PROF. STEFANO CATASTA LEX _ L'AZIONE SISMICA SU COSTRUZIONI SEMPLICI_ ANALISI STATICA EQUIVALENTE

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1 CORSO DI AGGIORNAMENTO PROFESSIONALE PER DOCENTI DI AREA TECNICA DEGLI ISTITUTI TECNICI C.A.T. DELL'EMILIA ROMAGNA LEX _ L'AZIONE SISMICA SU COSTRUZIONI SEMPLICI_ ANALISI STATICA EQUIVALENTE

2 ANALISI STATICA EQUIVALENTE L'analisi statica equivalente consiste nella applicazione di forze statiche equivalenti alle forze di inerzia indotte dalla azione sismica. Il procedimento può applicarsi a quei casi che rispettano alcune condizioni di regolarità in pianta ed in alzato, tali requisiti sono espressamente richiamati dalle NTC2008. L'entità delle forze sismiche da applicare ai vari piani si ottiene attraverso l'ordinata dello spettro di progetto corrispondente al periodo T1 relativo alla costruzione La distribuzione delle forze è congruente con gli spostamenti prodotti dal primo modo di vibrare.

3 ANALISI STATICA EQUIVALENTE Per le costruzioni ordinarie non eccedenti i 40m di altezza con masse distribuite lungo l'altezza, il periodo proprio T1 si calcola con la formula proposta dalla normativa T1= C1*H^3/4 _ per H si intende l'altezza del fabbricato misurata dallo spiccato delle fondazioni _ per C1 si intendono i valori seguenti: 0,085 telai in acciaio; 0,075 telai in c.a.; 0,05 altri tipi Il peso sismico totale vale: Wtot= W1+W2+W3 Il taglio alla base vale: Fh= F1+F2+3 I pesi sismici devono intendersi Nota: il coefficiente (lambda) per edifici < 3 piani vale 1,00 mentre per edifici con 3 o più piani si assume 0,85. Il coefficiente tiene conto delle masse che effettivamente partecipano al primo modo (85%)

4 ANALISI STATICA EQUIVALENTE Le forze sismiche di piano così calcolate si devono intendere applicate nei centro delle masse di ogni piano e da questo, considerando i solai infidamente rigidi nel loro piano, si distribuiranno sugli elementi resistenti verticali in funzione della rigidezza dell'elemento. Calcolati il centro delle masse G è quello delle rigidezze K possiamo avere due scenari diversi Centro delle masse G e centro delle rigidezze K quasi coincidenti Centro delle masse G e centro delle rigidezze K non coincidenti

5 ANALISI STATICA EQUIVALENTE Per tenere conto degli effetti torcenti indotti dalle eccentricità accidentali si può, nei sistemi sismoresistenti con baricentri G e K quasi coincidenti, calcolare un coefficiente di maggiorazione che tiene conto della distanza tra l'elemento verticale da analizzare e il centro delle masse G in relazione alla dimensione della direzione trasversale alla azione sismica che si sta considerando Nel caso di G e K non coincidenti (o in alternativa alla procedura descritta in precedenza) gli effetti torsionali aggiuntivi sono messi in conto spostando il centro di massa di ogni piano nelle direzioni considerate (Ex ed Ey) di una quantità pari a + o - 5% della dimensione massima in direzione perpendicolare alla azione sismica Le azioni in una direzione si combinano con una quota parte di quelle dell'altra direzione 1*Ex + 0,30*Ey 0,3*Ex+ 1*Ey

6 ANALISI STATICA EQUIVALENTE Nei casi con G e K non coincidenti le combinazioni di carico possibili in un modellazione di struttura regolare in zona sismica sono: Az. sism. princ. Eccentricità Az. sism. second Nº combinazioni +ex 1 +0,3*Ey +e(y) -ex 2 +ex 3-0,3*Ey -ex 4 + +ex 5 +0,3*Ey -e(y) -ex 6 +ex 7-0,3*Ey -ex 8 Ex +ex 9 +0,3*Ey -ex 10 +e(y) +ex 11-0,3*Ey -ex ex 13 +0,3*Ey -e(y) -ex 14 +ex 15-0,3*Ey -ex 16 Ed altre 16 combinazioni rispetto alla azione sismica principale Ey. In totale 32 combinazioni Da qui l'opportunità del l'impiego di un procedimento di calcolo automatico

7 ANALISI STATICA EQUIVALENTE _ sistema regolare intelaiato in c.a. Analizziamo un sistema intelaiato in c.a. con il software agli elementi finiti SAP2000 educational. Dati: LAT ; LON (Provincia di Perugia) - classe d'uso II, Vn=50anni, Cu=1, Vr=50anni, cat. suolo C, coeff. Topogr. T1, struttura intelaiata in c.a., classe duttilità B, fattore di struttura q=3,9

8 ANALISI STATICA EQUIVALENTE _ coordinate del centro delle masse G Carichi unitari assegnati: G1_ strutture PIL 25x50 -- (0,25x0,5x1)x2,5= 3,12kN/m TRV 25x50 -- (0,25x0,5x1)x2,5= 3,12kN/m solaio laterocementizio SOL 20 (16+4) -- 2,8kN/mq G2_permanenti portati Finiture solaio (massetti, pavimenti, intonaci) -- 1,4kN/mq Partizioni (incidenza) -- 1,4kN/mq Muratura perimetrale in blocchi di laterizio alleggerito con aperture incidenti 20% delle superfici dell'involucro Al ml con h pari all'interpiano -- 8kN/m I pilastri si estendono per tutta l'altezza del fabbricato con la stessa sezione, da un piano all'altro non ci sono differenze sostanziali in termini di rigidezza e distribuzione delle masse

9 ANALISI STATICA EQUIVALENTE _ sistema regolare intelaiato in c.a. Possiamo determinare i pesi sismici ed i centri delle masse G con l'impiego di un foglio di calcolo Per il primo e secondo impalcato abbiamo gli stessi valori: W1=W2=857kN G(4,1;3,9)

10 ANALISI STATICA EQUIVALENTE _ sistema regolare intelaiato in c.a. Per l'ultimo impalcato abbiamo invece: W3=634kN G(4,1;3,9) Il peso sismico totale vale quindi: W1+W2+W3 = 2* = 2348kN

11 ANALISI STATICA EQUIVALENTE _ sistema regolare intelaiato in c.a. Periodo T1 della struttura T1= C1*H^3/4 = 0,075*11,30^3/4 = 0,46s Da cui ricaviamo la frazione di accelerazione di gravità a cui le masse sono sottoposte in caso di sisma Il taglio alla base vale: Fh = 0,17*2348*0,85 = 339,30kN La ripartizione delle forze sismiche ai piani si ottiene con la formula: Risolta mediante il foglio di calcolo seguente Wi zi Wi*zi 857 4, ,10 F1 71,40kN 857 7, ,60 F2 129,50kN , ,20 F3 139,00kN Fh 340 Somma 17534

12 ANALISI STATICA EQUIVALENTE _ sistema regolare intelaiato in c.a. Nei modelli spaziali realizzati con il Sap 2000 l'incidenza dei momenti torcenti prodotti dalle eccentricità tra centro di rigidezza K e centro delle masse G, è implicita nella realizzazione del modello. Per tenere conto delle eccentricità accidentali (5% della massima dimensione in lunghezza) si devono compilare delle specifiche combinazioni di carico Azione principale X: ei'(y) = Y(K) - Y(G) > ei(y) = ei'(y) + 0,05*Ly L'entità del momento torcente di eccentricità vale per l'iesimo piano Mix(+) = Fi * ei(y) Mix(-) = Fi * -ei(y) Si combinano gli effetti dei momenti con gli effetti della rispettiva forza statica equivalente applicata nel baricentro Eix(+) = Fi + Mix(+) e Eix(-) = Fi + Mix(-) La stessa procedura si applica considerando l'azione principale Y: ei'(x) = X(K) - X(G) > ei(x) = ei'(x) + 0,05*Lx L'entità del momento torcente di eccentricità vale per l'iesimo piano: Miy(+) = Fi * ei(x) Miy(-) = Fi * -ei(x) Si combinano gli effetti dei momenti con gli effetti della rispettiva forza statica equivalente applicata nel baricentro Eiy(+) = Fi + Miy(+) e Eiy(-) = Fi + Miy(-) Si combinano Ei(x) con 0,3*Ei(y) e Ei(y) con 0,3*Ei(x) poi si combina l'inviluppo di tutte le combinazioni

13 ANALISI STATICA EQUIVALENTE _ sistema regolare intelaiato in c.a. Rappresentiamo le posizioni spostate dei centri di massa come prodotte dalle eccentricità Il software consente di gestire in modo automatico le combinazioni una volta che sono state editate le singole situazioni di carico. I risultati da considerare nelle verifiche si assumono dalla combinazione ENVE (inviluppo) che considera per i vari elementi i tratti più sollecitati

14 ANALISI STATICA EQUIVALENTE _ Volendo invece procedere con un calcolo per piani (manuale o automatico) abbiamo la necessità di valutare effettiva eccentricità tra centro di massa G e centro delle rigidezze K Nel caso di elementi verticali tipo colonna/pilastro abbiamo che la rigidezza vale: Ki = 12*E*J/ H^3 La procedura di calcolo del centro delle rigidezze può essere agevolmente implementata all'interno di un foglio di calcolo, utilizzando la formula di Varignon Il momento torcente prodotto dalle eccentricità si ripartisce sui telai piani in funzione della distanza di questi dal centro delle masse Di seguito si può effettuare il calcolo del telaio piano con un solutore o con uno qualsiasi dei metodi iterativi proposti dalla Scienza delle Costruzioni (Cross, Kani, ecc...) (Nota: nelle verifiche dei singoli elementi (pilastri, colonne o setti) bisogna tenere conto della azione sismica in direzione opposta al telaio in misura del 30%)

15 ANALISI STATICA EQUIVALENTE _ sistema resistente del tipo a mensole incastrate Nel caso di elementi verticali tipo parete (vedi puntuale definizione nelle NTC2008) alla rigidezza flessionale si deve aggiungere quella rispetto alla azione tagliante Ki = (12*E*J/ H^3) + (G*A/1,2*H) Per J si intende il momento di inerzia rispetto all'asse forte, con E,G si indicano i moduli di elasticità Yg G Yk Xk Xg Per effetto del sisma l'impalcato seguirà una traiettoria di traslazione e rotazione, la prima sarà causata dalla forza sismica di piano Fi mentre la seconda risulterà dalla componente torcente prodotta dalla eccentricità tra centro di massa G e centro delle rigidezze K (a cui si sommerà la componente accidentale dello 0,05xL) ei'(y) = Y(K) - Y(G) > ei(y) = ei'(y) + 0,05*Ly ei'(x) = X(K) - X(G) > ei(x) = ei'(x) + 0,05*Lx

16 ANALISI STATICA EQUIVALENTE _ sistema resistente del tipo a mensole incastrate Per calcolare il centro delle rigidezze possiamo adottare la formula di Varignon Che possiamo agevolmente implementare in un foglio di calcolo suddividendo il sistema sismoresistente in due gruppi: pareti rigide in direzione X, pareti rigide in direzione Y La forza sismica di piano Fi(x) agente in direzione x produrrà un momento torcente: mi(x)= Fi(x)*ei(y) La forza sismica di piano Fi(y) agente in direzione y produrrà un momento torcente: mi(y)= Fi(y)*ei(x) Forze e momenti saranno assorbiti dalle pareti in funzione della relazione tra la rigidezza iesima della parete in esame ed il complesso della rigidezza del sistema Infatti, se il piano è infinitamente rigido, la forza sismica di piano Fi produrrà uno spostamento u condizionato dalla rigidezza complessiva calcolata nella direzione considerata. In pratica: ui(x)= Fi(x)/ somma Ki(x) e ui(y) = Fi(y)/ somma Ki(y) Essendo, per la rigidezza del piano, gli spostamenti u tutti uguali si può scrivere per gli n setti in direzione x Idem per gli n setti in direzione y ui(x)= F1(x)/ K1(x) = F2(x)/K2(x) = F3(x)/K3(x)...= Fn(x)/Kn(x) ui(y)= F1(y)/ K1(y) = F2(y)/K2(y) = F3(y)/K3(y)...= Fn(y)/Kn(y)

17 ANALISI STATICA EQUIVALENTE _ sistema resistente del tipo a mensole incastrate Ne consegue che la quota di Fi(x) da applicare all' iesimo pannello di piano risulta essere: Invece la quota di Fi(y) da applicare all' iesimo pannello di piano risulta essere: A questo punto bisogna ripartire su ciascun pannello la quota spettante di azione rispetto ad x ed y generata dal momento torcente. Per fare questo bisogna calcolare il momento di inerzia polare Ip(i) relativo al piano iesimo Nota: il momento d'inerzia polare del sistema al piano i rappresenta la rigidezza torsionale prodotta dalle pareti La rotazione intorno ad un asse verticale passante per il baricentro delle rigidezze vale per i momenti mi(x) e mi(y) rispettivamente:

18 ANALISI STATICA EQUIVALENTE _ sistema resistente del tipo a mensole incastrate Come per l'azione Fi lo spostamento prodotto dal momento torcente produce sulla parete una azione tagliante proporzionale alla sua rigidezza Con riferimento alla forza sismica in direzione X abbiamo: -pareti in direzione Y -pareti in direzione X Con riferimento alla azione sismica in direzione Y abbiamo: -pareti in direzione Y -pareti in direzione X Nota: le azioni Fn vanno valutate ciascuna con il segno + o - a seconda della rotazione impressa dal momento torcente

19 ANALISI STATICA EQUIVALENTE _ sistema resistente del tipo a mensole incastrate In definitiva si può valutare la forza sismica Fn da applicare alla ennesima parete presente al piano i-esimo come la somma dei contributi indotti dallo spostamento in direzione della forza e dalla rotazione prodotta dalla eccentricità relativa I coefficienti Rx e Ry consentono di ripartire la forza sismica su ognuna delle n pareti in direzione x e y rispettivamente

20 ANALISI STATICA EQUIVALENTE _ ESEMPIO NUMERICO Applichiamo la procedura descritta in precedenza ad un caso concreto