Le logiche temporali e di strategia nell ambito della verifica formale
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- Gildo Nanni
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1 Le logiche temporali e di strategia nell ambito della verifica formale, Napoli, Italy Seminario di Logica Permanente Napoli, 5 Aprile 2013 Le logiche temporali e di strategia nell ambito della verifica formale 1 / 24
2 Il tacchino induttivista Una storiella Fin dal primo giorno di permanenza nel suo nuovo allevamento, il tacchino aveva osservato che alle nove del mattino gli veniva portato il cibo. Da buon induttivista egli non trasse precipitose conclusioni dalle prime osservazioni e ne eseguì altre in una vasta gamma di circostanze: di mercoledì e di giovedì, nei giorni caldi e in quelli freddi, sia che piovesse sia che splendesse il sole. Finalmente la sua coscienza induttivista fu soddisfatta e il tacchino elaborò allora un induzione che dalle asserzioni particolari relative alle sue vicende alimentari lo fece passare a un asserzione generale, una legge, che suonava così: Tutti i giorni, alle ore nove, mi danno il cibo. Le logiche temporali e di strategia nell ambito della verifica formale 2 / 24
3 Il tacchino induttivista Una storiella Fin dal primo giorno di permanenza nel suo nuovo allevamento, il tacchino aveva osservato che alle nove del mattino gli veniva portato il cibo. Da buon induttivista egli non trasse precipitose conclusioni dalle prime osservazioni e ne eseguì altre in una vasta gamma di circostanze: di mercoledì e di giovedì, nei giorni caldi e in quelli freddi, sia che piovesse sia che splendesse il sole. Finalmente la sua coscienza induttivista fu soddisfatta e il tacchino elaborò allora un induzione che dalle asserzioni particolari relative alle sue vicende alimentari lo fece passare a un asserzione generale, una legge, che suonava così: Tutti i giorni, alle ore nove, mi danno il cibo. Purtroppo per il tacchino, questa concezione si rivelò incontestabilmente falsa alla vigilia di Natale... Le logiche temporali e di strategia nell ambito della verifica formale 2 / 24
4 Il tacchino induttivista Una storiella Fin dal primo giorno di permanenza nel suo nuovo allevamento, il tacchino aveva osservato che alle nove del mattino gli veniva portato il cibo. Da buon induttivista egli non trasse precipitose conclusioni dalle prime osservazioni e ne eseguì altre in una vasta gamma di circostanze: di mercoledì e di giovedì, nei giorni caldi e in quelli freddi, sia che piovesse sia che splendesse il sole. Finalmente la sua coscienza induttivista fu soddisfatta e il tacchino elaborò allora un induzione che dalle asserzioni particolari relative alle sue vicende alimentari lo fece passare a un asserzione generale, una legge, che suonava così: Tutti i giorni, alle ore nove, mi danno il cibo. Purtroppo per il tacchino, questa concezione si rivelò incontestabilmente falsa alla vigilia di Natale... Bertrand Russell, Le logiche temporali e di strategia nell ambito della verifica formale 2 / 24
5 Il problema della verifica di un sistema Problema Dato un sistema informatico (hardware, software, etc.), individuarne le possibili carenze di correttezza, completezza e affidabilità. Esempi Il sistema operativo non raggiunge mai la Blue screen of death (o simili); L algoritmo calcola esattamente cosa mi ero prefisso di fare. Le logiche temporali e di strategia nell ambito della verifica formale 3 / 24
6 Il problema della verifica di un sistema Soluzione 1: Test Eseguire il sistema su un insieme di input per valutare se il comportamento ne soddisfi i requisiti. Le logiche temporali e di strategia nell ambito della verifica formale 4 / 24
7 Il problema della verifica di un sistema Soluzione 1: Test Eseguire il sistema su un insieme di input per valutare se il comportamento ne soddisfi i requisiti. Il metodo non è esaustivo Scopro un errore = il sistema non è corretto Le logiche temporali e di strategia nell ambito della verifica formale 4 / 24
8 Il problema della verifica di un sistema Soluzione 1: Test Eseguire il sistema su un insieme di input per valutare se il comportamento ne soddisfi i requisiti. Il metodo non è esaustivo Scopro un errore = il sistema non è corretto Non scopro un errore =?? Le logiche temporali e di strategia nell ambito della verifica formale 4 / 24
9 Il problema della verifica di un sistema Soluzione 2: Metodo formale Rappresentare il sistema con una opportuna astrazione matematica S e la specifica di correttezza con una formula ϕ di una opportuna logica e chiedersi se S = ϕ. Le logiche temporali e di strategia nell ambito della verifica formale 5 / 24
10 Il problema della verifica di un sistema Soluzione 2: Metodo formale Rappresentare il sistema con una opportuna astrazione matematica S e la specifica di correttezza con una formula ϕ di una opportuna logica e chiedersi se S = ϕ. Il metodo è esaustivo S = ϕ = il sistema non è corretto Le logiche temporali e di strategia nell ambito della verifica formale 5 / 24
11 Il problema della verifica di un sistema Soluzione 2: Metodo formale Rappresentare il sistema con una opportuna astrazione matematica S e la specifica di correttezza con una formula ϕ di una opportuna logica e chiedersi se S = ϕ. Il metodo è esaustivo S = ϕ = il sistema non è corretto S = ϕ = il sistema è corretto Le logiche temporali e di strategia nell ambito della verifica formale 5 / 24
12 Le logiche temporali e di strategia nell ambito della verifica formale 6 / 24
13 Le logiche temporali e di strategia nell ambito della verifica formale 6 / 24
14 Alcuni problemi decisionali relativi alla verifica formale. Model Checking Dati un sistema S e una formula ϕ, verificare algoritmicamente se S = ϕ. Satisfiability Data una formula ϕ, verificare algoritmicamente se esista un sistema S tale che S = ϕ. Synthesis Data una formula ϕ, verificare algoritmicamente se esista un sistema S tale che S = ϕ e inoltre costruirlo attraverso una procedura automatica. Le logiche temporali e di strategia nell ambito della verifica formale 7 / 24
15 Esempi di sistemi da modellare Le logiche temporali e di strategia nell ambito della verifica formale 8 / 24
16 Esempi di sistemi da modellare Le logiche temporali e di strategia nell ambito della verifica formale 8 / 24
17 Esempi di sistemi da modellare [0, 366] Waiting for Submission [0, 366] New Idea [7, 45] Draft Written Submission Revise draft Acts [25, 50] [25, 50] [0, 10] Accept. notif. Reject notif. Publication [50, 110] [0, 7] Final version Le logiche temporali e di strategia nell ambito della verifica formale 9 / 24
18 Kripke structure w0 /0 w1 {p} w2 {p,q} Le logiche temporali e di strategia nell ambito della verifica formale 10 / 24
19 Kripke structure w0 /0 AP = {p,q}; w1 {p} w2 {p,q} Le logiche temporali e di strategia nell ambito della verifica formale 10 / 24
20 Kripke structure w0 /0 AP = {p,q}; W = {w 0,w 1,w 2 }; w1 {p} w2 {p,q} Le logiche temporali e di strategia nell ambito della verifica formale 10 / 24
21 Kripke structure w1 {p} w0 /0 w2 {p,q} AP = {p,q}; W = {w 0,w 1,w 2 }; R W W; Le logiche temporali e di strategia nell ambito della verifica formale 10 / 24
22 Kripke structure w1 {p} w0 /0 w2 {p,q} AP = {p,q}; W = {w 0,w 1,w 2 }; R W W; L : W 2 AP. Le logiche temporali e di strategia nell ambito della verifica formale 10 / 24
23 Kripke structure w1 {p} w0 /0 w2 {p,q} AP = {p,q}; W = {w 0,w 1,w 2 }; R W W; L : W 2 AP. Le logiche temporali e di strategia nell ambito della verifica formale 10 / 24
24 Kripke structure w1 {p} w0 /0 w2 {p,q} AP = {p,q}; W = {w 0,w 1,w 2 }; R W W; L : W 2 AP. Una Kripke structure è una tupla K = AP,W,R,L,w 0. Le logiche temporali e di strategia nell ambito della verifica formale 10 / 24
25 Percorsi, computazioni e soddisfacimento Percorso: w 0,w 1,... w 0 è lo stato iniziale; (w i,w i+1 ) R, per ogni numero naturale i. Computazione: L(w 0 ),L(w 1 ),... L insieme delle computazioni viene indicato con L(K ). Soddisfacimento: La Kripke structure soddisfa una specifica ϕ se tutte le computazioni in L(K ) soddisfano ϕ Le logiche temporali e di strategia nell ambito della verifica formale 11 / 24
26 Le specifiche Le specifiche sono proprietà delle computazioni. Esempi: Due processi non possono occupare criticamente lo stesso settore del sistema: (Safety); Tutte le richieste di un processo sono prima o poi garantite: (Liveness); Tutte le richieste di un processo fatte in maniera continua sono prima o poi garantite: (Liveness); Ogni richiesta ripetuta di un processo viene prima o poi garantita: (Liveness). Le logiche temporali e di strategia nell ambito della verifica formale 12 / 24
27 Le specifiche Le specifiche sono proprietà delle computazioni. Esempi: Due processi non possono occupare criticamente lo stesso settore del sistema: (Safety); Tutte le richieste di un processo sono prima o poi garantite: (Liveness); Tutte le richieste di un processo fatte in maniera continua sono prima o poi garantite: (Liveness); Ogni richiesta ripetuta di un processo viene prima o poi garantita: Domanda (Liveness). Come rappresentare in maniera formale le specifiche? Le logiche temporali e di strategia nell ambito della verifica formale 12 / 24
28 Linear Temporal Logic (LTL, [Pnueli, 77]) Sintassi ϕ ::= p ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ Le logiche temporali e di strategia nell ambito della verifica formale 13 / 24
29 Linear Temporal Logic (LTL, [Pnueli, 77]) Sintassi ϕ ::= p ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ X ϕ F ϕ G ϕ ϕu ϕ Semantica Le logiche temporali e di strategia nell ambito della verifica formale 13 / 24
30 Linear Temporal Logic (LTL, [Pnueli, 77]) Sintassi ϕ ::= p ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ X ϕ F ϕ G ϕ ϕu ϕ Semantica X ϕ w 0 ϕ w 1 w 2 w i w k Le logiche temporali e di strategia nell ambito della verifica formale 13 / 24
31 Linear Temporal Logic (LTL, [Pnueli, 77]) Sintassi ϕ ::= p ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ X ϕ F ϕ G ϕ ϕu ϕ Semantica X ϕ w 0 ϕ w 1 w 2 w i w k F ϕ w 0 w 1 w 2 w i ϕ w k Le logiche temporali e di strategia nell ambito della verifica formale 13 / 24
32 Linear Temporal Logic (LTL, [Pnueli, 77]) Sintassi ϕ ::= p ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ X ϕ F ϕ G ϕ ϕu ϕ Semantica X ϕ F ϕ ϕ w 0 w 1 w 2 w i w k w 0 w 1 w 2 w i w k ϕ G ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ w 0 w 1 w 2 w i w k ϕ Le logiche temporali e di strategia nell ambito della verifica formale 13 / 24
33 Linear Temporal Logic (LTL, [Pnueli, 77]) Sintassi ϕ ::= p ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ X ϕ F ϕ G ϕ ϕu ϕ Semantica X ϕ F ϕ ϕ w 0 w 1 w 2 w i w k w 0 w 1 w 2 w i w k ϕ G ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ w 0 w 1 w 2 w i w k ϕu ψ ϕ ϕ ϕ ϕ ψ w 0 w 1 w 2 w i w k ϕ Le logiche temporali e di strategia nell ambito della verifica formale 13 / 24
34 Rappresentazione formale delle specifiche Due processi non possono occupare criticamente lo stesso settore del sistema: G (p 1 p 2 ); Tutte le richieste di un processo sono prima o poi garantite: G (r F g); Tutte le richieste di un processo fatte in maniera continua sono prima o poi garantite: G (r (ru g)); Ogni richiesta ripetuta di un processo viene prima o poi garantita: G (G F r F g). Le logiche temporali e di strategia nell ambito della verifica formale 14 / 24
35 Altre logiche temporali CTL ϕ ::= p ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ X ϕ X ϕ F ϕ F ϕ G ϕ G ϕ (ϕu ϕ) (ϕu ϕ) CTL ϕ ::= p ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ψ ψ ψ ::= p ψ ψ ψ ψ ψ X ψ F ψ G ψ ψu ψ Relazioni tra le logiche LTL< CTL : X p CTL< CTL : F G p Le logiche temporali e di strategia nell ambito della verifica formale 15 / 24
36 Complessità computazionali Model-checking Satisfiability LTL PSPACE-COMPLETE PSPACE-COMPLETE CTL PTIME EXPTIME-COMPLETE CTL PSPACE-COMPLETE 2EXPTIME-COMPLETE Le logiche temporali e di strategia nell ambito della verifica formale 16 / 24
37 L interazione del sistema con l ambiente Le logiche temporali e di strategia nell ambito della verifica formale 17 / 24
38 L interazione del sistema con l ambiente Le logiche temporali e di strategia nell ambito della verifica formale 17 / 24
39 Concurrent game structure D i s i /0 D A D B s A W A s B W B Le logiche temporali e di strategia nell ambito della verifica formale 18 / 24
40 Concurrent game structure D i Ag = {A,B}; s i /0 D A D B s A W A s B W B Le logiche temporali e di strategia nell ambito della verifica formale 18 / 24
41 Concurrent game structure D i s i /0 Ag = {A,B}; St = {s i,s A,s B }; D A D B s A W A s B W B Le logiche temporali e di strategia nell ambito della verifica formale 18 / 24
42 Concurrent game structure D i s i /0 Ag = {A,B}; St = {s i,s A,s B }; s i stato iniziale; D A D B s A W A s B W B Le logiche temporali e di strategia nell ambito della verifica formale 18 / 24
43 Concurrent game structure D A D i s i /0 D B Ag = {A,B}; St = {s i,s A,s B }; s i stato iniziale; AP = {W A,W B }; s A W A s B W B Le logiche temporali e di strategia nell ambito della verifica formale 18 / 24
44 Concurrent game structure s A W A D A D i s i /0 D B s B W B Ag = {A,B}; St = {s i,s A,s B }; s i stato iniziale; AP = {W A,W B }; λ : St 2 AP ; Le logiche temporali e di strategia nell ambito della verifica formale 18 / 24
45 Concurrent game structure s A W A D A D i s i /0 D B s B W B Ag = {A,B}; St = {s i,s A,s B }; s i stato iniziale; AP = {W A,W B }; λ : St 2 AP ; Ac = {P,R,S}; Le logiche temporali e di strategia nell ambito della verifica formale 18 / 24
46 Concurrent game structure s A W A D A D i s i /0 D B s B W B Ag = {A,B}; St = {s i,s A,s B }; s i stato iniziale; AP = {W A,W B }; λ : St 2 AP ; Ac = {P,R,S}; D i D A D B = Dc = Ac Ag ; Le logiche temporali e di strategia nell ambito della verifica formale 18 / 24
47 Concurrent game structure s A W A D A D i s i /0 D B s B W B Ag = {A,B}; St = {s i,s A,s B }; s i stato iniziale; AP = {W A,W B }; λ : St 2 AP ; Ac = {P,R,S}; D i D A D B = Dc = Ac Ag ; τ : St Dc St. Le logiche temporali e di strategia nell ambito della verifica formale 18 / 24
48 Concurrent game structure s A W A D A D i s i /0 D B s B W B Ag = {A,B}; St = {s i,s A,s B }; s i stato iniziale; AP = {W A,W B }; λ : St 2 AP ; Ac = {P,R,S}; D i D A D B = Dc = Ac Ag ; τ : St Dc St. Le logiche temporali e di strategia nell ambito della verifica formale 18 / 24
49 Concurrent game structure s A W A D A D i s i /0 D B s B W B Ag = {A,B}; St = {s i,s A,s B }; s i stato iniziale; AP = {W A,W B }; λ : St 2 AP ; Ac = {P,R,S}; D i D A D B = Dc = Ac Ag ; τ : St Dc St. Una concurrent game structure è una tupla G = AP,Ag,Ac,St,λ,τ,s 0. Le strategie sono funzioni che mappano storie del gioco in azioni. I run e le computazioni sono completamente determinati dalle strategie. Le logiche temporali e di strategia nell ambito della verifica formale 18 / 24
50 Strategy Logic (SL [Mogavero, Murano, and Vardi, 2010]) SL estende LTL attraverso l uso di due strategy quantifiers, l esistenziale x e l universale [[x]], e di un agent binding (a,x). Sintassi ϕ ::= LTL x ϕ [[x]]ϕ (a,x)ϕ. Semantica x ϕ: esiste una strategia x tale che ϕ è vera. [[x]]ϕ: per ogni strategia x, accade che ϕ è vera. (a,x)ϕ: ϕ è vera, quando l agente a usa la strategia x. Restrizioni sintattiche di SL sono equivalenti a logiche molto usate nell ambito della verifica formale, come ATL, CHP-SL ed altre. Le logiche temporali e di strategia nell ambito della verifica formale 19 / 24
51 Esempio: Failure is not an option No failure property In un sistema S costituito da tre processi, α, β, e γ, i primi due devono cooperare per assicurare che S non entra mai in uno stato di errore. Tre diverse formalizzazioni in SL. x y [[z]](α,x)(β,y)(γ,z)(g fail): α e β hanno due strategie, x e y, rispettivamente, che, indipendentemente da cosa γ decide, assicurano che uno stato d errore non sia mai raggiunto. x [[z]] y (α,x)(β,y)(γ,z)(g fail): β può scegliere la sua strategia y in dipendenza da cosa è stato scelto da γ. x [[z]](α,x)(β,x)(γ,z)(g fail): α e β hanno una strategia comune x che assicura la proprietà richiesta. Le logiche temporali e di strategia nell ambito della verifica formale 20 / 24
52 Esempio: Fuga da Alcatraz Un prigioniero di Alcatraz p tenta la fuga in elicottero con l aiuto di un complice a. La visione panoramica consente ad a di osservare il comportamento delle guardie g, mentre p non ha la stessa possibilità. Il prigioniero p deve attuare una strategia di fuga che, indipendentemente dal comportamento di g, può essere supportata dal complice a. ϕ = x [[y]] z (p,x)(g,y)(a,z)(f escape p ). Le logiche temporali e di strategia nell ambito della verifica formale 21 / 24
53 Una scelta difficile... s0 /0 0 1 s2 p 0 s1 p s4 p s5 p ϕ = [[x]] y ψ 1 ψ 2 ψ 1 = (α,x)x p (α,y)x p ψ 2 = (α,x)x X p (α,y)x X p s3 p s6 p Le logiche temporali e di strategia nell ambito della verifica formale 22 / 24
54 Una scelta difficile... s0 /0 0 1 s2 p 0 s1 p s4 p s5 p ϕ = [[x]] y ψ 1 ψ 2 ψ 1 = (α,x)x p (α,y)x p ψ 2 = (α,x)x X p (α,y)x X p s3 p s6 p Le logiche temporali e di strategia nell ambito della verifica formale 22 / 24
55 Una scelta difficile... s0 /0 0 1 s2 p 0 s1 p s4 p s5 p ϕ = [[x]] y ψ 1 ψ 2 ψ 1 = (α,x)x p (α,y)x p ψ 2 = (α,x)x X p (α,y)x X p s3 p s6 p Le logiche temporali e di strategia nell ambito della verifica formale 22 / 24
56 Una scelta difficile... s0 /0 0 1 s2 p 0 s1 p s4 p s5 p ϕ = [[x]] y ψ 1 ψ 2 ψ 1 = (α,x)x p (α,y)x p ψ 2 = (α,x)x X p (α,y)x X p s3 p s6 p Le logiche temporali e di strategia nell ambito della verifica formale 22 / 24
57 Una scelta difficile... s0 /0 0 1 s2 p 0 s1 p s4 p s5 p ϕ = [[x]] y ψ 1 ψ 2 ψ 1 = (α,x)x p (α,y)x p ψ 2 = (α,x)x X p (α,y)x X p s3 p s6 p Le logiche temporali e di strategia nell ambito della verifica formale 22 / 24
58 Una scelta difficile... s0 /0 0 1 s2 p 0 s1 p s4 p s5 p ϕ = [[x]] y ψ 1 ψ 2 ψ 1 = (α,x)x p (α,y)x p ψ 2 = (α,x)x X p (α,y)x X p s3 p s6 p Le logiche temporali e di strategia nell ambito della verifica formale 22 / 24
59 Una scelta difficile... s0 /0 0 1 s2 p 0 s1 p s4 p s5 p ϕ = [[x]] y ψ 1 ψ 2 ψ 1 = (α,x)x p (α,y)x p ψ 2 = (α,x)x X p (α,y)x X p s3 p s6 p Le logiche temporali e di strategia nell ambito della verifica formale 22 / 24
60 Una scelta difficile... s0 /0 0 1 s2 p 0 s1 p s4 p s5 p ϕ = [[x]] y ψ 1 ψ 2 ψ 1 = (α,x)x p (α,y)x p ψ 2 = (α,x)x X p (α,y)x X p s3 p s6 p Le logiche temporali e di strategia nell ambito della verifica formale 22 / 24
61 Una scelta difficile... s0 /0 0 1 s2 p 0 s1 p s4 p s5 p ϕ = [[x]] y ψ 1 ψ 2 ψ 1 = (α,x)x p (α,y)x p ψ 2 = (α,x)x X p (α,y)x X p s3 p s6 p Le logiche temporali e di strategia nell ambito della verifica formale 22 / 24
62 Complessità computazionali Model-checking Satisfiability CTL PSPACE-COMPLETE 2EXPTIME-COMPLETE SL[1G] 2EXPTIME-COMPLETE 2EXPTIME-COMPLETE SL[BG]? Σ 1 1 -HARD SL[NG] NONELEMENTARY-COMPLETE Σ 1 1 -HARD SL NONELEMENTARY-COMPLETE Σ 1 1 -HARD Le logiche temporali e di strategia nell ambito della verifica formale 23 / 24
63 Le logiche temporali e di strategia nell ambito della verifica formale 24 / 24
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