14. Come interpretare unicità? con l uguaglianza
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- Adelina Franco
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1 14. Come interpretare unicità? l uguaglianza Problema: vogliamo formalizzare in logica classica 1. Tutti sono uguali. 2. Ce ne sono due diversi. 3. Per ognuno c è qualcuno di diverso da lui. 4. Marcello ha un unica laurea L(x,y)= x è una laurea di y m=marcello 5. Il programma fattoriale su input 2 dà un unico output. O(x, y, z)= il programma y su input z dà output il numero x f=il programma fattoriale 2= due 6. Certi potenti pensano solo a se stessi O(x)= x è potente P(x,y)=x pensa a y regole dell uguaglianza = ax Γ t = t, Σ, t = s, Γ(t) (t), Σ, Γ(s), t = s (s), = S Come usare le regole di uguaglianza? Nella regola Σ, t = s, Γ(t) (t), Σ, Γ(s), t = s (s), = S dall alto verso il basso: NON TUTTE le occorrenze di t DEVONO essere rimpiazzate s dal basso verso l alto: NON TUTTE le occorrenze di s DEVONO essere rimpiazzate t. Esempio 1: Se vogliamo derivare la simmetria dell uguaglianza t = s s = t in LC = si può applicare la regola = S in tal modo: si identifichi Σ Γ(x) (x) x = t 1
2 e quindi si ha che (t) t = t (s) s = t e dunque il sequente si può derivare in tal modo: = ax t = s t = t t = s s = t = S Esempio 2: Se vogliamo derivare la transitività dell uguaglianza t = u, u = s t = s in LC = si può applicare la regola = S in tal modo: si identifichi Σ t = u Γ(x) (x) t = x e quindi si ha che (u) t = u (s) t = s e dunque il sequente si può derivare in tal modo: ax id t = u, u = s t = u t = u, u = s t = s = S Esercizi su uguaglianza Provare se le formalizzazioni nella prima pagina danno luogo a tautologie o paradossi, ovvero sono derivabili i sequenti dati o le loro negazioni assumendo che la negazione di un sequente predicativo SENZA variabili libere è il sequente Γ (Γ & ) Nella logica classica predicativa uguaglianza LC = provare a vedere quali di questi sequenti sono tautologie o paradossi: 1. y y x = y 2. x x x 3. x x x 4. x x = x 5. x x = c 6. y x ( y = x x = y ) 7. y x ( y = z x = z ) 8. y x z ( x = y & y = z x = z ) Formalizzare le frasi in sequenti le argomentazioni elencate sotto e provare a derivarli in LC = : 2
3 Franco è venuto ad una sola riunione. Franco non è venuto all ultima riunione. Franco è venuto alla riunione del 10 giugno. L ultima riunione non è quella del 10 giugno. utilizzando: V(x,y)= x è venuto alla riunione y u=ultima riunione d=riunione del 10 giugno f=franco Il programma fattoriale su 3 dà come unico output 6. Il programma fattoriale su 3 dà output il numero x. Il numero x è uguale a 6. f= il fattoriale 3= il numero tre 6= il numero sei O(x, y, z)= il programma y su z dà output il numero x Il programma fattoriale su 2 dà un unico output. Il programma fattoriale su 2 dà output il numero 2. Il programma fattoriale su 2 dà output il numero x. Il numero x è uguale 2. f= il fattoriale 2= il numero due 3= il numero tre O(x, y, z)= il programma y su z dà output il numero x Il programma fattoriale su 2 dà un unico output. Il programma fattoriale su 2 dà output 2. 2 è diverso da 3 Il programma fattoriale su 2 non dà output 3. f= il fattoriale 2= il numero due 3= il numero tre O(x, y, z)= il programma y su z dà output il numero x 3
4 Logica classica uguaglianza- LC = ax-id ax- Γ, A, Γ, A, Γ,, Γ Σ, Γ, Θ, Γ, Σ Σ, Γ, Θ, Γ, Σ sc sx ax-tt Γ, tt, Γ Σ,, Θ,, Γ Σ,, Θ,, sc dx Γ, A, B Γ, A&B &S Γ A, Γ B, Γ A&B, Γ, A Γ, B Γ, A B S Γ A, B, Γ A B, D Γ A, Γ, A S Γ, A Γ A, D Γ A, Γ, B S Γ, A B Γ, x A(x), A(t) Γ, x A(x) S Γ, A B, Γ A B, D Γ A(w), Γ xa(x), Γ, A(w) Γ, x A(x) S (w V L(Γ, x A(x), )) Γ A(t), x A(x), Γ x A(x), Σ, t = s, Γ(t) (t), Σ, Γ(s), t = s (s), = S = ax Γ t = t, & D D (w V L(Γ, xa(x), )) D 4
5 14.bis Sostituzione di variabile: attenzione a cattura variabili! Definizione di sostituzione di un termine Dato un termine t di un linguaggio predicativo e una formula pr(x) allora indichiamo pr[x/t] la formula ottenuta sostuendo x t in pr(x). Tale formula è definita come segue: P k (t 1,..., t m )[x/t] P k (t 1 [x/t],..., t m [x/t]) y i pr[x/t] se y i x e x compare in pr ( y i pr)[x/t] e y i NON compare libera in t y i pr se y i x o x non compare in pr y i pr[x/t] se y i x e x compare in pr ( y i pr)[x/t] e y i NON compare libera in t y i pr se y i x o x non compare in pr (pr 1 & pr 2 )[x/t] pr 1 [x/t] & pr 2 [x/t] (pr 1 pr 2 )[x/t] pr 1 [x/t] pr 2 [x/t] (pr 1 pr 2 )[x/t] pr 1 [x/t] pr 2 [x/t] ( pr 1 )[x/t] pr 1 [x/t] MORALE Quando sostituisci una variabile y al posto di x in un predicato pr(x) trolla che - SE compare y o y in pr(x) - la sostituzione di x y NON faccia cadere il nuovo y sotto il POTERE di y o y ovvero aumenti il numero di occorrenze di y in loro potere! y y = y x y x = y S NOOOOO!!!! y y = a y = z y y = a x x = z D SI!!!! Stabilire quali delle seguenti applicazioni di -S o -D sono lecite 1. È lecita la seguente applicazione di -S y x x < y + z, x x < x + z y x x < y + z S 2. È lecita la seguente applicazione di -S y x x < y + z, x x < z + z y x x < y + z S 3. È lecita la seguente applicazione di -D 5
6 Γ x x < z + z Γ y x x < y + z D 4. È lecita la seguente applicazione di -D Γ x x < x + z Γ y x x < y + z D 5. È lecita la seguente applicazione di -D y C(y) x x < y + z y C(y) w x x < w + z D 6
7 Consigli su come derivare in LC = Nell intento di cercare una derivazione di un sequente è meglio: applicare PRIMA le regole dei nettivi proposizionali e -D e -S variabili NUOVE Se si fida di poter derivare il sequente si possono abbreviare le derivazioni le regole veloci, come Dv e Sv usare SOLO lettere w, x, y, z come VARIABILI e USARE NUOVE variabili nell applicazione dal basso verso l alto delle regole -S e -D usare le lettere minuscole a, b, c, d,... come costanti le lettere u,v, u, t,s sono usate come METAVARIABILI per termini ovvero sono usate al posto sia di costanti che di variabili applicare le regole -S e -D TERMINI presenti nelle formule del sequente (se ce ne sono) quando applichi la regola -S perchè c è... z A(z)... nel sequente clusione o la regola -D agendo su... z A(z)... nel sequente clusione CONTROLLA di non mettere al posto di z una variabile w che diventa VINCOLATA in A(w)!! (ad esempio se A(z) w w z la sostituzione A(w) w w w NON è LECITA!!!) 7
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