marco v= treno per Venezia se il treno per Venezia è arrivato in stazione allora o Marco sale sul treno per Venezia oppure le porte del treno per Venezia non sono aperte se il treno per Venezia è arrivato in stazione allora o qualcuno sale sul treno per Venezia oppure le porte del treno per Venezia non sono aperte. Chiaramente la regola non è sicura e lo si vede con questo esempio A(v) x S(x,v), P(v) A(v) S(g,v), P(v) inv v A(x)= x è arrivato in stazione P(x)= le porte del treno x sono aperte S(x,y)= x sale su y. g= il giornalaio della stazione v= il treno per Venezia l argomentazione scorretta se il treno per Venezia è arrivato in stazione allora o qualcuno sale sul treno per Venezia oppure le porte del treno per Venezia non sono aperte. se il treno per Venezia è arrivato in stazione allora o il giornalaio sale sul treno per Venezia oppure le porte del treno per Venezia non sono aperte. Tale argomentazione non è corretta in quanto le porte del treno potrebbero essere aperte e il giornalaio è al suo posto a vendere giornali! 10

6 Spiegazione alternativa delle regole delle quantificatori È possibile spiegare le regole dei quantificatori della logica classica a partire dalle regole della negazione scritta con formule qualsiasi Γ fr, Γ, fr S Γ,fr Γ fr, D e dalle seguenti versioni ristrette delle regole di quantificazione universale ed esistenziale a destra sempre scritte con formule qualsiasi Γ fr[x/w] Γ x fr D (w VL(Γ, x fr)) Γ fr[x/t ter ], x fr Γ x fr ove con fr[x/t ter ] si intende che la variabile x nella formula fr è sostituita con il termine t ter, per i seguenti motivi 1. la validità delle regole di quantificazione universale ed esistenziale a destra in forma ristretta è più semplice da riconoscere delle corrispondenti versioni generali e delle corrispondenti regole a sinistra; 2. grazie alla validità delle regole di negazione e delle loro inverse già dimostrata per proposizione arbitrarie, le versioni ristrette delle regole di quantificazione universale ed esistenziali sono equivalenti a quelle generali del calcolo; 3. usando le regole di negazione a destra e a sinistra con le leggi logiche di De Morgan per i quantificatori per una qualsiasi formula fr x fr x fr x fr x fr e la legge logica della doppia negazione fr fr giustificheremo le regole di sinistra della quantificazione universale ed esistenziale a partire dalle regole di quantificazione universale ed esistenziale a destra. Andiamo ora a mostrare i singoli punti. 1. Giustificazione della regola ristretta della quantificazione universale a dx. La forma ristretta della regola di quantificazione universale a destra scritta con formule qualsiasi Γ fr[x/w] Γ x fr D (w VL(Γ, x fr)) formalizza semplicemente la formula w ( Γ & fr[x/w] ) (Γ & x fr ) che è una legge logica proprio perchè la variabile w NON è libera in Γ, x fr. Per comprendere la sua validità logica consideriamo questo esempio N, C S(w) B(w) N, C x (S(x) B(x)) D (w VL(N, C, x (S(x) B(x)))) 11

7 N=È notte B(x)= x brilla nel cielo S(x)=x è una stella C= Il cielo è coperto di nubi Dal fatto che, qualsiasi cosa, se è notte e il cielo non è coperto di nubi allora se è una stella brilla, segue che se è notte e il cielo non è coperto di nubi, allora tutte le stelle brillano nel cielo. Si noti che la regola è sicura, ovvero la verità sale e scende nella regola, poichè è una legge logica la formula w ( Γ & fr[x/w] ) (Γ & x fr ) Giustificazione della regola ristretta della quantificazione esistenziale a dx La forma ristretta della regola di quantificazione esistenziale a destra scritta con formule qualsiasi Γ fr[x/t ter ], x fr Γ x fr formalizza la formula ( Γ & fr[x/t ter ] x fr) ( Γ & x fr ) che è una legge logica in quanto è pure una legge logica x fr fr[x/t ter ] x fr Dunque nella regola la validità logica sale e scende rendendo la regola sicura e difatti è una legge logica la formula ( Γ & fr[x/t ter ] x fr ) ( Γ & x fr ) Di fatto la regola sopra è la correzione in forma sicura della seguente regola NON sicura che rappresenta il modo con cui noi introduciamo la quantificazione esistenziale come conclusione di un ragionamento: l enunciato Γ fr[x/t ter ] Γ x fr v ( Γ & fr[x/t ter ] ) ( Γ & x fr ) 12

8 che è una legge logica come mostrato dal seguente esempio A(x)= x è arrivato in stazione P(x)= le porte del treno x sono aperte S(x,y)= x sale su y. m= Marco v= treno per Venezia A(v),P(v) S(m,v) A(v),P(v) x S(x,v) v se il treno per Venezia è arrivato in stazione e le sue porte sono aperte allora Marco sale su questo treno se il treno per Venezia è arrivato in stazione e le sue porte sono aperte allora qualcuno sale su questo treno. Chiaramente la regola non è sicura e lo si vede con questo esempio A(v),P(v) x S(x,v) A(v),P(v) S(g,v) inv v A(x)= x è arrivato in stazione P(x)= le porte del treno x sono aperte S(x,y)= x sale su y. g= il giornalaio della stazione v= il treno per Venezia l argomentazione scorretta se il treno per Venezia è arrivato in stazione e le sue porte sono aperte allora qualcuno sale sul treno per Venezia se il treno per Venezia è arrivato in stazione e le sue porte sono aperte allora il giornalaio sale sul treno per Venezia. Tale argomentazione non è corretta in quanto il giornalaio potrebbe benissimo essere al suo posto a vendere giornali! 2. Ora osserviamo che grazie alle regole di negazione e alla legge della doppia negazione possiamo ricavare le regole della quantificazione universale ed esistenziale a destra in forma generale. 13

9 Regola di quantificazione universale a destra in forma generale. La regola di quantificazione universale a destra scritta con formule qualsiasi si ricava dalla regola procedendo in tal modo: supponiamo per semplicità Γ fr[x/w], Γ x fr, Γ fr[x/w] Γ x fr D (w VL(Γ, x fr, )) D (w VL(Γ, x fr)) α,β allora giustifichiamo il passaggio dalla premessa Γ fr[x/w], α, β alla conclusione Γ x fr, α, β come applicazione di una serie di regole valide (e sicure!!!) come segue (si ricordi che le inverse delle regole di negazione sono valide!) Γ fr[x/w], α,β sc dx Γ α,β, fr[x/w] Γ, α β, fr[x/w] S Γ, α, β fr[x/w] S D (w VL(Γ, α, β, x fr)) Γ, α, β x fr Γ, α β, x fr inv S Γ α,β, x fr inv S Γ x fr, α,β sc dx Si osservi inoltre che la condizione sulle variabili per l applicazione della regola di quantificazione universale a destra operata sopra è soddisfatta in quanto se w non è libera in Γ, x fr, α,β non lo è neppure in Γ, α, β, x fr. Nel caso contenga una sola formula o più di due formule si procede analogamente a quanto fatto sopra. Regola di quantificazione esistenziale a destra in forma generale. La regola di quantificazione esistenziale a destra scritta con formule qualsiasi Γ fr[x/t ter ], x fr, Γ x fr, si ricava dalla regola Γ fr[x/t ter ], x fr Γ x fr procedendo come segue: sup per semplicità α,β 14

10 giustifichiamo il passaggio dalla premessa Γ fr[x/t ter ],α,β alla conclusione Γ x fr,α,β come applicazione della seguente serie di regole valide (e sicure!!) Γ fr[x/t ter ], x fr,α,β Γ, α,β, fr[x/t ter ], x fr sc dx Γ, α β, fr[x/t ter ], x fr S Γ, α, β fr[x/t ter ], x fr S Γ, α, β x fr Γ, α β, x fr inv S Γ α,β, x fr inv S Γ x fr,α,β sc dx ricordando che le inverse delle regole di negazione sono valide!! Nel caso contenga una sola formula o più di due formule si procede analogamente a quanto fatto sopra. 3. Regola di quantificazione universale a sinistra. La regola di quantificazione universale a sinistra scritta con formule qualsiasi Γ, x fr, fr[x/t ter ] Γ, x fr si ricava in tal modo dalla regola di quantificazione esistenziale a destra assieme alle regole di negazione. Utilizzando la legge logica di De Morgan dei quantificatori si ottiene che vale e infine per la legge della doppia negazione x fr x fr x fr x fr x fr x fr fr fr Dunque la regola di quantificazione universale a sinistra si può equivalentemente riformulare in tal modo Γ, x fr, fr[x/t ter ] S Γ, x fr S e giustificare come risultato dell applicazione di questa serie di regole valide (e sicure!) Γ, x fr, fr[x/t ter ] Γ, fr[x/t ter ], x fr sc sx Γ, fr[x/t ter ] x fr, inv D Γ fr[x/t ter ], x fr, D Γ x fr, Γ, x fr S 15

11 Regola di quantificazione esistenziale a sinistra. La regola di quantificazione esistenziale a sinistra scritta con formule qualsiasi Γ, fr[x/w] Γ, x fr S (w VL(Γ, x fr, )) si ricava in tal modo dalla regola di quantificazione universale a destra assieme alle regole di negazione. Utilizzando la legge logica di De Morgan dei quantificatori si ottiene che vale e infine per la legge della doppia negazione x fr x fr x fr x fr x fr x fr fr fr Dunque la nostra regola si può equivalentemente riformulare in tal modo Γ, fr[x/w] Γ, x fr S (w VL(Γ, x fr, )) e giustificare come risultato dell applicazione di questa serie di regole valide (e sicure!) Γ, fr[x/w] Γ fr[x/w], D D(w VL(Γ, x fr, )) Γ x fr, Γ, x fr S osservando che la condizione sulle variabili relativa all applicazione della regola di quantificazione universale a destra operata sopra è soddisfatta perchè se w non è libera in Γ, x fr, non lo è neanche in Γ, x fr,. 16