Morfologia matematica. Morfolog ia binaria Morfologia a toni di grigio Tras formata dis tanza

Dimensione: px

Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Morfologia matematica. Morfolog ia binaria Morfologia a toni di grigio Tras formata dis tanza"

Lino Fantini
5 anni fa
Visualizzazioni

1 Morfologia matematica Morfolog ia binaria Morfologia a toni di grigio Tras formata dis tanza

2 Definizioni preliminari A E n, t E n Traslazione di A rispetto ad un vettore t A t = { c E n c=a+t, a A } Riflessione di A A r = { c c=-a, a A } Complemento di A A c = E n -A A A (2,1) Le operazioni e definizione sugli insiemi sono date per note A r Visione Artificiale 10/11 Morfologia matematica 2

3 Somma di Minkowski (Dilation) A B = { c E n c=a+b, a A, b B } A B = U A b, b B Si dimostra facilmente: A B = B A A B= { (0,0), (1,0) } A (0,0) A (1,0) A B Visione Artificiale 10/11 Morfologia matematica 3

4 Dilation L insieme B viene normalmente definito elemento strutturante A B= {(-1,0), (1,0) } A (-1,0) A (1,0) A B Visione Artificiale 10/11 Morfologia matematica 4

5 Dilation Visione Artificiale 10/11 Morfologia matematica 5

6 Erosion (Differenza di Minkowski) AΘB = { c E n c+b A, per ogni b B } AΘB = A -b b B Θ Ō A B= { (0,0), (1,0) } A (-1,0) A-B Visione Artificiale 10/11 Morfologia matematica 6

7 Erosion Visione Artificiale 10/11 Morfologia matematica 7

8 Proprietà Se l origine (0,0) appartiene all elemento strutturante (AΘB) A (A B) Visione Artificiale 10/11 Morfologia matematica 8

9 Erosion Erosion Dilation Visione Artificiale 10/11 Morfologia matematica 9

10 Proprietà (A+B)+C=A+(B+C) (A B)+C=(A+C) (B+C) (A-B)-C=A-(B+C) (A B)-C=(A-C) (B-C) A+B= A b A-B= A -b A B (A+C) (B+C) A B (A-C) (B-C) (A B)+C (A+C) (B+C) (A B)-C (A-C) (B-C) A+(B C)=(A+B) (A+C) A-(B C)=(A-C) (B-C) (A+B) c =A c -B r A+B t =(A+B) t A-B t =(A-B) -t A-(B C) (A-C) (B-C) Per semplicità di notazione si è usato +e- per gli operatori Erosion e Dilation Visione Artificiale 10/11 Morfologia matematica 10

11 Closing C(A, K) = (A+K)-K = A K A C(A,K)=C(C(A,K),K) K A A+K (A+K)-K Visione Artificiale 10/11 Morfologia matematica 11

12 Closing C(A, K) = (A+K)-K K A A+K (A+K)-K Visione Artificiale 10/11 Morfologia matematica 12

13 Closing C(A, K) = (A+K)-K K A A+K (A+K)-K Visione Artificiale 10/11 Morfologia matematica 13

14 Closing K A A+K (A+K)-K Visione Artificiale 10/11 Morfologia matematica 14

15 Closing Visione Artificiale 10/11 Morfologia matematica 15

16 Opening O(A, K) = (A-K)+K = A K O(O(A,K),K)=O(A,K) A K A A-K (A-K)+K Visione Artificiale 10/11 Morfologia matematica 16

17 Opening O(A, K) = (A-K)+K K A A-K= =(A-K)+K Visione Artificiale 10/11 Morfologia matematica 17

18 Opening O(A, K) = (A-K)+K K A A-K (A-K)+K Visione Artificiale 10/11 Morfologia matematica 18

19 Opening Visione Artificiale 10/11 Morfologia matematica 19

20 Opening e closing Visione Artificiale 10/11 Morfologia matematica 20

21 Esempio Visione Artificiale 10/11 Morfologia matematica 21

22 Hit or Miss A (J,K) = (A-J) (A c -K) con il vincolo J K= Permette di trovare strutture regolari (template matching) Dilation e erosion possono essere considerati come casi particolari Visione Artificiale 10/11 Morfologia matematica 22

23 Esempio Ricerca di punti isolati (8-connessi) A-J=A A A c J K A c -K Risultato finale Visione Artificiale 10/11 Morfologia matematica 23

24 Esempio Ricerca di punti isolati (4-connessi) A A c J K A c -K Risultato finale Visione Artificiale 10/11 Morfologia matematica 24

25 Esempio J e K possono essere visti come una unica maschera con tre tipi di valori Punti necessariamente di immagine Punti di background Punti non rilevanti M Visione Artificiale 10/11 Morfologia matematica 25

26 Hit or Miss - Esempio Pixel compatibili con la maschera di background Pixel compatibili con la maschera per l immagine Visione Artificiale 10/11 Morfologia matematica 26

27 Estrazione di contorni Edge(A) = A (AΘB) B A Edge(A) Visione Artificiale 10/11 Morfologia matematica 27

28 Estrazione di contorni Visione Artificiale 10/11 Morfologia matematica 28

29 Riempimento di regioni X k = (X k-1 B) A C X 0 = p Il procedimento termina quando X k == X k-1 X B X 0 A Visione Artificiale 10/11 Morfologia matematica 29

30 Componenti connesse Visione Artificiale 10/11 Morfologia matematica 30

31 Convex hull Visione Artificiale 10/11 Morfologia matematica 31

32 Esercizi 1) Eliminare i conduttori sottili 2) Congiungere i conduttori vicini 3) Trovare le componenti connesse 4) Trovare il convex hull di ogni componente Visione Artificiale 10/11 Morfologia matematica 32

33 Umbra (estensione alle immagini gray scale) A E n, F E n-1, x F, y E Top di un insieme A (T[A]:F E): T[A](x) = max { y (x, y) A } Umbra di f (f:f E): U[f] = { (x, y) F x E y f(x) } T[A] A U[A] E n U[U[A]] U[ A] Insieme A Top di A Umbra di A Visione Artificiale 10/11 Morfologia matematica 33

34 Umbra Si noti che data una funzione f:r 2 R si può facilmente definire una nuova funzione f:r 3 {0, 1} equivalente g(x, y, z) = 1 z f(x, y) z U[f(x, y)] g(x, y, z) = 0 z > f(x, y) z U[f(x, y)] Posso cioè ricondurre la morfologia a toni di grigio alla morfologia matematica in uno spazio a 3 dimensioni Visione Artificiale 10/11 Morfologia matematica 34

35 Gray scale dilation Dati: F,K E n-1, f:f E, k:k E F,K R 2, f:f R, k:k R (nel caso delle immagini) Si definisce dilation di f tramite k (f k)(x) = max{f(x-z)+k(z) z K, x-z F} Dal punto di vista computazionale la complessità è equivalente ad una convoluzione Visione Artificiale 10/11 Morfologia matematica 35

36 Esempio - dilation (f k)(6) = max{f(6-0)+k(0), f(6-1)+k(1), f(6-2)+k(2)}= max{f(6)+k(0), f(5)+k(1), f(4)+k(2)}= max{5+0, 6+1, 5+0} = 7 x f k f k Visione Artificiale 10/11 Morfologia matematica 36

37 Esempio - dilation (f k)(5) = max{f(5-(-1))+k(-1), f(5-0)+k(0), f(5-1)+k(1)}= max{f(6)+k(-1), f(5)+k(0), f(4)+k(1)}= max{5-1, 6+0, 5-1} = 6 x f k f k Visione Artificiale 10/11 Morfologia matematica 37

38 Esempio - dilation k U[k] f U[f] U[f] U[k] f k = T[U[f] U[k]] Visione Artificiale 10/11 Morfologia matematica 38

39 Esempio - dilation Visione Artificiale 10/11 Morfologia matematica 39

40 Gray scale erosion Dati: F,K E n-1, f:f E, k:k E Si definisce erosion di f tramite k (fθk)(x) = min{f(x+z)-k(z) z K, x+z F} Si dimostra che una definizione equivalente è: fθk = T{U[f]ΘU[k]} Visione Artificiale 10/11 Morfologia matematica 40

41 Esempio - erosion (fθk)(5) = min{f(5-(-1))-k(-1), f(5-0)-k(0), f(5-1)-k(1)}= min{f(6)-k(-1), f(5)-k(0), f(4)-k(1)}= min{5+1, 6-0, 5+1} = 6 x f k f-k Visione Artificiale 10/11 Morfologia matematica 41

42 Esempio - erosion Visione Artificiale 10/11 Morfologia matematica 42

43 Esempio - opening Visione Artificiale 10/11 Morfologia matematica 43

44 Esempio - closing Visione Artificiale 10/11 Morfologia matematica 44

45 Esempi di operatori Ripreso da Visione Artificiale 10/11 Morfologia matematica 45

46 Esempi Erosion Dilation Closing Opening Visione Artificiale 10/11 Morfologia matematica 46

47 Esempi Gradiente morfologico G = (f b) (fθb) Top-hat transformation H = f O(f,b) Gradiente morfologico Se b i =0 i il gradiente morfologico è la differenza fra il massimo locale e il minimo locale Visione Artificiale 10/11 Morfologia matematica 47

Documenti analoghi

Fondamenti di Elaborazione di Immagini Morfologia Matematica. Raffaele Cappelli

Fondamenti di Elaborazione di Immagini Morfologia Matematica Raffaele Cappelli raffaele.cappelli@unibo.it Contenuti Introduzione alla morfologia matematica Notazione e concetti di base Gli operatori di