Spiegazione delle regole dei quantificatori in logica classica

Transcript

1 Spiegazione delle regole dei quantificatori in logica classica Qui spieghiamo la forma delle regole della quantificazione universale ed esistenziale. 1. La regola della quantificazione universale a sinistra Γ, x A(x),A(t) Γ, x A(x) S la formula ( (Γ & & x A(x)) & A(t) ) ( Γ & & x A(x) ) che è una legge logica in quanto è pure una legge logica x A(x) & A(t) x A(x) Dunque nella regola la validità logica sale e scende rendendo la regola sicura e difatti è una legge logica la formula ( (Γ & & x A(x)) & A(t) ) ( Γ & & x A(x) ) Esiste anche una forma NON sicura della regola che permette di abbreviare le derivazioni che è l enunciato Γ,A(t) Γ, x A(x) Sv che è una legge logica. (Γ & & A(t) ) (Γ & & x A(x) ) Per comprendere la sua validità logica consideriamo questo esempio di applicazione della regola di quantificazione universale a sinistra veloce T= Il cielo è del tutto coperto di nubi v= Venere N,B(v) T N, x B(x) T Sv Assumendo che, se è notte e Venere brilla nel cielo allora il cielo non è del tutto coperto di nubi allora se è notte e tutto brilla nel cielo allora il cielo non è del tutto coperto di nubi. 6

2 Chiaramente la regola non è sicura e lo si vede con questo esempio A(x)= x ha la cintura allacciata P= l aereo parte m= Mario x A(x) P M(v) P inv Sv l argomentazione scorretta se tutti hanno le cinture allacciate allora l aereo parte se Mario ha la cintura allacciata allora l aereo parte. perchè la premessa richiede tutti abbiano la cintura allacciata affinchè l aereo parta mentre nella premessa sotto sappiamo solo che Mario ha la cintura allacciata e non che l abbiano anche gli altri passeggeri dell aereo. 2. La regola di quantificazione universale a destra Γ A(w), Γ x A(x), D (w VL(Γ, x A(x), )) formalizza la formula (associando a sinistra i disgiunti delle conclusioni dei sequenti) w ( Γ & A(w) ) (Γ & x A(x) ) che è una legge logica proprio perchè la variabile w NON è libera in Γ, x A(x),. Per comprendere la sua validità logica consideriamo questo esempio N S(w) B(w),C N x (S(x) B(x)),C S(x)=x è una stella C= Il cielo è coperto di nubi D (w VL(N, x (S(x) B(x)),C)) qualsiasi cosa, se è notte allora o, se è una stella brilla nel cielo, oppure il cielo è coperto di nubi se è notte, allora o tutte le stelle brillano nel cielo oppure il cielo è coperto di nubi. 7

3 Si noti che la regola è sicura, ovvero la verità sale e scende nella regola, poichè è una legge logica la formula w ( Γ & A(w) ) (Γ & x A(x) ) 3. La regola di quantificazione esistenziale a sinistra formalizza la formula Γ, A(w) Γ, x A(x) S (w VL(Γ, x A(x), )) w ( Γ & & A(w) ) ( Γ & & x A(x) ) che è una legge logica proprio perchè la variabile w NON è libera in Γ, x A(x),. Per comprendere la sua validità logica consideriamo questo esempio N,S(w) & B(w) T N, x (S(x) B(x)) T S(x)=x è una stella T= Il cielo è del tutto coperto di nubi S (w VL(N, x (S(x) & B(x)),T)) qualsiasi cosa, se è notte ed è una stella che brilla nel cielo allora il cielo non è del tutto coperto di nubi se è notte e c è una stella che brilla nel cielo allora il cielo non è del tutto coperto di nubi. Si noti che la regola è sicura, ovvero la verità sale e scende nella regola, poichè è una legge logica la formula w ( Γ & & A(w) ) ( Γ & & x A(x) ) 8

4 4. La regola di quantificazione esistenziale a destra Γ A(t), x A(x), Γ x A(x), formalizza la formula (a meno di associatività dei disgiunti delle conclusioni di entrambi i sequenti) D ( Γ & (A(t) x A(x)) ) ( Γ & x A(x) ) che è una legge logica in quanto è pure una legge logica x A(x) A(t) x A(x) Dunque nella regola la validità logica sale e scende rendendo la regola sicura e difatti è una legge logica la formula ( Γ & (A(t) x A(x)) ) ( Γ & x A(x) ) Esiste anche una forma NON sicura della regola che permette di abbreviare le derivazioni che è Γ A(t), Γ x A(x), Dv l enunciato (associando a sinistra i disgiunti delle conclusioni dei sequenti) che è una legge logica. ( Γ & A(t) ) ( Γ & x A(x) ) Per comprendere la sua validità logica consideriamo questo esempio di applicazione della regola di quantificazione esistenziale a destra veloce A(x)= x è arrivato in stazione P(x)= le porte del treno x sono aperte S(x,y)= x sale su y. m= Marco v= treno per Venezia A(v) S(m,v), P(v) A(v) x S(x,v), P(v) Dv se il treno per Venezia è arrivato in stazione allora o Marco sale sul treno per Venezia oppure le porte del treno per Venezia non sono aperte se il treno per Venezia è arrivato in stazione allora o qualcuno sale sul treno per Venezia oppure Chiaramente la regola non è sicura e lo si vede con questo esempio 9

5 A(x)= x è arrivato in stazione P(x)= le porte del treno x sono aperte S(x,y)= x sale su y. g= il giornalaio della stazione v= il treno per Venezia A(v) x S(x,v), P(v) A(v) S(g,v), P(v) inv Dv l argomentazione scorretta se il treno per Venezia è arrivato in stazione allora o qualcuno sale sul treno per Venezia oppure se il treno per Venezia è arrivato in stazione allora o il giornalaio sale sul treno per Venezia oppure Tale argomentazione non è corretta in quanto le porte del treno potrebbero essere aperte e il giornalaio è al suo posto a vendere giornali! 10