Esercitazioni per il corso di Logica Matematica
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- Patrizia Adelaide Montanari
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1 Esercitazioni per il corso di Logica Matematica Luca Motto Ros 15 aprile 2005 Esercizi Nota importante. In questa dispensa sono stati raccolti, senza alcun ordine particolare, alcuni esercizi che possono essere utili nella preparazione dell esame (che si vanno ad aggiungere a quelli già presenti negli appunti delle esercitazioni). In nessun caso questa lista di esercizi va considerata come programma ufficiale del corso, né tantomeno può essere considerata come una lista esaustiva e completa dei tipi di esercizi che potranno essere proposti in sede d esame. 1. Dimostrare che la formula x y( P (x, y) P (y, x)) è soddisfacibile ma non una tautologia, trovando un opportuno modello che la soddisfi ed un suo contromodello (ovvero un modello che soddisfi la sua negazione). La formula ammette modelli il cui universo contenga soltanto due elementi? 2. Si consideri il linguaggio L = {b, d, C, T, A}, dove b e d sono simboli di costante che rappresentano Barbara e Donatella, C e T sono simboli di relazione unari (C(x) sta per x ama il cinema e T (x) sta per x ama il teatro), mentre A è un simbolo di relazione binario (A(x, y) sta per x è amico di y ). Formalizzare le seguenti frasi: (a) chi è amico di qualcuno che ama il cinema, ama il cinema; (b) chi ama il teatro, è amico di qualcuno che ama il teatro; (c) Barbara è amica di Donatella e ama il teatro, ma non il cinema. Se U è l insieme delle formule così ottenute, stabilire quali tra le formule atomiche C(d), T (d) e C(d) è conseguenza logica di U. Per ciascuna formula atomica, dimostrare la propria risposta utilizzando la teoria di Herbrand, ovvero fornendo un opportuno modello di Herbrand (in caso di risposta negativa) o una dimostrazione mediante la risoluzione (in caso di risposta positiva). 1
2 3. Dare una dimostrazione formale delle seguenti leggi logiche: (a) Premessa: F F F Conclusione: F F (b) Premessa: F F (G H) Conclusione: F G (F H) 4. Mostrare che x( Q(x) P (x)) non è conseguenza logica dell insieme di formule Γ = { xp (x), xq(x), x(p (x) R(x, x)), x(q(x) R(x, x))} definendo un opportuno modello in cui interpretare tali formule. 5. Introducendo opportuni linguaggi del prim ordine, formalizzare le frasi seguenti: (a) Tutti gli uomini sono mortali: Socrate è un uomo, quindi Socrate è mortale. (b) Tutti i cani sono animali, Tea è un cane, dunque Tea è un animale. (c) Ogni amico di Mario è amico di Luca, Pietro non è amico di Mario, quindi Pietro non è amico di Luca. (d) Nessun ladro è onesto, ma c è un ladro gentiluomo che è onesto. (e) Se tutti i filosofi intelligenti sono curiosi e solo i tedeschi sono filosofi intelligenti, allora, se ci sono filosofi intelligenti, qualche tedesco è curioso. Stabilire quali delle formule ottenute sono valide, quali soddisfacibili e quali insoddisfacibili. Giustificare le risposte (utilizzando uno qualunque dei metodi presentati durante il corso). 6. Usare il metodo della risoluzione (o una delle sue forme ristrette) per dimostrare che gli enunciati seguenti sono validi: (a) P (a) xp (x) (b) x yr(x, y) y xr(x, y) (c) x y(r(x, y) R(y, y)) (d) x( y(r(x, y) P (y)) z P (z) z R(x, z)). 7. Dimostrare formalmente che {F G} (F H) G. 2
3 8. Dare una dimostrazione formale del fatto che le formule proposizionali F G e (F G) G sono dimostrabilmente equivalenti. 9. Introducendo un opportuno linguaggio del prim ordine, formalizzare le frasi seguenti: (a) I progressisti sono sostenitori dello stato sociale. (b) Alcuni ministri sono sostenitori dello stato sociale. (c) Alcuni ministri sono progressisti. La formalizzazione della terza frase è conseguenza delle formalizzazioni delle altre due? Giustificare la risposta data. 10. L insieme di formule Γ = { xp (x), x( P (x) Q(x)), x Q(x)} è soddisfacibile? Se sì, trovarne un modello. 11. Dimostrare con il metodo di Herbrand la validità di x y(p (y) P (x)). 12. Utilizzando la risoluzione (o una sua opportuna forma ristretta ) dimostrare che x yr(x, y) x yq(y, x) x y(r(x, y) Q(y, x)). 13. Dimostrare sia con il metodo di Herbrand che con la risoluzione la validità degli enunciati seguenti: (a) x( P (x) y(q(x) P (y))) x( Q(x) P (x)) xp (x) (b) x y(p (x, y) Q(x)) Q(a) y P (a, y) (c) x(p (x) Q(x) R(x)) x R(x) x( P (x) Q(x)). 14. Dare una dimostrazione formale delle seguenti leggi logiche: (a) (F G) (F G H) (b) (F G) (G H) (c) (F G) (H F ) (d) F G F G 15. Provare che le formule F G H e (F G) (F H) sono dimostrabilmente equivalenti. 3
4 16. Dimostrare sia con il metodo di Herbrand che con la risoluzione l insoddisfacibilità di xp (x) x(p (x) P (x)). 17. Dare una dimostrazione formale delle seguenti leggi logiche: (a) {F H} F G H (b) {F G H} F H (c) {F G H} (F G) (F H) (d) {(F G) H} (F G) (F H) 18. Si consideri il seguente programma Prolog: salute(giorgio). salute(anna). salute(marco). salute(maria). salute(alberto). ama(giorgio,elisa). ama(massimo,elisa). ama(marco,maria). ama(elisa,giorgio). ama(anna,giorgio). ama(maria,alberto). ama(alberto,maria). dove salute/1 viene interpretato in essere in salute e ama(x,y) in X ama Y. (a) Aggiungere al programma opportune regole che definiscano un predicato felice/1 che venga interpretato in essere felice ), dove X è felice se è in salute e ama qualcuno da cui è ricambiato. (b) Aggiungere al programma opportune regole che definiscano il predicato binario felici(x,y) in modo che questa venga interpretato in X e Y sono felici (dove due persone si dicono felici se entrambe sono in salute e ciascuna di esse ama l altra). (c) Date le seguenti clausole obiettivo, determinare quale risposta verrà data da Prolog e descrivere il processo che la determina.?- felice(giorgio).?- felice(elisa).?- felice(marco). 4
5 ?- felice(x).?- felici(giorgio,maria).?- felici(giorgio,elisa).?- felici(maria,y).?- felici(alberto,maria).?- felici(giorgio,anna).?- felici(alberto,maria).?- felici(x,y). 19. Tra le seguenti affermazioni riguardanti le formule ϕ e ψ alcune sono corrette, altre no. Dimostrate le prime e trovate un controesempio alle seconde. (a) Se sia ϕ che ψ sono soddisfacibili allora esiste un modello M tale che M ϕ ψ. (b) ψ ϕ se e solo se ϕ ψ è soddisfacibile. (c) ϕ ψ se e soltanto se ϕ ψ. (d) Se ϕ non è valida allora ϕ è valida. (e) Se M ϕ ψ allora M ϕ oppure M ψ. (f) Se M ϕ ψ e M ϕ, allora M ψ. (g) Se ϕ ψ è valida allora ϕ è valida oppure ψ è valida. 20. Si considerino le frasi seguenti: (a) Chi supera l esame è felice. (b) Ci sono studenti che non sono felici. (c) Qualche studente non supera l esame. Dopo aver introdotto un opportuno linguaggio del prim ordine, formalizzare le frasi precedenti e verificare che la terza è conseguenza delle prime due. 21. Dare una dimostrazione formale delle seguenti leggi logiche: (a) Premessa: F F (G H) Conclusione: F F H G (b) Premessa: F F G Conclusione: F F G G H (c) Premessa: F F G Conclusione: F F H G H (d) Premessa: F (F G) H Conclusione: F (F H) (G H) 5
6 (e) Premessa: F (F G) H Conclusione: F F H G H (f) Premessa: F (F G) (F H) Conclusione: F F G H (g) Premessa: F (F H) (G H) Conclusione: F F G H 22. Siano ϕ e ψ le formule x(r(a, x) yr(x, y)) e xr(x, x). Dimostrare che ϕ ψ e ψ ϕ. 23. Formalizzare in un opportuno linguaggio del prim ordine il seguente argomento: Nessun triangolo rettangolo è equilatero, ma qualche triangolo isoscele è equilatero: dunque qualche triangolo rettangolo non è isoscele. Il ragionamento è corretto o no? Giustificare la risposta. Supponiamo che la conclusione venga sostituita da: dunque qualche triangolo isoscele non è rettangolo. Il nuovo ragionamento risulterebbe corretto? Giustificare la risposta. 24. Formalizzare le seguenti frasi: (a) Chi è pagato troppo è disonesto. (b) Tutti i politici sono pagati troppo. (c) Qualche politico è onesto. La formalizzazione della terza frase è conseguenza delle altre due? Giustificare la risposta. Se la terza frase venisse sostituita con tutti i politici sono disonesti, il ragionamento corrispondente diventerebbe corretto? 25. Si consideri il seguente programma Prolog: confinante(portogallo,spagna). confinante(spagna,andorra). confinante(spagna,francia). confinante(andorra,francia). confinante(francia,lussemburgo). confinante(francia,belgio). confinante(francia,germania). 6
7 confinante(francia,svizzera). confinante(francia,italia). confinante(belgio,olanda). confinante(lussenburgo,belgio). confinante(belgio,germania). confinante(lussemburgo,germania). confinante(germania,svizzera). confinante(germania,austria). confinante(svizzera,austria). confinante(svizzera,italia). confinante(austria,italia). confinanti(stato1,stato2) confinanti(stato1,stato2) :- confinante(stato1,stato2). :- confinante(stato2,stato1). dove confinante(x,y) viene interpretato in X confina con Y, mentre confinanti(x,y) viene interpretato in X e Y sono confinanti. (a) Aggiungere al programma opportune regole che definiscano il predicato vicini/2, dove vicini(x,y) viene interpretato in X e Y sono (relativamente) vicini, e due stati si dicono (relativamente) vicini se sono confinanti oppure confinano entrambi con un terzo stato. (b) Aggiungere al programma opportune regole che definiscano il predicato regione/3, dove regione(x,y,z) viene interpretato in X, Y e Z formano una regione, e tre stati formano una regione se ciascuno di essi confina con gli altri due. (c) Si supponga di sottopore la seguenti clausole obiettivo all interprete Prolog.?- confinanti(andorra,x).?- confinanti(francia,austria).?- confinanti(olanda,y).?- confinanti(belgio,germania).?- vicini(italia,portogallo).?- vicini(portogallo,x).?- vicini(lussemburgo,belgio).?- vicini(lussemburgo,germania).?- regione(italia,francia,austria).?- regione(italia,francia,x).?- regione(portogallo,x,y).?- regione(andorra,x,y).?- regione(francia,germania,svizzera). 7
8 Quale sarà la risposta che verrà fornita come output (specificare tutte le alternative, se ve n è più di una)? (d) Per ciascuna delle clausole obiettivo proposte, descrivere il processo che determina la prima alternativa della risposta data dall interprete. 8
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