SIMULAZIONE I-Compitino LOGICA MATEMATICA 23 novembre 2016

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1 SIMULAZIONE I-Compitino LOGICA MATEMATICA 23 novembre 2016 nome: cognome: - Scrivete in modo CHIARO. Elaborati illegibili non saranno considerati. - NON si considerano le BRUTTE copie. - Ricordatevi di ESPLICITARE l uso della regola dello scambio sia a destra che a sinistra del sequente (se non lo fate perdete punti!). - Ricordatevi di ETICHETTARE LE DERIVAZIONI CON LE REGOLE USATE (se non lo fate perdete punti!) Mostrare se i sequenti di seguito sono tautologie o opinioni o paradossi in logica classica e in logica intuizionista con uguaglianza. Nel caso di validità in logica classica esibire la derivazione sia in DNC = che in LC = e nel caso di validità in logica intuizionista esibire la derivazione sia in DNI = che in LI =. Il punteggio indicato è assegnato ad ogni derivazione utile in LC = o in LI = per stabilire la validità di un sequente ed anche ad ogni dimostrazione mostrante la non validità di un sequente posto che queste siano determinanti per risolvere l esercizio. Le derivazioni in DNI = e in DNC = valgono il doppio dei punti indicati. A B ( A B ) ( ( ( P M ) P ) P ) ( ( A D ( A&D ) ) A ) ( ( A (M B) ) (B & M ) ) ( A ) B (A A) B (A & B) A B 1

2 x y x y x w ( C(x, w) x w ) b a x w ( C(x, w) & x w ) x A(x) x A(x) x (A(x) C) x A(x) C x A(x) C x (A(x) C) 7 punti ( A B ) ( A B ) Formalizzare in sequente le argomentazioni di seguito. Si provi se il sequente ottenuto è tautologia, opinione o paradosso in logica classica e in logica intuizionista con uguaglianza. Nel caso di validità in logica classica esibire la derivazione sia in DNC = che in LC = e nel caso di validità in logica intuizionista esibire la derivazione sia sia in DNI = in LI = Il punteggio indicato è assegnato ad ogni derivazione utile in LC = o in LI = per stabilire la validità di un sequente ed anche ad ogni dimostrazione mostrante la non validità di un sequente posto che queste siano determinanti per risolvere l esercizio. Le derivazioni in DNI = e in DNC = valgono il doppio dei punti indicati. (7 punti) I cani sono animali domestici. I gatti sono animali domestici. Chi ha un gatto o un cane ha un animale domestico. si consiglia di usare: C(x)= x è un cane G(x)= x è un gatto D(x)= x è un animale domestico H(x,y)= x ha y (7 punti) C è qualche esemplare di lince nello zoo. Triki è un esemplare di lince nello zoo. Triki è diverso Felix. Felix è un esemplare di lince nello zoo. Non c è un unico esemplare di lince nello zoo. si consiglia di usare: E(x,y)= x è un esemplare di y nello zoo 2

3 f= Felix, t= Triki, l= lince (7 punti) C è uno che ama soltanto i luoghi che tutti amano. si consiglia di usare: A(x,y)= x ama y L(x)= x è un luogo (8 punti) Esiste un programma che attiva tutti e soli i programmi che non si attivano da sè. ove si consiglia di usare: P (x)= x è un programma (10 punti) In ogni anello esiste un elemento tale che se lui è nilpotente allora tutti gli elementi dell anello sono nilpotenti. ove si consiglia di usare: A(x)= x è un anello N(x)=x è nilpotente (18 punti) Date delle formule α, β, fr qualsiasi, dimostrare che è ammissibile in LI =. Γ, α β fr Γ, β fr 1 (8 punti) Dimostrare che la seguente regola è ammissibile nel frammento di LC = con tutti gli assiomi e soltanto le regole per l implicazione: (1) Stabilire se la seguente regola Γ, Γ 2 Γ fr[x/t] Γ x fr 3 è ammissibile in LC = e se è invertibile in LC = e in LI =. (20 punti) Stabilire se il frammento LI, di LI = con assiomi e regole di quantificazione universale e implicazione prova gli stessi teoremi del frammento avente le stesse regole di LI, eccetto per la regola di D che è ristretta alla seguente istanza Γ fr Γ x fr Dr(x V L(Γ)) 3

4 0.1 Calcolo dei sequenti per la deduzione naturale intuizionista con uguaglianza DNI = Γ A & Sn 1 Γ Γ A ex-f-q Γ B & Sn 2 Γ A B Γ, A C Γ, B C Γ C Γ A Γ A Γ Sn Γ A B Γ A Sn Γ B Γ x A(x) Γ A(t) Sn ax-id Γ, A, Γ A Sn Γ x A(x) Γ, A(w) C Sn (w V L(Γ, x A(x), C)) Γ C Γ t = s Γ A(t) Γ A(s) ax- Γ Σ, Γ, Θ, Γ, C Σ, Γ, Θ, Γ, C sc sx Γ A Γ B & D Γ A Γ A B Dn 1 Γ, A Γ A D Γ, A B Γ A B D Γ A(w) Γ xa(x) = Sn = ax Γ t = t Γ A(t) Γ x A(x) Dn Γ B Γ A B Dn 2 D (w V L(Γ, xa(x))) 0.2 Calcolo dei sequenti per la deduzione naturale classica con uguaglianza DNC = Regole di DNI = + Γ, A Γ A ra e si ricorda che t s t = s 4

5 Calcolo dei sequenti LC = per la logica classica predicativa con uguaglianza ax-id ax- Γ, A, Γ, A, Γ,, Γ ax- Γ,, Σ, Γ, Θ, Γ, Σ Σ, Γ, Θ, Γ, Σ sc sx Γ Σ,, Θ,, Γ Σ,, Θ,, sc dx Γ, A, B Γ, A&B &S Γ A, Γ B,, Γ, A Γ, B Γ, A B S Γ A, B, Γ A B, D Γ A, Γ, A S Γ, A Γ A, D Γ A, Γ, B S Γ, A B Γ, x A(x), A(t) Γ, x A(x) S Γ, A B, Γ A B, D Γ A(w), Γ xa(x), Γ, A(w) Γ, x A(x) S (w V L(Γ, x A(x), )) Γ A(t), x A(x), Γ x A(x), Σ, t = s, Γ(t) (t), Σ, Γ(s), t = s (s), = S 1 = ax Γ t = t, & D D (w V L(Γ, xa(x), )) D Σ, s = t, Γ(t) (t), Σ, Γ(s), s = t (s), = S 2 5

6 0.3 Calcolo dei sequenti della Logica Intuizionista predicativa con uguaglianza ax-id Γ, A, Γ A ax- Γ,, Γ C Σ, Γ, Θ, Γ, C Σ, Γ, Θ, Γ, C sc sx ax- Γ Γ, A, B C Γ, A&B C &S Γ A Γ B Γ, A C Γ, B C Γ, A B C S Γ A Γ A B D 1 Γ, A A Γ, A B S Γ, A Γ A D Γ, A B A Γ, B C Γ, A B C Γ, x A(x), A(t) C Γ, x A(x) C S S & D Γ, A B Γ A B D Γ A(w) Γ xa(x) Γ, A(w) C Γ, x A(x) C S (w V L(Γ, x A(x), C)) Γ A(t) Γ x A(x) D Σ, t = s, Γ(t) C(t) Σ, Γ(s), t = s C(s) = S 1 = ax Γ t = t Σ, s = t, Γ(t) C(t) Σ, Γ(s), s = t C(s) = S 2 Γ B Γ A B D 2 D (w V L(Γ, x A(x))) 6